chuỗi-ham

1. Chuỗi hàm
1. Định nghĩa
Chuỗi hàm là chuỗi 1 2
1
( ) ( ) ( ) ... ( )...n n
n
u x u x u x u x
∞
=
= + +∑
trong đó các ( )nu x là các hàm của x xác định trên tập hợp X ∈¡
Khi 0 0( )x x x X= ∈ thì chuỗi hàm trở thành chuỗi số 0
1
( )n
n
u x
∞
=
∑ . Nếu chuỗi số hội tụ thì
điểm 0x gọi là điểm hội tụ, nếu nó phân kỳ thì điểm 0x gọi là điểm phân kỳ.
- Tập hợp tất cả các điểm x mà chuỗi hàm hội tụ được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm.
-
1
( ) ( )
n
n k
k
S x u x
=
= ∑ : gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm.
- Nếu tồn tại lim ( ) ( )n
n
S x S x
→∞
= thì S(x) gọi là tổng của chuỗi hàm.
Gọi hiệu ( ) ( ) ( )n ns x s x r x− = là phần dư thứ n của chuỗi hàm, ta có
1 2( ) ( ) ( ) ...n n nr x u x u x+ += + +
2. Ví dụ
1) Cho chuỗi hàm số
2
0
1 ... ...n n
n
x x x x
∞
=
= + + + + +∑ là một cấp số nhân vô hạn có công bội x,
nó hội tụ nếu 1x < .
Vậy chuỗi hàm số ấy hội tụ với mọi ( 1,1)x∈ − và có tổng
1
( )
1
S x
x
=
−
.
Do đó
21
1 ... ..., 1 1.
1
n
x x x x
x
= + + + + + − < <
−
2)
1
x
n
∑ có miền hội tụ là (1; )X = +∞ (theo kết quả của chuỗi Riemann đã biết) ).
3)Xét chuỗi hàm số 3 2
sin nx
n x+
∑
Ta có 3 2 3 2 3
sin 1 1
,
nx
x
n x n x n
≤ ≤ ∀
+ +
. Mà chuỗi 3
1
1
n n
∞
=
∑ hội tụ nên 3 2
sin nx
n x+
∑ hội tụ x∀ ,
Vậy miền hội tụ là X = ¡
2. Chuỗi hàm hội tụ đều
1. Định nghĩa

2. Chuỗi hàm
1
( )n
n
u x
∞
=
∑ được gọi là hội tụ đều tới hàm S(x) trên X, nếu
0 00, 0: ( ) ( ) ( ) ,n nn n n S x S x r x x Xε ε∀ > ∃ > > ⇒ − = < ∀ ∈
2. Ví dụ
Chuỗi 2
( 1)n
x n
−
+
∑ hội tụ với mọi x (theo định lý Leibnitz)
Ta có 1 2
1 1
( ) ( ) ;
1 1
n nr x u x x R
x n n
+≤ = < ∀ ∈
+ + +
Như vậy
1 1
( ) , 1
1
nr x n
n
ε
ε
< < ∀ > −
+
Do đó 0,ε∀ > lấy 0
1
1n
ε
> − . Khi đó 0 , ( ) ,nn n r x x Rε∀ ≥ < ∀ ∈
Vậy chuỗi 2
( 1)n
x n
−
+
∑ hội tụ đều trên R.
3. Tiêu chuẩn về sự hội tụ đều
a. Định lý (tiêu chuẩn Cauchy)
Chuỗi hàm ( )nu x∑ hội tụ đều trên X khi và chỉ khi
*
0 00, : , ,n n p n nε∀ > ∃ ∀ ∈ ≥¥
1( ) ... ,n n pu x u x Xε+ +⇒ + + < ∀ ∈
b. Định lý (tiêu chuẩn Weierstrass)
Cho chuỗi hàm ( )nu x∑ . Nếu có một chuỗi số dương na∑ hội tụ sao cho
( ) , 1,n nu x a n x X≤ ∀ ≥ ∀ ∈ thì chuỗi hàm trên hội tụ tuyệt đối và đều trên X.
Chứng minh.
Rõ ràng chuỗi ( ) ,nu x x X∀ ∈∑ hội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh)
Do đó chuỗi ( )nu x∑ hội tụ tuyệt đối
Vì chuỗi số hội tụ nên ta có 1 1( ) ... ( ) ( ) ...n n p n n pu x u x u x u+ + + ++ + < + + <
1 ... ,n n pa a x Xε+ +< + + < ∀ ∈
Theo định lý Cauchy trên, suy ra chuỗi hàm hội tụ đều trên X
Ví dụ
Xét tính hội tụ đều của chuỗi hàm
22cosnxnx+Σ

3. Ta có *22222cos11,,nxnNxnxnxn≤≤∀∈∀++R
Ta đã biết chuỗi số dương 21nΣ hội tụ nên chuỗi hàm 2cosnxnx +Σ hội tụ tuyệt đối và đều
trên . R
4. Tính chất cơ bản của chuỗi hàm hội tụ đều
a. Tính chất 1
Cho chuỗi hàm hội tụ đều về hàm S(x) trên X. Nếu các số hạng (x) đều liên tục thì S(x)
cũng liên tục tại ()nnuxΣnuXx∈0Xx∈0.
Ta có ΣΣΣ→→→==⇔=nnnnxxnnxxxxxuxuxuxSxS)(lim)()(lim)()(lim0000.
Ví dụ
Tính Σ+→nxxnnx22sinlimπ
Ta thấy chuỗi trên hội tụ đều, có các số hạng liên tục tại π=x
Do đó 0sinlimsinlim2222=+=+ΣΣ→→xnnxxnnxnxnxππ
b. Tính chất 2
Cho chuỗi hàm Σ hội tụ đều về hàm S(x) trên [a, b]. Nếu các số hạng (x) đều liên tục
trên [a, b], thì . nnxu)(nu1≥∀n∫Σ∫Σ∫=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ba)()()(nbannbadxxudxxudxxS
c. Tính chất 3
Cho chuỗi hàm Σnnxu)( hội tụ trên (a, b) tới S(x), các số hạng liên tục trên (a, b). Khi đó
nếu chuỗi hội tụ đều trên (a, b) thì S(x) khả vi và S’(x) = . )('),(xuxunnΣnnxu)('Σnnxu)('
6.4.3. Chuỗi lũy thừa

4. 1. Định nghĩa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng
(1) ...100++=Σ∞=xaaxannn
Chú ý
Nếu chuỗi luỹ thừa có dạng thì bằng cách đặt 00()nnnaxx∞=−Σ 0xxX−= ta đưa chuỗi đó về
dạng (1). Vì vậy, ta quy ước nghiên cứu chuỗi lũy thừa có dạng (1).
Ví dụ
1)021nnxn∞=+Σ trong đó 121nan=+
2) 2021(2)71nnnnxn∞=−⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠Σ, trong đó 22171nnnan−⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠
2. Định lý Abel
Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ tại Σ∞=0nnnxa00≠=xx thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x thoả 0xx<.
Chứng minh:
Giả sử chuỗi luỹ thừahội tụ tại . Khi đó chuỗi số Σ∞=0nnnxa0xΣ∞=00nnnxa hội tụ, khi . Do
đó 00nnax→n→∞
144

5. 00:,1nnKaxKn∃>≤∀≥
Ta có 000,1nnnnnnxxaxaxKnxx=≤∀ .
Khi |0||| thì 00nnxKx∞=Σ hội tụ (vì 10<xx). Do vậy chuỗi luỹ thừa hội tụ. Σ∞=0||nnnxa
3. Hệ quả
Nếu chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại Σ∞=0nnnxa0xx= thì nó phân kỳ tại mọi x thoả 0xx>.
Chứng minh:
Thật vậy nếu có thoả | mà chuỗi hội tụ tại . Khi đó theo định lý Abel nó sẽ hội tụ tuyệt đối
tại 1x|||01xx>1x1||||xx∀<, mà trong khoảng này có chứa điểm , điều này mâu thuẫn với giả
thiết. 0x
4. Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
a. Định nghĩa
Số được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa nếu chuỗi hội tụ (tuyệt đối) với mọi ||
0r>Σ∞=0nnnxaΣ∞=0nnnxaxr<, và phân kỳ với mọi ||xr>.
Chú ý
Nếu , thì chỉ hội tụ tại 0r=Σ∞=0nnnxa0x=.
b. Định lý (Hadamard) (Công thức tìm bán kính hội tụ)
Giả sử 1|lim||nnnaaρ+→∞= (hoặclim||)nnaρ=. Khi đó bán kính hội tụ được tính bằng công
thức:
1,00,,0rρρρρ⎧<<+∞⎪⎪⎪==+∞⎨⎪+∞=⎪⎪⎩ (*)

6. Chứng minh:
Giả sử 1|lim||nnnaaρ+→∞= . Ta có 11|()|||limlim.||.|||()|||nnnnuxaxxuxaρ++==
* Nếu , thì chuỗi hội tụ tuyệt đối khi +∞<<ρ01||1||xxρρ<⇔<, phân kỳ khi 1||xρ> Do đó
bán kính hội tụ 1rρ=
* Nếu ρ=+∞ thì 0,x∀≠ ta có 1|()|lim|()|nnuxux+=+∞, do đó bán kính hội tụ. 0r=
* Nếu 0ρ= thì ta có 1|()|lim01|()|nnuxux+=<, suy ra chuỗi hội tụ tuyệt đối x∀∈R, do đó bán
kính hội tụ r =+∞.
Đối với trường hợp lim||nnaρ=ta cũng có chứng minh tương tự.
5. Bài toán tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
- Bước 1. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa bằng công thức (*) r
- Bước 2. Xét tại 2 điểm mút ,xrxr==−.
- Bước 3. Kết luận miền hội tụ.
Chú ý
Nếu chuỗi lũy thừa có dạng thì bằng cách đặt00()nnnaxx∞=−Σ 0xxX−=ta đưa về dạng trước
khi áp dụng công thức (*). 0nnnaX∞=Σ
Ví dụ
Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1) 1nnxn∞=Σ
- Áp dụng công thức (*) ở trên, ta có 11lim||||lim1=+==∞→+∞→nnaannnnρ => . 1r=
- Xét tại 1x=, ta có 01nn∞=Σ phân kỳ (chuỗi điều hoà).
- Tại 1x=−: 0(1)nnn∞=−Σ hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz.
Do đó miền hội tụ của chuỗi là [)1,1X=−

7. 2) 1nnnnx∞=Σ
Ta có limlimnnnnanρ→∞→∞=== . Suy ra 0r=.
Vậy miền hội tụ của chuỗi là {}0X=.
3) 0!nnxn∞=Σ
Ta có 1||1!limlim0||(1)!1nnnnananρ+→∞→∞==+ . Suy ra r=+∞
Vậy miền hội tụ của chuỗi là X=R.
4) 011212nnnnnx∞=+⎛⎞⎛⎜⎟⎜++⎝⎠⎝Σ
Ta đặt 12tx=+, ta có chuỗi lũy thừa 0121nnnntn∞=+⎛⎞⎜⎟+⎝⎠Σ. Ta có
11limlim212nnnnnanρ→∞→∞+==+ . Suy ra bán kính hội tụ 12rρ==.
- Xét tại , ta có chuỗi số 2t=02221nnnn∞=+⎛⎞⎜⎟+⎝⎠Σ.
Chú ý rằng 211212221121210limlimnnnnnnnnne→∞→∞+++++
+⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ . Do đó chuỗi số là phân kỳ.
- Xét tại . Ta có chuỗi số 2t=−022(1)21nnnnn∞=+⎛−⎜+⎝⎠Σ . Khi đó
212112221(1)102121limlimnnnnnnnnenn++→∞→∞⎛⎞+⎛⎞⎛⎞−=+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠⎝⎠ . Do đó
chuỗi số phân kỳ.

8. Vậy tìm hội tụ , hay 2t−<<51222322xxx⎡<−⎢−<<⇔⎢+⎢>−⎢⎣.
Do đó miền hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là 53(,)(,).
6. Tính chất cơ bản của chuỗi lũy thừa
Giả sử chuỗi luỹ thừa có khoảng hội tụ (,Σnnxarr−.
a. Tính chất 1 Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên mọi đoạn );(];[rrba−⊂
Chứng minh:
Lấy00xr<<, sao cho . Khi đó vì [][00,-x,abx⊂ 00xr<<nên chuỗi số hội tụ. Mặt khác ta lại có
00nnnax∞=Σ[]nbaxxaxanonnn∀∈∀≤,,,
Do đó chuỗi Σ hội tụ đều trên nnxa);(];[rrba−⊂.
b. Tính chất 2
Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi trên );(];[rrba−⊂.
c. Tính chất 3
Tổng của chuỗi luỹ thừa là 1 hàm liên tục trong khoảng (-r; r).
d. Tính chất 4
Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi.

9. Chứng minh: Suy ra từ tính chất 1.
Bài tập
Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1) nnnxn)1(212−Σ∞= 2) nnxn)2(112+Σ∞= 3) ()1221nnxn∞=++Σ 4) nnxxnn⎟⎠⎞⎜⎝⎛−Σ+∞=32112
5)Σ++∞=1)2()1(nnnnx 6) nnxn)4(112+Σ∞= 7) Σ−∞=1)2(1nnx 8) nnnxn)2(312−Σ∞=
6.5. Chuỗi Taylor và chuỗi Mac- Laurin
6.5.1. Khai triển 1 hàm thành chuỗi luỹ thừa
1. Đặt vấn đề
Giả sử hàm có đạo hàm mọi cấp trong mọi lân cận nào đó của điểm x)(xfo và có thể biểu
diễn dưới dạng tổng của 1 chuỗi luỹ thừa trong lân cận ấy.
2. Định dạng
(0) ...)(...)()()()(0303202010+−++−+−+−+=nnxxaxxaxxaxxaaxf
trong đó là các hằng số ,......,,,,210naaaa
3. Xác định các hệ số
Theo tính chất 3 của chuỗi luỹ thừa, trong khoảng hội tụ, ta có:
(1) ...)(...)(2)(10021/+−++−+=−nnxxnaxxaaxf
(2) ...)()1(...2)(202//+−−++=−nnxxannaxf
……............................................................. …
(n) ...!)(0)(+=anxfn
………………………………………………………………. …
Thế x = xo vào các đẳng thức trên, ta có: nkkxfakk,0!)(0)(==
4. Kết quả
Khi đó:
...)(!)(...)(!2)())(()()(00)(200//00/0+−++−+−+=nnxxnxfxxxfxxxfxfxf
6.5.2. Chuỗi Taylor
1. Định nghĩa
Chuỗi hàm nnnxxnxf)(!)(000)(−Σ∞= được gọi là chuỗi Taylor của hàm trong lân cận của điểm x)
(xfo

10. Khi x = xo: Chuỗi hàm nnnxnfΣ∞=0)(!)0(được gọi là chuỗi Mac-Laurin của hàm )(xf
Chú ý
Theo trên, nếu hàm số có đạo hàm mọi cấp trong và có thể biểu diễn dưới dạng tổng của
1 chuỗi luỹ thừa trong lân cận ấy thì chuỗi luỹ thừa ấy phải là chuỗi Taylor của hàm đó
trong lân cận ấy. )(xf0Vx
2. Điều kiện hội tụ
Ta xét xem nếu chuỗi Taylor của hàm nào đó hội tụ thì với điều kiện nào tổng của nó
đúng bằng . )(xf)(xf
a) Ví dụ tổng của chuỗi hội tụ không bằng hàm số
Xét hàm số⎪⎩⎪⎨⎧=≠=−000)(21xkhixkhiexfx
Hàm khả vi vô hạn lần tại mọi x và đạo hàm mọi cấp của tại )(xf)(xf0=x
Thật vậy,
12222001()(0)102xttxxtttttxfxfetlimlimlimtelimlimxxtee∞−−→→→∞→∞→==−==− =
= 0 0)0(/=⇒f //24021112223002()
(0)2202440txttttttttxxxxxefxfexlimlimlimlimtexxxttlimlimlimeee−→→+∞→+∞→+∞→+∞−−==→→−==−====
0)0(//=∃⇒f
……
Vậy, chuỗi Mac-Lau rin của hàmlà: f
nó hội tụ và có tổng bằng không với mọi x ...0...000032++++++nxxxx
b) Định nghĩa hàm khai triển được thành chuỗi Taylor:
Hàm số được gọi là khai triển được thành chuỗi Taylor nếu chuỗi Taylor của )(xf
hàm đó hội tụ và có tổng đúng bằng )(xf
c) Các điều kiện đủ
Định lý 1

11. Giả sử trong một lân cận nào đó của điểm xo hàm có đạo hàm mọi cấp. )(xf
Nếu trong đó ()0nnlimRx→∞=10)1()()!1()()(++−+=nnnxxnfxRξ
vớiξ là 1điểm nào đó nằm giữa xo và x thì có thể khai triển hàm thành chuỗi Taylor trong
lân cận ấy. )(xf
Chứng minh:
Thật vậy, Khai triển Taylor củađến cấp n là:)(xf)()()(xRxPxfnn+= trong đó 10)1()()!1()()(++−
+=nnnxxnfxRξ vì ()0nnlimRx→∞= nên ()()nnfxlimPx→∞=
Mặt khác,tổng riêng thứ n của chuỗi Tay lor của hàm, do đó )()(xsxPnn=f
...)(!)(...)(!2)()(!1)()()(00)(200//00/0+−++−+−+=nnxxnxfxxxfxxxfxfxf (đ.p.c.m)
Định lý 2
Nếu trong lân cận nào đó của điểm xo hàm có đạo hàm mọi cấp và trị tuyệt đối của mọi
đạo hàm đó đều bị chặn bởi cùng 1 số thì có thể khai triển hàm thành chuỗi Taylor trong
lân cận ấy. )(xf)(xf
Chứng minh:
Theo giả thiết, Mxfn≤)()( trong lân cận 0Vx
nxxnMxxnfxRnnn010)1()!1()!1()()(−+≤−+=⇒++ξ
Do chuỗi số Σ−∞=10!)(nnnxx có miền hội tụ là R ⇒ số hạng tổng quát 00()!nnxxn→∞−⎯⎯⎯→
0101()!nnxxn+→∞−⇒⎯⎯⎯→
Hàm thành chuỗi Taylor trong lân cận ấy. ⇒)(xf
6.5.3. Chuỗi Mac-Laurin của 1 số hàm thông dụng
1.()xfxe=

12. ...!...!3!211)0(32)(++++++⇒∀=nxxxxnfnn
N là 1 số dương cố định bất kỳ, ta có
,1≥∀k),,(NNx−∈∀MeexfNxk=≤=)()(
khai triển hàm thành chuỗi Mac-Laurin trong lân cận )(xf⇒)(xf),(NN+− của x = xo= 0
...!...!3!2132++++++=nxxxxenx
2. sinyx=
xkxxfk∀≤+=1)2sin()()(π
Hàm khai triển được thành chuỗi Mac-Laurin ⇒xxfsin)(=
,...0)0(,1)0(,0)0(,1)0(,0)0()4()3(///=−====fffff
Vậy, ta có:
...)!12()1(...!7!5!3sin121753+−−++−+−=−−nxxxxxxnn
3. cosyx=
Tương tự như trên, chuỗi Mac-Laurin của hàmxxfcos)(= hội tụ về chính nó trên toàn R:
...)!2()1(...!6!4!21cos2642+−++−+−=nxxxxxnn
4.(1)yxα=+(Chuỗi nhị thức)
...!)1)...(1(...!2)1(1)1(2++−−++−++=+nxnnxxxααααααα
151
Đặc biệt
* Khi :1−=α...)1(...11132+−++−+−=+nnxxxxx

13. 5. ln(1)yx=+
...)1(...432)1ln(1432+−++−+−=+−nxxxxxxnn
Bài tập
1) Khai triển hàm 3xy= thành chuỗi Taylor ở lân cận điểm 1=x ( Viết 4 số hạng đầu của
chuỗi Taylor)
2) Khai triển hàm xy1= thành chuỗi luỹ thừa của 3−x
3) Khai triển thành chuỗi Mac-Laurin các hàm sau;
a) )(21xxeey−+=
b) xexy2=
c) xy2sin=
4) Khai triển hàm số 2)(+=xxxf thành chuỗi luỹ thừa của x và tìm miền hội
tụ của chuỗi vừa tìm được.
152