2. Zadatak 1
 Pravougli trougao sa katetama a i b rotira
oko prave koja sadrži teme pravog ugla i
paralelna je hipotenuzi.
 Izračunati P i V tako nastalog tela.

3. r
B
B1
h1
a
c
H=c
C
b
C1
h2
A
A1
r
V
r
V
valjka
v.kupe
V
V
V
= V
valjka
v.kupe
male kupe
tela
h1
H
h2
V
r
male kupe

4. V
V
v.kupe
valjka
V
male kupe

5. poluprečnik ?
a∙b c∙hc
P∆=
=
2
2
a∙b
a∙b
=> hc =
=> r =
c
c
POVRŠINA OBRTNOG TELA:
P = MVALJKA + MVELIKE KUPE + M MALE KUPE
P = 2r πH + r πs1 + r πs2
P = a∙b π c + a∙b π a + a∙b π b
c
c
c
P = a∙b π ( a + b + c)
c
ZAPREMINA OBRTNOG TELA:
V = VVALJKA - VVELIKE KUPE - VMALE KUPE
V = r²π H - r²πh1 - r²πh2
3
3
2r²πH
V=
3
V = 2a²b²π
3c

6. Zadatak 2
 Kvadrat stranice a=18cm obrće se oko prave
koja se nalazi u ravni kvadrata, prolazi kroz
jedno njegovo teme i paralelna je sa
dijagonalom koja ne prolazi kroz to teme.
 Izračunati P i V dobijenog obrtnog tela.

7. B
B1
A
C
C1
A1
D
AC = r1 , DD1 = r2
2
D1

8. POVRŠINA OBRTNOG TELA:
P = 2 M ZARUBLJENE KUPE + 2 M KUPE
P = 2 ( r1 + r2 )π∙a + 2r1π∙a
P = 2∙27√2 ∙18π + 2∙9√2 ∙18π
P = 1296√2∙π
ZAPREMINA OBRTNOG TELA:
V = 2 V ZARUBLJENE KUPE - 2 V KUPE
V = 2∙ 1 π∙r1 ( r1² + r1r2 + r2² ) - 2∙ 1
r1²π∙r1
2
2
V = 6√2π ( 162 + 324 + 648 ) - 6√2π∙162
V = 5832√2π

9. Zadatak 3
 Pravilan šestougao površine 24 3 cm2
rotira oko jedne stranice.
 Izračunati P i V dobijenog tela.

10. B
C
B1
A
C1
A1
F
D
D1
F1
E
E1

11. Stranica šestougla ?
24√3 = 6a²√3
4
=> a = 4
POVRŠINA OBRTNOG TELA:
P = MVALJKA +2Mzarubljene
+2M KUPE
KUPE
P = 2∙2rπ∙a + 2(2r + r)π∙a + 2rπ∙a
P = 6a²√3 π = 96√3π
ZAPREMINA OBRTNOG TELA:
V = VVALJKA + 2VZARUBLJENE KUPE – 2VKUPE
V = (2r)²π∙a + 2∙ a ∙ π( (2r)² + 2r∙r + r² ) – 2r² π∙ a
2 3
3 2
V = 6r²π∙a = 228π

12. Zadatak 4
 Dijagonale trapeza su normalne
na njegove krake.
 Izračunati P i V tela koje nastaje
rotacijom trapeza oko jednog
kraka ako su osnovice 3cm i 5cm

13. b
d
h
y
c
x
a

14. r1 = d = 2 √5
H1 = c = √5
s = c = √5
POVRŠINA OBRTNOG TELA:
P = M VELIKE KUPE + MZARUBLJENE KUPE + MMALE KUPE
P = r1πa + r2πb + (r1+r2) π*s
P = ( 68√5 +16 )π
5
5

15. Zadatak 5
 Romb čije su dijagonale 7cm i
24cm rotira oko visine koja prolazi
kroz centar romba.
 Izračunati P i V tako nastalog tela.

16. D
A1
D1
A
E
E1
C
B1
C1
B

17. POVRŠINA OBRTNOG TELA:
P = 2B + 2M
P = 487,5458π
ZAPREMINA OBRTNOG TELA:
V = 2VZARUBLJENE KUPE
V = 546,05π

18. Test zadatak
 Jednakokraki trougao čiji je krak b=2, a ugao
između krakova α=30, rotira oko tangente kruga
opisanog oko trougla, pri čemu je tangenta
paralelna visini osnovice.
 Izračunati zapreminu V tako nastalog tela.

19. o
V = 8π cos15

20. DOMAĆI ZADATAK:
1. Jednakostranični trougao stranice 6 cm rotira oko prave koja
sadrži jedno teme trougla i paralelna je :
a) naspramnoj stranici
b) visini iz drugog temena trougla.
Izračunati P i V tako dobijenog tela.
2. Pravougli trougao sa katetama 15 i 20 cm rotira oko prave
normalne na hipotenuzu koja prolazi kroz teme većeg oštrog
ugla. Izračunati P i V tako dobijenog tela.