Piramida i zarubljena_piramida

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA

Slično kao i kod prizme i ovde ćemo najpre objasniti oznake ...

- sa a obeležavamo dužinu osnovne ivice

- sa H obeležavamo dužinu visine piramide

- sa h obeležavamo dužinu visine bočne strane ( apotema)

- sa s obeležavamo dužinu bočne ivice

- sa B obeležavamo površinu osnove (baze)

- sa M obeležavamo površinu omotača

- omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi) , naravno trostrana piramida u omotaču

ima 3 takve strane, četvorostrana - 4 itd.

- ako u tekstu zadatka kaže jednakoivična piramida, to nam govori da su osnovna ivica i bočna ivica jednake , to

jest : a = s

- ako u tekstu zadatka ima reč prava – to znači da je visina piramide normalna na ravan osnove ili ti ,

jednostavnije rečeno , piramida nije kriva

- ako u tekstu zadatka ima reč pravilna , to nam govori da je u osnovi ( bazi ) pravilan mnogougao:

jednakostraničan trougao, kvadrat, itd.

Dve najvažnije formule za izračunavanje površine i zapremine su:

P = B + M za površinu i
1
V= B ⋅ H za zapreminu
3
www.matematiranje.com

1

PRAVA PRAVILNA TROSTRANA PIRAMIDA

s H h s

a
ru
ro

a

a2 3
Kako je u bazi jednakostraničan trougao, to će površina baze biti: B=
4
a⋅h
U omotaču se nalaze tri jednakokraka trougla ( površina jednog od njih je Pbočne strane = ) , a kako ih ima 3 u
2
a⋅h
omotaču, to je: M =3
2
1
V = B⋅H
3
P = B+M 1 a2 3
V= ⋅H
a2 3 a⋅h 3 4
P= +3
4 2 a2 3
V= ⋅H
12
Dalje nam trebaju primene Pitagorine teoreme . Kod svake piramide postoje po tri trougla na kojima možemo

primeniti Pitagorinu teoremu:

2
s H h s ⎛a⎞
s 2 = h2 + ⎜ ⎟
a ⎝2⎠
a/2

a www.matematiranje.com

2

h 2 = H 2 + ru2 to jest
s H h s
2 s H h s s 2 = H 2 + ro2 to jest
⎛a 3⎞ 2
h2 = H 2 + ⎜ ⎛a 3⎞
a
⎜ 6 ⎟
⎟ s = H +⎜2 2
⎝ ⎠ ⎜ 3 ⎟
⎟
ru
ru
ro
ro ⎝ ⎠
a a

PRAVA PRAVILNA ČETVOROSTRANA PIRAMIDA

s
s H h

a

a

U bazi je kvadrat, pa je površina baze B=a 2

a⋅h
U omotaču se nalaze četiri jednakokraka trougla ( površina jednog od njih je Pbočne strane = ), pa je površina
2
a⋅h
omotača M = 4 odnosno M = 2ah
2

1
P = B+M V = B⋅H
3
P = a 2 + 2ah 1
V = a2 ⋅ H
3
Primena Pitagorine teoreme:

2
⎛d ⎞
s
s2 = H 2
+⎜ ⎟ od n os n o
s s ⎝ 2 ⎠
2
⎛a⎞ s H h 2
s H h s H h 2 ⎛a 2 ⎞
s2 = h2 + ⎜ ⎟ ⎛a⎞ s2 = H 2
+⎜ ⎟ to je s t
h = H +⎜ ⎟
2 2 ⎜ 2
⎝
⎟
⎠
a/2 ⎝ 2⎠ a
⎝2⎠ a a2
a/2 s2 = H 2
+
d/2 2
a a a


3

s
d⋅H
s H
H h
h PDP = odnosno
2
a⋅H 2
PDP =
d a 2
a
dijagonalni presek

PRAVA PRAVILNA ŠESTOSTRANA PIRAMIDA

s H s

h
a a
a
a

a2 3 a2 3
U bazi je šestougao, pa je površina baze B = 6 =3
4 2

a⋅h
U omotaču se nalaze šest jednakokraka trougla ( površina jednog od njih je Pbočne strane = ), pa je površina
2
ah
omotača jednaka M =6 = 3ah
2
1
V = BH
P = B+M 3
1 a2 3
a2 3 V = ⋅3 H
P=3 + 3ah 3 2
2 a2 3
V= H
2

2
s H ⎛a⎞ s H s
s H s
⎛a 3⎞
2

s 2 = h2 + ⎜ ⎟ H
s = H +a
2 2 2 h = H +⎜
2 2
⎜ 2 ⎟
s
⎟
h ⎝2⎠ h h
⎝ ⎠
a a a a a a 3
a 2 a
a/2
a a a


4

P ovog dijagonalnog preseka je :
P ovog dijagonalnog preseka je : s H
s H s s hpresekas
a 3 ⋅ hpreseka
2a ⋅ H h Pmdp =
Pvdp = to jest Pvdp = a ⋅ H 2
2a
a
2 a a a3
a
a
a a
veći dijagonalni presek manji dijagonalni presek

Četvorostrana piramida (u osnovi romb):

d1 d 2 ah BH d1 2 d
P= B+M B= = ah M=4 =2ah V= a2=( ) + ( 2 )2
2 2 3 2 2

Formulice:

aha bhb chc abc
1) nejednakostranicni trougao: P= = = P= s ( s − a )( s − b)( s − c) P= r s P=
2 2 2 4R

a+b+c
gde je s poluobim s= , r-poluprečnik upisane kruznice i R-poluprečnik opisane kružnice.
2
ab ch c a+b−c
2) pravougli trougao: P= ili P= c a2+b2=c2 R= ; r = ; hc= pq ; a= pc ; b= qc c=p+q
2 2 2 2
3) jednakokraki trougao
ah bh a
P= a = b ha2+( )2= b2
2 2 2
Pogledajte formulice iz oblasti mnogougao i četvorouglovi....

PRAVA PRAVILNA TROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA

a1 a1
a1
h
H
s a s
a

a
2
a 2
3 a1 3 a + a1
P = B+B1+ M B= B1= M=3 h
4 4 2

H 3H 2 2
V= (B+B1+ BB1 ) ili V = ( a +a1 + aa1)
3 12

5

a1 a1
a1 a1 a1 a1
ru1
ro 1 1
a
-a h
2 h H
H HH s
s s a a
a s a a
a h
ru
ro
a a
-a
2
( a − a1 ) 3 ( a − a1 ) 3 2
⎛ a − a1 ⎞
2
2 2 ( )2 + H 2 = s 2 ( ) + H 2 = h2
⎜ ⎟ +h=s 3 6
⎝ 2 ⎠

x
a a
a
h
H
s a s
a

B1 H
Visina dopunske piramide je: x= a
B − B1

PRAVA PRAVILNA ČETVOROSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA

a1 s
a1
h
H
s
a

a

a + a1
P = B+B1+ M B=a2 B1= a12 M=4 h = 2(a+a1)h
2

H H 2 2
V= (B+B1+ BB1 ) V= (a +a1 + aa1)
3 3

6

a1
a
-2 a
-2 d
s s -2 1 s
a1 a1
h h
H h H H
s s s
a
-2
a a
-a d
2 -2

a a a
a − a1 2 a − a1 2 d − d1 2
( ) +h = s
2 2 ( ) + H 2 = h2 ( ) + H 2 = s2
2 2 2
osni presek: a1

h H h

a

dijagonalni presek:
d1

D
H s

d

d + d1
2
B1 H a1 H
Ako sa x obeležimo visinu dopunske piramide , onda je x= =
B − B1 a − a1

PRAVA PRAVILNA ŠESTOSTRANA ZARUBLJENA PIRAMIDA
a1
a1

a1
s s
H
h

a a

a
2
6a 2
3 6a1 3 a + a1
P = B+B1+ M B= B1= M=6 h =3(a+a1)h
4 4 2

H H 3 2 2
V= (B+B1+ BB1 ) ili V= ( a +a1 + aa1)
3 2

7

a1 a1 a1
a1 a1 a1
a1 3
a a1 2
a1 -2 a1
s s s s s s
H H h H
h h
h

a
- a 3
a 2 a a a 2 a

a a a
a − a1 2 (a − a1 ) 3 2
) +h = s (a − a1 )2 + H 2 = s 2
2 2
( ( ) + H 2 = h2
2 2

B1 H
Visina dopunske piramide je i ovde: x=
B − B1

Zadaci

1) Date su osnovna ivica a = 10cm i visina H = 12cm pravilne četvorostrane
piramide. Odrediti njenu površinu i zapreminu.

a = 10cm
H = 12cm
_____________

P=? s
V =? H h

a/2 a

a

Prvo ćemo naći visinu h :

2
⎛a⎞
h = H +⎜ ⎟
2 2

⎝2⎠
h = 12 + 52
2 2
BH
V=
h = 169
2
3
h = 13cm a2 H
V=
P = B+M 3
102 ⋅12
P = a 2 + 2ah V=
3
P = 102 + 2 ⋅10 ⋅13 V = 100 ⋅ 4
P = 100 + 260
V = 400cm3
P = 360cm 2


8

2) Osnova prave piramide je pravougaonik, sa stranicama 12cm i 9cm. Odrediti
zapreminu piramide, ako je njena bočna ivica 12,5cm.

b
d/2

a = 12cm
b = 9cm
s = 12,5cm
_______________

V =?

Najpre nadjemo dijagonalu osnove (baze)

d 2 = a2 + b2
d 2 = 12 2 + 9 2
d 2 = 144 + 81
d 2 = 225
d = 15cm

Sada ćemo naći visinu H iz trougla.
⎛d ⎞
2 1
H = s −⎜ ⎟
2 2 V= BH
⎝2⎠ 3
1
H = 12,52 − 7,52
2
V = abH
3
H 2 = 100 1
H = 10cm V = 12 ⋅ 9 ⋅10
3
V = 360cm 2


9

3) Osnova prizme je trougao čije su stranice 13cm, 14cm i 15cm. Bočna ivica
naspram srednje po veličini osnovne ivice normalna je na ravan osnove i jednaka je
16cm. Izračunati površinu i zapreminu piramide.

Nadjimo najpre površinu baze preko Heronovog obrasca.

a = 13cm
b = 14cm ⇒ a + b + c 13 + 14 + 15
s= = = 21
c = 15cm 2 2

B = S ( S − a )( S − b)( S − c) = 21 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 6 = 84cm 2

nama treba dužina srednje po veličini visine ( hb ) osnove.

C
b ⋅ hb 14 ⋅ hb
P= ⇒ 84 =
2 2
84 = 7 hb
hb hb = 12cm

A B
Naći ćemo dalje visinu bočne strane h .

h 2 = H 2 + hb
h 2 = 16 2 + 12 2
H=16cm h
h 2 = 256 + 144
c
h 2 = 400
hb b h = 20cm
a
Površina je jednaka zbiru površina ova četiri trougla!!!

a ⋅ H c ⋅ H bh 1
P = B+ + + V = BH
2 2 2 3
13 ⋅16 15 ⋅16 14 ⋅ 20 1
P = 84 + + + V = 84 ⋅16
2 2 2 3
P = 84 + 104 + 120 + 140 V = 448cm3
P = 448cm 2

10

4) Izračunati zapreminu pravilnog tetraedra u funkciji ivice a

Tetraedar je pravilna jednakoivična trostrana piramida.

a 1
V= BH
a 3
H

r0 a

a

a
H
Izvucimo trougao:

a 3
ro =
3
2
⎛a 3⎞ a 2 ⋅ 3 9a 2 − 3a 2 6a 2
H 2 = a2 − ⎜ ⎟ = a2 −
⎜ 3 ⎟ = =
⎝ ⎠ 9 9 9

Dakle:
a 6
H=
3
1 a2 3 a 6
V = ⋅
3 4 3
3
a 18
V =
36
a3 ⋅ 3 2 PAZI: 18 = 9 ⋅ 2 = 3 2
V =
36
a ⋅ 2
3
V =
12

11

5) Izraziti visinu pravilnog tetraedra u funkciji zapremine V.

Iskoristićemo rezultat prethodnog zadatka

a3 2
V= i izraziti a
12
12V
a3 =
2
12V 2
a3 = ⋅
2 2
a = 6 2V
3

a = 3 6 2V
a = 3 66 23 V

Kako je
a 6
H= to je
3

3
66 23V 6
H=
3
6
6 2 ⋅ 6 63 ⋅ 6 2 ⋅ 3 V
H=
3
6
65 ⋅ 2 3 V 6 25 ⋅ 35 ⋅ 2 3 V
H= =
3 3
2 6 35 3 V
H=
3


12

6) Izračunati zapreminu pravilne četvorostrane zarubljene piramide ako su osnovne
ivice 7m i 5m i dijagonala 9m.

a = 7m
a1 a1 = 5m
a1
D = 9m
H ____________
D
V =?

a

a

Da bi našli visinu H moramo uočiti dijagonalni presek.

a1 2

D
H a 2 + a1 2
x=
2
x 7 2 +5 2
a1 2 x=
2
x = 6 2m

D2 = H 2 + x2

H 2 = D2 − x2

( ) ( )
2
H 2 = 92 − 6 2 H
V= B + B1 + BB1
3
H 2 = 81 − 72
V = (a 2 + a12 + aa1 )
H
H2 =9 3
H = 3m
V = (7 2 + 52 + 7 ⋅ 5)
3
3
V = 109m 3


13

7) Izračunati zapreminu pravilne šestostrane zarubljene piramide ako su osnovne ivice
2m i 1m i bočna ivica 2m

a1
a = 2m
a1 = 1m H 2 = s 2 − (a − a1 ) 2
s = 2m H 2 = 2 2 − 12
_________ H H
H2 =3
H= 3
a a − a1

V=
H
3
(
B + B1 + BB1 )
H ⎛ 6a 2 3 6a12 3 6aa1 3 ⎞
V= ⎜ + + ⎟
3⎜ 4
⎝ 4 4 ⎟ ⎠
3 6 3 2 2
V=
3
⋅
4
( 2 + 1 + 2 ⋅1)
3
V = ⋅7
2
21
V=
2
V = 10,5m3

8) Osnovne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide su 2cm i 6cm. Bočna strana
nagnuta je prema većoj osnovi pod uglom od 60o . Izračunati zapreminu te piramide.

r1
u a a = 6cm
1 a1 = 2cm
a1
H
PAZI: Kad se u zadatku kaže bočna strana pod
nekim uglom, to je ugao izmedju visina bočne
ru a strane i visine osnove!!!
a

Izvucimo ''na stranu'' trapez (pravougli)

14

a1 3
6

H H

60 o
a 3 x
6

a 3 a1 3 6 3 2 3 4 3 2 3
x= − = − = =
6 6 6 6 6 3
H 2 3
tg 60 o = ⇒ H = x ⋅ tg 60 o = ⋅ 3 = 2cm
x 3

V=
2 3 2
3 4
( )
6 + 22 + 6 ⋅ 2

3
V= (36 + 4 + 12)
6
3
V= ⋅ 52
6
26 3 3
V= m
3

9) Bočne ivice pravilne trostrane zarubljene piramide nagnute su prema ravni osnove pod
uglom α. Osnovne ivice piramide su a i b (a > b) . Odrediti zapreminu piramide.

Izvucimo obeleženi trapez, iz njega ćemo naći visinu!

s
H

a b 3
a 3

H H

α
x
a 3
3 www.matematiranje.com

15

a 3 b 3 ( a − b) 3
x= − =
3 3 3
H
tgα =
x
⇓
( a − b) 3
H = xtgα = ⋅ tgα
3
H ⎛ a 2 3 b 2 3 ab 3 ⎞
V= ⎜ + + ⎟
3⎜ 4
⎝ 4 4 ⎟⎠
1 ( a − b) 3 3 2
V= ⋅ tgα ⋅ (a + b 2 + ab)
3 3 4
(a − b)tgα 2
V= (a + b 2 + ab)
12

Kako je (a − b)(a 2 + b 2 + ab) = a 3 − b3
(a 3 − b3 )tgα
V=
12

10) Data je prava pravilna četvorostrana piramida osnovne ivice a = 5 2cm i bočne
ivice s=13cm. Izračunati ivicu kocke koja je upisana u tu piramidu tako da se njena četiri
gornja temena nalaze na bočnim ivicama piramide.

C
a = 5 2cm
s = 13cm

s Nadjimo najpre visinu piramide.
2
H ⎛a 2⎞
H = s −⎜
2 2
⎟
⎜ 2 ⎟
B ⎝ ⎠
2
x ⎛5 2 2 ⎞
x a H = 13 − ⎜
2 2
⎜ 2 ⎟
⎟
⎝ ⎠
x
a
H = 144
2

A
H = 12cm

16

Izvucimo ‘’na stranu’’ dijagonalni presek:

C
Dobili smo 2 slična trougla: ΔABC ~ ΔMNC

M Q N PAZI:
→ AB je dijagonalna osnove AB = a 2 = 5 2 2 = 10cm
→ MN je dijagonala stranice kvadrata MN = x 2
A B
D → Visina CD=H=12cm
→ Visina CQ=H-x=12-x

Dakle:

AB : MN = CD : CQ
10 : x 2 = 12 : (12 − x)
10(12 − x) = 12 ⋅ x 2
120 − 10 x = 12 2 x
12 2 x + 10 x = 120 → Podelimo sa 2
6 2 x + 5 x = 60
x(6 2 + 5) = 60
60
x= → Racionališemo
6 2 +5
60 6 2 −5
x= ⋅
6 2 +5 6 2 −5
60(6 2 + 5)
x= Ovo je tražena ivica kocke.
72 − 25
60(6 2 + 5)
x=
47

11) Osnova piramide je tangentni poligon sa n stranica opisan oko kruga poluprečnika r.
Obim poligona je 2p, bočne stranice piramide nagnute su prema ravni osnovne pod
uglom ϕ . Odrediti zapreminu piramide.

Baza ove piramide je sastavljena iz n-trouglova. Ako stranice poligona obeležimo sa
a ⋅r
a1 , a2 ....an , onda će površina svakog od tih n-trouglova biti Pi = i , odnosno
2

17

B = P + P2 + ...Pn
1

a1r a2 r ar r
B= + + ... + n = (a1 + a2 + ...an ) → gde je a1 + a2 + ...an obim poligona
2 2 2 2
r
B = ⋅ 2 p = rp
2

Pošto kaže da su bočne stranice nagnute pod uglom ϕ , to je:

H
tgϕ = ⇒ H = rtgϕ
H r

ϕ
r

1
V = BH
3
1
V = rp ⋅ rtgϕ
3
r 2 p ⋅ tgϕ
V=
3


18

Piramida i zarubljena_piramida

More Related Content

What's hot

More from Bojan Maksimovic

Piramida i zarubljena_piramida