量子情報勉強会|13>担当分資料

1. 量子情報勉強会|13>(後半)
Nielsen-Chuang exercise 4.21～
@gm3d2
Oct. 25, 2014
池袋バイナリ勉強会会場

2. 演習4.21 C2(U)
V V† V
C1, C2 A B C 全体
0, 0 I I I I
0, 1 V V† I I
1, 0 I V† V I
1, 1 V I V U
C1
C2
t
A B C

3. 演習 4.22
● figure 4.6を利用
V V† V
C1
C2
t
C
α
C1
C2
t
-α
α
α
B A A† B† C† C B A

4. 演習 4.22 (2)
●
C
α
C1
C2
t
-α
α
B A A† B† C† C B A
C
α
C1
C2
t
-α
α
B B† B A

5. 演習 4.22 (3)
●
C
α
C1
C2
t
-α
α
B B† B A
C
α
C1
C2
t
-α
α
B B† B A

6. 演習 4.22 (4)
●
=
C
α
C1
C2
t
-α
α
B B† B A
C
α
C1
C2
t
-α
α
B B† B A

7. 演習 4.22 (5)
●
C
α
C1
C2
t
-α
α
B B† B A
C
α
C1
C2
t
-α
α
B B† B A
6個のCNOT、8個の1 qubit ゲート

8. 演習4.23
C B A
α

9. 演習4.23(2)
はこの形に書けないので簡略化できない

10. 演習 4.24
● 下図がToffoliゲートの実装であることを示す
C1
C2
t H
T† T T† T
T†
T†
H
T
S
● C1C2=|00>、|01>、|10>、|11>の各場合に
分けてそれぞれ|C1>、|C2>、|t>に作用する演
算U1、U2、U3を調べる

11. 演習 4.24(2)
● C1C2 = |00>
C1
C2
t H
T† T T† T
T†
T†
H
T
S

12. 演習 4.24(3)
● C1C2 = |01>
C1
C2
t H
T† T T† T
T†
T†
H
T
S

13. 演習 4.24(4)
● C1C2 = |10>
C1
C2
t H
T† T T† T
T†
T†
H
T
S

14. 演習 4.24(5)
● C1C2 = |11>
C1
C2
t H
T† T T† T
T†
T†
H
T
S

15. 演習 4.25 Fredkinゲートの構成
(1)
a
b
c
a
b
c

16. 演習 4.25 Fredkinゲートの構成(2)
(2)
|a> = |0>のとき
|a> = |1>のときは(1)に帰着
a
b
c
a
b
c
=

17. 演習 4.25 Fredkinゲートの構成(3)
(3)
(4) 不明！
a
b
c
V V† V
a
b
c
V
W
V†

18. 演習 4.26 簡略化Toffoliゲート
a
b
c

19. 演習 4.27 quantum shift register?
e1・・・e7の巡回置換

20. 演習 4.27 (2)
任意の置換は互換の積で表せる
qubit kをターゲットとするToffoli
qubit iを制御入力とするFredkin
i qubitに作用するqNOT（Pauli X)
a
b
c
X X
k
i

21. 演習 4.27 (3)
ハミング距離3は直接に構成できないので
|101>を飛び石にする
図省略

22. 演習 4.28 題意通りに
解けていないので別解
という恒等式を利用 (m = 5)
● 左辺の各項に対応する制御信号を用意
● 正の項にはV、負の項にはV†を付与
● 結果的にすべてのxが1のときのみ
● その他のケースではVの0乗=I
● この方法ではO(2^n)のゲートが必要
● m = 5で31項

23. 演習 4.28(2)
V V V V V V† V V† V V† V V† V V† V V† V
V† V V† V† V V† V V† V V† V† V V† V†

24. 演習 4.28(3)
必要な制御信号の組み合わせ(XORで結合):
1 2 3 4 5
12 13 14 15 23 24 25 34 35 45
123 124 125 134 135 145 234 235 245 345
1234 1235 1245 1345 2345
12345
1 2 3 4 5 1 12 123 4 5
1 12 3 4 5 1 12 123 4 1235
1 12 123 4 5 1 12 123 4 5
1 12 123 1234 5 1 12 3 4 5
1 12 123 1234 12345 1 12 3 124 5
1 12 123 1234 5 1 12 3 124 1245
具体的な信号の遷移（54ステップ中最初の12ステップ）
以下略

25. 演習 4.29
=
nビット制御入力を持つToffoli gate Cn(X)は、
高々n-1個の作業ビットを使えばO(4n)=O(n)
で実現できる

26. 演習 4.29(2)
=
1ビットの作業ビットを持つことを許せば
n制御入力を持つToffoli gateはO(n)で実現できる
注意: 上図の分解は帰納的に適用するのではなく
与えられたnに対して一度だけ行う
(その後は前ページの方法を適用）

27. 演習 4.30
U
=
V V† V
ターゲットラインをn-Toffoliの作業ビットとして
使えるので前問の議論が成り立つ
Cost(n) = O(1) + O(n) + Cost(n-1)
∴ Cost(n) ～ O(n^2)

28. 演習 4.31
単なる計算につき省略