池袋物理学勉強会第11回資料

1. 池袋物理学勉強会(11)
高橋康 量子力学を学ぶための解析力学入門
第5章 Poisson括弧
@gm3d2
Dec. 10, 2014
池袋バイナリ勉強会会場

2. Poisson括弧の定義
● 物理量A, Bはそれぞれp, qの関数
● Poisson括弧を使うと今までに出てきた重要な式が
シンプルな形で書ける
– 正準変換
– Hamilton方程式
● 量子力学にすぐに移行できる形
(5.2)

3. Poisson括弧の基本性質
● 反対称
● 正準変数q, pについてのPoisson括弧
(5.2)
(5.20)
(5.3)

4. Poisson括弧の定義の不変性
● 一組の変数(q, p)を使って書かれている
● 別の正準変数を使っても同じものになるか？
● 無限小の正準変換について証明する
● 旧変数による微分操作を新変数で表す
(5.6)

5. Poisson括弧の定義の不変性(2)
(5.5)

6. Poisson括弧の定義の不変性(3)
(5.7)

7. Poisson括弧の定義の不変性(4)
(5.8)

8. Poisson括弧の定義の不変性(5)
(5.8)

9. Poisson括弧の定義の不変性(5)
● Poisson括弧は、正準変数の選び方によらない
（ここでの証明→恒等変換から連続的に実現できる変
換についてのみ）
● 記号は文献によって異なる
● 古典力学で二つの量の間の括弧式が出てきたらおおむ
ねPoisson括弧
● 量子力学では通常演算子としての交換関係/反交換関
係なので注意

10. 例
● (x, p)で計算
(1.40)
(5.9)

11. 例(続)
● (X, P)で計算
(5.10)

12. Poisson括弧を不変に保つ変換は
正準変換になるか
● 新変数(Q, P)（まだ正準変換かどうか分からな
い）で計算しても
であったとする
● 無限小変換に話を限る
(5.12)

13. Poisson括弧を不変に保つ変換は
正準変換になるか(2)
(5.13)

14. 無限小の一次までの計算
(5.14b)

15. 無限小の一次までの計算(2)
(5.14a)

16. 無限小の一次までの計算(3)
(5.14c)

17. 無限小の一次までの計算(3)
(5.15b)
(5.15a)
(5.16)
(5.17)
(5.18)
(5.19)

18. Poisson括弧の性質
● 反交換性:
● 自分自身とのPoisson括弧は0:
● 双線形性
● Jacobiの恒等式
(5.20)
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
(5.25)

19. 正準方程式を
Poisson括弧を用いて書く
● 任意の物理量F(q, p)を考える
● qとpに対する正準方程式
(5.26)
(5.27)
● 任意の物理量の時間変化は、Hamiltonianとの
Poisson括弧によって求められる

20. q, pに対する正準方程式
● 一般のFの特別な場合としてq、pをとってみる
…元の形の正準方程式にもどる
(5.29)
● Poisson括弧を使えば、qもpもまったく同じ形で正準方
程式が記述できる

21. コメント:量子力学との対応
● 一粒子のHamiltonian（一次元）
● 量子力学ではx、p、Hなどの物理量は直接値を持つので
はなく、「状態」に作用する演算子と考える
● 「状態」Ψはこの演算子が作用する空間のベクトルとし
て表される
● Hamiltonianが状態Ψにおいて値Eを持つとする
HΨ = EΨ

22. 量子力学との対応(2)
● 古典力学でのPoisson括弧式の値が量子力学に
おける交換関係に引き継がれる
x、pについては特に
● これを満たす最も単純な一つの実現方法は、x
を普通の値をとる変数、pをその微分、Ψをxの
関数として表すこと

23. 量子力学との対応(3)
● 任意のf(x)に対し、
● この表示の下でのHΨ = EΨ
…Shrödinger方程式

24. Poisson括弧と
無限小変換の母関数
● 任意の物理量F(q, p)について、q、pに（無限小）正準
変換を施したときの変化を考える
● Fとしてq、pをとった場合:
● 正準変換もPoisson括弧で書ける
(5.31)
(5.32)

25. Poisson括弧と
無限小変換の母関数(2)
● FとしてHamiltonianをとる
(5.33,34)
● 正準変換によってHamiltonianが変化しなければ、その
変換の母関数は保存量となる
…対称性と保存量の対応
空間推進（並進）⇔運動量
時間推進（時間発展）⇔ハミルトニアン
空間回転⇔角運動量

26. 二粒子系の例
● 二粒子系のHamiltonian
● 以下の正準変換（並進）の元で不変
● 母関数 : →全運動量保存
(5.35)
(5.36)

27. 中心力場内の粒子の例
● このHamiltonianは以下の正準変換（回転）の元で不
変（R: 3次元直交行列）
● 母関数:
● p^2の項（kinetic term)は常に回転不変→ポテンシャ
ルが回転に対して不変なら全角運動量は保存
ポテンシャルがrのみの関数（中心力）なら成り立つ

28. 5章まとめ
● Poisson括弧の定義
● Poisson括弧でHamilton方程式を表せる
● 任意の物理量の時間発展をPoisson括弧で表せる
● Poisson括弧で正準変換を表せる
● 正準変換でHamiltonianが不変
⇔正準変換の母関数が保存量になっている
● 量子力学に移行すると交換関係に読み替えられる