量子情報勉強会|25>資料

1. 量子情報勉強会|25>
Nielsen-Chuang
6.3 Quantum Counting -
@gm3d2
Nov. 21, 2015
@クラスメソッド

2. QFT recap (1)
●
計算基底

3. QFT recap (2)
●
n-qubitシステム: N = 2^n
: 計算基底
jの２進表示
の（一部の）小数表示

4. QFT recap(3)
●
基底の変換
●
ユニタリ変換
(5.2)
(5.4)

5. QFT recap (4)
H R2 Rn-1 Rn
H Rn-2 Rn-1
H R2
H

6. QFT recap (5)
H R2 Rn-1 Rn
●
H:
●
R2 controlled by j2:
●
R3 controlled by j3 and so on

7. QFT recap (6)
トータルで
ほしい形と逆順

8. QFT recap (7) スワップゲート
|α>
|β> |α>
|β>
=
これを図の後段に入れる

9. QFT recap (8) 必要なゲートの数
O(n^2)のアルゴリズム

10. Phase estimation recap (1)
●
問題: あるユニタリ演算子Uとその固有ベクト
ル|u>が分かっている
●
固有値 を精度良く(tビット)知り
たい
●
φをtビット整数として表現したもの

11. Phase estimation recap (2)
+
+
+
+
(5.20)

12. Phase estimation recap (3)
(5.20)
●
結局
●
これは、QFTによる の変換後のベクトルに
等しい. 前図の回路全体をAとすれば、
●
レジスタ１を観測すればφが分かる！

13. Phase estimation recap (4)
精度の検討
●
φが正確にtビットで表現できれば100%の確率
で が得られる
●
tビットではφが正確に表現できない場合
の整数部分をbとおく:
●
のφがtビット以上の場合

14. Phase estimation recap (5)
精度の検討
●
逆QFTを実行
●
状態lの振幅:
●
状態bが得られるのが正解なので、そこからの
ずれを見るためにl = b + l'とおくと
(5.23)
(5.24)
(5.25, 26)

15. Phase estimation recap (6)
精度の検討
●
許される誤差eが与えられたとき、正解bに対し
て誤差がeより大きくなる測定値mが得られる
確率（つまり失敗する確率）を評価する
(5.27)
(5.28)
(5.29)

16. Phase estimation recap (7)
精度の検討
(5.30-34)
負の項を捨てて評価
テキストの計算は上端下端
の検討が雑だが定性的には
正しく、結論は変わらない

17. Phase estimation recap (8)
精度の検討
●
誤差がeより大きくなる確率
●
φを の精度で求めたい… をtビット中nビットま
で正確に…残りのビットの最大値がe
●
t = n + qにとる
●
誤差がe以内に収まる確率
(5.35)
注意: eとεとは違う

18. Quantum search recap (1)
Oracle
●
N個の選択肢の中にM個の「正解」がある問題
●
今考えている選択肢が正解かどうかを判定してくれる関数
f: {1, 2, ... N} → {0, 1}
f(x) = 1: 正解、f(x) = 0: 不正解
●
問題を解くのは難しくとも、f(x)を計算するのは容易な
ケースがある
●
例:因数分解…与えられた整数nに対して、その非自明な因
数mとして2～[sqrt(n)]の選択肢を考える
●
nの因数分解は難しい問題だが、あるmがnの因数であるか
どうかは割り算すればすぐ分かる

19. Quantum search recap (2)
Oracle
●
このf(x)が量子回路として実現されていると考える
●
実際にf(x)を量子回路として作るのがどの程度大変か
は問題による
●
一般に、量子回路での関数f(x)の実現は
という形で考える
( : ビット毎の排他的論理和)
(6.1)

20. Quantum search recap (3)
Oracle
●
なぜか？量子回路は必ずユニタリ演算、つまり逆元を
持つ回路でなければ実現できないから
●
例: AND回路
古典回路としては非可逆…出力から
入力を再現できない
x1 x2 x1 and x2
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

21. Quantum search recap (4)
Oracle
● AND回路の量子版
● 入力(x1, x2, q)と出力(x1, x2, q + f(x))が1対1対
応している（全単射）→ユニタリ演算子Uとして構成
できる
x1 x2 q f(x) q + f(x) (x1, x2, q+f(x))
0 0 0 0 0 (0, 0, 0)
0 0 1 0 1 (0, 0, 1)
0 1 0 0 0 (0, 1, 0)
0 1 1 0 1 (0, 1, 1)
1 0 0 0 0 (1, 0, 0)
1 0 1 0 1 (1, 0, 1)
1 1 0 1 1 (1, 1, 1)
1 1 1 1 0 (1, 1, 0)

22. Quantum search recap (5)
Oracle
●
実は が全単射になるのは
あたりまえ
●
古典的には全単射と限らない任意の関数をこの方
法でユニタリ回路として構成できる
(6.2)

23. Quantum search recap (6)
Grover Unit
● この形にしておけば|q>のビットは不変と見ることが
できるので、存在を忘れて構わない
● |q>を無視して|x>へのUの作用を見ると、f(x)=1の
ときだけ|x>の符号を反転させる演算と見ることが
できる

24. Quantum search recap (7)
Grover Unit
● Grover Unit
ここで、
● |Ψ>を初期状態として用いる
● 入力の空間{|x> (x = 0, 1, ... N-1)}のうち、次の二
つのベクトルで張られる部分空間を考える
● |α>は不正解の平均、|β>は正解の平均
● |Ψ>は|α>と|β>の線形結合で書ける
(6.4)
(6.8, 6.9)
(6.8, 6.10)

25. Quantum search recap (8)
Grover Unit
● cos(θ/2) := √(N-M)/N、sin(θ/2) := √(M/N)とおくと、
● 初期状態|Ψ>はα-β空間でθ/2だけα軸から回転し
た点に相当

26. Quantum search recap (9)
Grover Unit
●
同様に
● つまり|α>、|β>を基底にとると
(6.13)
... Gをある決まった回数Rだけ|Ψ>に施せば
正解である|β>にたどり着く
(6.15)

27. Quantum search recap (10)
knowledge of M is required
●
π-θ/2θが整数なら、ぴったりR回で正解
●
π-θ/2θが整数でなければ、最大±θ/2の誤差
●
しかしそれ以前に、θやRは正解の数Mに依存してい
る…Nは通常最初から分かっているが、Mは不明であ
ることが多い
●
θがπ/2より大きいと一回で正解を超えてしまうので
扱いにくい→あからさまに不正解な選択肢をN個追
加することで
となるのでθを最大π/2に保証することができる

28. Quantum Counting (1)
●
正解の数Mが分からないとQuantum searchは
うまく機能しない
●
Mを調べるのもGroverアルゴリズムの応用で効
率よくできる！
●
古典的にはMを見積もるにはNに比例した計算
量が必要

29. exercise 6.13(1)
●
: 独立なk個のOracle callの試行
:i番目の試行は不正解
:i番目の試行は正解
●
Xの分散:

30. exercise 6.13(2)
●
kが大きくなると は正規分布に近づき、75%は平均
値M/Nから±σの範囲に入る
●
S = NXで言えば75%は平均値から±ΔSの範囲に入る
●
このΔSが√M以下であればよい
●
6.14…6.13と違う任意のアルゴリズムというのが具体
的に想像できなかったのでパス

31. Quantum Counting (2)
●
Grover Unitの回転角θがMによっていた…
●
逆に言うと、θが分かればMが分かる
●
Gの固有値:
●
対応する固有ベクトルを|a>、|b>とする
(6.13)

32. Quantum Counting (3)
●
Phase estimationのところで考えた演算子UとしてGを用いれば
Phase estimationそのもの
●
Phase estimationでは初期状態として決まった固有ベクトル|
u>を用いているが…？

33. Quantum Counting (4)
●
初期値としてQuantum searchと同じく
を用いる…|Ψ>は|α>、|β>の線形結合で書けるので
|a>、|b>の線形結合でも書ける
●
測定すると、一定の割合で のいず
れかが精度mビット,確率1 - εで得られる
なのでどちらが得られたかは区別がつく

34. Quantum Counting (5)
精度の検討
(6.31)
sin、|sin|の傾きは1以下
(6.32)
(6.33)
のときも同様の評価ができる

35. Quantum Counting (6)
計算量と精度の検討
●
m = [n/2] + 1, ε = 1/6 と選んだ場合を考える
このビット数 t の精度でphase estimationが必要
● fig. 6.7によれば が必要
● oracle実行回数:
●

36. Quantum Counting (7)
解の存在の判定
●
特にM=0、つまり解が存在しない場合:
●
Mは整数なので、確実に5/6の確率でM=0が得られる
●
逆にM ≠ 0の場合:
M = 1で|ΔM|<0.95、M = 2で|ΔM|<1.25…
常に M - |ΔM| > 0
つまりMの観測値として0が得られる確率は1/6以下

37. Quantum Counting (7)
Quantum searchの補助
●
Quantum search: Rの決定にMが必要
●
最初にθを測定→Rを決定→Quantum search
●
Groverアルゴリズムで正解が求まる確率:終状態
がどれだけ正解|β>に近いか
●
最大誤差: のとき (θが正確な場合)
誤差Δθがあると、最悪

38. Quantum Counting (8)
成功確率
●
Groverアルゴリズムでの終状態 と
正解 との角度の差(の最大値)
●
先と同じく までθに精度を持たせる
上位mビットがθの信頼できる値、それより下がΔθ
●
ワーストケース
成功確率
●
R(θ)が正しい確率まで考えると、