池袋物理学勉強会13 位相空間

1. 池袋物理学勉強会(13)
高橋康 量子力学を学ぶための解析力学入門
第6章 位相空間
@gm3d2
Jan. 21, 2015
池袋バイナリ勉強会会場

2. 座標による力学系の記述
例:N個の粒子からなる系
●
もともとのNewtonの運動方程式;
各x_i(t)に関する個別の方程式
●
Lagrangeの立場:N個の点の座標をすべて対等に一般
化座標q_iとして扱う
●
Hamiltonの立場:
q_iに加えてp_iも正準座標として扱う

3. 例:一次元上の2粒子の記述
x1(t)、x2(t)が変数
衝突前
衝突後
●
Lagrangeの立場: q = (x1, x2)平面内での運動
（テキストの図6.1)
●
Hamiltonの立場: (x1, x2, p1, p2)空間内での運
動（図示は4次元になるので面倒）

4. 位相空間
●
位相空間(phase space):Hamilton形式での正準変
数(q, p)による記述
注: 数学用語の位相空間（topological space)と
は無関係
●
位相空間の一点→ある時刻における系の状態（代
表点）
●
代表点は初期位置と初期運動量の情報を持つ→あ
る代表点の運動は(Hamiltonianによって）一意に
決まる

5. 例
●
一次元調和振動子準
●
前章によると、任意の物理量Oに対して
●
陽に時間を含まないHamiltonianは保存する
●
H = E (定数）: 代表点が通る位相空間の軌道
（トラジェクトリ）は半径√2Eの円

6. 変数変換
(6.2)
: 正準変換

7. HamiltonianをE、θで表す
(5.8)
θは循環座標
正準方程式:
角速度-1(右回り）で等速回転、Eに無関係
E
θ
0 2π
4章例2（p.67)のPoincare変換と同じ
(sinとcosが逆になっているが)

8. 微小面積要素
●
点(q, p)でq、pをdq、dpだけ変化させる
(q, p)、(q+dq, p)、(q, p+dp), (q+dq, p+dp)が
なす4角形の面積を考える
●
正準変換で対応する(E, θ)において、同じく上
の4角形に対応する4角形の面積を考える

9. 微小面積の計算
●
:pを固定してqをdqだけ変えたときの
(E, θ)の変化
●
: 同様にq固定、pをdpだけ変える
●
この傾いた長方形の面積を求める
●
この例では(q, p)も(E, θ)も局所的には直交座標
●
一般には直交座標を正準変換で写すと曲線座標
であり、局所的には斜行座標となる

10. 微小面積の計算(2)
● 平行移動しても面積には影響がないので点A'を原
点に持ってくる
O
面積dS
(一般の平行四辺形でも成立）

11. dq, dpとdE, dθの関係
:(q, p)→(E, θ)変換のJacobi行列
: 逆変換のJacobi行列
Jacobi行列の行列式: Jacobian(J)
逆変換のJacobianは1/Jになる
(q, p)と(E, θ)の関係は複雑な
非線形関数だが、(dq, dp)と
(dE, dθ)に注目すると線形な関
係が成り立つことに注意

12. の計算
写像によって面積
要素を写すとJ倍
に拡大される

13. Jacobi行列の計算
●
逆変換の方が楽なのでそれで計算しておく
●
面積要素は正準変換に対して不変

14. Liouville(リウヴィユ)の定理
前節の結果を一般化
●
位相空間の体積要素は正準変換に対して不変
→ Liouvilleの定理 正準変換では
J=1

15. 一般の次元でのJ = 1の証明
●
まず位相空間に限らず、一般の座標空間での無
限小座標変換x_i→X_iと、それに伴うJacobi行
列を考える

16. 一般の次元でのJ = 1の証明(2)
●
無限小正準変換に適用すると

17. 非圧縮性流体との類似
●
時間発展も正準変換の一種（4章例5）
Hが正準変換の母関数Gの役割を果たす
●
位相空間内での各点(q, p)において、その点の
移動速度 を考える…速度場
●
速度場の発散 →非圧縮性流体

18. 非圧縮性流体との類似
●
ある時刻にある点(q, p)に存在した微小面積は
時間とともに位相空間内を移動し、形も正方形
から平行四辺形に変形するが、面積は変わらな
い
●
有限領域→変形はするが体積は不変

19. 作用積分
●
積分は運動の一周期にわたって行う
●
位相空間での軌道が囲む面積
●
調和振動子の例では 2πE
●
前期量子論では、これを用いて「量子化規則」
を定式化した