競技プログラミング練習会2014 Normalで使ったスライドです。基本的な動的計画法の考え方について説明しています。

1. 動的計画法

2. 動的計画法
●問題を複数の部分問題に分割して、部分問題の
計算結果を利用して元の問題を解く手法
●効率的なアルゴリズムを作るときによく使われ
る一般的な方法

3. 動的計画法
●例 フィボナッチ数の計算
●フィボナッチ数の定義通りプログラムを書くと
こうなる
int fib(unsigned int n) {
if (n == 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
return fib(n-1) + fib(n-2);
}
F0=0, F1=1, Fn=Fn−1+Fn−2 (n≥2)

4. 動的計画法
●これだと、 ぐらいまでしか計算できない
● の指数時間アルゴリズム
n = 40
fib(8)
=fib(7) + fib(6)
=(fib(6) + fib(5)) + (fib(5) + fib(4))
=((fib(5) + fib(4)) + (fib(4) + fib(3))
+ ((fib(4) + fib(3)) + (fib(3) + fib(2)))
=(((fib(4) + fib(3)) + (fib(3) + fib(2)))
+ ((fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1)))
+ (((fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))
+ ((fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0)))
O(1.619n
)

5. 動的計画法
●計算過程を見ると、何回も同じ引数で函数を呼
び出している
●この函数は同じ引数なら常に同じ値を返すか
ら、一度計算した内容を再利用すれば良さそう
●これが動的計画法の基本的アイデア

6. 動的計画法
●改良版フィボナッチ数の計算
int fib(unsigned int n) {
vector<int> ary(n+1);
ary[0] = 0;
ary[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++i)
ary[i] = ary[i-1] + ary[i-2];
return ary[n];
}

7. 動的計画法
● の線形時間アルゴリズムになった
● ぐらいまで対応できる
●もっとも、 ぐらいでint型の整数だとオーバー
フローする
● 番目のフィボナッチ数を定数 で割った余りを求
める問題などでつかえる
●実際には対数時間アルゴリズムも存在する
O(n)
n = 107
n = 47
n k

8. 動的計画法
●動的計画法が有効な問題の一つがナップサック
問題
●問題パターンとしてはよく出題される
●社会での実用上も大事な問題

9. ナップサック問題
● 個の荷物があり、それぞれ価値 、体積 で
ある。
●容積 のナップサックがある。
●体積の合計が を超えない範囲で荷物を詰めた
とき、その価値の合計の最大値はいくつか？
●条件
n Pi Vi
C
C
1≤n≤1,000 1≤Pi≤1,000,000,000
1≤V i≤1,000 1≤C≤1,000

10. ナップサック問題
価値 55
体積 40
価値 82
体積 97
価値 38
体積 19
価値 63
体積 32
価値 61
体積 26
容積 150

11. ナップサック問題
●ナイーブ（ばか正直）な解法
●それぞれの荷物について、ナップサックに入れるか
入れないかの２通りを調べる
●体積の合計が を越えない入れ方の中で、価値が最
大になるものを選ぶC

12. ナップサック問題
価値 55
体積 40
価値 82
体積 97
価値 38
体積 19
価値 63
体積 32
価値 61
体積 26
容積 150
合計:価値 0 体積 0

13. ナップサック問題
価値 55
体積 40
価値 82
体積 97
価値 38
体積 19
価値 63
体積 32
価値 61
体積 26
容積 150
合計:価値 55 体積 40

14. ナップサック問題
価値 55
体積 40
価値 82
体積 97
価値 38
体積 19
価値 63
体積 32
価値 61
体積 26
容積 150
合計:価値 61 体積 26

15. ナップサック問題
価値 55
体積 40
価値 82
体積 97
価値 38
体積 19
価値 63
体積 32
価値 61
体積 26
容積 150
合計:価値 116 体積 66

16. ナップサック問題
価値 55
体積 40
価値 82
体積 97
価値 38
体積 19
価値 63
体積 32
価値 61
体積 26
容積 150
合計:価値 82 体積 97

17. ナップサック問題
価値 55
体積 40
価値 82
体積 97
価値 38
体積 19
価値 63
体積 32
価値 61
体積 26
容積 150
合計:価値 137 体積 137

18. ナップサック問題
価値 55
体積 40
価値 82
体積 97
価値 38
体積 19
価値 63
体積 32
価値 61
体積 26
容積 150
合計:価値 143 体積 133

19. ナップサック問題
価値 55
体積 40
価値 82
体積 97
価値 38
体積 19
価値 63
体積 32
価値 61
体積 26
容積 150
合計:価値 198 体積 173

20. ナップサック問題
価値 55
体積 40
価値 82
体積 97
価値 38
体積 19
価値 63
体積 32
価値 61
体積 26
容積 150
合計:価値 217 体積 117

21. ナップサック問題
●ナイーブ（ばか正直）な解法
●実装としては次のようにすると簡潔になる・多少高
速化する
●http://inside/~prime/procon/2014/normal/napsac.cpp
●ナップサックの空きと今何番目の荷物を見ている
か、荷物の配列を引数に取る

22. ナップサック問題
●ナイーブ（ばか正直）な解法
● 個の荷物があるとき、調べるのは 通り
●問題の条件は
だった
● だとだいたい 年かかる
n 2n
3.4×10285
n=1000
1≤n≤1,000 1≤Pi≤1,000,000,000
1≤V i≤1,000 1≤C≤1,000

23. ナップサック問題
●ここで動的計画法を使う
●荷物 を見ていて残り容積が の時の価値の最
大値を記憶しておけば良い
● になり、問題の条件でも時間内に解ける
●実際のコード
●http://inside/~prime/procon/2014/normal/napsac_dp.cpp
i v
O(nV )

24. ナップサック問題
●動的計画法で解くイメージ
vi 0 1 2 3
0 0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
価値 2
体積 2
価値 5
体積 3
価値 3
体積 1

25. ナップサック問題
●動的計画法で解くイメージ
vi 0 1 2 3
0 0 0
1 0
2 0
3 0
4 0
5 0
価値 2
体積 2
価値 5
体積 3
価値 3
体積 1

26. ナップサック問題
●動的計画法で解くイメージ
vi 0 1 2 3
0 0 0
1 0 0
2 0
3 0
4 0
5 0
価値 2
体積 2
価値 5
体積 3
価値 3
体積 1

27. ナップサック問題
●動的計画法で解くイメージ
vi 0 1 2 3
0 0 0
1 0 0
2 0 2
3 0
4 0
5 0
価値 2
体積 2
価値 5
体積 3
価値 3
体積 1

28. ナップサック問題
●動的計画法で解くイメージ
vi 0 1 2 3
0 0 0
1 0 0
2 0 2
3 0 2
4 0 2
5 0 2
価値 2
体積 2
価値 5
体積 3
価値 3
体積 1

29. ナップサック問題
●動的計画法で解くイメージ
vi 0 1 2 3
0 0 0 0
1 0 0 0
2 0 2 2
3 0 2 5
4 0 2 5
5 0 2 7
価値 2
体積 2
価値 5
体積 3
価値 3
体積 1

30. ナップサック問題
●動的計画法で解くイメージ
vi 0 1 2 3
0 0 0 0
1 0 0 0
2 0 2 2
3 0 2 5
4 0 2 5
5 0 2 7
価値 2
体積 2
価値 5
体積 3
価値 3
体積 1

31. ナップサック問題
●動的計画法で解くイメージ
vi 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 3
2 0 2 2 3
3 0 2 5 5
4 0 2 5 8
5 0 2 7 8
価値 2
体積 2
価値 5
体積 3
価値 3
体積 1

32. ナップサック問題
●動的計画法で解くイメージ
vi 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 3
2 0 2 2 3
3 0 2 5 5
4 0 2 5 8
5 0 2 7 8
価値 2
体積 2
価値 5
体積 3
価値 3
体積 1

33. 補足
●ナップサック問題であればいつでも動的計画法
を使うわけではない
●条件が
のとき、動的計画法では解けないが、ナイーブな解
法を使えば解ける
●条件をよく読んで使い分ける
1≤n≤20 1≤Pi≤1,000,000,000
1≤V i≤1,000,000,000 1≤C≤1,000,000,000

34. 参考文献
●プログラミングコンテストでの動的計画法
●http://www.slideshare.net/iwiwi/ss-3578511