Nielsen-Chuang, Quantum Computation and Quantum Information 5.1 Quantum Fourier Transform

1. 量子情報勉強会|17>前半
Nielsen-Chuang
5.1 Quantum Fourier Transform
@gm3d2
Mar. 21, 2015
池袋バイナリ勉強会会場

2. 線形代数での基底の変換
●
あるN次元ベクトル空間Vの要素vを考える
●
vはVの基底 の線形結合
これを であるような
別の基底 で表す

3. なぜこのようなことを考えるか
●
数学的にはどの基底も同等
●
実用的には基底の選び方によって問題の難易度が
大きく変わる
●
元のベクトルvが、ある特定の基底で分かりやす
い性質を持っているケースが（頻繁に）ある
– 特定の何個かの成分だけが大きくなる
– 考えたい演算が対角化可能
…など

4. 別のとらえ方
●
上の式では、一つのvを二つの方法で表しただ
けで、v自体は変わらない
●
を で置き換えて、 自体を に変えてしま
うと考える場合もある（今回はこのケース）

5. （連続）Fourier変換
●
対象となる空間は（実または複素）関数空間
– 周期境界条件
●
によりベクトル空間
とみなせる
– 実関数:
– 複素関数:
を基底として与えられた関数を線型結合で表す
– 正規直交基底であることがわかる

6. （連続）Fourier変換(2)
●
次の内積を定義
cos、expも同様

7. 離散Fourier変換
●
長さNの数列vを考える
●
加法とスカラー倍ができる→ベクトル空間
●
数列 を考える
はVの基底

8. 離散Fourier変換(2)
●
二つのベクトル と の間に
で内積を定義する
→ は正規直交基底

9. 離散Fourier変換(3)
●
の代わりに次の基底 を用いる

10. 離散Fourier変換(4)
●
も正規直交基底である

11. 量子Fourier変換
●
として量子計算の計算基底 を用いる
●
すると
●
以降、 を で置き換えることを量子Fourier
変換 (QFT)と呼ぶ

12. Exercise 5.1
●
複素ベクトル空間の正規直交基底から正規直交
基底への変換はユニタリ
●
「元の基底」 の成分
●
前のページで計算した通り

13. Exercise 5.2
●

14. 記法の約束
●
n-qubitシステム: N = 2^n
: 計算基底
jの２進表示
jの（一部の）小数表示

15. QFTの積表示
●
次のように書ける
●
元の形で計算するより計算量が削減できる
（古典FTでも、量子回路でも）
→Fast Fourier Transform (FFT、QFFT)

16. QFTの積表示 証明(1)
kを2進表示
位相因子を桁毎にばらして
各qubitに分配
計算基底をテンソル積に分解

17. QFTの積表示 証明(2)
前項から
ここで因数分解
kl = 0と1を明示的に

18. QFTの量子回路による実現
この形を利用
|0>は素通し、|1>に位相因子をかける

19. QFTの量子回路による実現(2)
H R2 Rn-1 Rn
H Rn-2 Rn-1
H R2
H

20. |j1>の受ける変換
H R2 Rn-1 Rn
●
H:
●
R2 controlled by j2:
●
R3 controlled by j3 and so on

21. |j1>...|jn>の受ける変換
トータルで
ほしい形と逆順

22. スワップゲート
|α>
|β> |α>
|β>
=
これを図の後段に入れる

23. 必要なゲートの数
O(n^2)のアルゴリズム

24. (古典)FFTとの比較
●
行いたい操作、利用する式は同じ
●
パーツとして利用する基本演算が違う
– QFT→量子ゲート回路
– FFT→四則演算

25. ex. 5.3 (古典)FTの計算量
●
素朴な実現
●
サイズ2^n x 2^n の行列の積: O((2^n)^2) =
O(2^(2n))

26. ex. 5.3 (古典)FFTの計算量
●
積表示を利用
●
一つの|j>に対し演算はO(n)
●
|j>の総数が2^n
●
全体の演算量はO(n*2^n)

27. exercise 5.4 C-Rkゲート
●
C-Rkゲートを1-qubit演算とCNOTで表す
●
4章のControlledゲートの一般論を適用
●
図4.6において、

28. exercise 5.5 逆QFT回路
●
図5.1を左右を逆転し、各ゲートもすべて逆演
算ゲートで置き換えればよい
●
スワップゲートとHはそれ自身が逆演算と一致
●
C-Rkも問題5.4の構成で左右を反転し、Rz(θ)
をRz(-θ)、αを-αで置き換えればよい

29. exercise 5.6 近似QFT
●
QFT回路で最も精度が要求される部分
●
|j1>の誤差:(n-1)*Δ, |j2>の誤差: (n-2)*Δ
…全体の累積誤差 = Δ*n(n-1)/2 = O(n^2/p(n))
ΔをO(1/n^2)程度以下に維持できれば全体の誤
差を一定に保つことができる
(4.63)