SlideShare a Scribd company logo

Moduler prima

β€’Download as DOCX, PDFβ€’
β€’
M
mut4676

Dokumen ini membahas tentang aritmatika moduler dan ciri-ciri bilangan yang habis dibagi bilangan prima kurang dari 50. Terdapat penjelasan tentang konsep aritmatika moduler dan cara menentukan sisa pembagian bilangan yang tidak habis dibagi menggunakan aritmatika moduler. Diberikan pula contoh-contoh soal dan penyelesaiannya untuk bilangan habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, dan 23.

1 of 14
Moduler Prima Kurang Dari 50 Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M.pd Oleh, Dini Indriani 142151234 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SILIWANGI 2015
2 MODULER PRIMA Dalam mata kuliah Teori Bilangan kita pasti mengenal istilah aritmatika moduler, bahkan istilah itu sudah tidak asing lagi khususnya bagi mahasiswa pendidikan matematika pada semester kedua, karena disetiap pembahasan materinya kata moduler selalu diikut sertakan dalam menyelesaikan permasalahan disetiap bab nya. Untuk itu marilah kita bahas apa itu aritmatika moduler dan bagaimana menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan aritmatika moduler. Aritmatika moduler (kadang juga disebut aritmatika jam) adalah sistem aritmatika untuk bilangan bulat dimana kedua bilangan bulat dioperasikan sampai mencapai nilai tertentu, yaitu modulus (sisa) atau juga merupakan bilangan sisa dari suatu pembagian bilangan bulat. Aritmetika modulo diperkenalkan pertama kali oleh Carl Friedrich Gaus dalam bukunya β€œDisquistiones Arithmaticae” yang dipublikasikan pada tahun 1801. Gambar 1. Carl Friedrich Gaus Gambar 2. Cover Buku Disquistiones Arithmaticae Dalam hal ini aritmatika akan diikut sertakan untuk menemukan sisa pembagian dari bilangan yang
3 tidak habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang kurang dari 50, Karena jika hanya berfokus pada ciri-ciri bilangan yang habis dibagi oleh bilangan prima maka ketika kita mengetahui ciri-cirinya, kita hanya akan mendapatkan jawaban iya atau tidak. Lantas bagaimana jika diperjalanan kita menemukan bilangan yang tidak habis dibagi oleh bilangan prima, berdasarkan ciri-ciri tadi kita hanya bisa mendapatkan jawaban tidak tanpa kita tahu berapa sisa pembagiannya. Namun sebelum itu akan dibahas terlebih dahulu ciri- ciri bilangan yang habis dibagi oleh bilangan prima kurang dari 50. a. Bilangan habis dibagi 2 Semua bilangan habis dibagi dua jika bilangan yang diwakili oleh angka terakhirnya genap. Bukti: misalkan bilangan tersebut adalah π‘Žπ‘ = π‘Ž(10)+ 𝑏 π‘Ž(10) β„Žπ‘Žπ‘π‘–π‘  π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– 2. Supaya π‘Žπ‘ habis dibagi 2, maka haruslah b habis dibagi 2. Contoh 1 : Apakah bilangan 567 habis dibagi 2 ? jika tidak berapakah sisa pembagiannya ? Jawab : 567 tidak habis dibagi 2 karena bilangan yang diwakili angka terakhirnya ganjil. Untuk mengetahui sisa pembagiannya maka disinilah saatnya menggunakan aritmatika moduler. Karena pembaginya 2 maka 2 merupakan modulo, oleh karena itu untuk sisa pembagiannya antara 0 dan 1. Sehingga kita bisa membuat hubungan seperti ini : ο‚· 567 ∢ 2 = 600 βˆ’ 567 = 37 = 40 – 37 = 2 ∀ 3 ο‚· 3 ≑ π‘₯ (π‘šπ‘œπ‘‘ 2) 3 ≑ 1(π‘šπ‘œπ‘‘ 2)  Maka sisa pembagian dari 567 : 2 adalah 1 atau bisa ditulis dalam bentuk 567≑ 1( π‘šπ‘œπ‘‘ 2) Ada keistimewaan tersendiri dari bilangan yang tidak habis dibagi dua karena untuk mencari sisa pembagianya tidak perlu menggunakan cara diatas karena sudah pasti sisa pembagiannya 1, karena angka yang diwakili oleh angka terakhirnya ganjil.
4 sedangkan 0 hanya digunakan untuk bilangan yang habis dibagi 2 yaitu dengan ciri angka yang diwakili oleh angka terakhirnya genap. b. Bilangan habis dibagi 3 Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angkanya habis dibagi 3. Contoh 1: Apakah bilangan 3456 habis dibagi 3? jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab : 3456 = 3+4+5+6 =3|18 Ternyata 18 habis dibagi 3 maka 3456 habis dibagi 3. sehingga sisa pembagiannya 0. Contoh 2: Apakah 1234 habis dibagi 3? Jika tidak berapa sisa pembagiannya ? Jawab: 1234 = 1+2+3+4 = 10 ∀ 3 Untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu menggunakan aritmatika moduler, dengan 3 sebagai modulernya karena beperan sebagai pembagi, sehingga dibuat hubungan seperti berikut : 10≑ π‘₯ (π‘šπ‘œπ‘‘ 3) 10≑ 1(π‘šπ‘œπ‘‘ 3)  Untuk sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 3, sama dengan sisa pembagian jumlah digit angka bilangan awal.  Maka sisa pembagian dari 1234 : 3 sama dengan sisa pembagian 10 : 3 adalah 1 atau bisa di tulis dalam bentuk 1234 ≑ 1(π‘šπ‘œπ‘‘ 3) atau 10 ≑ 1(π‘šπ‘œπ‘‘ 3) Contoh 3: Apakah 56789 habis dibagi 3? Jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab: 56789 = 5+6+7+8+9 = 35 ∀ 3 Untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu menggunakan aritmatika moduler, dengan 3 sebagai modulernya karena beperan
5 sebagai pembagi, sehingga dibuat hubungan seperti berikut : 35≑ π‘₯ (π‘šπ‘œπ‘‘ 3) 35≑ 2 (π‘šπ‘œπ‘‘ 3)  56789 tidak habis dibagi 3 dengan sisa pembagian 2. c. Bilangan habis dibagi 5 Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka paling kanan dari bilangan tersebut adalah 5 atau 0. Contoh 1: Apakah 12345 dan 123567 habis dibagi 5 ? jika tidak tentukan sisa pembagiannya? Jawab: ο‚· 12345 habis dibagi 5 karena angka paling kanan nya adalah 5 sesuai dengan ciri bilangan habis dibagi 5. ο‚· 1234567 tidak habis dibagi 5 karena angka terakhirnya bukan 0 maupun 5. Adapun untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu ada 2 cara untuk bilangan yang tidak habis dibagi 5, yaitu : 1. Jika angka terakhirnya 0 < π‘₯ < 5 maka sisa pembagiannya yaitu angka terakhir itu sendiri. 2. Jika angka terakhirnya lebih dari 5 maka sisa pembagiannya yaitu angka terakhir dikurangi 5. d. Bilangan habis dibagi 7 Bilangan habis dibagi 7 jika bilangan kelipatan 7 mendekati angka awal tetapi lebih dari angka awal kemudian dikurangi angka awal, jika hasilnya habis membagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7. Contoh 1 : Apakah 100 dan 123 habis dibagi 7 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab: ο‚· 100 : 7 = 140 – 100 = 40 = 70 – 40 = 30 = 35 – 30 = 5  5≑ π‘₯ (π‘šπ‘œπ‘‘ 7) 5≑ 5 (π‘šπ‘œπ‘‘ 7)  7 – 5 = 2  Sisa dari (100 : 7) yaitu 2 atau bisa ditulis sebagai 100 ≑ 2 (π‘šπ‘œπ‘‘ 7) ο‚· 123 : 7 = 70 + 35 + 18  70 ≑ 0 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 7)
6  35 ≑ 0 (π‘šπ‘œπ‘‘ 7)  18 = 4 (mod 7)  Sisa nya, 0+0+4 = 4  Sisa pembagian dari 123:7 yaitu 4 atau bisa ditulis , 123 ≑ 4 (π‘šπ‘œπ‘‘ 7) e. Bilangan habis dibagi 11 Suatu bilangan habis dibagi 11 jika pada bilangan tersebut jumlah bilangan yang diwakili oleh angka pada tempat ganjil (dihitung dari sebelah kanan) dikurangi dengan jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angka pada tempat genap habis dibagi 11. 12345678=(8+6+4+2)-(7+5+3+1) = 20 – 16 = 4 ∀11  4≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 11) 4≑ 4 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 11)  Ternyata 12345678 tidak habis dibagi 11 dengan sisa pembagian 4 atau bisa ditulis 12345678≑ 4 (π‘šπ‘œπ‘‘ 11). f. Bilangan habis dibagi 13 Bilangan habis dibagi 13 jika bilangan kelipatan 13 mendekati angka awal tetapi lebih dari angka awal kemudian dikurangi angka awal, jika hasilnya habis membagi 13 maka bilangan awal habis dibagi 13. Contoh 1: Apakah 2613, 100003, 655 habis dibagi 13 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya ? Jawab : ο‚· 2613 : 13 = 2600 + 13 -2613 = 0 habis dibagi 13  Sehingga 2613 habis dibagi 13 ο‚· 100003 = 500 Γ— 200 + 3  500 ≑ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  500 = 25 Γ— 2 = 12 Γ— 2 = 24 ≑ 11 (π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  200≑ 11 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  200 = 40 Γ— 5 = 1 Γ— 5 = 5  Sisa = 11 Γ— 5 + 3 = 58  58 ≑ 7 (π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  100003 tidak habis dibagi 13 dengan sisa pembagian 7 atau bisa ditulis 100003≑ 7 (π‘šπ‘œπ‘‘ 13) ο‚· 655 = 650 + 13 – 655 = 8 ∀13  8≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  8≑ 8 (π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  13 – 8 = 5  655 tidak habis dibagi 13 dengan sisa pembagian 5.
7 g. Bilangan habis dibagi 17 jika FPB dari bilangan itu dengan 17 adalah 17 maka bilangan itu habis dibagi 17, atau bisa menggunakan cara pengurangan kelipatan 17 dengan bilangan itu. Mencari FPB yang digunakan adalah menggunakan aturan Algoritma Stein, yaitu aturan ganjil genap. 1. Jika kedua bilangan ganjil, Misalkan( 𝑒, 𝑣) dengan 𝑒 > 𝑣 maka ( 𝑒, 𝑣) = ( π‘’βˆ’π‘£ 2 , 𝑣) 2. Kedua bilangan genap Misalkan ( 𝑒, 𝑣) = 2( 𝑒 2 , 𝑣 2 ) 3. jika bilangan ganjil dan genap misalkan ( 𝑒, 𝑣) dengan u genap dan v ganjil maka,( 𝑒, 𝑣) = ( 𝑒 2 , 𝑣) Contoh : Apakah bilangan 357 habis dibagi 17? Jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab : ο‚· Menggunakan cara dengan mencari FPB dari (357, 17) (357,17) = (357, 17) = (170, 17) = (85, 17) = (34, 17) = (17, 17 ) Ternyata FPB dari 357 dan 17 adalah 17 sehingga bilangan itu habis dibagi 17. Tetapi cara menggunakan FPB kurang efektif untuk bilangan prima karena tidak mengetahui sisa pembagiannya jika bilangan itu tidak habis dibagi. h. Bilangan habis dibagi 19 Bilangan habis dibagi 19 jika FPB dari bilangan itu dengan 19 adalah 19 maka bilangan itu habis dibagi 19, atau bisa menggunakan cara pengurangan kelipatan 19 dengan bilangan itu. Contoh ; Apakah bilangan 10045 dan 2381 habis dibagi 19? Jika tidak berapa sisanya ? Jawab ; Disini kita menggunakan cara pada catatan poin 2 karena yang diminta dari soal selain menjawab habis dibagi atau tidak tetapi juga diminta untuk menjawab sisa pembagiannya, karena jika menggunakan cara
8 FPB tidak langsung mengetahui sisa pembagiannya. ο‚· 10045 =19000-10045 = 8955 = 9500 – 8955 = 545 = 570 – 545 = 25 = 38 – 25 = 13 ∀19 Maka bilangan 10045 tidak habis dibagi 19 dengan sisa pembagiannya 13 sesuai dengan cara pada catatan poin 2. i. Sisa pembagian Bilangan tidak habis dibagi 23. Sama seperti cara pada bilangan prima yang sebelumnya, sekarang bisa langsung diaplikasikan kepada contoh soal karena 23 merupakan bilangan prima. Contoh : Apakah 1578 habis dibagi 23 ?jika tidak berapa sisanya ? Jawab : 1. 1578 = 2300 – 1578 = 722 = 920 – 722 = 198 = 230 – 198 = 32 = 46 – 32 = 14 ∀ 23 Bilangan 1578 tidak habis dibagi 23 dengan sisa 14. j. Bilangan habis dibagi 29 56098 = 58000 – 56098 = 1902 = 2900 – 1902 = 998 = 1450 – 998 = 452 = 725 – 452 = 273 = 290 – 273 = 17 ∀ 29  29 – 17 = 12  56098 tidak habis dibagi 29 dengan sisa 12 k. Sisa pembagian Bilangan tidak habis dibagi 31. FPB(12345,31) = (12345, 31) = (6157, 31) = (3063, 31) = (3032, 31) = (1516, 31) = (758, 31) = (379, 31) = (174, 31)
9 = (87, 31) = (28,31) = (7, 31) = (7, 3) = (1,1) Maka 12345 tidak habis dibagi 31 karena FPB nya 1. Namun cara ini tidak menandakan sisa pembagian karena 31 merupakan bilangan prima. Untuk mengetahui sisa pembagiannya bisa menggunakan cara pada poin-poin pada catatan. Disini kita menggunakan cara pada poin 2. 12345 = 15500 – 12345 = 3155 = 7750 – 3155 = 4595 = 6200 – 4595 = 1605 = 3100 – 1605 = 1495 = 1550 – 1495 = 55 = 62 – 55 = 7 ∀ 31  Sisa pembagiannya 7 . l. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 37 Suatu bilangan habis dibagi 37 jika bilangan itu dipisahkan tiga digit tiga digit dari belakang kemudian jika jumlah dari bilangan yang telah dipecah tadi bernilai bilangan berulang kelipatan tiga digit maka bilangan tersebut habis dibagi 37 atau bisa menggunakan FPB dari bilangan itu dengan 37 jika FPB nya bilangan prima itu sendiri maka bilangan tersebut habis dibagi 37. Contoh 1 : Apakah 179825 habis dibagi 37 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya ? Jawab : 1798258 = 001 + 798 + 258 = 1057 = 001+057 = 58 ∀ 37  58≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 37)  58≑ 21 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 37)  Sehingga sisa pembagiannya 21. Contoh 2 : Apakah 2345 habis dibagi 37 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya ? 2345 = 002 + 345 = 347 = 3 + 4 +7
10 = 37 ∀ 14  14≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 37)  14≑ 14 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 37)  Sehingga 2345 tidak habis dibagi 37 dengan sisa pembagian 14. m. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 41 Contoh : 2341 = 4100 – 2341 = 1759 = 2050 – 1759 = 291 = 410 – 291 = 119 = 205 – 119 = 86 ∀ 41  86≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 41)  86≑ 4 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 41)  Karena 86 tidak habis dibagi 41 maka 2341 tidak habis dibagi 41 sehingga didapat sisa pembagiannya 4 n. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 43 Contoh : 546 = 860 – 546 = 314 = 430 – 314 = 116 = 215 – 116 = 43 ∀ 99  99≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 43)  99≑ 13 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 43)  43 – 13 = 30  Karena 99 tidak habis dibagi 43 maka 546 tidak habis dibagi 43 sehingga didapat sisa pembagiannya 30. Contoh 2 : 4352 = 4300 + 52  4300≑ 0 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 43)  52≑ 9( π‘šπ‘œπ‘‘ 43)  Sisa pembagiannya = 0 + 9 = 9  Karena 52 tidak habis dibagi 43 maka 4352 tidak habis dibagi 43 sehingga didapat sisa pembagiannya 9. o. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 47 Contoh : 234 = 470 – 234 = 236 = 235 – 236 = (-1) ∀ 47  -1 ≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 47)  βˆ’1 ≑ 46 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 47)  Karena (-1) tidak habis dibagi 47 maka 234 tidak habis dibagi 47
11 sehingga didapat sisa pembagiannya 46. Contoh 2: 546 = 940 – 546 = 394 = 470 – 394 = 76 ∀ 47  (76)≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 47)  (76)≑ 29 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 47)  Karena 76 tidak habis dibagi 47 maka 546 tidak habis dibagi 47 sehingga didapat sisa pembagiannya 29. Adapun cara lain untuk mengetahui sisa pembagian bilangan prima 19 yaitu menggunakan aturan aritmatika modulo. Langkah-langkahnya : 1. Jika terdiri dari dua angka, pisahkan satu angka dari kiri dan tambahkan dengan 2 kali angka dari kanan, kemudian jika hasinya kurang dari modulo dan genap maka hasilnya dibagi 2 setelah dibagi 2 maka hasilnya sama dengan sisa pembagiannya. Jika setelah penjumlahan tadi hasilnya ganjil maka bilangan itu di tambah modulo dikurangi ganjil dibagi 2 hasilnya sama dengan sisa pembagiannya. 2. Jika terdiri dari 3 angka atau lebih maka lakukan cara diatas dengan memisahkan dua angka dari kiri kemudian lanjutkan seperti cara diatas setelah mendapatkan sisa dari penguraiandua angka dari kiri maka sisanya dibuat sebagai puluhan dan satuannya yaitu angka setelah yang dipisahkan tadi. Lakukan langkah itu sampai angka terakhir bilangan yang akan dibagi. Contoh yang terdiri dari dua angka: Tentukan sisa pembagian dari 98 dibagi 19 ? Jawab: 98 = 9 + 2(8) = 25 25 ≑ 6 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena 6 adalah genap maka sisa pembagiannya 6 dibagi 2 yaitu 3. Contoh yang terdiri dari 3 angka : Tentukan sisa pembagian dari 978 dibagi 19 ? Jawab: Karena terdiri dari 3 angka maka ambil dua angka dari kiri dan cari sisanya, 97 = 9 + 2(7) = 23 23 ≑ 4 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19)
12 Karena angka 4 genap maka 4 dibagi 2 hasinya 2. Kemudian hasilnya dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 8. 28 = 2 + 2(8) = 18 18 ≑ 18 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena 18 genap maka 18 dibagi 2 hasilnya 9 dan 9 adalah sisa dari 978 dibagi 19. Contoh yang terdiri dari 6 angka : Tentukan sisa pembagian dari 178235 dibagi 19 ? Jawab : Seperti halnya pada contoh yang terdiri dari tiga angka maka pisahkan dua angka dari kiri, karena dalam soal diatas dua angka dari kiri adalah 17 dan 17 ≑ 17 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) maka ambil tiga angka dari kiri terlebih dahulu. 178 = 17 + 2(8) = 33 33 ≑ 14 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) 14 Diperoleh dari 33 dikurangi 19 atau bisa menggunakan cara seperti berikut, 33 = 3 + 2(3) = 9 9 ≑ 9 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena 9 ganjil maka modulo dikurangi 9 kemudian hasilnya di bagi 2 selanjutnya jumlahkan dengan 9. 19 – 9 = 10 = 10 2 = 5 9 + 5 = 14 Karena 14 genap maka 14 dibagi 2 hasilnya 7. Setelah diketahui sisanya 7 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 2. 72 = 7 + 2(2) = 11 11 ≑ 11 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena 11 ganjil maka, 19 – 11 = 8 = 8 2 = 4 11 + 4 = 15 Setelah diketahui sisanya 15 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 3. 153 = 15 + 2(3) = 21 21 ≑ 2 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena 2 genap maka, 2 2 = 1
13 Setelah diketahui sisanya 1 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 5. Dalam hal ini tidak perlu diuraikan kembali karena 15 masih anggota dari modulo. 15 ≑ 15 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena tidak ada lagi bilangan yang belum diuraikan maka sisa pembagiannya adalah hasil terakhir yaitu 15. Catatan : 1. untuk bilangan kelipatan yang digunakan untuk dikurangi bilangan awal jika kelipatannya mengikuti pendekatan kelipatan modulo dari digit depan pada bilangan awal maka sisa pengurangan merupakan sisa pembagian bilangan awal, 2. jika menggunakan pola pendekatan kelipatan modulo yang dibagi 2 dari setiap bilangan sisa, jika tidak habis dibagi 2 maka menggunakan kelipatan 13 itu sendiri tetapi tidak begitu mendekati bilangan awal maka untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu dengan mengurangkan modulo dengan sisa pengurangan bilangan awal. 3. Jika bilangan awal menggunakan kelipatan yang nmendekati sekali bilangan awal maka sisa pengurangannya merupakan sisa pembagian bilangan awal dengan prima. 4. Jika yang digunakan adalah perkalian atau penjumlahan maka hasil dari perkalian dan penjumlahan itu merupakan sisa pembagiannya. Manfaat dari moduler prima ini yaitu untuk mengetahui sisa pembagian untuk bilangan yang tidak habis dibagi bilangan prima tanpa harus menggunakan pembagian secara manual, yaitu dengan menggunakan metode pendekatan dari bilangan yang akan dibagi adapun untuk mengetahui bilangan yang habis dibagi atau tidak maka bisa menggunakan FPB jika FPB nya 1 maka bilangan itu tidak habis dibagi oleh bilangan prima.
14 DAFTAR PUSTAKA Anonim. [Online]. Tersedia: https://www.google.co.id/se arch?q=buku+disquisitiones +arithmeticae&newwindow =1. [26 juni 2015] Hakim, Arnaz Maliku. [Online]. Tersedia:https://zanragtg.wo rdpress.com. [19 juni 2015] Hoca, Senol. [Online]. Tersedia: https://m.youtube.com/watc h?v=KGOI_y9LUfA. [19 juni 2015] Nngermanto, Agus . [Online]. Tersedia: https://m.youtube.com/watc h?v=7hH0liKUDN0.[19 juni 2015] Sihabudin. [Online]. Tersedia: https://asimtot.wordpress.co m/2010/05/03/modulo-dan- kongruensi/.[20 juni2015]

Recommended

Order dari Elemen Grup
Order dari Elemen GrupOrder dari Elemen Grup
Order dari Elemen Grupwahyuhenky
Β 
Subgrup normal dan grup faktor
Subgrup normal dan grup faktorSubgrup normal dan grup faktor
Subgrup normal dan grup faktorSholiha Nurwulan
Β 
Teori graph
Teori graphTeori graph
Teori graphanis khoiriyah
Β 
Supremum dan infimum
Supremum dan infimum Supremum dan infimum
Supremum dan infimum Rossi Fauzi
Β 
Pengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IPengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IFerry Angriawan
Β 
Koset Suatu Grup
Koset Suatu GrupKoset Suatu Grup
Koset Suatu GrupSholiha Nurwulan
Β 
Grup siklik
Grup siklikGrup siklik
Grup siklikRahmawati Lestari
Β 
Semigrup dan monoid
Semigrup dan monoidSemigrup dan monoid
Semigrup dan monoidJhoko Jhoko
Β 

Recommended

Order dari Elemen Grup
Order dari Elemen GrupOrder dari Elemen Grup
Order dari Elemen Grupwahyuhenky
Β 
Subgrup normal dan grup faktor
Subgrup normal dan grup faktorSubgrup normal dan grup faktor
Subgrup normal dan grup faktorSholiha Nurwulan
Β 
Teori graph
Teori graphTeori graph
Teori graphanis khoiriyah
Β 
Supremum dan infimum
Supremum dan infimum Supremum dan infimum
Supremum dan infimum Rossi Fauzi
Β 
Pengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IPengantar analisis real_I
Pengantar analisis real_IFerry Angriawan
Β 
Koset Suatu Grup
Koset Suatu GrupKoset Suatu Grup
Koset Suatu GrupSholiha Nurwulan
Β 
Grup siklik
Grup siklikGrup siklik
Grup siklikRahmawati Lestari
Β 
Semigrup dan monoid
Semigrup dan monoidSemigrup dan monoid
Semigrup dan monoidJhoko Jhoko
Β 
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua VariabelSistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua VariabelEman Mendrofa
Β 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoYadi Pura
Β 
Regresi dan interpolasi
Regresi dan interpolasiRegresi dan interpolasi
Regresi dan interpolasiIsti Qomah
Β 
Graf 2
Graf 2Graf 2
Graf 2Tenia Wahyuningrum
Β 
Homomorfisma grup
Homomorfisma grupHomomorfisma grup
Homomorfisma grupYadi Pura
Β 
Analisis real
Analisis realAnalisis real
Analisis realGigyh Ardians
Β 
Silabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitiga
Silabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitigaSilabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitiga
Silabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitigaAyu Febriyanti
Β 
Modul 5 residu kuadratis
Modul 5 residu kuadratisModul 5 residu kuadratis
Modul 5 residu kuadratisAcika Karunila
Β 
Operasi biner
Operasi binerOperasi biner
Operasi binerSafran Nasoha
Β 
Analisis kompleks
Analisis kompleksAnalisis kompleks
Analisis kompleksUHN
Β 
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDAAYANAH SEPTIANITA
Β 
8.primaldan dual
8.primaldan dual8.primaldan dual
8.primaldan dualBanjar Ayu
Β 
Pertemuan 11 pengali lagrange
Pertemuan 11 pengali lagrangePertemuan 11 pengali lagrange
Pertemuan 11 pengali lagrangeSenat Mahasiswa STIS
Β 
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajibFungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajibAny Herawati
Β 
Grup siklik
Grup siklikGrup siklik
Grup siklikRahmawati Lestari
Β 
Sebaran peluang-bersama
Sebaran peluang-bersamaSebaran peluang-bersama
Sebaran peluang-bersamaWelly Dian Astika
Β 
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997HabibisSaleh1
Β 
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
Β 
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)Kelinci Coklat
Β 
Teori Group
Teori GroupTeori Group
Teori GroupMuhammad Alfiansyah Alfi
Β 
Matematika bse kelas 4 suparti
Matematika bse kelas 4 supartiMatematika bse kelas 4 suparti
Matematika bse kelas 4 supartiAbdul Latip
Β 
Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3
Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3
Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3said zulhelmi
Β 

More Related Content

What's hot

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua VariabelSistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua VariabelEman Mendrofa
Β 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoYadi Pura
Β 
Regresi dan interpolasi
Regresi dan interpolasiRegresi dan interpolasi
Regresi dan interpolasiIsti Qomah
Β 
Homomorfisma grup
Homomorfisma grupHomomorfisma grup
Homomorfisma grupYadi Pura
Β 
Silabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitiga
Silabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitigaSilabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitiga
Silabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitigaAyu Febriyanti
Β 
Modul 5 residu kuadratis
Modul 5 residu kuadratisModul 5 residu kuadratis
Modul 5 residu kuadratisAcika Karunila
Β 
Analisis kompleks
Analisis kompleksAnalisis kompleks
Analisis kompleksUHN
Β 
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDAAYANAH SEPTIANITA
Β 
8.primaldan dual
8.primaldan dual8.primaldan dual
8.primaldan dualBanjar Ayu
Β 
Pertemuan 11 pengali lagrange
Pertemuan 11 pengali lagrangePertemuan 11 pengali lagrange
Pertemuan 11 pengali lagrangeSenat Mahasiswa STIS
Β 
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajibFungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajibAny Herawati
Β 
Sebaran peluang-bersama
Sebaran peluang-bersamaSebaran peluang-bersama
Sebaran peluang-bersamaWelly Dian Astika
Β 
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997HabibisSaleh1
Β 
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMTrukmono budi utomo
Β 
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)Kelinci Coklat
Β 

What's hot (20)

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua VariabelSistem Persamaan Linear Dua Variabel
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Β 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup fakto
Β 
Regresi dan interpolasi
Regresi dan interpolasiRegresi dan interpolasi
Regresi dan interpolasi
Β 
Graf 2
Graf 2Graf 2
Graf 2
Β 
Homomorfisma grup
Homomorfisma grupHomomorfisma grup
Homomorfisma grup
Β 
Analisis real
Analisis realAnalisis real
Analisis real
Β 
Silabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitiga
Silabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitigaSilabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitiga
Silabus mat 7_smp_segiempat_dan_segitiga
Β 
Modul 5 residu kuadratis
Modul 5 residu kuadratisModul 5 residu kuadratis
Modul 5 residu kuadratis
Β 
Operasi biner
Operasi binerOperasi biner
Operasi biner
Β 
Analisis kompleks
Analisis kompleksAnalisis kompleks
Analisis kompleks
Β 
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA
4. MAKALAH GRUPOIDA,SEMIGRUP DAN MONOIDA
Β 
8.primaldan dual
8.primaldan dual8.primaldan dual
8.primaldan dual
Β 
Pertemuan 11 pengali lagrange
Pertemuan 11 pengali lagrangePertemuan 11 pengali lagrange
Pertemuan 11 pengali lagrange
Β 
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajibFungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
Fungsi komposisi dan fungsi invers xi mat wajib
Β 
Grup siklik
Grup siklikGrup siklik
Grup siklik
Β 
Sebaran peluang-bersama
Sebaran peluang-bersamaSebaran peluang-bersama
Sebaran peluang-bersama
Β 
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Soal dan pembahasan operasi biner dan teori grup dasar - mathcyber1997
Β 
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMTTugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Tugas Metode Numerik Golden ratio Pendidikan Matematika UMT
Β 
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Integral Permukaan (Kalkulus Peubah Banyak)
Β 
Teori Group
Teori GroupTeori Group
Teori Group
Β 

Viewers also liked

Matematika bse kelas 4 suparti
Matematika bse kelas 4 supartiMatematika bse kelas 4 suparti
Matematika bse kelas 4 supartiAbdul Latip
Β 
Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3
Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3
Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3said zulhelmi
Β 
Jawaban latihan soal STRUKTUR DATA
Jawaban latihan soal STRUKTUR DATAJawaban latihan soal STRUKTUR DATA
Jawaban latihan soal STRUKTUR DATABina Sarana Informatika
Β 
Jawaban Struktur data soal-latihan
Jawaban Struktur data soal-latihanJawaban Struktur data soal-latihan
Jawaban Struktur data soal-latihanBina Sarana Informatika
Β 
SD-MI kelas04 ayo belajar matematika burhan ary
SD-MI kelas04 ayo belajar matematika burhan arySD-MI kelas04 ayo belajar matematika burhan ary
SD-MI kelas04 ayo belajar matematika burhan arysekolah maya
Β 

Viewers also liked (6)

Matematika bse kelas 4 suparti
Matematika bse kelas 4 supartiMatematika bse kelas 4 suparti
Matematika bse kelas 4 suparti
Β 
Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3
Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3
Array Dimensi banyak struktur data pertemuan ke 3
Β 
Jawaban latihan soal STRUKTUR DATA
Jawaban latihan soal STRUKTUR DATAJawaban latihan soal STRUKTUR DATA
Jawaban latihan soal STRUKTUR DATA
Β 
Jawaban Struktur data soal-latihan
Jawaban Struktur data soal-latihanJawaban Struktur data soal-latihan
Jawaban Struktur data soal-latihan
Β 
Kls 5 matematika
Kls 5 matematikaKls 5 matematika
Kls 5 matematika
Β 
SD-MI kelas04 ayo belajar matematika burhan ary
SD-MI kelas04 ayo belajar matematika burhan arySD-MI kelas04 ayo belajar matematika burhan ary
SD-MI kelas04 ayo belajar matematika burhan ary
Β 

Similar to Moduler prima

Modul dan Resume Keterbagian dan Algoritma Pembagian.pdf
Modul dan Resume Keterbagian dan Algoritma Pembagian.pdfModul dan Resume Keterbagian dan Algoritma Pembagian.pdf
Modul dan Resume Keterbagian dan Algoritma Pembagian.pdferbisyaputra
Β 
Ciri bilangan terbagi habis
Ciri bilangan terbagi habisCiri bilangan terbagi habis
Ciri bilangan terbagi habisArumingParasdya
Β 
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN.pptx
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN.pptxSinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN.pptx
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN.pptxAndiFauziah11
Β 
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN BULAT.pptx
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN BULAT.pptxSinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN BULAT.pptx
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN BULAT.pptxSiskaHidayati1
Β 
trik-tirk menyelesaikan persoalan perkalian dan akar pangkat
trik-tirk menyelesaikan persoalan perkalian dan akar pangkat trik-tirk menyelesaikan persoalan perkalian dan akar pangkat
trik-tirk menyelesaikan persoalan perkalian dan akar pangkatErik Kuswanto
Β 
Bab 2 Operasi Hitung Pecahan.pptx oleh Etitawarni Situmorang
Bab 2 Operasi Hitung Pecahan.pptx oleh Etitawarni SitumorangBab 2 Operasi Hitung Pecahan.pptx oleh Etitawarni Situmorang
Bab 2 Operasi Hitung Pecahan.pptx oleh Etitawarni SitumorangEtitawarniSitumorang1
Β 
BAB 1 BILANGAN BULAT_fix.pptx
BAB 1 BILANGAN BULAT_fix.pptxBAB 1 BILANGAN BULAT_fix.pptx
BAB 1 BILANGAN BULAT_fix.pptxsurya974507
Β 
matematik tingkatan 1 (nota 1)
matematik tingkatan 1 (nota 1)matematik tingkatan 1 (nota 1)
matematik tingkatan 1 (nota 1)Munira Abdullah
Β 
Operasi hitung pada bilangan bulat
Operasi hitung pada bilangan bulatOperasi hitung pada bilangan bulat
Operasi hitung pada bilangan bulatfauziahadni
Β 
Bilangan cacah
Bilangan cacahBilangan cacah
Bilangan cacahMoch Isa
Β 
Konsep bilangan, dan lambang bilangan,
Konsep bilangan, dan lambang bilangan,Konsep bilangan, dan lambang bilangan,
Konsep bilangan, dan lambang bilangan,eka noviana
Β 
program buku selesai.pptx
program buku selesai.pptxprogram buku selesai.pptx
program buku selesai.pptxRisqiKhansa1
Β 
Pengenalan dan operasi bilangan bulat
Pengenalan dan operasi bilangan bulatPengenalan dan operasi bilangan bulat
Pengenalan dan operasi bilangan bulatRahmat Hidayat
Β 
PPT Matematika Bilangan Cacah kelompok 4 universitas terbuka palembang
PPT Matematika Bilangan Cacah kelompok 4 universitas terbuka palembangPPT Matematika Bilangan Cacah kelompok 4 universitas terbuka palembang
PPT Matematika Bilangan Cacah kelompok 4 universitas terbuka palembangSDN7BA3
Β 
Mtk. kls 7_bab_1._bilangan_bulat_1
Mtk. kls 7_bab_1._bilangan_bulat_1Mtk. kls 7_bab_1._bilangan_bulat_1
Mtk. kls 7_bab_1._bilangan_bulat_1Iman Lukman
Β 
Noer Materi Bilangan
Noer Materi BilanganNoer Materi Bilangan
Noer Materi Bilangannurmalia17
Β 
BAB 2 BILANGAN RASIONAL.pptx
BAB 2 BILANGAN RASIONAL.pptxBAB 2 BILANGAN RASIONAL.pptx
BAB 2 BILANGAN RASIONAL.pptxJejeJuhaeni
Β 

Similar to Moduler prima (20)

Modul dan Resume Keterbagian dan Algoritma Pembagian.pdf
Modul dan Resume Keterbagian dan Algoritma Pembagian.pdfModul dan Resume Keterbagian dan Algoritma Pembagian.pdf
Modul dan Resume Keterbagian dan Algoritma Pembagian.pdf
Β 
Ciri bilangan terbagi habis
Ciri bilangan terbagi habisCiri bilangan terbagi habis
Ciri bilangan terbagi habis
Β 
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN.pptx
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN.pptxSinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN.pptx
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN.pptx
Β 
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN BULAT.pptx
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN BULAT.pptxSinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN BULAT.pptx
Sinau-Thewe.com BAB 1 BILANGAN BULAT.pptx
Β 
trik-tirk menyelesaikan persoalan perkalian dan akar pangkat
trik-tirk menyelesaikan persoalan perkalian dan akar pangkat trik-tirk menyelesaikan persoalan perkalian dan akar pangkat
trik-tirk menyelesaikan persoalan perkalian dan akar pangkat
Β 
Bilangan bulat
Bilangan bulatBilangan bulat
Bilangan bulat
Β 
Bab 2 Operasi Hitung Pecahan.pptx oleh Etitawarni Situmorang
Bab 2 Operasi Hitung Pecahan.pptx oleh Etitawarni SitumorangBab 2 Operasi Hitung Pecahan.pptx oleh Etitawarni Situmorang
Bab 2 Operasi Hitung Pecahan.pptx oleh Etitawarni Situmorang
Β 
BAB 1 BILANGAN BULAT_fix.pptx
BAB 1 BILANGAN BULAT_fix.pptxBAB 1 BILANGAN BULAT_fix.pptx
BAB 1 BILANGAN BULAT_fix.pptx
Β 
matematik tingkatan 1 (nota 1)
matematik tingkatan 1 (nota 1)matematik tingkatan 1 (nota 1)
matematik tingkatan 1 (nota 1)
Β 
Operasi hitung pada bilangan bulat
Operasi hitung pada bilangan bulatOperasi hitung pada bilangan bulat
Operasi hitung pada bilangan bulat
Β 
Bilangan cacah
Bilangan cacahBilangan cacah
Bilangan cacah
Β 
Konsep bilangan, dan lambang bilangan,
Konsep bilangan, dan lambang bilangan,Konsep bilangan, dan lambang bilangan,
Konsep bilangan, dan lambang bilangan,
Β 
program buku selesai.pptx
program buku selesai.pptxprogram buku selesai.pptx
program buku selesai.pptx
Β 
Pengenalan dan operasi bilangan bulat
Pengenalan dan operasi bilangan bulatPengenalan dan operasi bilangan bulat
Pengenalan dan operasi bilangan bulat
Β 
Materi mtk
Materi mtkMateri mtk
Materi mtk
Β 
PPT Matematika Bilangan Cacah kelompok 4 universitas terbuka palembang
PPT Matematika Bilangan Cacah kelompok 4 universitas terbuka palembangPPT Matematika Bilangan Cacah kelompok 4 universitas terbuka palembang
PPT Matematika Bilangan Cacah kelompok 4 universitas terbuka palembang
Β 
Mtk. kls 7_bab_1._bilangan_bulat_1
Mtk. kls 7_bab_1._bilangan_bulat_1Mtk. kls 7_bab_1._bilangan_bulat_1
Mtk. kls 7_bab_1._bilangan_bulat_1
Β 
Noer Materi Bilangan
Noer Materi BilanganNoer Materi Bilangan
Noer Materi Bilangan
Β 
BAB 2 BILANGAN RASIONAL.pptx
BAB 2 BILANGAN RASIONAL.pptxBAB 2 BILANGAN RASIONAL.pptx
BAB 2 BILANGAN RASIONAL.pptx
Β 
R5 b kel 1
R5 b kel 1R5 b kel 1
R5 b kel 1
Β 

Moduler prima

  • 1. Moduler Prima Kurang Dari 50 Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan Dosen Pembimbing Eko Yulianto, M.pd Oleh, Dini Indriani 142151234 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SILIWANGI 2015
  • 2. 2 MODULER PRIMA Dalam mata kuliah Teori Bilangan kita pasti mengenal istilah aritmatika moduler, bahkan istilah itu sudah tidak asing lagi khususnya bagi mahasiswa pendidikan matematika pada semester kedua, karena disetiap pembahasan materinya kata moduler selalu diikut sertakan dalam menyelesaikan permasalahan disetiap bab nya. Untuk itu marilah kita bahas apa itu aritmatika moduler dan bagaimana menyelesaikan persoalan yang berhubungan dengan aritmatika moduler. Aritmatika moduler (kadang juga disebut aritmatika jam) adalah sistem aritmatika untuk bilangan bulat dimana kedua bilangan bulat dioperasikan sampai mencapai nilai tertentu, yaitu modulus (sisa) atau juga merupakan bilangan sisa dari suatu pembagian bilangan bulat. Aritmetika modulo diperkenalkan pertama kali oleh Carl Friedrich Gaus dalam bukunya β€œDisquistiones Arithmaticae” yang dipublikasikan pada tahun 1801. Gambar 1. Carl Friedrich Gaus Gambar 2. Cover Buku Disquistiones Arithmaticae Dalam hal ini aritmatika akan diikut sertakan untuk menemukan sisa pembagian dari bilangan yang
  • 3. 3 tidak habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang kurang dari 50, Karena jika hanya berfokus pada ciri-ciri bilangan yang habis dibagi oleh bilangan prima maka ketika kita mengetahui ciri-cirinya, kita hanya akan mendapatkan jawaban iya atau tidak. Lantas bagaimana jika diperjalanan kita menemukan bilangan yang tidak habis dibagi oleh bilangan prima, berdasarkan ciri-ciri tadi kita hanya bisa mendapatkan jawaban tidak tanpa kita tahu berapa sisa pembagiannya. Namun sebelum itu akan dibahas terlebih dahulu ciri- ciri bilangan yang habis dibagi oleh bilangan prima kurang dari 50. a. Bilangan habis dibagi 2 Semua bilangan habis dibagi dua jika bilangan yang diwakili oleh angka terakhirnya genap. Bukti: misalkan bilangan tersebut adalah π‘Žπ‘ = π‘Ž(10)+ 𝑏 π‘Ž(10) β„Žπ‘Žπ‘π‘–π‘  π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– 2. Supaya π‘Žπ‘ habis dibagi 2, maka haruslah b habis dibagi 2. Contoh 1 : Apakah bilangan 567 habis dibagi 2 ? jika tidak berapakah sisa pembagiannya ? Jawab : 567 tidak habis dibagi 2 karena bilangan yang diwakili angka terakhirnya ganjil. Untuk mengetahui sisa pembagiannya maka disinilah saatnya menggunakan aritmatika moduler. Karena pembaginya 2 maka 2 merupakan modulo, oleh karena itu untuk sisa pembagiannya antara 0 dan 1. Sehingga kita bisa membuat hubungan seperti ini : ο‚· 567 ∢ 2 = 600 βˆ’ 567 = 37 = 40 – 37 = 2 ∀ 3 ο‚· 3 ≑ π‘₯ (π‘šπ‘œπ‘‘ 2) 3 ≑ 1(π‘šπ‘œπ‘‘ 2)  Maka sisa pembagian dari 567 : 2 adalah 1 atau bisa ditulis dalam bentuk 567≑ 1( π‘šπ‘œπ‘‘ 2) Ada keistimewaan tersendiri dari bilangan yang tidak habis dibagi dua karena untuk mencari sisa pembagianya tidak perlu menggunakan cara diatas karena sudah pasti sisa pembagiannya 1, karena angka yang diwakili oleh angka terakhirnya ganjil.
  • 4. 4 sedangkan 0 hanya digunakan untuk bilangan yang habis dibagi 2 yaitu dengan ciri angka yang diwakili oleh angka terakhirnya genap. b. Bilangan habis dibagi 3 Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angkanya habis dibagi 3. Contoh 1: Apakah bilangan 3456 habis dibagi 3? jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab : 3456 = 3+4+5+6 =3|18 Ternyata 18 habis dibagi 3 maka 3456 habis dibagi 3. sehingga sisa pembagiannya 0. Contoh 2: Apakah 1234 habis dibagi 3? Jika tidak berapa sisa pembagiannya ? Jawab: 1234 = 1+2+3+4 = 10 ∀ 3 Untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu menggunakan aritmatika moduler, dengan 3 sebagai modulernya karena beperan sebagai pembagi, sehingga dibuat hubungan seperti berikut : 10≑ π‘₯ (π‘šπ‘œπ‘‘ 3) 10≑ 1(π‘šπ‘œπ‘‘ 3)  Untuk sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 3, sama dengan sisa pembagian jumlah digit angka bilangan awal.  Maka sisa pembagian dari 1234 : 3 sama dengan sisa pembagian 10 : 3 adalah 1 atau bisa di tulis dalam bentuk 1234 ≑ 1(π‘šπ‘œπ‘‘ 3) atau 10 ≑ 1(π‘šπ‘œπ‘‘ 3) Contoh 3: Apakah 56789 habis dibagi 3? Jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab: 56789 = 5+6+7+8+9 = 35 ∀ 3 Untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu menggunakan aritmatika moduler, dengan 3 sebagai modulernya karena beperan
  • 5. 5 sebagai pembagi, sehingga dibuat hubungan seperti berikut : 35≑ π‘₯ (π‘šπ‘œπ‘‘ 3) 35≑ 2 (π‘šπ‘œπ‘‘ 3)  56789 tidak habis dibagi 3 dengan sisa pembagian 2. c. Bilangan habis dibagi 5 Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka paling kanan dari bilangan tersebut adalah 5 atau 0. Contoh 1: Apakah 12345 dan 123567 habis dibagi 5 ? jika tidak tentukan sisa pembagiannya? Jawab: ο‚· 12345 habis dibagi 5 karena angka paling kanan nya adalah 5 sesuai dengan ciri bilangan habis dibagi 5. ο‚· 1234567 tidak habis dibagi 5 karena angka terakhirnya bukan 0 maupun 5. Adapun untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu ada 2 cara untuk bilangan yang tidak habis dibagi 5, yaitu : 1. Jika angka terakhirnya 0 < π‘₯ < 5 maka sisa pembagiannya yaitu angka terakhir itu sendiri. 2. Jika angka terakhirnya lebih dari 5 maka sisa pembagiannya yaitu angka terakhir dikurangi 5. d. Bilangan habis dibagi 7 Bilangan habis dibagi 7 jika bilangan kelipatan 7 mendekati angka awal tetapi lebih dari angka awal kemudian dikurangi angka awal, jika hasilnya habis membagi 7 maka bilangan awal habis dibagi 7. Contoh 1 : Apakah 100 dan 123 habis dibagi 7 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab: ο‚· 100 : 7 = 140 – 100 = 40 = 70 – 40 = 30 = 35 – 30 = 5  5≑ π‘₯ (π‘šπ‘œπ‘‘ 7) 5≑ 5 (π‘šπ‘œπ‘‘ 7)  7 – 5 = 2  Sisa dari (100 : 7) yaitu 2 atau bisa ditulis sebagai 100 ≑ 2 (π‘šπ‘œπ‘‘ 7) ο‚· 123 : 7 = 70 + 35 + 18  70 ≑ 0 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 7)
  • 6. 6  35 ≑ 0 (π‘šπ‘œπ‘‘ 7)  18 = 4 (mod 7)  Sisa nya, 0+0+4 = 4  Sisa pembagian dari 123:7 yaitu 4 atau bisa ditulis , 123 ≑ 4 (π‘šπ‘œπ‘‘ 7) e. Bilangan habis dibagi 11 Suatu bilangan habis dibagi 11 jika pada bilangan tersebut jumlah bilangan yang diwakili oleh angka pada tempat ganjil (dihitung dari sebelah kanan) dikurangi dengan jumlah bilangan yang diwakili oleh angka-angka pada tempat genap habis dibagi 11. 12345678=(8+6+4+2)-(7+5+3+1) = 20 – 16 = 4 ∀11  4≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 11) 4≑ 4 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 11)  Ternyata 12345678 tidak habis dibagi 11 dengan sisa pembagian 4 atau bisa ditulis 12345678≑ 4 (π‘šπ‘œπ‘‘ 11). f. Bilangan habis dibagi 13 Bilangan habis dibagi 13 jika bilangan kelipatan 13 mendekati angka awal tetapi lebih dari angka awal kemudian dikurangi angka awal, jika hasilnya habis membagi 13 maka bilangan awal habis dibagi 13. Contoh 1: Apakah 2613, 100003, 655 habis dibagi 13 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya ? Jawab : ο‚· 2613 : 13 = 2600 + 13 -2613 = 0 habis dibagi 13  Sehingga 2613 habis dibagi 13 ο‚· 100003 = 500 Γ— 200 + 3  500 ≑ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  500 = 25 Γ— 2 = 12 Γ— 2 = 24 ≑ 11 (π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  200≑ 11 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  200 = 40 Γ— 5 = 1 Γ— 5 = 5  Sisa = 11 Γ— 5 + 3 = 58  58 ≑ 7 (π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  100003 tidak habis dibagi 13 dengan sisa pembagian 7 atau bisa ditulis 100003≑ 7 (π‘šπ‘œπ‘‘ 13) ο‚· 655 = 650 + 13 – 655 = 8 ∀13  8≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  8≑ 8 (π‘šπ‘œπ‘‘ 13)  13 – 8 = 5  655 tidak habis dibagi 13 dengan sisa pembagian 5.
  • 7. 7 g. Bilangan habis dibagi 17 jika FPB dari bilangan itu dengan 17 adalah 17 maka bilangan itu habis dibagi 17, atau bisa menggunakan cara pengurangan kelipatan 17 dengan bilangan itu. Mencari FPB yang digunakan adalah menggunakan aturan Algoritma Stein, yaitu aturan ganjil genap. 1. Jika kedua bilangan ganjil, Misalkan( 𝑒, 𝑣) dengan 𝑒 > 𝑣 maka ( 𝑒, 𝑣) = ( π‘’βˆ’π‘£ 2 , 𝑣) 2. Kedua bilangan genap Misalkan ( 𝑒, 𝑣) = 2( 𝑒 2 , 𝑣 2 ) 3. jika bilangan ganjil dan genap misalkan ( 𝑒, 𝑣) dengan u genap dan v ganjil maka,( 𝑒, 𝑣) = ( 𝑒 2 , 𝑣) Contoh : Apakah bilangan 357 habis dibagi 17? Jika tidak berapa sisa pembagiannya? Jawab : ο‚· Menggunakan cara dengan mencari FPB dari (357, 17) (357,17) = (357, 17) = (170, 17) = (85, 17) = (34, 17) = (17, 17 ) Ternyata FPB dari 357 dan 17 adalah 17 sehingga bilangan itu habis dibagi 17. Tetapi cara menggunakan FPB kurang efektif untuk bilangan prima karena tidak mengetahui sisa pembagiannya jika bilangan itu tidak habis dibagi. h. Bilangan habis dibagi 19 Bilangan habis dibagi 19 jika FPB dari bilangan itu dengan 19 adalah 19 maka bilangan itu habis dibagi 19, atau bisa menggunakan cara pengurangan kelipatan 19 dengan bilangan itu. Contoh ; Apakah bilangan 10045 dan 2381 habis dibagi 19? Jika tidak berapa sisanya ? Jawab ; Disini kita menggunakan cara pada catatan poin 2 karena yang diminta dari soal selain menjawab habis dibagi atau tidak tetapi juga diminta untuk menjawab sisa pembagiannya, karena jika menggunakan cara
  • 8. 8 FPB tidak langsung mengetahui sisa pembagiannya. ο‚· 10045 =19000-10045 = 8955 = 9500 – 8955 = 545 = 570 – 545 = 25 = 38 – 25 = 13 ∀19 Maka bilangan 10045 tidak habis dibagi 19 dengan sisa pembagiannya 13 sesuai dengan cara pada catatan poin 2. i. Sisa pembagian Bilangan tidak habis dibagi 23. Sama seperti cara pada bilangan prima yang sebelumnya, sekarang bisa langsung diaplikasikan kepada contoh soal karena 23 merupakan bilangan prima. Contoh : Apakah 1578 habis dibagi 23 ?jika tidak berapa sisanya ? Jawab : 1. 1578 = 2300 – 1578 = 722 = 920 – 722 = 198 = 230 – 198 = 32 = 46 – 32 = 14 ∀ 23 Bilangan 1578 tidak habis dibagi 23 dengan sisa 14. j. Bilangan habis dibagi 29 56098 = 58000 – 56098 = 1902 = 2900 – 1902 = 998 = 1450 – 998 = 452 = 725 – 452 = 273 = 290 – 273 = 17 ∀ 29  29 – 17 = 12  56098 tidak habis dibagi 29 dengan sisa 12 k. Sisa pembagian Bilangan tidak habis dibagi 31. FPB(12345,31) = (12345, 31) = (6157, 31) = (3063, 31) = (3032, 31) = (1516, 31) = (758, 31) = (379, 31) = (174, 31)
  • 9. 9 = (87, 31) = (28,31) = (7, 31) = (7, 3) = (1,1) Maka 12345 tidak habis dibagi 31 karena FPB nya 1. Namun cara ini tidak menandakan sisa pembagian karena 31 merupakan bilangan prima. Untuk mengetahui sisa pembagiannya bisa menggunakan cara pada poin-poin pada catatan. Disini kita menggunakan cara pada poin 2. 12345 = 15500 – 12345 = 3155 = 7750 – 3155 = 4595 = 6200 – 4595 = 1605 = 3100 – 1605 = 1495 = 1550 – 1495 = 55 = 62 – 55 = 7 ∀ 31  Sisa pembagiannya 7 . l. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 37 Suatu bilangan habis dibagi 37 jika bilangan itu dipisahkan tiga digit tiga digit dari belakang kemudian jika jumlah dari bilangan yang telah dipecah tadi bernilai bilangan berulang kelipatan tiga digit maka bilangan tersebut habis dibagi 37 atau bisa menggunakan FPB dari bilangan itu dengan 37 jika FPB nya bilangan prima itu sendiri maka bilangan tersebut habis dibagi 37. Contoh 1 : Apakah 179825 habis dibagi 37 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya ? Jawab : 1798258 = 001 + 798 + 258 = 1057 = 001+057 = 58 ∀ 37  58≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 37)  58≑ 21 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 37)  Sehingga sisa pembagiannya 21. Contoh 2 : Apakah 2345 habis dibagi 37 ? jika tidak berapa sisa pembagiannya ? 2345 = 002 + 345 = 347 = 3 + 4 +7
  • 10. 10 = 37 ∀ 14  14≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 37)  14≑ 14 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 37)  Sehingga 2345 tidak habis dibagi 37 dengan sisa pembagian 14. m. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 41 Contoh : 2341 = 4100 – 2341 = 1759 = 2050 – 1759 = 291 = 410 – 291 = 119 = 205 – 119 = 86 ∀ 41  86≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 41)  86≑ 4 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 41)  Karena 86 tidak habis dibagi 41 maka 2341 tidak habis dibagi 41 sehingga didapat sisa pembagiannya 4 n. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 43 Contoh : 546 = 860 – 546 = 314 = 430 – 314 = 116 = 215 – 116 = 43 ∀ 99  99≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 43)  99≑ 13 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 43)  43 – 13 = 30  Karena 99 tidak habis dibagi 43 maka 546 tidak habis dibagi 43 sehingga didapat sisa pembagiannya 30. Contoh 2 : 4352 = 4300 + 52  4300≑ 0 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 43)  52≑ 9( π‘šπ‘œπ‘‘ 43)  Sisa pembagiannya = 0 + 9 = 9  Karena 52 tidak habis dibagi 43 maka 4352 tidak habis dibagi 43 sehingga didapat sisa pembagiannya 9. o. Sisa pembagian dari bilangan yang tidak habis dibagi 47 Contoh : 234 = 470 – 234 = 236 = 235 – 236 = (-1) ∀ 47  -1 ≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 47)  βˆ’1 ≑ 46 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 47)  Karena (-1) tidak habis dibagi 47 maka 234 tidak habis dibagi 47
  • 11. 11 sehingga didapat sisa pembagiannya 46. Contoh 2: 546 = 940 – 546 = 394 = 470 – 394 = 76 ∀ 47  (76)≑ π‘₯ ( π‘šπ‘œπ‘‘ 47)  (76)≑ 29 ( π‘šπ‘œπ‘‘ 47)  Karena 76 tidak habis dibagi 47 maka 546 tidak habis dibagi 47 sehingga didapat sisa pembagiannya 29. Adapun cara lain untuk mengetahui sisa pembagian bilangan prima 19 yaitu menggunakan aturan aritmatika modulo. Langkah-langkahnya : 1. Jika terdiri dari dua angka, pisahkan satu angka dari kiri dan tambahkan dengan 2 kali angka dari kanan, kemudian jika hasinya kurang dari modulo dan genap maka hasilnya dibagi 2 setelah dibagi 2 maka hasilnya sama dengan sisa pembagiannya. Jika setelah penjumlahan tadi hasilnya ganjil maka bilangan itu di tambah modulo dikurangi ganjil dibagi 2 hasilnya sama dengan sisa pembagiannya. 2. Jika terdiri dari 3 angka atau lebih maka lakukan cara diatas dengan memisahkan dua angka dari kiri kemudian lanjutkan seperti cara diatas setelah mendapatkan sisa dari penguraiandua angka dari kiri maka sisanya dibuat sebagai puluhan dan satuannya yaitu angka setelah yang dipisahkan tadi. Lakukan langkah itu sampai angka terakhir bilangan yang akan dibagi. Contoh yang terdiri dari dua angka: Tentukan sisa pembagian dari 98 dibagi 19 ? Jawab: 98 = 9 + 2(8) = 25 25 ≑ 6 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena 6 adalah genap maka sisa pembagiannya 6 dibagi 2 yaitu 3. Contoh yang terdiri dari 3 angka : Tentukan sisa pembagian dari 978 dibagi 19 ? Jawab: Karena terdiri dari 3 angka maka ambil dua angka dari kiri dan cari sisanya, 97 = 9 + 2(7) = 23 23 ≑ 4 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19)
  • 12. 12 Karena angka 4 genap maka 4 dibagi 2 hasinya 2. Kemudian hasilnya dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 8. 28 = 2 + 2(8) = 18 18 ≑ 18 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena 18 genap maka 18 dibagi 2 hasilnya 9 dan 9 adalah sisa dari 978 dibagi 19. Contoh yang terdiri dari 6 angka : Tentukan sisa pembagian dari 178235 dibagi 19 ? Jawab : Seperti halnya pada contoh yang terdiri dari tiga angka maka pisahkan dua angka dari kiri, karena dalam soal diatas dua angka dari kiri adalah 17 dan 17 ≑ 17 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) maka ambil tiga angka dari kiri terlebih dahulu. 178 = 17 + 2(8) = 33 33 ≑ 14 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) 14 Diperoleh dari 33 dikurangi 19 atau bisa menggunakan cara seperti berikut, 33 = 3 + 2(3) = 9 9 ≑ 9 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena 9 ganjil maka modulo dikurangi 9 kemudian hasilnya di bagi 2 selanjutnya jumlahkan dengan 9. 19 – 9 = 10 = 10 2 = 5 9 + 5 = 14 Karena 14 genap maka 14 dibagi 2 hasilnya 7. Setelah diketahui sisanya 7 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 2. 72 = 7 + 2(2) = 11 11 ≑ 11 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena 11 ganjil maka, 19 – 11 = 8 = 8 2 = 4 11 + 4 = 15 Setelah diketahui sisanya 15 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 3. 153 = 15 + 2(3) = 21 21 ≑ 2 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena 2 genap maka, 2 2 = 1
  • 13. 13 Setelah diketahui sisanya 1 kemudian dibuat menjadi puluhan dan satuannya adalah angka yang belum diuraikan dari bilangan awal, dalam hal ini yaitu 5. Dalam hal ini tidak perlu diuraikan kembali karena 15 masih anggota dari modulo. 15 ≑ 15 (π‘šπ‘œπ‘‘ 19) Karena tidak ada lagi bilangan yang belum diuraikan maka sisa pembagiannya adalah hasil terakhir yaitu 15. Catatan : 1. untuk bilangan kelipatan yang digunakan untuk dikurangi bilangan awal jika kelipatannya mengikuti pendekatan kelipatan modulo dari digit depan pada bilangan awal maka sisa pengurangan merupakan sisa pembagian bilangan awal, 2. jika menggunakan pola pendekatan kelipatan modulo yang dibagi 2 dari setiap bilangan sisa, jika tidak habis dibagi 2 maka menggunakan kelipatan 13 itu sendiri tetapi tidak begitu mendekati bilangan awal maka untuk mengetahui sisa pembagiannya yaitu dengan mengurangkan modulo dengan sisa pengurangan bilangan awal. 3. Jika bilangan awal menggunakan kelipatan yang nmendekati sekali bilangan awal maka sisa pengurangannya merupakan sisa pembagian bilangan awal dengan prima. 4. Jika yang digunakan adalah perkalian atau penjumlahan maka hasil dari perkalian dan penjumlahan itu merupakan sisa pembagiannya. Manfaat dari moduler prima ini yaitu untuk mengetahui sisa pembagian untuk bilangan yang tidak habis dibagi bilangan prima tanpa harus menggunakan pembagian secara manual, yaitu dengan menggunakan metode pendekatan dari bilangan yang akan dibagi adapun untuk mengetahui bilangan yang habis dibagi atau tidak maka bisa menggunakan FPB jika FPB nya 1 maka bilangan itu tidak habis dibagi oleh bilangan prima.
  • 14. 14 DAFTAR PUSTAKA Anonim. [Online]. Tersedia: https://www.google.co.id/se arch?q=buku+disquisitiones +arithmeticae&newwindow =1. [26 juni 2015] Hakim, Arnaz Maliku. [Online]. Tersedia:https://zanragtg.wo rdpress.com. [19 juni 2015] Hoca, Senol. [Online]. Tersedia: https://m.youtube.com/watc h?v=KGOI_y9LUfA. [19 juni 2015] Nngermanto, Agus . [Online]. Tersedia: https://m.youtube.com/watc h?v=7hH0liKUDN0.[19 juni 2015] Sihabudin. [Online]. Tersedia: https://asimtot.wordpress.co m/2010/05/03/modulo-dan- kongruensi/.[20 juni2015]