Mô hình hóa các hệ ngẫu nhiên

1. MÔ HÌNH HOÁ VÀ MÔ PHỎNG
Chương 5
MÔ HÌNH HOÁ CÁC HỆ NGẪU NHIÊN
Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội - Khoa Điện - Bộ môn Tự động hoá

2. V.1. Khái niệm về Mô hình hoá hệ ngẫu nhiên
• Hệ thống ngẫu nhiên S
(Random System)
• Biến ngẫu nhiên (Random
variables)
• Mô hình xác suất
(Probability Modelling)
System
Environment
Random Inputs
(events, period,
environment’ effect…)
Output
Dáng điệu của hệ
Số lần thử N ?

3. V.2 Phân phối xác xuất của các biến ngẫu nhiên
Các đặc trưng quan trọng của biến ngẫu nhiên:
• Các thông số:
• Hàm mật độ xác suất:
• Kỳ vọng toán:
• Hàm phân phối xác suất:
• Phương sai:

4. V.3 Một số phân bố quan trọng
A. Phân phối liên tục (continuous distribution)
a) Phân phối đều (Uniform – U(a,b))
• Hàm mật độ xác suất: 1 if [ , ]
( )
( )
0 if [ , ]
x a b
b a
f x
x a b
 
 
 
 

• Hàm phân phối xác suất:
0 if [ , ]
(1- )
( ) if
( - )
1 if
x a b
x
F x x a
b a
x b
 


 


 

• Các thông số:
, ,
a b a b R
 
• Phương sai:
2
2 ( )
( )
12
b a
S x 

• Kỳ vọng toán:
( )
( )
2
a b
M x 


5. V.3 Một số phân bố quan trọng…
b) Phân phối đều (Uniform – U(0,1))
• Hàm mật độ xác suất:
1 if [0,1]
( )
0 if [0,1]
x
f x
x


 


• Hàm phân phối xác suất:
if [0,1]
( )
1 if > 1
x x
F x
x


 

• Phương sai:
2 1
( )
12
S x 
• Kỳ vọng toán:
1
( )
2
M x 
Phân phối đều U(0,1) dùng để tạo ra các đại lượng ngẫu nhiên khác có
phân phối mong muốn
( )
f x
x
1
1

6. V.3 Một số phân bố quan trọng…
c) Phân phối hàm mũ (expo(λ))
• Hàm mật độ xác suất:
-
1
if 0
( , )
0 if 0
x
e x
f x
x

 



 
 

• Hàm phân phối xác suất:
-
1- if 0
( )
0 if < 0
x
e x
F x
x


 
 


• Phương sai:
2 2
( )
S x 

• Kỳ vọng toán:
( )
M x 

Phân phối mũ thường được dùng để mô hình thời gian giữa các biến cố
xảy ra theo một tỷ lệ trung bình là hằng số.
• Các thông số:
0
 

7. V.3 Một số phân bố quan trọng…
d) Phân phối chuẩn N(μ,σ2)
• Hàm mật độ xác suất:
2
2
1 ( )
( , , ) exp( ) if
2
2
x
f x x R

 

 
 
  


• Hàm phân phối xác suất:
1 -
( ) 1+
2 2
x
F x erf


 
 
  
 
 
 
• Phương sai:
2 2
( )
S x 

• Kỳ vọng toán:
( )
M x 

Phân phối chuẩn hay là phân bố Gauss là một phân phối quan trọng, được
ứng dụng trong việc đánh giá các đại lượng ngẫu nhiên.
• Các thông số:
0; ( , )
 
   

8. V.3 Một số phân bố quan trọng…
e) Phân phối Cauchy-Lorentz
• Hàm mật độ xác suất:
 
0 2 2
0
1
( ; , )
f x x
x x


 
 
  
 
 
 
• Hàm phân phối xác suất:
0
0
-
1 1
( ; , ) arctan
2
x x
F x x 
 
 
 
 
 
• Phương sai:
undenfined
• Kỳ vọng toán:
undefined
Phân phối Cauchy được dùng trong nhiều ứng dụng, đặc biệt trong các ứng
dụng mô phỏng phân bố năng lượng cộng hưởng.
• Các thông số:
0 0, 0
x 
 

9. V.3 Một số phân bố quan trọng…
B. Phân phối gián đoạn (discrete distribution)
a) Phân phối Bernoulli
p(x)
x
p
1-p
0 1
• Hàm mật độ xác suất:
if 1
( , ) 1 if 0
0 otherwise
p x
p x p p x



  



• Hàm phân phối xác suất:
0 if 0
( ) 1-p if 0 1
1 if 1
x
F x x
x



  

 

• Phương sai:
2
( ) (1 )
S x p p
 
• Kỳ vọng toán:
( )
M x p

Phân phối Bernoulli được dùng để mô tả số ngẫu nhiên xảy ra với 2 khả
năng khác nhau và tạo ra các biến ngẫu nhiên gián đoạn.
• Các thông số:
 
0,1
p

10. V.3 Một số phân bố quan trọng…
b) Phân phối gián đoạn đều DU(i,j)
p(x)
i i+1 i+2 j-2 j-1 j
x
• Hàm mật độ xác suất:
1
if [ , ]
- 1
( , , )
0 otherwise
x i j
j i
p x i j




 


• Hàm phân phối xác suất:
0 if
+1
( ) if
- 1
1 if
x i
x i
F x i x j
j i
j x





  



 

• Phương sai:
 
2
2 +1 1
( )
12
j i
S x
 

• Kỳ vọng toán:
+
( )
2
i j
M x 
Phân phối gián đoạn đều được dùng để mô tả các số ngẫu nhiên xảy ra
gián đoạn như nhau trên khoảng từ i đến j.
• Các thông số:
, ;
i j Z i j
 
1/(j-i+1)

11. V.3 Một số phân bố quan trọng…
c) Phân phối Poisson (λ)
• Hàm mật độ xác suất: ( ; )
!
x
e
p x
x





• Hàm phân phối xác suất:
 
 
 
1 ,
( ; ) 0
!
x
F x for x
x


 
 
• Phương sai:
2
( )
S x 

• Kỳ vọng toán:
( )
M x 

Phân phối Poisson dùng để tính toán trung bình số lần 1 sự kiện xảy ra
thành công trong một khoảng thời gian nhất định.
• Các thông số:
 
0,
  

12. V.4. Số ngẫu nhiên phân phối đều U(0,1)
a) Tạo số ngẫu nhiên bằng máy phát ngẫu nhiên.
– Nguồn nhiễu u(t)
– Điện áp cắt Uc
– Thời gian lấy mẫu T[a,b]
u(t)
uc
a b
t1 t2 .....................tn
• Ưu điểm:
– Các số hoàn toàn ngẫu nhiên
– Có thể thu được dãy số không hạn chế
bằng cách thay đổi T[a,b] và/hoặc Uc
• Nhược điểm:
– Phải làm thêm mạch phát ngẫu nhiên
– Các dãy số là hoàn toàn khác nhau giữa các lần thử

13. V.4. Số ngẫu nhiên phân phối đều U(0,1)
b) Tạo số ngẫu nhiên bằng bảng. (Tham khảo bảng 5-2)
• Ưu điểm:
– Có thể lặp lại dãy số ngẫu nhiên nhiều lần
tùy ý cho n lần mô phỏng.
• Nhược điểm:
– Yêu cầu bộ nhớ lớn.

14. V.4. Số ngẫu nhiên phân phối đều U(0,1)
c) Tạo dẫy số giả ngẫu nhiên bằng thuật toán:
– Thuật toán lấy bình phương: xn+1 = (xn)2
– Thuật toán nhân: Zi+1 = λxi; xi+1 = ]Zi+1[; xi là số ngẫu nhiên phân
bố đều U(0,1).
• Ưu điểm:
– Có nhiều phương án thực hiện.
– Không dùng nhiều bộ nhớ
– Chỉ cần dùng 1 chương trình con.
• Nhược điểm:
– Chỉ là giả ngẫu nhiên.
– Chu kỳ “giả ngẫu nhiên” phải đủ lớn (1 - 5)106.

15. V.5. Số ngẫu nhiên có phân phối mong muốn
a) Thuật toán biến đổi nghịch đảo
b) Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân phối mũ
c) Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân phối đều U(a,b)
d) Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân phối N(µ,σ2)
e) Thuật toán tạo biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli

16. V.6. Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên
a) Các dòng sự kiện có phân bố exp(λ):
b) Các dòng sự kiện có phân bố Poisson
c) Xem thêm trong tài liệu.