Mr. Sc. Bardhyl Dauti BA. Finance – UEJL - Tetove MSc. Staffordshire University - Angli Bazat e Statistikes

Vrojtim i elementit te pare: KS, M, 35, Menaxher, 12, 50

Statistika Pershkruese. Metodat Tabelare dhe Grafike 2.1 Permbledhja e te dhenave cilesore. Shperndarja e dendurive. Te dhenat per tipin e makines per 50 makinat e blera ne vitin 94 Shperndarja e dendurive absolute H F F B T F B F F T H H B F F H F H H B S B H H B H T F F F T S S S F H T F T H S T B T S T S S B F Tipi i makines Nr i makinave (dendurive) Tojota 9 Ford 14 Shervolet 8 Honda 11 Benz 8 Gjithsejt 50

Shperndarja e dendurise relative Tipi I makines Denduria absolute Denduria relative (si pjese) Si perqindje Tojota 9 9/50= 0.18 18 (0.18 x 100) Ford 14 14/50 = 0.28 28(0.28 x 100) Shervolet 8 8/50 = 0.16 16(0.16 x 100) Honda 11 11/50= 0.22 22(0.22 x 100) Benz 8 8/50 = 0.16 16(0.16 x 100)

40% e revizioneve jane kerkuar nga 15 – 19 dite 2 4 6 8 10 12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 Shperndarja e dendurive relative per te dhenat e kohes se revizionit Koha e revizionit (ne dite) Dendurite relative (si perpjese) Dendurite relative (si perqindje) 10 – 14 4/20 = 0.20 20 15 – 19 8/20 = 0.40 40 20 – 24 5/20 = 0.25 25 25 – 29 2/20 = 0.10 10 30 – 34 1/20 = 0.05 5 Gjithsejt 1 100 Dendurite absolute 4 8 5 2 1 20

Shperndarja e dendurive te grumbulluara D <=24 – 10 – 14 = 4 15 – 19 = 8 20 – 24 = 5 4 + 5 + 8 = 17 njesi kane vlerat me te vogla ose te barabarte me 24 Ne 12 raste, koha e revizionit eshte plotesu ne jo me shume se 19 dite dhe 19 revizione u perfunduan ne jo me shume se 29 dite. 8 5% e rev. jane plotesu ne me pak se 24 dite Koha e revizionit ne dite Dendurite absolute Dendurite e grumbulluara Dendurite relative te grumbulluara 10 – 14 4 0+4=4 4/20=0.20x100=20 10 – 19 8 4+8=12 12/20=0,60x100=60 10 – 24 5 5+12=17 17/20=0,85x100=85 10 – 29 2 2+17=19 19/20=0,95x100=95 10 – 34 1 1+19=20 20/20=1x100=100 20 Shperndarja e dendurive te grumbulluara

Shperndarja e dendurive te grumbulluara ne rendin zbrites Shperndarja e dendurive te grumbulluara ne rendin zbrites Koha e revizionit ne dite Dendurite e grumbulluara Dendurite relative te grumbulluara 10 – 34 20 1 15 – 34 16 0.8 19 – 34 8 0.4 24 – 34 3 0.15 19 - 34 1 0.05

Vlerat mesatare te karakteristikes Mesi aritmetik, mesi gjeometrik, moda, mediana mesi aritmetik i karakteristikës X llogaritet sipas formulës Shembull 1 Mesi aritmetik I numrave 8,3,5,12 dhe 10 është Shembull 2 Një ekip sportiv ka tetë anëtarë, të moshave 18,19,20,21,24,26,27,29. Mosha mesatare do të jetë Shembull 3 Në qoftë se në 5 paralele të klasës së parë të shkollës së mesme janë regjistruar 30,33,32,31 përkatësisht 34 nxënës, atëherë mesi aritmetik i numrit të nxënësve në paralele është

Në rastin kur vlerat të karkateristikës paraqiten me frekuenca atëherë mesi aritmetik i karakteristikës është Shembull 4 . Të gjendet mesi aritmetik i numrave 5,5,5,8,8,6,6,6,6,2. Në qoftë se vlerat e karakteristikës janë dhënë në intervale, atëherë gjatë llogaritjes meren meset e intervaleve si vlera të karakterisikës Shembull 5. Populacioni përbëhet nga 40 nxënës të një klase. Karakteristike është gjatësia e trupit e dhënë në intervale të gjatësisë 5 cm. Shpërndarja e karakteristikës është e dhënë me tabelën vijuese x 5 8 6 2 fi 3 2 4 1 X 145-150 150-155 155-160 160-165 165-170 170-175 175-180 180-185 185-190 190-195 fi 1 0 1 4 8 10 6 4 4 2

MODA Ne pershkrimin e te dhenave, moda sherben si matje per tendencen qendrore Shembulli 1 Le të jenë dhënë: X1={1,1,2,2,3,4,4,4,5}; X2={1,3,5,8,10,12,15}; X3={1,2,2,3,4,5,5,6} dhe X4={2,3,4,4,4,5,5,7,7,7,9} Atëherë: Mo(X1)=4; Mo(X2)->nuk ekziston; Mo(X3)={2,5}; Mo(X4)={4.7}. Në qoftë se vlerat e karakteristikës janë dhënë në intervale atëherë vlera e modës llogaritet përmes formulës -> Kufiri i parë i intervalit të modes -> Gjerësia e intervalit të modes - Frekuenca e intervalit paraardhës të modës Frekuenca e intervalit të modës Frekuenca e intervalit pas modës

Shembulli 2 Në tabelën e mëposhtëme janë dhënë të dhënat mbi martesën e femrave në Kosovë gjatë vitit 1988 sipas moshës Në baze të formulës llogarisim modën Mosha e gruas Numri i grave të martuara Struktura në % 15-19 3500 24.49 20-24 7198 50.36 25-29 2777 19.43 30-34 570 3.99 35-39 172 1.20 40-44 77 0.53 Gjithsejt 14294 100.00

Mediana Madhesia e mostres menumer cift Rrenditja e numrave Madhesia e mostres me numer tek nese shohim rezultatet e testit te GMAT per 5 studente, mediana paraqet vleren e numrit te trete te renditur sipas rradhes Observimet e renditura 1 2 3 4 5

Shembuj Shembulli 1 Le të jenë

Shembull Shembulli 2. Posedimi I tokës së familjeve të një lokaliteti në kosovë është dhënë përmes tabelës së mëposhtëme Pra në rast të frekuencave të kumulativit caktohet edhe intervali i mesores i cili ne këtë rast është 2.50-3.00 sepse gjendet në komulativin 297 Gjysma e familjeve të analizuara kanë më pak tokë se 2.851 hektarë ndërsa gjysma tjetër kanë më tepër se vlera e medianës Madhësia e pronës për familje në hektar Numri i familjeve Frekuenca komulative 0.50-1.00 12 3 1.00-1.50 42 54 1.50-2.00 66 120 2.00-2.50 83 203 2.50-3.00 94 297 3.00-3.50 84 381 3.50-4.00 69 450 4.00-4.50 54 504 4.50-5.00 34 538 gjithsejt 538

Shembull Shembull 3 Realizimi i normës për punëtorë është dhënë përmes tabelës vijuese Pozicioni i mesores dhe i numrit cift caktohet në bazë të formulës Madhësia 100 tregon pozicionin e mesores në frekuencën komulative,e cila ndodhet në vlerën e numrit 133 të kumulativit,e që i përgjigjet intervalit për 90-95. Elementet e formulës janë Realizimi i normës në % Numri i punëtorëve(fi) Frekuenca komulative Deri 75 6 6 75-80 7 13 80-85 18 31 85-90 42 73 90-95 60 133 95-100 32 165 100-105 22 187 105-e mbi 12 199 gjithsejt 199

Mesi Harmonik mesi harmonik përkufizohet si vlerë reciproke e mesit aritmetik Shembull : Mesi Harmonik i numrave 2, 4 dhe 8 është Shembull : Koha e harxhuar e katër punëtorëve për prodhimin e secilit nga një njësi prodhimi Punëtorët Koha e harxhuar për njësi prodhimi ( në minuta ) I-rë 32 II-të 21.8 III-të 19.2 IV-të 16 Gjithsej 89

Mesi harmonik per te dhenat e grupuara Për të hulumtuar aftësinë konkuruese te firmave në treg, në vazhdim paraqiten të dhënat mbi punëtorët dhe kohën e harxhuar Ndërmarrjet Numri i punëtorëve Koha e harxhuar per njësi pr Sasia e prodhimit në njësi fi xi A 120 40 3 B 140 35 4 C 150 30 5 D 180 20 9 590 21

Detyre TD Paga mujore 1 20500 2 21500 3 22500 4 20800 5 19550 6 19100 7 20900 8 23300 9 21400 10 25250 11 21200 12 20800 Paga mujore 19100 19550 20500 20800 20800 20900 21200 21400 21500 22500 23300 25250

Perqindeshi – tregus qe lokalizon vlerat e nje bashkesie te dhenash, te cilet nuk kane patjeter nje vendndodhje qendrore Te gjejme vleren 85% per te dhenat e tabeles Kuartilet

Treguesit e variacionit Gjeresia e variacionit- V = Xmax – Xmin v = 25350 – 19100 = 6150 Intervali nderkuartilor – Rq = Q3 – Q1 Rq = 22000 – 20650 = 1350

Detyre Me te dhenat e meposhteme te trajtuar ne kapitullin 2, llogaritni dhe interpretoni nivelin mesatar te investimeve, moden, medianen, kuartilet, variancen dhe koeficientin e varia cionit. Investimet Nr i Firmave X F X *F (X-Xm) (x- xm)² (x- xm)² f 10-15 4 12,5 4 50 -13,8 190,44 761,76 15-20 11 17,5 15 192,5 -8,8 77,44 851,84 20-25 21 22,5 II. 36 472,5 -3,8 14,44 303,24 25-30 31 27,5 I. 67 852,5 1,2 1,44 44,64 30-35 14 32,5 III. 81 455 6,2 38,44 538,16 35-40 7 37,5 88 262,5 11,2 125,44 878,08 40-45 2 42,5 90 85 16,2 262,44 524,88 90 2370 3902.6

Per te llogaritur mesataren sherbehemi me formulen Per te llogaritur moden se pari gjejme intervalin me denduri me te larte, qe ne rastin tone eshte intervali 25 – 30. Moda llogaritet sipas formules

Per te llogaritur medianen ne fillim gjejme intervalin mediane, duke llogaritur fillimisht Pozicionin e medianes (intervalin qe pergjysmon numrin e vrojtimeve) n/2 = 90/2 = 45. Duke u bazuar te dendurite e grumbulluara rritese, gjejme qe intervali mediane eshte 25 – 30. Mediana llogaritet sipas formules Llogaritja e kuartalit te trete dhe te pare behet njelloj si llogaritja e mediane, por me Dallimin qe per llogaritjen e tyre nuk kemi ½ e dendurive por, perkatesisht ¾ dhe ¼ e Dendurive Per kuartalin e pare pozicioni eshte n/4=90/4=22,5 – 23. Me ndihmen e frekuencave te grumbulluara gjejme qe intervali i kuartalit te pare eshte ne intervalin 20 - 25

Ne te njejten menyre, per kuartalin e trete pozicioni eshte 3n/3 = 3*90/4=67,5 – 68. Me ndihmen e dendurive te grumbulluara rritese gjejme qe intervali qe permban kuartalin e trete eshte (30 – 35). Llogaritim kuartalin e trete sipas formules. Llogaritja e variances Koeficienti i variacionit

Indekset. Treguesit tjere ekonomik Indekset: Paraqesin raportin ne mes te dhenave te vecanta ose te grupuara Indekse sipas karakterit kerkimor ose sipas kritereve analitike 1. Indekse sipas llojit te treguesit a.sasior dhe b.cilesor 2. Indekse sipas numrit ose grupeve homogjene a. individuale dhe b. te pergjithshme 3. Indekse sipas formes se perllogaritjes a. agregateve b. mesatare 4. Indekse sipas bazes se krahasimi a. Indekse baze b. Indekse zinxhiror Ne forme te pergjithshme indekset ndahen ne a. indekse individual (te thjeshte) b. agregat (grupor) c. mesatar

Indekse individual Per ndertimin e indekseve nevojiten dy madhesi a. ajo qe meret si baze krahasimi (emeruesi i shprehjes) b. ajo qe krahasohet (numeruesi i shprehjes) Perdoren te shtimi i vellimit fizik te produkteve, shtimi i rendimentit te prodhimeve bujqesore, Nese ne vitin 2007 prodhimi i nje produkti te caktuar ishte 400 tone, dhe ne vitin 2008 ka arritur ne 500 tone, atehere indeksi eshte i = (500/400) = 1,25 x 100 = 125%. Shtimi vjetor i produktit te analizuar eshte 25% Formula e pergjithshme Indeksi paraqet raportin e cdo madhesie te serise ndaj madhesise paraprake qe i perket periudhes se caktuar kohore.

Shembull Indekset baze Viti 1 Indekset baze Viti 4 Vitet Shtimi i gjetheve ne ton Prodhimi i mishit te gjedh/ton Indekset zinxhiror Indekset baze 1975 = 100 1978=100 1981=100 Gjedh Mish Gjedh Mish Gjedh Mish Gjedh Mish 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1975 22,77 9,86 - 100 100 101,7 90,9 73,1 80,4 1976 24,44 9,06 107,03 91,9 107,3 91,9 109,2 83,6 78,4 73,9 1977 21,58 10,05 88,2 111,0 94,7 102,0 96,4 92,8 69,2 82,0 1978 22,38 10,84 103,7 107,8 98,3 109,9 100 100 71,8 88,4 1979 24,37 12,43 108,9 114,7 107,0 126,1 108,9 114,7 78,2 101,4 1980 26,19 11,16 107,4 89,8 115,0 113,2 117,0 103,0 84,0 91,1 1981 31,16 12,26 119,0 109,8 136,8 124,4 139,2 113,1 100 100,0 1982 32,56 13,05 104,5 106,5 143,0 132,4 145,5 120,5 104,5 106,5

Shnderimi. Transformimi i indekseve zinxhiror ne indekse baze 1975 = 100 1976 = 107,3 (si ne zinxhir) 1977 = (107,3 x 88,2)/100 = 94,6 1978 = (107,3 x 88,2 x 103,7)/100²=98,1 1979 = (107,3 x 88,2 x 103,7x108,9)/100³=106,9 1980 = (107,3 x 88,2 x 103,7x108,9x107,4)/ = 114,9 1981 = (107,3 x 88,2 x 103,7x108,9x107,4x119,0)/ = 136,6 1982 = (107,3 x 88,2 x 103,7x108,9x107,4x119,0x104,5)/ = 142,7 1975 = 100³/(103,7x88,2x107,3)=101,9 1976 = 100²/(103,7x88,2)/100 = 109,3 1977 = 100 / 103,7 = 96,4 1978 = 100 1979 = 108,9 (si ne zinxhir) 1980 = (108,9 x 107,4)/100 = 117,0 1981 = (108,9 x 107,4 x 119,0)/100² = 139,2 1982 = (108,9 x 107,4 x 119,0 x 104,5)/100³ = 145,4

Transformimi i indekseve baze ne indekse zinxhiror I – 1975 - (nuk llogaritet sepse mungon periudha paraprake) I – 1977 – (102,0/91,9) x 100 = 111,0 I – 1978 – (109,9/102,0)x100 = 107,7 I – 1979 – (126,1/109,9)x100 = 114,7 I – 1980 – (113,2:126,1)x100 = 89,8 I – 1981 – (124,4/113,2)x100 = 109,8 I – 1982 – (132,4:124,4)x 100= 106,5

Indekset e vellimit fizik Prodhimi i produkteve bujqesore ne ton Vitet Patate Groshe Qepe Domate 1 2 3 4 5 1985 52 080 13 350 14 270 13 790 1986 63 610 17 780 17 920 21 430 1987 58 730 9 420 14 420 20 630 1988 59 380 8 750 15 510 16 320 Vitet Patate Groshe Qepe Domate 1 2 3 4 5 1985 100,0 100,0 100,0 100,0 1986 122,1 133,2 125,6 155,4 1987 112,8 74,9 101,1 149,6 1988 114,0 65,5 108,7 118,3

Cmimet me pakice te produkteve bujqesore ne nje ton Vlera e produkteve bujqesore, ne miliarde Vitet Patate Groshe Qepe Domate 1 2 3 4 5 1985 64 000 248 000 54 000 72 000 1986 68 000 596 000 85 000 137 000 1987 222 000 829 000 562 000 308 000 1988 1 008 000 2 415 000 790 000 911 000 Vitet Patate Groshe Qepe Domate 1 2 3 4 5 1985 3 333.1 3 310.8 770.6 992.9 1986 4 071.0 4 409.4 967.7 1 543.0 1987 3 758.7 2 336.2 778.7 1 485.4 1988 3 800.3 2 170.0 837.5 1 175.0 Shuma 6 8 407.4 10 991.1 8 359.0 7 982.8

Indeksi agregat grupor i prodhimit te produkteve bujqesore ne vitin 1986 ne krahasim me vitin 1985 eshte: Prodhimi i kater produkteve ne teresi, i llogaritur ne baze te cmimeve te vitit 1985, ne vitin 1986 eshte per 30,7% me i larte se prodhimi i tyre ne vitin 1985 Ineksi agregat per periudhen e dyte vijuese (1987), i llogaritur ne baze te cmimeve te vitit baze (viti 1985) do te ishte. Prodhimi i produkteve bujqesore ne teresi per vitin 1987, llog aritur me cmimet baze te vitit 1985, ishte me i ulet se 0.6% se ai i vitit 1985 Indeksi agregat i periudhes se trete vijuese (1988), i llogaritur ne baze te cmimeve te periudh es baze 1985, eshte Indeksi agregat i periudhes se trete vijuese (1988), i llogaritur ne baze te cmimeve te periudh es baze 1985, eshte

Indekse vargore agregate Per periudhen e dyte indeksi vargor agregat eshte Per periudhen e trete indeksi vargor agregat eshte Ne vitin 1988, prodhimi i produkteve te analizuara bujqesore ishte me i ulet per 4,5% sesa vellimi i atyre produkteve ne vitin 1987. Prodhimi i produkteve te analizuara ne vitin 1987, ne krahasim me vitin paraprak, 1986 , ishte me i ulet per 23,9%

Indeksi i vleres cmimet dhe vleren e dukurise ne periudhen raportuese =V1, vleren dhe cmimet e periudhes baze me = V0

Realizimi i produkteve bujqesore dhe cmimet me pakice ne Kosove, gjate periudhes kohore 1985 - 1988 Nese cdo produkt shumezohet me cmimet adekuate te periudhes se caktuar nga tabela Paraprake, fitohen madhesi absolute qe paraqiten ne tabelen vijuese Produktet (mije ton) Produktet e Realizuara Cmimet ne kg 1985 1986 1987 1988 1985 1986 1987 1988 Qo Q1 Q2 Q3 P0 P1 P2 P3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Patate 52 64 59 60 64 68 222 1 008 Groshe 13 18 10 9 248 596 829 2 415 Qepe 14 18 15 16 54 85 562 790 Domate 14 20 21 6 72 137 308 911

Realizimi i produkteve bujqesore dhe cmimet me pakice ne Kosove, gjate periudhes kohore 1985 - 1988 Produktet (mije ton) Produktet e Realizuara 1985 1986 1987 1988 QoPo Q1P1 Q2P2 Q3P3 1 2 3 4 5 Patate 3 328 4 352 13 098 60 480 Groshe 3 224 10 728 8 290 21 735 Qepe 756 1 530 8 430 12 640 Domate 1 008 2 740 6 468 14 576 Gjithsejt 8 316 19 350 36 286 109 431

Indekset e vleres se produkteve jane Per patate Per groshe Per qepe Per domate

Indekset e Cmimeve Vlera e produkteve e llogaritur ne periudhen baze e llogartur me cmimet e periudhes raportuese Vlera e produkteve e llogaritur ne periudhen baze e llogartur me cmimet e periudhes baze