Matematika afariste-ligjerata-5-11

6,488 views

Published on

Published in: Education
0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
6,488
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
123
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matematika afariste-ligjerata-5-11

  1. 1. 5. NJEHSIMI I PERQINDJES DHE PROMILES 1. LLOGARITJET THEMELORE 1.1. Llogaritja e thjeshtë e përqindjes Llogaritja e përqindjes praktikohet në përvojën afariste për krahasimin eraporteve dhe ndryshimeve midis madhësive ekonomike. Fjala përqindje ka prejardhjenga fjala latine “pro” që do të thotë “për” dhe “centum”, që do thotë njëqind. 1 E qindtaështë numri i njësive nga 100. Zakonisht shkruhet: p(%) = 100 p (0.1.1)Raportet (proporcionet) themelore midis madhësive ekonomike për llogaritje të thjeshtëprej njëqind janë: S : 100 = P : p (1.2.2)S = madhësia themelore (numri) nga e cila përcaktohet p (%);P = pjesa e njëqindtë, përkatësisht numri i cili fitohet kur nga madhësia kryesore (enumrit) llogaritet përqindja;P = përqindja (%). Në bazë të këtyre raporteve themelore, përherë mund të llogaritet ciladomadhësi, kur dy të tjerat janë të njohura. Janë të mundshme tri raste:1. dihet pjesa e njëqindtë P dhe madhësia themelore S, kurse kërkohet përqindja p: p = 100 ⋅ P S (1.3.3)2. dihen madhësia themelore S dhe përqindja p, kurse kërkohet pjesa e njëqindtë P: p = S⋅p 100 (1.4.4)3. janë të njohura pjesa e njëqindtë P dhe përqindja p, ndërsa kërkohet madhësia S:1 Literatura e përdorur për këtë kaptinë: 28, 10, 11, 12, 4, (shiko: Literatura fq. ....... ???). Autorë të ndryshëmpërdorin simbole të ndryshme për madhësitë ekonomike, kryesisht nga literatura amerikane, pjesërisht tëvetat, kurse një pjesë nga autorë të tjerë, gjë që mund të hutojë shfrytëzuesit. Për këtë arsyepo përdorim simbolikën unike të B. Relić-it, Gospodarska matematika (Matematika ekonomike), RIF,Zagreb, 2002.
  2. 2. 2 Matematika Afariste Ligjerata p = 100 ⋅ P p (1.5.5)Shembulli 1.Sipërmarrësi e ka rritur prodhimin për 8% në raport me vitin e mëparshëm, kur ai ishte5200 copë produkti. Sa copë më tepër janë prodhuar në vitin vijues dhe sa ështëprodhimi gjithsej i këtij viti?Zgjidhja:S = 5200p = 8%P=? S⋅p 5200 ⋅ 8 41600P = →P= →P= → P = 416 100 100 100Në vitin vijues janë prodhuar 416 copë produktesh më shumë, kurse prodhimi gjithsej ikëtij viti është: 5200 + 416 = 5616 copë.Shembulli 2.Nga shitja e faturuar në shumë prej 500 000,00 eurosh, sipërmarrësi me kohë i kainkasuar 482000,00 euro. Sa për qind të shumës janë inkasuar dhe sa është shuma e painkasuar e sipërmarrësit e shprehur në përqindje?Zgjidhja:S = 500000,00P = 482000,00p=? 100 ⋅ P 100 ⋅ 482000 ,00 48200000 ,00p= →p= →p= → p = 96 ,4% S 500000 ,00 500000 ,00Sipërmarrësi me kohë i ka inkasuar 96,4% të borxhit, kurse pa inkasuar kanë mbetur3,6% të mjeteve.Shembulli 3.Nga prodhimi gjithsej prej 3000 tonelatash, 5% janë produkte që nuk i përgjigjenkualitetit standard. Sa është sasia e prodhimit standard?Zgjidhja:S = 3000 tona
  3. 3. Matematika Afariste Ligjerata 3p = 5%P=? S⋅p 3000 ⋅ 5 15000P = →P= →P= → P = 150 100 100 1003000 – 150 = 2850Me kualitet standard janë 2850 tonelata.Shembulli 4.Plani vjetor i prodhimit është realizuar 90%, që është 108 litra. Sa ishte plani iprodhimit dhe sa litra planifikohet të prodhohen në vitin e ardhshëm, nëse parashikohetrritje 12% në krahasim me planin e këtij viti?Zgjidhja:P = 108 litrap = 90%S=? 100 ⋅ P 100 ⋅108 10800S = →S = →S = → S = 120 p 90 90Plani i prodhimit për vitin vijues ishte 120 litra. Për të marrë përgjigje për atë se saplanifikohet të prodhohet vitin e ardhshëm, duhet të konstatojmë pjesën e njëqindtë tëP dhe të rritet për aq sa është planifikuar të prodhohet në këtë vit.S = 120p = 12%P=? S⋅p 120 ⋅ 12 1440P = →P = →P = → P = 14,40 + 120 = 134 ,40 100 100 100Për vitin e ardhshëm planifikohet të prodhohen 134,40 litra. 1.2. Llogaritja e përqindjes plus njëqind Llogaritja e përqindjes plus njëqind aplikohet kur dihet madhësia e rritur S përndonjë përqindje të P (pra S+P), dhe përqindja p, kurse duhet të llogaritet madhësiathemelore S ose pjesa e njëqindtë P. Raportet themelore (proporcionet) midis madhësiveekonomike për llogaritjen e të njëqindtës plus njëqind dalin nga:
  4. 4. 4 Matematika Afariste Ligjerata S + P = ( S + P) (1.6.6) S : 100 = ( S + P) : ( 100 + p) (1.7.7) Nga kjo përmasë mund të llogaritet madhësia themelore: ( S + P ) ⋅100 (1.8.8) = 100 + pdhe pjesa e njëqindtë: P = (S + P) – S (1.9.9) p = ( S + P ) : ( 100 + p ) (1.10.10)respektivisht: (S + P) ⋅ p (1.11.11) P= 100 + pdhe S = (S+P) – P (1.12.12)Shembulli 5.Pas rritjes së pagave për 15% bruto, pagat në fabrikë ishin 120000,00 kuna.Për sa kuna janë rritur pagat bruto?p = 15%S + P = 120000,00 kunaP=?P : p = (S+P) : (100+p) ( S + P ) ⋅ p 120000 ⋅15 1800000P = = = = 15652 .17 100 + p 100 +15 115Pagat bruto janë rritur për 15652,17 kuna.Shembulli 6.Çmimi i shitjes i prodhimit është 2.500,00 euro. Sa është çmimi kushtues, nëse dallimi nëçmim është 12%, sa është dallimi i çmimit?Zgjidhja:S + P = 2.500, 00 europ = 12%S= ?
  5. 5. Matematika Afariste Ligjerata 5 ( S + P ) ⋅100 2500 ,00 ⋅100 250000 S= = = = 2232 ,14 100 + p 100 +12 112 Çmimi i shitjes është 2.232,14 euro. Dallimi në çmim është diferenca midis çmimit të shitjes dhe çmimit kushtues: S - P =2500,00 - 2232,14 = 267,86 euro, kurse pjesa e njëqindtë është: S⋅p 2232 ,14 ⋅12 P= →P = = 267 ,86 100 100 Diferenca në çmim është 267,86 euro. 1.3. Llogaritje e të njëqindtës minus njëqind Llogaritja e të njëqindtës minus njëqind aplikohet kur është e njohur madhësia kryesore e zvogëluar S për aq sa është pjesa e përqindjes P. Në këtë rast është e njohur (S-P) dhe përqindja p, prandaj duhet të llogaritet madhësia S ose pjesa e përqindjes P. S :100 = (S – P) : (100 – P) (1.13.13) prej nga del: ( S − P ) ⋅100 S= 100 − p (1.14.14) dhe pjesa e përqindjes: P = S – (S – P) (1.15.15) Pjesa e përqindjes llogaritet nga përmasa (raporti) themelor: P : p = (S – P) : (100 – p) (1.16.16) prej nga del: (S − P) ⋅ p P= 100 − p (1.17.17) dhe madhësia kryesore: S = (S – P) + p (1.18.18)Shembulli 7.Çmimi i një kg materiali (stoku) është 300,00 euro dhe është 15% më e ulët se materialitjetër. Sa është çmimi i materialit të dytë, përkatësisht sa është materiali i parë më i lirë?Zgjidhja:S - P = 300 euro
  6. 6. 6 Matematika Afariste LigjerataP(p) = 15%S=?P=? ( S − P ) ⋅100 300 ⋅100 30000S= = = = 352 ,94 100 − p 100 −15 85Çmimi i materialit të dytë është 352,94 euro ( S − P) ⋅ p 300 ⋅15 4500P= = = = 52 ,94 100 − p 100 −15 85Materiali i parë kushton më lirë për 52,94 euroShembulli 8.Vlera e pasurisë së ndërmarrjes pas çregjistrimit për 40%, është 350000,00 euro. Sa ështëamortizimi, e sa vlera blerëse?Zgjidhja:p = 40%S – P = 350000,00 euroP=?S=?P : p = ( S – P) : (100 – p) ( S − P ) ⋅ p 350 ,000 ⋅ 40 14 ,000 ,000P= = = = 233 ,333 .3 100 − p 100 − 40 60Amortizimi kap shumë prej 233333,30 euro ( S − P ) ⋅100 350 ,000 ⋅100 35 ,000 ,000S = = = = 583 ,333 .30 100 − p 100 − 40 60Vlera blerëse e pasurisë është 583 333,30 euro. 1. 4. Llogaritja promile nga njëmijë
  7. 7. Matematika Afariste Ligjerata 7 Promili është numri i njësive që merren nga njëmijë njësi të ndonjë madhësieekonomike, Fjala “promil” del nga fjalët latine “pro”, që do të thotë “për” dhe “mille”, 5që do të thotë njëmijë. Shënohet me shenjën %o 2, kurse 5 ‰ = 1000Rrallë përdoret në praktikën ekonomike. Është përmasë themelore për llogaritjenpromile: S : 1000 = P : p (1.19.19)dhe për këtë arsye përherë është mundshme të llogaritet një e panjohur nësedy të tjerat janë të njohura, si dhe te llogaritja e përqindjes.Shembulli 9.Në një litër verë ka 20 ‰ alkool. Sa alkool, shprehur në mililitra, ka në njëlitër verë?Zgjidhja:S = 1 l = 1000 mlp = 20 ‰P=? S ⋅ p 1000 ⋅ 20P = = = 20 1000 1000Në një litër verë ka 20 mililitra alkool.Shembulli 10.Për pasurinë me vlerë 500 000,00 euro, është paguar premia e sigurimit 700,00 euro. Saështë premia e sigurimit shprehur në promilë?Zgjidhja:S = 500 000,00 euroP = 700,00 europ=?p = 1000 ⋅ P = 1000 ,⋅000 = 500 ,,000 = 1,4 S 500 700 700 000Premia e sigurimit është 1,4 ‰.2 Përdoren simbole të njëjta për madhësitë ekonomike dhe shprehen rasporte të njeta midis tyre, si edhe përllogaritjen e përqindjes prej njëqind, vetëm se në vend të 100 shkruhet 1000.
  8. 8. 8 Matematika Afariste Ligjerata 1.5. Llogaritja e promilit plus njëmijë Llogaritja e promilit plus njëmijë aplikohet kur është e njohur madhësia kryesoreS të cilës i shtohet pjesa promilë (S + P) si dhe promili p. Për gjetjen e madhësisë Spërdoren përmasat: S : 1000 = P(S + P) : (1000 + p) (1.20.200) dhe P : p = (S + P) (1.21.21)prej të cilave pastaj mund të llogariten S e P si edhe kur llogaritetpjesae njëqindtë plus njëqind.Shembulli 11.Pasi të shtohet lënda e parë e re prej 200 ‰ pesha e prodhimit është 100 kg.Sa ishte pesha e prodhimit para se të shtohej lënda e parë e re dhe për sakilogram është shtuar pesha e përgjithshme e prodhimit.Zgjidhja:p = 200 ‰S + P = 100 kgS=?P=? ( S + P ) ⋅1000 100 ⋅1000 100 ,000S = = = = 83 ,33 1000 + p 1000 + 200 1,200 ( S + P) ⋅ p 100 ⋅ 200 20 ,000P = = = = 16 ,67 1000 + p 1000 + 200 1,200Pesha e prodhimit para shtimit të lëndës së parë të re ishte 83,33 kg, kurse pas shtimit tëlëndës së parë të re është rritur për 16,67 kg. 1.6. Llogaritja e promilit minus njëmijë
  9. 9. Matematika Afariste Ligjerata 9 Llogaritja e promilit minus njëmijë bëhet njësoj, sikurse llogaritja epërqindjes minus njëqind, pos faktit që konstanta në vend të 100 është njëmijë. Përmasatkryesore janë si vijon: S : 1000 = (S – P) : (1000 – p) (1.22.22) prej nga del: ( S − P ) ⋅1000 S= 1000 − p (1.23.23) dhe pjesa e njëmijtë: P = S – (S – P) (1.24.24) Shembulli 12. Pas çregjistrimit të pasurisë 300 ‰ vlera e saj është 200 000,00 euro. Sa është vlera e çregjistruar dhe sa është vlera blerëse e pasurisë? Zgjidhja: p = 300 ‰ S - P = 200 000,00 euro P=? S=? ( S − P ) ⋅1000 200 ,000 ⋅1000 200 ,000 ,000 S = = = = 285 ,714 .29 1000 − p 1000 − 300 700 ( S − P) ⋅ p 200 ,000 ⋅ 300 60 ,000 ,000 P = = = = 85 ,714 .29 1000 − p 1000 − 300 700 Vlera blerëse e pasurisë ishte 285,714.29, kurse çregjistrimi 85,714.29 euro. 6. DISA PROPORCIONE TE VEQANTA 1.7. Rregulla e thjeshtë dhe komplekse e treshit
  10. 10. 10 Matematika Afariste Ligjerata Rregulla e thjeshtë dhe komplekse (e përbërë) e treshit shpesh përdoret nëpraktikën e sipërmarrësve. Fjala është për raporte (përmasa) midis katër madhësive(rregulla e thjeshtë e treshit) ose të më shumë madhësive (rregulla komplekse e treshit).Rregulla e thjeshtë e treshit përdoret për llogaritjen e një madhësie të panjohur mendihmën e tri të njohurave. Ekzistojnë disa mënyra për të konstatuar ato madhësi tëkatërta të panjohura. Do të përmendim dy mënyrat më të thjeshta:1. Madhësitë identike paraqiten njëra nën tjetrën: X1 Y1 X2 Y2pastaj me shigjetë shënohet drejtimi nga madhësia e panjohur, p. sh. Y2*. X1 Y1 X2 Y2 Madhësitë midis tyre mund të jenë në proporcione të drejtë dhe në të zhdrejtë.Proporcion i drejtë midis madhësive do të thotë: kur rritet një madhësi - rritet edhetjetra, ndërsa proporcion i zhdrejtë do të thotë: kur rritet njëra madhësi, zvogëlohetproporcionalisht madhësia tjetër. Për këtë arsye paraqiten dy raste:1.1. Nëse madhësitë x dhe y janë në proporcione të drejta, atëherë edhe me shigjetën e dytë shënohet drejtimi i njëjtë si në të parën. X1 Y1 X2 Y2 Kjo na orienton kah raporti reciprok midis madhësive y2 : y1 = x2 : x1. Nga kyraport mund të llogaritet: y1 ⋅ x 2 y2 = (1.25.25) x11.2. Nëse madhësitë janë në përpjesëtim të zhdrejtë, atëherë me shigjetë shënohet drejtimi i kundërt në raport me të parin: X1 Y1 X2 Y2Atëherë raporti reciprok midis madhësive mund të shkruhet si Y2:Y1=X1:X2,
  11. 11. Matematika Afariste Ligjerata 11përkatësisht: x1 ⋅ y1 = y2 x2 (1.26.26) 2. Mënyra e dytë e konstatimit të raportit reciprok midis madhësive konsiston në shumëzimin e thjeshtë të madhësive sipas diagonales së kundërt dhe me pjesëtimin me madhësinë e cila sipas diagonales është e kundërt me madhësinë e kërkuar. Në atë rast duhet pasur kujdes që madhësitë të vendosen si duhet, prandaj në esencë konsiston në dy rastet paraprake, gjë që shihet më së miri nga dy shembujt në vijim:Shembulli 13.Nëse dy punëtorë prodhojnë 19 tonelata produkte, sa tonelata në kushte të njëjta (ceterisparibus), do të prodhojnë pesë punëtorë:Zgjidhja:Së pari vërehet se madhësitë në fjalë janë në përpjesëtim të drejtë. Madhësi janëpunëtorët dhe tonelatat e produkteve, prandaj shkruhen njëra nën tjetrën. 2 punëtorë 10 tonelata 5 punëtorë x tonelataShkruhet në formë të përpjesëtimit x tonelata : 10 tonelata = 5 punëtorë : 2 punëtorë,prej nga del: 10 ⋅ 5 x= = 25 tonelata 2Pra, 5 punëtorë do të prodhojnë 25 tonelata produktesh.Shembulli 14.Nëse 20 punëtorë e kryejnë një punë për 15 ditë, sa punëtorë nevojiten për ta kryer atëpër 6 ditë?Zgjidhja:Fjala është për madhësi në proporcion të zhdrejtë, sepse numri i punëtorëve rritet, kursenumri i ditëve përpjesëtimisht zvogëlohet. 20 punëtorë 15 ditë x punëtorë 6 ditë
  12. 12. 12 Matematika Afariste LigjerataPërpjesëtimi (proporcioni) mund të shkruhet si vijon: x punëtorë : 20 punëtorë = 15ditë : 6 ditë, prej nga del: 20 ⋅15 x = = 50 punëtorë 6Për ta kryer punën për 6 ditë, nevojiten 50 punëtorë. Pra, me rastin e shtrimit të rregullës së thjeshtë të treshit qenësore është tëvendosen madhësitë e përpjesëtueshme dhe secila njësi e jashtme të shumëzohet menjësinë e jashtme, kurse njësia e brendshme me të brendshmen, e pastaj është lehtë tëllogaritet njësia e katërt e panjohur. Në rastet kur në rregullën komplekse të treshit kemi më shumë se katër njësi,atëherë rregulla e treshit përdoret për konstatimin e ndonjë njësie sipas radhës më e lartëse njësia e katërt. Për këtë arsye, madhësitë duhet të shkruhen njëra nën tjetrën, kurseme shigjetë të shënohet kahja nga njësia e panjohur. Bëjmë krahasimin e përpjesëtimittë secilës madhësi me madhësinë që duhet të gjendet (me atë rast shikohet vetëm raporti(përpjesëtimi) midis dy madhësive, duke mos u kujdesur për shumat e madhësive tëtrajtuara). Shigjetat vihen në të njejtin drejtim, nëse është fjala për madhësiproporcionalisht të drejtë, ose në drejtim të kundërt, kur është fjala për madhësi meproporcion të zhdrejtë.Shembulli 15.10 punëtorë prodhojnë 30 tonë produkte për 22 ditë duke punuar 7 orë në ditë. Sapunëtorë nevojiten për të prodhuar 50 tonë duke punuar 24 ditë nga 8 orën në ditë?Zgjidhja: 10 punëtorë 30 tona 22 ditë 7 orë x punëtorë 50 tona 24 ditë 8 orëPër t’i vizatuar shigjetat, duhet të konstatohet sa vijon:1. Për më shumë tonë produktesh, duhen më shumë punëtorë (madhësi me përpjestim tëdrejtë).2. Për numër më të madh të ditëve të punës, duhet numër më i vogël i punëtorëve(madhësi me proporcion të zhdrejtë).3. Për numër më të madh të orëve të punës, duhet numër më i vogël i punëtorëve(madhësi me proporcion të zhdrejtë).
  13. 13. Matematika Afariste Ligjerata 13Tani mund të vizatohen shigjetat në drejtimet përkatëse: 10 punëtorë 30 tonelata 22 ditë 7 orë x punëtorë 50 tonelata 24 ditë 8 orëSipas drejtimit të shigjetave përcaktohen përpjesëtimet: x : 10 = 50 : 30 22 : 24 7: 8prej nga del: 10 ⋅ 50 ⋅ 22 ⋅ 7 77000 x = = = 13,37 30 ⋅ 24 ⋅ 8 5760Pra, për të prodhuar 50 tonelata produkte duke punuar 24 ditë nga 8 orën në ditë, duhen≈ 13, përkatësisht 14 punëtorë.Vërejtje: Në situata si kjo, është e drejtë që rezultati përfundimtar të rrumbullakësohetnë numrin e parë më të madh të plotë. Sikur rezultatin e mësipërm ta rrumbullakësonimnë 13 punëtorë, prodhimi nuk do të arrinte 50 tonelata. Duke bërë rrumbullakësimin në14 punëtorë, do të tejkalojmë shumën e kërkuar, gjë që është gabim më i vogël.Shembulli 16.50 tonelata produkte i prodhojnë 13 punëtorë për 24 ditë pune. Pesë ditëve të pra kanëpunuar 10 punëtorë, kurse gjatë dhjetë ditëve të ardhshme kanë punuar 8 punëtorë. Sapunëtorë duhet të punojnë gjatë 9 ditëve vijuese për të prodhuar 50 tonelata produkte?Zgjidhja:Zgjidhja bëhet gradualisht:1. 50 tonelata 13 punëtorë 24 ditë x1 tonelata 10 punëtorë 5 ditë x1 : 50 = 10 : 13 5 : 24 50 ⋅10 ⋅ 5 2500 = = = 8,01 x1 13 ⋅ 24 312Pra, në pesë ditët e para 10 punëtorë kanë prodhuar 8.01 tonelata produktesh.2. 50 tonelata 13 punëtorë 24 ditë
  14. 14. 14 Matematika Afariste Ligjerata x2 tonelata 8 punëtorë 10 ditë x2 : 50 = 8 : 13 10 : 24 50 ⋅ 8 ⋅10 4000 = = 12 ,82 x2 = 13 ⋅ 24 312Pra, gjatë 10 ditëve të ardhshme 8 punëtorë do të prodhojnë 12,82 tonelata produkte.3. Gjatë 15 ditëve të para janë prodhuar: x1+x2=8,01+12,82=20,83 tonelata produkte,kurse kanë mbetur të prodhohen edhe 50 – 20,83 =29,17 tonelata produkte.Për këtë mund të shtrohet përpjesëtimi: 50 tonelata 13 punëtorë 24 ditë 29,17 tonelata y punëtorë 9 ditëprej nga pason përpjesëtimi: y : 13 punëtorë = 29, 17 : 50 24 : 9 13 ⋅ 29 ,17 ⋅ 24 9101 ,04 y= = = 20 ,22 50 ⋅ 9 450Kështu kemi arritur deri te zgjidhja, se gjatë 9 ditëve të fundit do të duhej tëpunësoheshin 21 punëtorë, për të prodhuar 50 tonelata produkte. 1. 8. Veprimi i thjeshtë dhe i komplekse i pjesëtimit Me veprimin e pjesëtimit zgjidhet problemi i ndarjes së madhësisë të dhënë nëpjesë sipas një ose më shumë kritereve. Nëse pjesëtimi bëhet sipas një kriteri, fjala ështëpër veprim të thjeshtë të pjesëtimit, ndërsa kur pjesëtimi bëhet sipas më shumëkritereve, fjala është për veprim kompleks të pjesëtimit. Përmes veprimit të pjesëtimit të thjeshtë duhet të ndahet madhësia S në pjesë,ose bartës x1, x2, ..., xn sipas një kriteri ashtu që pjesët të jenë në përpjesëtim a1 : a2 : ... :an dhe shtrohet pyetja sa janë të mëdha ato pjesë. Problemi matematikisht formulohet sivijon:
  15. 15. Matematika Afariste Ligjerata 15 x1 + x2 + ...+ xn = S (1.27.27) x1: x2 : ...: xn = a1 : a2 : ...:an (1.28.28) .pastaj merret se x1 = k a1 x2= k . a2...xn = k . an , ku k është faktor i proporcionalitetit. Nëse vleratx1, x2,... xn shtrohen si ekuacion (1.28.28) fitohet: S k= (1.29.29) a1 + a 2 + ... + a nMadhësitë e veçanta të pjesëve fitohen në këtë mënyrë: S x1=ka1 = ⋅ a1 (1.30.30) a1 + a 2 + ... + a n S x2=ka2 = ⋅ a2 (1.31.31) a1 + a 2 + ... + a n S xn=kan = ⋅ an (1.32.32) a1 + a 2 + ... + a nShembulli 17.Të ardhurat prej shitjes së katër produkteve të njëjta kapin shumë prej 68000,00 eurosh,por shpenzimet për to janë të ndryshme.Produkti I. = 10000,00 euroProdukti II. = 12000,00 euroProdukti III. = 12500,00 euroProdukti IV. = 14000,00 euroSi të ndahet e ardhura për këto katër produkte?Zgjidhja:Pra, 68000,00 euro duhet të ndahen për produktet (bartëset) e shpenzimeve sipasproporcionit të drejtë me shpenzimet. Fjala është për veprim të thjeshtë të pjesëtimit:x1 + x2 + x3+ x4 = 68 000,00x1 + x2 + x3+ x4 = 68 000,00 = 10 000 : 12 000 : 12 500 : 14 000kurse sipas formulës (1.29.29) 68000 68000 k= = = 1,40206 10000 + 12000 + 12500 + 14000 48500
  16. 16. 16 Matematika Afariste LigjerataNga kjo del sa vijon:Produktit I. i takon x1 = ka1 = 1,49206 x 10 000,00= 14 020,60 euro.Produktit II. i takon x2 = ka2 = 1,40206 x 12 000,00 = 16 842,72 euro.Produktit III. i takon x3 = ka3 = 1.40206 x 12 500,00= 17 525,75 euro.Produktit IV. i takon x4 = ka4 = 1,40206 x 14 000,00 = 19 628,84 euro.Shitja gjithsej e realizuar kapë shumën: 67 999,91 ≈ 68 000,00 euro.Në praktikë ndarja e këtillë e shpenzimeve është mjaft e shpeshtë në ndërmarrje. Fjalaështë për të ashtuquajturin kalkulim të numrave ekuivalentë në të cilën shpenzimet egjithmbarshme të realizuara iu ndahen produkteve sipas kriterit të raporteve ekuivalentemidis produkteve. Llogaritet raporti i shpenzimeve të përgjithshme dhe shuma eproduktit të sasisë së prodhimit dhe numrit ekuivalent, e pastaj ai numër që fitohet siproporcion shumëzohet me sasinë e prodhimit dhe në këtë mënyrë bëhet ndarja eshpenzimeve. Mirëpo, janë të shpeshta rastet kur raportet midis madhësive qërealizohen me ndarjen e madhësisë së dhënë në proporcion të zhdrejtë.Shembulli 18.Fitimi nga një punë në shumë prej 15000,00 eurosh duhet t’iu ndahet punëtorëve sipaskriterit të mungesës nga puna. Si të ndahet shuma e përmendur, nëse punëtori A kishtemunguar 20 orë, punëtori B 15 orë, punëtori C 10 orë dhe punëtori D 25 orë.Zgjidhja:x1 + x2 + x3+ x4 = 15 000,00 1 1 1 1x1 : x2 : x3 : x4 = : : : 20 15 10 25(Krahu i djathtë shumëzohet me emëruesin e përbashkët 300.)x1 : x2 : x3 : x4 = 15 : 20 : 30 : 12 15000 ,00 15000 ,00 k = = = 194 ,805 15 + 20 + 30 + 12 77Pastaj llogaritet fitimi i secilit punëtorë:punëtori A x1 = ka1 = 194.805 x 15 = 2922,08 europunëtori B x2 = ka2 = 194,805 x 20 = 3896,10 europunëtori C x3 = ka3 = 194,805 x 30 = 5844,15 europunëtori D x4 = ka4 = 194,805 x 12 = 2337,66 euro
  17. 17. Matematika Afariste Ligjerata 17Gjithsej: 14 999,99 ≈ 15 000,00 euro Llogaritja komplekse e pjesëtimit aplikohet kur ndarja e ndonjë madhësiebëhet sipas më shumë se një kriteri. Ndonjë madhësi duhet të ndahet në pjesë ose përbartës x1, x2, ..., xn, ashtu që raportet midis pjesëve të jenë b1: b2 : ... :bn (sipas kriterit tëparë) dhe c1: c2 : ... :cn (sipas kriterit të dytë) dhe m1: m2 : ... :mn (sipas kriterit të tretë)etj. Shtrohet pyetja sa janë ato pjesë? Shuma e atyre pjesëve duhet të jetë e barabartë metërësinë ose përgjithësisht: x1+ x2 + ... + xn = S (1.33.33) x1 : x2 : …: xn = b1 : b2 : …: bn = c1 : c2 : …: cn ... =m1 : m2 : …: mn (1.34.34) Nga formula (1.34.24) del se: = (b1 ⋅ c1 ⋅ ... ⋅ m1 ) : (b2 ⋅ c 2 ⋅ ... ⋅ m 2 ) : ... : (bn ⋅ c n ⋅ ... ⋅ m n ) x1:x2::xn (1.35.35) Nëse shprehjet në anën e djathtë shënohen me a1, a2 ... an dhe renditen nëbarazimin e paraprak, fitohen përpjesëtime të njëjta si edhe për veprimin e thjeshtë tëpjesëtimit (1.28.28): x1:x2 : …: xn = a1 : a2 : …: an (1.36.36)vetëm se a1 paraqet (b1 ⋅ c1 ⋅ ... ⋅ m1 ), a2 = (b2 ⋅ c 2 ⋅ ... m2 ),... a n = (bn ⋅ c n ⋅ ... ⋅ m n ).Kjo do të thotë se përdoren faktorë të njëjtë të proporcionalitetit dhe formula të njëjtapër përcaktimin e madhësisë së pjesëve të veçanta: =a S k 1 + a 2 + ... + a n(1.37.37) Madhësitë e veçanta të pjesëve fitohen në këtë mënyrë: S = ka1 = ⋅ a1 x1 a1 + a 2 + ... + a n (1.38.38) S = ka 2 = ⋅ a2 x2 a1 + a 2 + ... + a n
  18. 18. 18 Matematika Afariste Ligjerata ... S = ka n = ⋅ an xn a1 + a 2 + ... + a n (1.39.39)Shembulli 19.Shpenzimet mujore të energjisë elektrike në shumë prej 3500,00 euroshduhet të ndahen sipas sipërfaqes së hapësirës afariste dhe numrit tëpunëtorëve në atë hapësirë.Hapësira afariste I. ka 45 m2 dhe 3 punëtorë.Hapësira afariste II. ka 96 m2 dhe 7 punëtorë.Hapësira afariste III. ka 65 m2 dhe 5 punëtorë.Hapësira afariste IV. ka 12 m2 dhe 2 punëtorë.Hapësira afariste V. ka 18 m2 dhe 4 punëtorë.Hapësira afariste VI. ka 20 m2 dhe 6 punëtorë.Sa janë shpenzimet e secilës hapësirë afariste?Zgjidhja:X1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 3500x1 : x2 : x3 : x4 : x5 : x6 = 45 : 96 : 65 : 12 : 18 : 20 =3:7:5:2:4:6Me renditjen sipas formulës (1.33.33) fitohet:x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 135: 672 : 325 : 24 : 120Prej këndej del se: 3500 3500 k = = = 2,596 135 + 672 + 325 + 24 + 72 + 120 1348Ndarja e shpenzimeve mujore të energjisë elektrike është si vijon:Hapësira afariste I. x1 = k1 = 2,596 x 135 = 350, 46 euroHapësira afariste II. x2 = k2 = 2.596 x 672 = 1744,51 euro.Hapësira afariste III. x3 = k3 = 596 x 325 = 843,70 euro.Hapësira afariste IV. x4 = k4 = 2,596 x 24 = 62,30 euro.Hapësira afariste V. x5 = k5 = 2,596 x 72 = 186,91 euro.Hapësira afariste VI. x6 = k6 = 2,596 x 120 = 311,52 euro.
  19. 19. Matematika Afariste Ligjerata 19Gjithsej: 3 499,40 euro ≈ 3 500 euro.Mirëpo, në praktikë janë të mundshme rastet kur një ose më shumëkritere janë me proporcion të drejtë. Në atë rast, si edhe me rastin epjesëtimit të thjeshtë, për përpjesëtimin e drejtë aplikohen raportetproporcionale të drejtpërdrejta, kurse për proporcionin e zhdrejtë madhësitëvihen në raport me njëshin.Shembulli 20.Këmbimorja (vendi ku bëhet këmbimi i valutave) duhet t’i ndajë shpenzimetpër tri lokacione (A, B dhe C) sipas proporcionit të drejtë të numrit tëklientëve, kurse me proporcion të zhdrejtë të largësisë nga qendra. LokacioniA ka 1200 klientë kurse është 500 m larg qendrës. Lokacioni B ka 800klientë kurse nga centrali është larg 2 km. Lokacioni C ka 1500 klientë kurseështë larg qendrës 3 km. Si do t’i ndajë këmbimorja shpenzimet epërgjithshme në shumë prej 66000,00 eurosh?Zgjidhja:A + B + C = 66 000 1 1 1A : B : C = 1200 : 800 : 1500 = : : 0,5 2 3A : B : C = 2400 : 400 : 500 66000 k = = 20 2400 + 400 + 500Pra, shpenzimet do të ndahen si vijon:Lokacioni A 2400 x 20 = 48 000,00 euroLokacioni B 400 x 20 = 80 00,00 euroLokacioni C 500 x 20 = 10 000,00 euro. 1. 9. Llogaritja vargore
  20. 20. 20 Matematika Afariste Ligjerata Llogaritja vargore në praktikë aplikohet për thjeshtësimin e problemit në tëcilin është e nevojshme të përcaktohet raporti midis dy madhësive që janë të dhëna memadhësi të tjera në përpjesëtim të drejtpërdrejtë reciprok. Fjala është për një veprimspecifik skematik, përmes të cilit problemi thjeshtësohet dhe në praktikë haset shpesh.Shembulli 21.10 kg mall A kushtojnë sa 7 kg të mallit B; 5 kg të mallit B kushtojnë sa 6 kg të mallit C;7 kg të mallit C kushtojnë sa 3 kg të mallit D. Sa kushton një kg i mallit A, nëse 4 kg tëmallit D kushtojnë 5000 euro.Zgjidhja:Pra, duhet që në mënyrë indirekte në bazë të çmimit të mallit D dhe raporteve reciprokemidis madhësive të lidhura në proporcion të drejtë, të përcaktohet çmimi i 1 kg të mallitA. Zgjidhja arrihet gradualisht:1. Duhet të shkruhen raportet e dhëna: x euro kushton 1 kg i mallit A. 10 kg të mallit B kushtojnë sa 6 kg të mallit C. 7 kg të mallit C kushtojnë sa 3 kg të mallit D. 4 kg të mallit D kushtojnë 5000 euro.2. Pastaj gradualisht (me veprim iterativ) hap pas hapi gjendet zgjidhja: 7 6 3 50001) x euro kushton 1 kg i mallit A ose x = ⋅ ⋅ ⋅ euro 10 5 7 4 7 7 6 3 50002) 1 kg i mallit A kushton sa kg të mallit B ose ⋅ ⋅ ⋅ euro 10 10 5 7 4 6 6 3 50003) 1 kg i mallit B kushton sa kg të mallit C ose ⋅ ⋅ euro 5 5 7 4 3 3 50004) 1 kg i mallit C kushton sa kg të mallit D ose ⋅ euro 7 7 4 5000 50005) 1 kg i mallit D kushton sa kg të mallit ose euro 4 4Nga kjo del:
  21. 21. Matematika Afariste Ligjerata 21 7 6 3 5000 x euro kushton 1 kg i mallit A ose x = ⋅ ⋅ ⋅ euro, 10 5 7 4 përkatësisht 1 kg i mallit A kushton 450,00 euro. Zgjidhja e njëjtë mund të gjendet në rrugë më të shkurtër nëse raportet (1) deri në (5) i shënjojmë në formë skeme: x euro 1 kg A 10 kg A 7 kg B 5 kg B 6 kg C 7 kg C 3 kg D 4 kg D 5000 euro Me rastin e përpilimit të skemës së llogaritjes vargore duhet të respektohen këto rregulla:1. Skemën e fillojmë me pyetjen e shtruar në problem. 2. Secilin hap të mëtutjeshëm e fillojmë me madhësinë me të cilën e kemi përfunduar të mëparshmin.3. Skemën e përfundojë me madhësinë me të cilën e kemi filluar. X mund të llogaritet si herës i shumës së krahut të djathtë dhe të majtë, respektivisht 7 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 5000 630000 x = = = 450 ,00 10 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 4 1400 1.10 Llogaritja e përzierjes Në rastet praktike kur duhet të llogaritet se në çfarë mase përzihen disa madhësi të njëjta që kanë ndonjë karakteristikë të përbashkët, aplikohet llogaritja e përzierjes. Problemi i tillë mund të zgjidhet përherë përmes ndonjërës nga metodat për zgjidhjen e ekuacioneve lineare sistemore, por në praktikë është e mundshme që problemi të zgjidhet në mënyrë të shpejtë dhe të thjeshtë. Në realitet, duhet të gjendet intensiteti mesatar i karakteristikës së madhësisë së njëjtë, që shënohet me m.
  22. 22. 22 Matematika Afariste Ligjerata n ∑a x i i m = i =1 n ∑x i =1 i(1.40.40)xi = sasia i-së me madhësi të njëllojtëai = intensiteti i-së asaj me veti e madhësie të njëllojtëm = intensiteti mestar i vetisë me madhësisë të njëllojtë. Llogaritja e përzierjes mund të jetë: a) e thjeshtë dhe b) komplekse. a) Llogaritja e thjeshtë e përzierjes Llogaritja e thjeshtë e përzierjes është e lidhur me probleme në të cilat përzierjaështë komplekse prej dy madhësive dhe ka zgjidhje të thjeshtë. Në rast të tillë vlejnërelacionet: a1 x1 + a 2 x 2 m= x1 + x 2(1.41.41) x1 : x2 = (a2 – m) : (m – a1) (1.42.42)
  23. 23. Matematika Afariste Ligjerata 23Shembulli 22.Verniku i përhirtë përfitohet me përzierjen e të bardhit me të ziun. Çmimi i 1 kgvernik i bardhë është 40 euro, kurse i atij të zi 35 euro. Të supozojmë se nuanca nukështë qenësore. Si të përgatitet përzierja me çmim 38 euro për 1 kg vernik?Zgjidhja:x1 = sasia (kg) e vernikut të bardhë L1x2 = sasia (kg) e vernikut të zi L2a1 = 40 euro (çmimi i vernikut të bardhë ) L1a2 = 35 euro (çmimi i vernikut të zi) L2m = 38 euro (çmimi mesatar i vernikut të përhirtë ) L2Duhet të gjendet masa e përzierjes së vernikut të bardhë me atë të zi, për të fituarvernikun e përhirtë, përkatësisht x1 : x2 .Kjo përmasë e përzierjes mund të shkruhet në mënyrë skematike: a1 a2 -m m a2 m-a1Vetitë e madhësive që përzihen shënohen njëra nën tjetrën prej intensiteti më të vogëlkah ai më i madh; midis tyre dhe pak më djathtas intensiteti mesatar m i cili kërkohet,kurse përzierja shënohet me shigjeta dhe përcaktohen dallimet midis a2 dhe m dhe m ea1 dhe shënohen në diagonale. Në shembullin tonë kjo ë shtë si vijon: 35 (a1) 40 – 38 2 38 (m) 40 (a2) 38 - 35 3x1 : x 2 = 2 : 3Pra, duhet të përzihen verniku i bardhë dhe ai i zi në përmasën 3 : 2 për të përfituarvernikun e përhirtë . b) Llogaritja komplekse e përzierjes
  24. 24. 24 Matematika Afariste Ligjerata Llogaritja komplekse e përzierjes aplikohet në situatat kur përzierja përbëhet prejmë shumë se dy madhësive të ndryshme. Problemet e tilla kanë kryesisht më shumëzgjidhje. Do të tregojmë se si zgjidhet në formë skeme një problem i tillë .Shembulli 23.I kemi katër lloje të ndonjë malli me çmim 160, 140, 110 dhe 50 euro. Si duhet tapërziejmë mallin e tillë për të përfituar 560 kg me çmim 120,00 euro?Zgjidhja:Do ta krijojmë skemën në të cilën në shtyllën e majtë do t’i radhisim çmimet sipasmadhësisë, në mes intensitetin e kërkuar (120, 00), kurse në shtyllën e djathtë do tëpërcaktojmë përmasën e kërkuar. (a1) 160 (m - a4 )70 (a2) 140 (m – a3)10 (m) 120 (a3)110 (a2 – m)20 (a4)50 (a1 – m)40Nga skema e mëparshme shohim se mallin duhet ta përziejmë sipas përmasës:x1 : x2 : x3 : x4 = 7 0: 1 0: 2 0: 4 0/ :1 0 =7:1:2:4Me aplikimin e veprimit të pjesëtimit fitojmë : 7k + k + 2k + 4k = 560 14k = 560Mallin do të përziejmë si vijon: k = 40Mallin do të përziejmë si vijon:mallin nga 160 kn 7 x 40 = 280 kgmallin nga 140 kn 1 x 40 = 40 kgmallin nga 110 kn 2 x 40 = 80 kgmallin nga 50 kn 4 x 40 = 160 kg
  25. 25. Matematika Afariste Ligjerata 257. NJEHSIMI DIFERENCIAL DHE ZBATIMI 1.11. Llogaritja diferenciale Llogaritja diferenciale rrallë përdoret në praktikën afariste, por megjithatëështë e nevojshme të njihet esenca e saj, sepse pa njohjen e derivateve të disafunksioneve elementare, nuk mund të kuptohen bazat e koncepcioneve ekonomikeneoklasike mbi të cilat mbështetet tërë sistemi ekonomik. Sipërmarrësi ose studenti pai njohur ato metoda nuk do të kuptojë as produktin kufizues (minimal), as të ardhuratkufitare (minimale), as shpenzimet kufitare (minimale), as elasticitetin e prodhimit, tëkërkesës s dhe të ofertës etj. Aplikimi i atij koncepcioni është veçanërisht i rëndësishëmnë mikroekonomi, ku është treguar kryesisht i saktë, por i pamjaftueshëm dhe joreal,sidomos sa i përket modelimit të ndërmarrjeve. Fjala është për ekuacionet diferencialenë ekonominë e ndërmarrjes, të cilat i përshkruajnë ndryshimet e madhësiveekonomike dhe zgjidhen me metoda matematike. Prejardhjen e ka nga fizika klasike eIsak Njutnit (I. Newton) dhe shpjegimet e ligjeve natyrore.3 Qenësore është të përcaktohet si ndryshohet ndonjë madhësi ekonomike evarur, në se madhësia ekonomike e pavarur i afrohet (konvergjon) ndonjë numri. Në sei marrim dy madhësi (x dhe y), të cilat ndryshojnë (variojnë), janë të ndryshueshmedhe quhen variabla (ndryshore), shtrohet pyetja si ndryshohet y, nëse x i afrohet(konvergjon) ndonjë numri. Në se funksioni i dhënë y = f (x), problemi konsiston nëfaktin se duhet të përcaktohet masa e ndryshimit relativ e funksionit. Nëse madhësia endryshimit të variablës x shënohet me s Δx, kurse madhësia e ndryshimit të variablës yme Δy, mund të shkruhet: ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) = ∆x ∆x(1.43.43)3 Lit. 18., 19., 21., 22., 40.
  26. 26. 26 Matematika Afariste Ligjerata ∆y f ( x + ∆x) − f ( x ) lim = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x(1.44.44) Nëse ekziston ndonjë vlerë kufizuese (minimale), ajo varet jo vetëm nga xdhe shënohet se y’(x), që është funksioni i derivuar ose derivat i funksionit y. Pra,derivati është funksion y = f (x) është vlera kufitare (minimale) të cilës i afrohet herësi(kuocienti) i diferencave të funksionit dhe variablës së pavarur, kur rritja e variablës sëpavarur i afrohet zeros.4 Funksionet në ekonomi mund të jenë të ndryshme, siç janë funksionet eprodhimit, të ofertës, të kërkesës etj. Fjala është për një fushë të ndërlikuar tëmatematikës, në të cilën në mënyrë matematikore përshkruhet se çka ndodhë nëekonominë e afarizmit të ndërmarrjes. Secili funksion paraqet ndonjë lidhje funksionale të parametrave dhevariablave nga të cilat varet vlera e funksionit. Derivati i funksionit tregon se sindryshohet variabla e varur, nëse ndryshohen variablat e pavarura. Derivati ifunksionit të prodhimit tregon produktin minimal të prodhimit. Shikuar nga aspekti matematikor, në ekonomi aplikohen të ashtuquajturatfunksione elementare, përkatësisht funksionet reale të variablës reale (x dhe y = f(x) sëbashku janë elemente të numrave realë). Funksionet elementare i ndajmë në: 1.) Funksione algjebrike (funksione të cilat fitohen me një varg operacionesh algjebrike – mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe ngritje në fuqi (potencim) me eksponentin e numrit të plotë dhe atë thyesor). Dallojmë këto funksione algjebrike: a) funksione racionale të tëra ose polinomet, b) funksionet racionale thyesore, c) funksionet iracionale. 2.) Funksionet transcedente (të gjitha funksionet që nuk janë algjebrike). Funksionet më të rëndësishme transcedente janë: a) funksionet eksponenciale, b) funksionet logaritmike,4 Lit. 13., 19., 21., 22., 23., 18., 15 (sh. Literatura, fq. 329-331).
  27. 27. Matematika Afariste Ligjerata 27 c) funksionet trigonometrike, d) funksionet ciklometrike,Shkurtimisht do t’i paraqesim rregullat themelore të derivimit. Tabela 1. Derivacionet e disa funksioneve elementare funksioni derivacioni (konstanta) C 0 x 1 xn nxn-1 1 x 2 x 1 n x n x n −1 n ex ex ax axlna 1 ln x x 1 1 loga x log a e = x x ln a 1 0,4343 log x log e ≈ x x sin x cos x cos x - sin x
  28. 28. 28 Matematika Afariste Ligjerata 1 tg x cos 2 x 1 ctg x − sin 2 xDerivimi i produktit të konstantës dhe funksionit: (C ⋅ f ( x)) = C ⋅ f ( x )(1.45.45)Derivimi i shumës dhe i diferencës së funkcioneve: ( f ( x ) ± g ( x )) = f ( x ) ± g ( x )(1.46.46)Derivimi i produktit të funksioneve: ( f ( x ⋅ g ( x )) = f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ( x )(1.47.47)Derivimi i herësit (kuocientit) të funksioneve:  f ( x)  f ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ( x)   g ( x)  =    ( g ( x)) 2(1.48.48)Derivacioni (derivati) i funksionit kompleks: Nëse është y = f (u ) dhe u = g ( x ) , atëherë është: dy = f (u ) ⋅ g ( x ) dx(1.49.49)Shembulli 24.Përcaktoni derivacionin (derivatin) e funksionit: a) f (x) = 5 x 3 − 2 x 2 + 3 x − 7 ⇒ f ( x) = (5 ⋅ x 3 ) −2 ⋅ ( x 2 ) +3 ⋅ ( x) −(7) = = 5 ⋅ 3 x 2 − 2 ⋅ 2 x + 3 ⋅ 1 − 0 = 15 x 2 − 4 x + 3 b) f (x) = 2 x + 53 x − 7 4 x ⇒
  29. 29. Matematika Afariste Ligjerata 29 1 1 1 1 5 7 f’ (x) = 2 ⋅ +5⋅ −7⋅ = + − 2 x 3 x 3 2 4 4 x 3 x 3 3 x 2 4 x3 4 4 5 1 c) f (x) = 2 − + x x 3 x2Funksionin së pari e kemi shkruar në formë të polinomit me eksponentë thyesor: 2 −f (x) = 4 x −2 − 5 x −1 + x 3 5 −3 −2 2 − 8 5 2f’(x) = −8 x + 5x − x 3 =− 3 + 2 − 3 x x 3 x5 3d) f (x) = 2 x ⇒ f ( x) = 2 x ln 2 ≈ 0,69315 ⋅ 2 x 1e) f (x) = x ln x ⇒ f ( x) = ( x )⋅ ln x + x ⋅ (ln x ) = 1 ⋅ ln x + x ⋅ = ln x + 1 xf) f (x) = 5 x 3 e x ( ) f’(x) = 5 ⋅ ( x 3 )⋅e x + x 3 ⋅ (e x ) = 5(3 x 2 e x + x 3 e x ) = 5e x (3 x 2 + x 3 ) 2 x −1g) f (x) = 3x + 2 f’(x) ( 2 x −1)⋅(3 x + 2) − ( 2 x −1) ⋅ (3 x + 2) 2 ⋅ (3 x + 2) − ( 2 x −1) ⋅ 3= = = (3 x + 2) 2 9 x 2 + 12 x + 4 6x + 4 − 6x + 3 7 7 = = 2 = 2 9 x + 12 x + 4 9 x + 12 x + 4 9 x + 12 x + 4 2 1 5h. f(x) = 5 x + 1 ⇒ f ( x) = ⋅ (5 x +1) = 2 5 x +1 2 5 x +1 3 x 2 −5 3 x 2 −5 3 x 2 −5 1 3xei) f(x) = e ⇒ f ( x) = e ⋅ ⋅ 6x = 2 3x 2 − 5 3x 2 − 5Shembulli 25.Përcaktoni derivacionin (derivatin) e dytë të funksionit f (x) = 2 x 3 + 3x 2 + xZgjidhja:
  30. 30. 30 Matematika Afariste Ligjerataf (x) = 6x2 + 6x + 1f ”(x) = (f’(x))’ = 12x + 6 Përcaktimi i ekstremit të funksionit të një variable duke aplikuar llogaritjen diferencialeMe aplikimin e llogaritjes diferenciale relativisht thjeshtë përcaktohen ekstremet lokaletë një variable. Procedura është si vijon:1. Përcaktohet derivacioni (derivati) i parë i funksionit.2. Derivacioni (derivati) i parë barazohet me zeron. Zgjidhjet e ekuacionit janë pikat stacionare – të vlerës së variables x në të cilat funksioni do të mund të kishte ekstrem.3, E përcaktojmë derivacionin (derivatin) e dytë të funksionit. I radhisim më parë pikat stacionare (x0) në derivacionin (derivatin) e dytë. Nëse është f”(x0)> 0; atëherë funksioni ka maksimumin (minimumin) në pikën (x0 , f (x0)). Nëse është f”(x0) < 0; atëherë funksioni ka maksimumin në pikën (x0 , f (x0)). Nëse është f ”(x0) = 0, atëherë verifikohet vlera e variacionit të rendit më të lartë për x0. Nëse f’”(x0) ≠ 0, fjala është për pikën e infleksionit (pika në të cilën kahja e konkavitetit ndërrohet në kahje konveksioni ose anasjalltas).Shembulli 26.Përcaktoni ekstremet e funksionit f(x) = x3 – 2x2 – 4x +1.Zgjidhja:f’(x) = 3x2 – 4x – 4 − b ± b 2 − 4acf’(x) = 0 ⇒ 3 x 2 − 4 x − 4 = 0 ⇒ x1, 2 = 2a 4 ± 16 + 48 =x1,2 6 2 =2 =− ⇒x1 x2 3 pikat stacionaref”(x) = (3 x 2 − 4 x − 4) = 6 x − 4f”(x1) = f ( 2) = 6 ⋅ 2 − 4 = 8 > 0 ⇒ min( 2, f (2)) ⇒ min( 2,−7)
  31. 31. Matematika Afariste Ligjerata 31  2  2 f " ( x 2 ) =f "   3 = ⋅ 3  4 = 8 < ⇒ − 6 − − − 0 max     2 2 − , f ( − )  ⇒ 3 3   2 67 ⇒m − , ax    3 27 Shembulli 27.Është dhënë funksioni i kërkesës q(p) = (3 + p)0,5, ku p është çmimi i produktit tëcaktuar. Caktoni zonën e elasticitetit dhe të jo elasticitetit të funksionit të kërkesës!Zgjidhja: q(p) = ( 3 + p)0,5= 3 + pSë pari të caktojmë domenin e funksionit të kërkesës: 3 + p ≥ 0   D(q) = [ 0, ∞ ) p ≥ 0 Koeficienti i elasticitetit E q,p llogaritet nga relacioni: p dq Eq,p = ⋅ q dp(1.50.50) = p ⋅ 3 + p  ) = p ⋅ 1 = p 2( 3 + p ) 3+ p  3+ p 2 3+ pEq,pShihet se është Eq,p ≥ 0 për secilën p ∈ D (q), prandaj vlen p Eq, p = Eq, p = 2(3 + p )Elasticiteti: E q , p <1
  32. 32. 32 Matematika Afariste Ligjerata p2(3 + p ) < 1 ⇒ p < 2 (3 + p) ⇒ p > - 6, që vlen për secilin p ∈ D (q).Pra, funksioni i kërkesës është jo elastik në tërë domenin e vet. Për p = 0 e fitojmë joelasticitetin e përkryer. Në praktikë derivimi i funksionit mund të përdoret me rastin e përcaktimit tëfazës së prodhimit, të përcaktimit të rezultatit monopolistik të prodhimit etj., që mund tëshërbejnë për marrjen e vendimeve afariste.Shembulli 28.Është dhënë funksioni i prodhimit Q = 20x2 – 3x3, është x sasia e faktorit të prodhimit tëangazhuar. Numerikisht dhe grafikisht përcaktoni fazat e prodhimit, elasticitetin eprodhimit në kufijtë e fazave të prodhimit dhe elasticitetin e prodhimit për një vlerë x nëzonën e prodhimit elastik.Zgjidhja:1. Për funksionin e prodhimit së pari caktojmë zero pikët: 20x2 – 3x3 = 0 X2 (20 – 3x) = 0 x1 = 0, 20 - 3x = 0 - 3x = - 20 3x = 20 20 x2 = 3 x2 = 6,67Në praktikë prodhimi asnjëherë nuk është e njëjtë me zeron, nëse rritet hyrja e faktoritprodhues. Prandaj merret një pikë pas pikës ku është prodhimi maksimal.2. Pastaj përcaktojmë pikën e maksimumit: Q(x) = 20x2 – 3x3 Q’(x) = 40 x – 9x2 → derivacioni (derivati) i parë i funksionit 40x – 9x2 = 0 x(40-9x) = 0 x1 = 0, 40 – 9x = 0 - 9x = - 40
  33. 33. Matematika Afariste Ligjerata 33 9x = 40 40 x2 = 9 x2 = 4,44 – kandidatët për funksione ekstreme → max Q” (x) = 40 – 18 x → derivacioni(derivati) i dytë i funksionit Q”(4,44) = 40 −18 ⋅ 4,44 Q” (4,44) = 40 – 79,92 Q”(4,44) = - 39,92 < 0 → max, kushti i derivacionit të dytë Q(4,44) = 20 x 4,44 – 3 x4,44x4,44 = 394,27 – 262,59 = 131,68Maksimumi i prodhimit gjithsej arrihet në pikën: M (4,44; 131,68).3. Pika e infleksionitPika e infleksionit është pika në të cilën lakorja kalon nga forma konvekse në atëkonkave ose anasjelltas. Q” (x) = 40 – 18x 40 – 18x = 0 - 18x = − 4 0/ ⋅ ( − 1) 18x = 40 x = 18 40 x = 2,22 Q (2,22) = 20 . 2,222 – 3. 2,223 Q (2,22) = 98,57 – 32,83 Q (2,22) = 65,74Pika e infleksionit e prodhimit është: I (2,22; 65,74).4. Produktiviteti kufitar (minimal)Produktiviteti kufitar (minimal) i punës (kapitalit) tregon ndryshimin e sasisë sëprodhimit për njësinë e punës ose të kapitalit të shpenzuar. Kështu fitohet përgjigja
  34. 34. 34 Matematika Afariste Ligjeratalidhur me pyetjen për sa rritet prodhimi gjithsej për secilën njësi shtesë të faktoritprodhues. dQ MPQx = dL MPQx = 40x – 9x2pikat zero: 40x – 9x2 = 0 x (40x – 9x) = 0 x1 = 0, 40 – 9x = 0 - 9x = - 40 40 x = 9 x2 = 4,44pika e maksimumit M: Q” (x) = 40 – 18 x 40 – 18x = 0 - 18x = - 40 x = 2,22 MPQ 2,22 = 40 . 2,22 – 9 . 2,222 MPQ 2,22 = 88,80 – 44,36 = 44,44Maksimumi i produktivitetit prodhues arrihet në pikën: M (2,22; 44,44).5. Produktiviteti mesatar i punës ose i kapitalitProduktiviteti mesatar i punës ose i kapitalit tregon sasinë e prodhimit për njësinë epunës ose e kapitalit të shpenzuar. Q 20 x 2 − 3 x 3 APQ x = = x x APQ x = 20x – 3x2Pika e maksimumit të APQx është njëkohësisht edhe pika ku është APQx = MPQx,përkatësisht ku produktiviteti mesatar është i barabartë me produktivitetin minimal. APQx = MPQx
  35. 35. Matematika Afariste Ligjerata 35 20x – 3x2 = 40x – 9x2 20x – 40x – 3x + 9x2 = 0 / ⋅( − 1) x (20 – 6x) = 0 x1 = 0, 20 - 6x = 0 - 6x = - 20 20 x = 6 x2 = 3,33 APQ 3,33 = 20 ⋅ 3,33 − 3 ⋅ 33 2 APQ 3,33 = 66,60 – 33,27 APQ 3,33 = 33,33Maksimumi i produktivitetit mesatar arrihet në pikën M (3,33; 33, 33).Ky është njëkohësisht kufiri midis fazës I dhe II. të prodhimit. Maksimumin eproduktivitetit mesatar e tregon tabela në vazhdim: Tabela 2. Maksimumi i produktivitetit mesatar 20x2 – 3x3 20x– 3x2 40x – 9x ? X Q APQx MPQx 0 0 0 0 1 17 17 31 2,22 (I) 65,74 29,61 (M) 44,44 3,33 111 (M) 33,33 33,33 4 128 32 16 4,44 (M) 131,68 29,66 Q e ka M 0 6 72 12 - 84 Q3,33 = 20 + 3,332 – 3 . 3,333 Q3,33 = 221,78 – 110,78 Q3,33 = 111 Q4 = 20 ⋅ 4 2 − 3 ⋅ 4 3 Q4 = 320 – 92 Q4 = 128 Q6 = 20 ⋅ 6 − 3 ⋅ 6 2 3 Q6 = 720 – 648
  36. 36. 36 Matematika Afariste Ligjerata Q6 = 72 APQ2,22 = 20 ⋅ 2,22 − 3 ⋅ 2,22 2 APQ2,22 = 44,40 – 14,79 APQ2,22 = 29,61 APQ4 = 20 ⋅ 4 − 3 ⋅ 4 2 APQ4 = 80 – 48 APQ4 = 32 APQ4,44 = 20 ⋅ 4,44 − 3 ⋅ 4,44 2 APQ4,44 = 88,80 – 59,14 APQ4,44 = 29,66 APQ6 = 20 ⋅ 6 − 3 ⋅ 6 2 APQ6 = 120 – 108 APQ6 = 12 MPQ4 = 40 ⋅ 4 − 9 ⋅ 4 2 MPQ4 = 160 – 144 MPQ4 = 16 MPQ4,44 = 40 ⋅ 4,44 − 9 ⋅ 4,44 2 MPQ4,44 =177 ,6 −177 ,6 = 0 →Q e ka max. MPQ6 = 40 ⋅ 6 − 9 ⋅ 6 2 MPQ6 = 240 – 324 MPQ6 = 84 Paraqitja grafike 1. Përcaktimi i fazave të prodhimit
  37. 37. Matematika Afariste Ligjerata 37 Prodhimi i përgjithshë m Prodhimtari a mesatare Prodhimtari a kufitare6. Elasticiteti i prodhimit në kufijtë e fazave të prodhimitElasticiteti i prodhimit është aftësia e prodhimit për të reaguar kur ndryshohet ndonjëfaktor i cili me të cilin është në ndërvarësi reciproke. MPQ 40 x − 9 x 2 = =EQX APQ 20 x − 3x 2 40 ⋅ 3,3333 − 9 ⋅ 3,3333 2EQ3,33 = 20 ⋅ 3,3333 − 3 ⋅ 3,3333 2 133 ,33 −100EQ3,33 = 66 ,66 −33 ,33 33 ,33EQ3,33 = =1 33 ,33Elasticiteti i prodhimit në kufirin I. e II. të fazës së prodhimit është 1. Në kufirin I. e II.të fazë së prodhimit produktiviteti kufitar dhe ai mesatar janë të barabartë. Lakoret etyre në Paraqitjen grafike 1. priten.
  38. 38. 38 Matematika Afariste Ligjerata 40 ⋅ 4,4444 − 9 ⋅ 4,4444 2EQ4,44 = 20 ⋅ 4,4444 − 3 ⋅ 4,4444 2 177 ,78 −177 ,78EQ4,44 = 88 ,89 −59 ,26 0EQ4,44 = =0 29 ,63Elasticiteti i prodhimit në fazën II. e III. është baras me 0, produktiviteti kufitar(minimal) baras me zero, kurse prodhimi gjithsej është maksimal. 40 ⋅ 2 − 9 ⋅ 2 2 =EQ2 20 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 2 EQ në zonën e prodhimit elastik 80 − 36 =EQ2 40 −12 44 = = 1,57EQ2 281, 57 do të thotë se rritja e rolit të faktorit prodhues është për 1% (në nivelin prej x = 2)shkakton ngritjen e prodhimit për 1,57%, duke supozuar se faktorët e tjerë kanë mbeturtë pandryshuar. Prodhimi ndryshon më shumë se investimi i faktorit prodhues.Gjithashtu, është i mundshëm deviacioni (derivati) i pjesërishëm (parcial) i funksioneveme dy ose më shumë variabla. Le t’i ketë funksioni f (x,y) dy deviacione të pjesërishmetë derivacionit të rendit të parë:- derivacioni f sipas x, me ç’rast y e shikojmë si konstant- derivacionin f sipas y, me ç’rast x e shikojmë si konstant. δf δf df dfMatematikisht mund të shënohen: , ; , ; f x , f y , δx δy dx dypërkatësisht fx , fy .Shembulli 29.Përcaktoni deviacionet parciale të funksionit:a) f (x, y) = 2x3 + 3x2– 3xy + 5b) f (x, y) = 5 1n (2x – 3y)
  39. 39. Matematika Afariste Ligjerata 39c) f (x, y) = xyZgjidhja:a) fx = 6x2 – 3y; fy = 6y – 3x 1 10 =5⋅ ⋅2 =b) fx 2x − 3y 2x − 3 y ; fy 1 15 15 =5⋅ ⋅ (−3) = − = 2x − 3y 2x − 3y 3y − 2x y− fx = y ⋅ x ; fy = x ln x 1 yc)Shembulli 30:Funksioni i dhënë i kërkesës:qA = 0,5 pA-0,4 pB0,8,ku është qA kërkesa e produktit A, pA çmimi i produktit A dhe pB çmimi i prodhimit B.Përcaktoni koeficientin e elasticitetit parcial dhe koeficientin e elasticitetit të kryqëzuardhe shpjegoni rezultate e fituara.Zgjidhja:Elasticiteti parcial: p A dq A = ⋅EqA,pA q A dp A pA −1, 4 0 ,8 = −0, 4 0 ,8 ⋅ 0,5 ⋅ (−0,4) p A pB = −0,4EqA,pA 0,5 p A pB Nëse çmimi i produktit A rritet për 1%, kërkesa e produktit A do të zvogëlohet për0,4%, pa ndryshim të çmimit të produktit B.Elasticiteti i kryqëzuar: p B dq A = ⋅EqA,pB q A dp B pB − 0, 4 − 0, 2 = −0, 4 0,8 ⋅ 0,5 ⋅ p A ⋅ 0,8 p B = 0,8EqA,pB 0,5 p A pB
  40. 40. 40 Matematika Afariste LigjerataNëse çmimi i produktit B rritet për 1%, kërkesa për produktin A do të rritet për 0,8%, pandryshim të çmimit të produktit A.Përcaktimin e funksionit ekstrem të dy variablave do ta shpjegojmë në shembullinkonkret.Shembulin 31.Funksioni i të ardhurave gjithsej të ndërmarrjes X ka formën:P (Q1, Q2) = 2Q1 Q2 – 2Q12 – Q22 + Q1+20ku Q1 dhe Q2 janë sasi të produktit 1 e 2. Përcaktoni me çfarë sasie Q1 dhe Q2 do tërealizohen të ardhurat më të mëdha.Zgjidhja:Zgjidhja e problemit të dhënë konsiston në llogaritjen e maksimumit të funksionit tëdhënë. Veprimi është si vijon:1. Përcaktojmë devijacionet (derivatet) e para parciale PQ1 dhe PQ2;PQ1 = 2Q2 – 4Q1 + 1 PQ2 = 2Q1 - 2Q22. I barazojmë deviacionet e para parciale s(derivatet e para parciale) me zero dhe ezgjidhim sistemin me dy ekuacione me nga dy të panjohura:2Q2 – 4Q1 + 1 = 02Q1 – 2Q2 = 0 1 1 = = →Q1 2 Q2 2 pika stacionare3. Përcaktojmë derivacionet (derivatet)parciale të rendit të dytë PQ1Q1, PQ2Q2 , PQ1Q2,PQ2Q1 :PQ1Q1 = - 4 PQ2Q2 = –2PQ1Q 2 = 2 PQ2Q1 = 2 → deviacionet e përziera parciale të rendit të dytë përherëjanë të barabarta.4. I llogarisim vlerat e derivacioneve parciale të rendit të dytë në pikat stacionare (në 1 1 këtë rast vetëm një pikë stacionare  ,  dhe derivacionet parciale janë konstante – 2 2nuk varen nga Q1 dhe Q2):
  41. 41. Matematika Afariste Ligjerata 41PQ1Q1= - 4 PQ2Q2 = - 2 → derivacionet parciale të shkallës së dytë sipas variablave tënjëjta duhet të kenë parashenja të njëta nëse funksioni arrin ekstremin në pikënstacionare. Nëse janë negative, funksioni ka maksimumin, nëse ato janë pozitive,funksioni ka minimumin në pikën stacionare të vrojtuar.PQ1Q2 = 2 PQ2Q1 = 25. Llogarisim vlerat e determinantes: ∣P Q1Q1 PQ1Q 2Δ =¿  = PQ1Q1 ⋅ PQ 2 Q 2 − PQ 2 Q1 ⋅ PQ1Q 2 ∣P Q2Q1 PQ 2Q 2Nëse është: Δ > 0 funksioni arrin ekstremin në pikën e shikuar Δ < 0 funksioni nuk arrin ekstremin në pikën e shikuar Δ = 0 është e nevojshme të aplikohen metoda më të ndërlikuara. 2Në rastin tonë Δ = − 4 = (− 4) ⋅ (− 2) − 2 ⋅ 2 = 4 > 0 −2 2 1 1 1 1  1 1 8  1Funksioni arrin maksimumin në pikën  , , P ,  = , ,     . 2 2 2 2  2 2 4 Pra, e ardhura maksimale në shumë prej 20,25 njësish monetare do të realizohet meprodhimtarinë 0,5 njësish të herësit të dy produkteve.Shembulli 32:Lakorja e dhënë e kërkesës së dy ndërmarrjeve në kartelë: px = 50 - xNë kushte: 1.) MC = 0 2.) Ndërmarrjet pajtohen të prodhojnë gjysmën e sasive të prodhimit të monopolit dhe të realizojnë gjysmën e fitimit.Llogarit rezultatin monopolistik të prodhimit.
  42. 42. 42 Matematika Afariste LigjerataZgjidhja:Rezultati monopolistik i prodhimit mund të llogaritet nga funksioni i fitimit ashtu qëekuacioni të shumëzohet me x dhe merren parasysh kushtet e rendit të parë: ∂∏mΠm = 50 x − x 2 , mandej pason: = 5 0− 2 x = 0 (derivacioni i parë parcial ∂xm sipas x).Me zgjidhjen e ekuacionit sipas x, px dhe ∏m fitohen këto dy zgjidhje optimale: x* = 25; px* = 25; Πm* = 625Interpretimi i zgjidhjeve të fituara:Nëse të dy ndërmarrjet vendosin të prodhojnë sasi të njëjta, secila ndërmarrje mund tëprodhojë 12,5 njësi dhe më atë rast të fitojë 312,5 njësi të fitimit me çmim 25 njësish.Rezultati i përgjithshëm (monopolistik) i prodhimit do të jetë: 312,5 x 2 = 625 njësimonetare. Mirëpo, nëse ndërmarrja A vendos të mos i përmbahet marrëveshjes sëkartelit dhe prodhon 15, në vend të 12,5 njësive, rezultati i tregut i prodhimit do të jetë27,5 njësi, ndërsa çmimi i tregut i prodhim së do të jetë 27,5 njësi. Sipas atij çmimindërmarrja A do të fitonte 337,5 njësi (15 x 22,5), kurse ndërmarrja B 281,25 njësi(12,5 x 22,5). Për këtë arsye, ndërmarrja është shumë e motivuar të shtojë prodhim në15 njësi. Mirëpo, nëse të dy ndërmarrjet e rrisin prodhim në 15 njësi (gjithsej 30),çmimi i tregut do të bie në 20 njësi dhe të dy ndërmarrjet do të humbnin fitimin, dukefituar vetëm 300 njësi. Në atë rast, rezultati i përgjithshëm (monopolistik) i prodhimitdo të jetë 600 njësi monetare, do të thotë më i vogël për 25 njësi monetare. Prandaj,bisedimet midis këtyre dy ndërmarrjeve, arritja e marrëveshjes së kartelit dhe respektimii asaj marrëveshjeje është zgjidhja e vetme për të dyja ndërmarrjet.55 Lit. 42.
  43. 43. Matematika Afariste Ligjerata 438. NJEHSIMI INTEGRAL DHE ZBATIMI 1.12. Llogaritja integrale Llogaritja integrale është fushë mjaft e gjerë dhe relativisht e ndërlikuar ematematikës, e cila rrallë aplikohet në praktikën afariste. Ne në këtë punim shkurtimishtdo të shpjegojmë vetëm nocionet themelore të llogaritjes integrale dhe rregullat eintegrimit.6 Funksioni primitiv për funksionin e një variable y = f (x) është funksion i tillëF(x) derivacioni i të cilit është i barabartë me funksionin fillestar f (x). Mbledhja efunksioneve primitive për funksionin e dhënë është bashkësi e pakufishme. Shprehja epërgjithshme F(x)+C për të gjitha funksionet primitive të funksionit të dhënë (x) iquajmë integrale të papërcaktuara dhe i paraqesim: F(x)+C =∫ f ( x ) dx(1.51.51) Tabela 3. Rregullat e përgjithshme të integrimit Tabela e integraleve themelore (Konstanta e integrimit të C nuk është përfshirë në tabelë) x n +1 dx 1 x∫ x dx = n n +1 ( n ≠ −1) ∫a 2 +x 2 = arctg a a dx dx 1 a+x∫ = ln x ∫a = ln (x <a) x 2 −x 2 2a a −x∫e dx = e x x dx 1 x −a ∫x 2 −a 2 = 2a ln x +a ax∫ a dx = x ln a (x >a) dx x∫sin xdx = −cos x ∫ = arcsin a2 − x2 a6 Lit. 18. (sh. Literatura, fq. 329-331).
  44. 44. 44 Matematika Afariste Ligjerata∫cos xdx = sin x ∫ dx = ln x + x 2 + a 2 a +x 2 2∫tgxdx = −ln cos x dx∫ctgxdx = ln sin x ∫ x −a 2 2 = ln x + x 2 − a 2Rregullat themelore të integrimit:Integrimi i prodhimit të konstantës dhe funksionit: ∫a ⋅ f ( x)dx = a ⋅ ∫ f ( x ) dx(1.52.52)Shumat e integruara dhe diferencat:∫( f ( x) + g ( x) −h( x) )dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx −∫h( x ) dx(1.53.53)Rregulla e supstitucionit: Nëse është x = u (t ) , atëherë: ∫ f ( x)dx = ∫ f [u (t )] ⋅ u (t ) dt(1.54.54)Integrimi parcial: Nëse u dhe v janë funksione prej x, atëherë vlen: ∫ fudv = uv − ∫vdu (1.55.55)Shembulli 33.Zgjidhja:Përcaktoni integralet e papërcaktuara: x 3+1 x4 ∫ x dx ⇒ ∫ x dx = = +C 3 3a) 3 +1 4 x 4+1 x5 ∫ 5 x dx ⇒ ∫ 5 x dx = 5∫ x dx = 5 ⋅ = 5⋅ = x5 + C 4 4 4b) 4 +1 5 ∫( x − 4 x +3) dx = ∫( x 2 − 4 x +3) dx = ∫ x 2 dx − ∫ 4 xdx + ∫3dx = 2c)
  45. 45. Matematika Afariste Ligjerata 45 x 2+1 x 1+1 x 0+1 x3 x2 x1∫ x dx − 4∫ xdx + 3∫ dx = −4⋅ +3⋅ = −4⋅ +3⋅ = 2 2 +1 1 +1 0 +1 3 2 1 1 3 = x − 2 x 2 + 3x + C . 3Shembulli 34.Caktoni funksionet e shpenzimeve të përgjithshme T = f(Q), nëse elasticitetiET ,Q = 0,2Q dhe nëse shpenzimet fikse janë 1,8.Zgjidhja:Zgjidhja e këtij problemi konsiston në zgjidhjen e ekuacionit diferencial. Q dTE T ,Q = ⋅ T dQQ dT ⋅ = 0,02 Q / (. dQ ) / (:Q )T dQdT = 0,02 dQ ⇒ e integrojmë ekuacionin T dt∫T = ∫ 0,02 dQlnT = 0,02 Q +CT = e 0 , 02 Q +CT = e C ⋅ e 0, 02 QC është konstanta, prandaj eC është konstanta (nuk është qenësore shenja) dhe arrijmëderi të zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial:T(Q) = C ⋅ e 0, 02 QPërdorim vlerën e dhënë të shpenzimeve fikse:T (0) = 1,8C ⋅ e 0, 02 ⋅0 =1,8C = 1,8
  46. 46. 46 Matematika Afariste LigjerataPra, funksioni i kërkuar i shpenzimeve të përgjithshme është:T(Q) =1,8 ⋅ e 0 , 02 QShembulli 35. -2a) Është dhënë funksioni i shpenzimeve kufitare (minimale) t(Q) = 2Q – 4Q si funksion i prodhimit Q. Përcaktoni funksionin e shpenzimeve të përgjithshme, nëse shpenzimet e përgjithshme në nivel të prodhimit Q = 1 janë 10.b) Një prodhues ka gjetur se kostoja margjinale është 3 x 2 − 80 x + 500 euro për njësi kur prodhohen x njësi. Kostoja e përgjithshme e prodhimit të 2 njësive të para është 1000 €. Sa është kostoja e përgjithshme e prodhimit të 5 njësive të para ?c) Një shitës me pakicë pranon një dërgesë prej 12000 kg miell, i cili do të shpenzohet me shpejtësi konstante nga 300 kg në javë. Në qoftë se kostoja e depos e miellit është 0.5 cent për kilogram për javë, sa do të duhet të paguajë shitësi në emër të kostos për depo gjatë 40 javëve të ardhshme?d) Çmimi p (euro) i një njësie të mallit të caktuar vlerësohet të ndryshojë me shpejtësi dp 217 x =− , dx 16 + x 2 ku x (qind) njësi është kërkesa e konsumatorëve. Supozojmë se 300 njësi ( x = 3) kërkohen kur çmimi është 240 € për njësi. 1) Të gjendet funksioni i çmimit p ( x) sipas kërkesës. 2) Për çfarë çmimi do të kërkohen 400 njësi? Për çfarë çmimi nuk do të kërkohet asnjë njësi? 3) Sa njësi kërkohen për çmimin 30 € për njësi ?Zgjidhja:a) Funksioni i shpenzimeve minimale t(Q) është i barabartë me derivacionine funksionit të shpenzimeve të përgjithshme T (Q) sipas variablës Q. Pra, vlen:dT = t (Q )dQ
  47. 47. Matematika Afariste Ligjerata 47dT = 2Q − 4Q −2 / (⋅ dQ)dQdT = ( 2Q −4Q −2 ) dQ / ( ∫)∫dT = ∫( 2Q −4Q −2 ) dQT = 2 ∫Q Q −4 ∫Q d −2 d Q Q2 Q −1T = 2⋅ −4⋅ +C 2 −1Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial është: T(Q) = Q2+4Q-1 +C. E radhisiminformatën shtesë T (1) = 10:10 = 12 + 4 ⋅1−1 + CC=5Pra, funksioni i kërkuar i shpenzimeve të përgjithshme është: T(Q) = Q2+4Q-1+5.b) Kujtojmë se kostoja margjinale është derivati i funksionit C ( x ) të kostos sëpërgjithshme. Kështu, C ( x) = 3x 2 − 80 x + 500 ,prandaj C ( x ) duhet të jetë funksioni primitiv C ( x) = ∫ C ( x) dx = ∫ (3x 2 − 80 x + 500) dx = x 3 − 40 x 2 + 500 x + K ,për ndonjë vlerë të konstantës së integrimit K.Vlera e K përcaktohet nga fakti se C (2) = 1000 .Pra, 23 − 40 ⋅ 22 + 500 ⋅ 2 + K = 1000 ,prej nga gjejmë K = 152 .Prandaj,
  48. 48. 48 Matematika Afariste Ligjerata C ( x) = x 3 − 40 x 2 + 500 x + 152 ,dhe kostoja e prodhimit të 5 njësive të para është C (5) = 53 − 40 ⋅ 52 + 500 ⋅ 5 + 152 = 1777.c) Shënojmë me S (t ) koston e përgjithshme (totale) (në euro) gjatë t javëve. Meqëmielli shpenzohet me shpejtësi konstante nga 300 kg në javë, numri i kilogramëve tëmiellit në depo pas t javësh është q (t ) = 12000 − 300t .Prandaj, meqë kostoja e depos e miellit është 0.5 cent (d.m.th. 0.005 €) për kilogrampër javë, shpejtësia e ndryshimit të kostos së depos sipas kohës është dS = q (t ) ⋅ 0.005 dt = 0.005(12000 − 300t ) = 60 − 1.5t.Rrjedhimisht, S (t ) është dS S (t ) = ∫ dt dt = ∫ (60 − 1.5t ) dt = 60t − 0.75t 2 + Cpër ndonjë konstantë C. Për të përcaktuar vlerën e C, shfrytëzojmë faktin se në kohën earritjes së dergesës (kur t = 0 ) nuk ka kosto, pra S (0) = 0 ,d.m.th. 60 ⋅ 0 − 0.75 ⋅ 02 + C = 0ose C =0.Kështu,
  49. 49. Matematika Afariste Ligjerata 49 S (t ) = 60t − 0.75t 2 ,dhe kostot për depo gjatë 40 javëve të ardhshme do të jenë S (40) = 60 ⋅ 40 − 0.75 ⋅ 402 = 1200.d)1) Çmimi p ( x) për njësi të kërkesës gjendet duke integruar p ( x) sipas x : p ( x) = ∫ p ( x) dx 217 x = ∫− dx. 16 + x 2Për këtë, bëjmë zëvendësimin 1 u = 16 + x 2 , du = 2 x dx, du = x dx , 2për të fituar 217 x p ( x) = ∫ − dx 16 + x 2 217 1 = −∫ ⋅ du u 2 217 −1/ 2 2 ∫ =− u du 217 1 1/ 2 =− ⋅ u +C 2 1 2 = −217 16 + x 2 + C.Meqë p = 240 kur x = 3 , gjejmë p (3) = 240 −217 16 + 32 + C = 240 C = 240 + 217 25 C = 1325,
  50. 50. 50 Matematika Afariste Ligjerataprandaj p ( x) = −217 16 + x 2 + 1325 .2) Kur kërkesa është 400 njësi kemi x = 4 , dhe çmimi korrespondues është p (4) = −217 16 + 42 + 1325 ≈ 97.46. Asnjë njësi nuk kërkohet kur x = 0 , kurse çmimi korrespondues është p (0) = −217 16 + 02 + 1325 = 457.3) Për të përcaktuar numrin e njësive të kërkuara për çmimin 30 € për njësi, duhetzgjidhur ekuacionin p( x) = 30 − 217 16 + x 2 + 1325 = 30 − 217 16 + x 2 = −1295 1295 16 + x 2 = 217 2  1295  16 + x =  2   217  2  1295  x=   − 16  217  x ≈ 4.43.D.m.th., kërkesa do të jetë përafërsisht 443 njësi.1.13 Detyra dhe zgjidhjeDETYRA1. Nga prodhimet vjetore prej 5000 tonelatash 25 tonelata janë jokualitative (me defekte). Sa është përqindja e mallit jokualitativ?
  51. 51. Matematika Afariste Ligjerata 512. Shitja e realizuar kap shumën 120000,00 euro, për të cilën llogaritet tatimi në mbivlerë në kontigjente me shkallë 22%. Sa kapë tatimi në mbivlerë?3. Në një aksident komunikacioni është shkatërruan kamioni i fabrikës. Shoqëria e sigurimit në emër të dëmit ka kompensuar vlerën e kamionit në shumë prej 9500,00 eurosh, që do të thotë 75% të vlerës së kamionit. Sa është vlera e kamionit?4. Pasuria e ndërmarrjes është çregjistruar 50% dhe pas çregjistrimit vlen 230000,00 euro. Sa është amortizimi dhe sa ishte vlera blerëse e pasurisë.5. Sipërmarrja është dashur të pranojë lëndë të parë më vlerë 7500,00 euro, kurse ka marrë 12% më pak vlerë të mallit. Sa është vlera e lëndës së parë që ajo ka marrë?6. Çmimi prodhues i produktit është zvogëluar për 15% dhe tani është 2500,00 euro. Sa ishte çmimi i shitjes së mallit para zvogëlimit të çmimit?7. Çmimi i shitjet është rritur prej 230 në 250 euro. Sa për qind është rritur çmimi i shitjes i produktit?8. Çmimi i shitjes i produktit është zvogëluar 5% ose 65 euro. Sa ishte çmimi i shitjes përpara, e sa pas lirimit?9. Shpenzimet fikse të ndërmarrjes kapin shumën prej 50000,00 eurosh dhe përbëjnë 25% të shpenzimeve të përgjithshme. Sa është shuma e shpenzimeve të përgjithshme dhe sa shpenzimet variabile, nëse shpenzimet fikse dhe ato variabile e përbëjnë shpenzimet e përgjithshme të fabrikës?10. Pas rritjes prej 11% punëtori ka marrë pagën prej 350 eurosh. Për sa euro është rritur paga e tij?11. Produkti me peshë 1 kg përmban 500 g lëndë të parë, 300 g lëndë tjetër të parë dhe 200 g të lëndës së tretë. Çfarë është struktura e produktit për kah lënda e parë në përqindje?12. Fatura që ka arritur kap shumën prej 7000,00 eurosh. Vlera e mallit në faturë përbën 80%, shpenzimet e transportit 15%, premia e sigurimit 5%, kurse pjesa tjetër shpenzime të tjera. Sa euro kap vlera e mallit, sa shpenzimet e transportit, sa premia e sigurimit dhe sa shpenzimet e tjera?

×