More Related Content More from Prayudi MT (14) 2. REFERENSI
▪ Prayudi, Matemetika Teknik, Persamaan Diferensial, Transformasi Laplace
dan Deret Fourier, Graha Ilmu, Yogyakarta, 2010
▪ Erwin Kreyszig, Herbert Kreyszig, Edward J. Norminton, Advanced
Engineering Mathematics 10-th Edition, John Wiley and Sons, USA, 2011
▪ C. Henry Edwards, David E. Penney, David Calvis, Differential Equationss
and Boundary Value Problems, Computing and Modeling Fifth Edition,
Pearson Prentice Hall, USA, 2015
▪ Khalid Khan ,Tony Lee Graham; Engineering Mathematics with Applications
to Fire Engineering, CRC Press Taylor & Francis Group, 2018
▪ R. Kent Nagle, Edward B. Saff, Arthur David Snider, Fundamentals of
Differential Equations, Ninth Edition, Pearson Prentice Hall, 2018
▪ John Polking, Albert Boggess, David Arnold, Differential Equationss and
Boundary Value Problems, Second Edition, Pearson Prentice Hall, 2006
3. MATERI KULIAH
• PD ORDE SATU
• PD LINIER ORDE N HOMOGEN
• PD LINIER ORDE N HON HOMOGEN
• METODE KOEFISIEN TAK TENTU
• METODE VARIASI PARAMTER
• METODE INVERS OPERATOR
• TRANSFORMASI LAPLACE
• DERET FOURIER
4. TEBEL INTEGRAL
(1). න𝑥 𝑛
𝑑𝑥 = ቐ
1
𝑛 + 1
𝑥 𝑛+1 + 𝑐, 𝑛 ≠ −1
ln | 𝑥| + 𝑐 , n = −1
(2). න sin 𝑎 𝑥𝑑𝑥 = −
1
𝑎
cos 𝑎 𝑥 + 𝑐
(3). න cos 𝑎 𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑎
sin 𝑎 𝑥 + 𝑐
(4). න sec2
𝑎 𝑥 =
1
𝑎
tan 𝑎 𝑥 + 𝑐
(5). න sec 𝑎 𝑥 tan 𝑎 𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑎
sec 𝑎 𝑥 + 𝑐
(6). න csc2
𝑎 𝑥𝑑𝑥 = −
1
𝑎
cot 𝑎 𝑥 + 𝑐
(7). න csc 𝑎 𝑥 cot 𝑎 𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑎
csc 𝑎 𝑥 + 𝑐
(8) නtan 𝑥 𝑑𝑥 = ln | sec 𝑥 | + 𝑐
= − ln | cos 𝑥 | + 𝑐
(9) නsec 𝑥 𝑑𝑥 = ln | sec 𝑥 + tan 𝑥 | + 𝑐
(10) නcot 𝑥 𝑑𝑥 = − ln | csc 𝑥 | + 𝑐
= − ln | sin 𝑥 | + 𝑐
(11) නcsc 𝑥 𝑑𝑥 = − ln | csc 𝑥 − cot 𝑥 | + 𝑐
(12) න
𝑥
𝑥2 ± 𝑎2
𝑑𝑥 = 𝑥2 ± 𝑎2 + 𝑐
(13) න
𝑑𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏
=
1
𝑎
ln | 𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝑐
(14) න
𝑥
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑𝑥 =
𝑥
𝑎
−
𝑏
𝑎2
ln | 𝑎𝑥 + 𝑏| + 𝑐
5. (15) න
x
x2 ± 𝑎2
𝑑𝑥 =
1
2
ln | 𝑥2
± 𝑎2
| + 𝑐
16 න
1
𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 =
1
2𝑎
ln
𝑥 − 𝑎
𝑥 + 𝑎
+ 𝑐
(17) න
dx
x2 ± 𝑎2
=
1
2
ln | 𝑥 + 𝑥2 ± 𝑎2| + 𝑐
(18) න
1
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 = sin−1
𝑥
𝑎
+ 𝑐
(19) න
1
𝑎2 + 𝑥2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
tan−1
𝑥
𝑎
+ 𝑐
(20) න
1
𝑥 𝑥2 − 𝑎2
𝑑𝑥 =
1
𝑎
sec−1
𝑥
𝑎
+ 𝑐
(21) න𝑒 𝑎𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑒 𝑎𝑥
+ 𝑐
(22) න𝑒 𝑢
𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢
+ 𝑐
6. Rumus-rumus Reduksi
1 නsin 𝑛
𝑥 𝑑𝑥 = −
1
𝑛
sin 𝑛−1
𝑥 cos 𝑥 +
𝑛 − 1
𝑛
නsin 𝑛−2
𝑥 𝑑𝑥
(2) නcos 𝑛
𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑛
cos 𝑛−1
𝑥 sin 𝑥 +
𝑛 − 1
𝑛
නcos 𝑛−2
𝑥 𝑑𝑥
(3) නtan 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑛 − 1
tan 𝑛−1 𝑥 − නtan 𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥
(4) නcot 𝑛
𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑛 − 1
cot 𝑛−1
𝑥 − නcot 𝑛−2
𝑥 𝑑𝑥
(5) නsec 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑛 − 1
sec 𝑛−2 𝑥 tan +
𝑛 − 2
𝑛 − 1
නsec 𝑛−2 𝑥 𝑑𝑥
6 නcsc 𝑛
𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑛 − 1
csc 𝑛−2
𝑥 cot 𝑥 +
𝑛 − 2
𝑛 − 1
නcsc 𝑛−2
𝑥 𝑑𝑥
7 න cos2 𝑥𝑑𝑥 =
1
2
sin 𝑥 cos 𝑥 +
1
2
𝑥 + 𝑐
8 න sin2 𝑥𝑑𝑥 = −
1
2
sin 𝑥 cos 𝑥 +
1
2
𝑥 + 𝑐
9 න sec3
𝑥𝑑𝑥 =
1
2
sec 𝑥 tan 𝑥 +
1
2
ln | sec 𝑥 + tan 𝑥 | + 𝑐
7. (10) න𝑥 𝑛
sin 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 = −
𝑥 𝑛
𝑏
cos 𝑏 𝑥 +
𝑛
𝑏
න𝑥 𝑛−1
cos 𝑏 𝑥 𝑑𝑥
(11) න𝑥 𝑛
cos 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛
𝑏
sin 𝑏 𝑥 +
𝑛
𝑏
න𝑥 𝑛−1
sin 𝑏 𝑥 𝑑𝑥
(12) න𝑥 𝑛
𝑒 𝑎𝑥
𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑥 𝑛
𝑒 𝑎𝑥
−
𝑛
𝑎
න𝑥 𝑛−1
𝑒 𝑎𝑥
𝑑𝑥
(13) න𝑥 𝑛
𝑎 𝑥
𝑑𝑥 =
1
ln 𝑎
𝑥 𝑛
𝑎 𝑥
−
𝑛
ln 𝑎
න𝑥 𝑛−1
𝑎 𝑥
𝑑𝑥
(14) න𝑒 𝑎𝑥
sin 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒 𝑎𝑥
𝑎2 + 𝑏2
(𝑎 sin 𝑏 𝑥 − 𝑏 cos 𝑏 𝑥) + 𝑐
(15) න𝑒 𝑎𝑥
cos 𝑏 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒 𝑎𝑥
𝑎2 + 𝑏2
(𝑏 sin 𝑏 𝑥 + 𝑎 cos 𝑏 𝑥) + 𝑐
(16) න𝑥 𝑛
ln 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑛+1
𝑛 + 1
ln 𝑥 −
𝑥 𝑛+1
(𝑛 + 1)2
+ 𝑐
(17) නln 𝑛
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑛
𝑥 − 𝑛 නln 𝑛−1
𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
(18) න𝑥 𝑚
ln 𝑛
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥 𝑚+1
ln 𝑛
𝑥
𝑚 + 1
−
𝑛
𝑚 + 1
න𝑥 𝑚
ln 𝑛−1
𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐
8. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu
atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan
itu mungkin juga melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta.
9. SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL
Solusi persamaan diferensial adalah menentukan suatu fungsi dimana
turunnya, dan disubsitutiskan memenuhi persamaan diferensial yang
diberikan.
Contoh :
Diberikan persamaan diferensial,
dy = (4x + 6 cos 2x)dx
Dengan cara mengintegralkan
diperoleh solusi PD yaitu :
𝑦 = න(4𝑥 + 6 cos 2 𝑥) 𝑑𝑥
= 2𝑥2
+ 3 sin 2 𝑥 + 𝑐
Jadi, y= 2x2 + 3 sin 2x + c adalah
solusi PD
Contoh :
Apakah, y = e2x, solusi persamaan
diferensial,
y” – 4y’ + 4y = 0
Dengan cara mensubstitusikan,
y=e2x, y’ = 2e2x, dan y’’ = 4e2x pada
persamaan dihasilkan,
4e2x - 4(2e2x) + 4e2x = 0
0=0
Jadi 4e2x e2x 4adalah solusi PD.
10. PD Variabel Terpisah
Bentuk Umum PD Variabel Terpisah,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑦)
⟹ 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Solusi PD adalah,
න 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐 ⟹ 𝐺 𝑦 = 𝐹 𝑦 + 𝑐
Bentuk umum kedua adalah,
𝑓1(𝑥)𝑔1(𝑦)𝑑𝑥 + 𝑓2(𝑥)𝑔2(𝑦)𝑑𝑦 = 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −𝑓2(𝑥)𝑔1(𝑦)
𝑓1(𝑥)
𝑓2(𝑥)
𝑑𝑥 +
𝑔2(𝑦)
𝑔1(𝑦)
𝑑𝑦 = 0
Solusi PD,
න
𝑓1(𝑥)
𝑓2(𝑥)
𝑑𝑥 + න
𝑔2(𝑦)
𝑔1(𝑦)
𝑑𝑦 = 𝑐
11. Contoh
Carilah solusi PD,
2x(2 + 3y2)dx + 3y(1 + x2)dy = 0
Jawab :
2x(2 + 3y2)dx + 3y(1 + x2)dy = 0
------------------------------------ (1 + x2)(2 + 3y2)
Hasilnya adalah :
2𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 +
3𝑦
2 + 3𝑦2
𝑑𝑦 = 0
Solusi, integralkan kedua ruas,
න
2𝑥
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 + න
3𝑦
2 + 3𝑦2
𝑑𝑦 = 𝑐
ln( 1 + 𝑥2
) +
1
2
ln( 2 + 3𝑦2
) = ln 𝑐
------------------------------------ kedua ruas dikalikan 2
2 ln( 1 + 𝑥2
) + ln( 2 + 3𝑦2
) = ln 𝑐
ln 1 + 𝑥2 2
2 + 3𝑦2
= ln 𝑐
(1 + 𝑥2
)2
(2 + 3𝑦2
) = 𝑐
12. Contoh :
Carilah solusi PD, x sin y dx + (x + 2) tan y dy = 0
Jawab :
x sin y dx + (x + 2) tan y dy = 0
------------------------------------ (x + 2) sin y
Hasilnya,
𝑥
𝑥 + 2
𝑑𝑥 +
tan 𝑦
sin 𝑦
𝑑𝑦 = 0 ⟹ tan 𝑦 =
sin 𝑦
cos 𝑦
𝑥
𝑥 + 2
𝑑𝑥 + sec 𝑦 𝑑𝑦 = 0
Solusi PD,
න
𝑥
𝑥 + 2
𝑑𝑥 + න sec 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑐
𝑥 − 2 ln 𝑥 + 2 + ln | sec 𝑦 + tan 𝑦| = ln 𝑐
ln
𝑒 𝑥
𝑥+2 2 (sec 𝑦 + tan 𝑦) = ln 𝑐
𝑒 𝑥
(sec 𝑦 + tan 𝑦) = 𝑐(𝑥 + 2)2
13. Contoh
Misalkan laju pertumbuhan suatu bakteri mengikuti model pertumbuhan logistic
persamaan diferensial,
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 0,0004𝑃(150 − 𝑃)
Jika mula-mula, pada t=0, P(0)=Po < 150. Hitunglah P(t) :
Jawab :
Persamaan diferensial kasus diatas adalah,
1
𝑃(150 − 𝑃)
𝑑𝑃 = 0,0004 𝑑𝑡 ⟹
1
150
1
𝑃
+
1
150 − 𝑃
𝑑𝑃 = 0,0004 𝑑𝑡
Solusi PD,
න
1
𝑃
+
1
150 − 𝑃
𝑑𝑃 = 150 න 0,0004 𝑑𝑡
⟹ ln 𝑃 − ln(150 − 𝑃) = 0,06 𝑡 + 𝑐
ln
𝑃
150 − 𝑃
= ln 𝑒0,06𝑡+𝑐
⟹
𝑃
150 − 𝑃
= 𝑘𝑒0,05𝑡
Karena, pada t=0, P(0)Po, maka :
𝑘 =
𝑃𝑜
150 − 𝑃𝑜
⟹ 𝑃 𝑡 =
150𝑃𝑜
𝑃𝑜 + (150 − 𝑃𝑜)𝑒−0,06𝑡
14. 1. x(4 + y)dx + y(4 + x) dy = 0
2. xydx + (x2 – 1)ln y dy = 0
3. xy dx +(x – 2)(y+2) dy = 0
4. x(y2 − 4) dx + (x2 – 4)dy = 0
5. (x2+4)(y2 − 4) dx + 2xydy = 0
6. (x2-4)(y2 + 4) dx + 2xydy = 0
7. (1 + y2)sin x dx + 2y (1 – cos x)dy= 0
8. (1 + y) (1 + sin x)dx + y cos x dy = 0
9. xy dx + (x – 1)(1 + ln y)dy = 0
10. 2xy(1 – y)dx + (x2 – 4)dy = 0
Soal Latihan PD Variabel Terpisah
15. PD HOMOGEN
Fungsi f(x,y) dikatakan fungsi homogen berderajad n, jika terdapat
α, sedemikian sehingga
f(αx, αy) = αn f(x,y)
Contoh :
Apakah persamaan berikut homogen ?
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3
− 3𝑥𝑦2
+ 4𝑦3
Jawab :
Karena,
𝑓 𝛼𝑥, 𝛼𝑦 = (𝛼𝑥)3
−3(𝛼𝑥)(𝛼𝑦)2
+ 4 𝛼𝑦 3
= 𝛼3
𝑥3
− 3𝛼3
𝑥𝑦2
+ 4𝛼3
𝑦3
= 𝛼3
(𝑥3
−3𝑥𝑦2
+ 4𝑦3
)
= 𝛼3
𝑓(𝑥, 𝑦)
Jadi f9x,y) persamaan homogen orde 3
16. Bentuk umum PD homogen adalah,
g(x,y)dx + h(x,y)dy = 0
dimana g(x,y) dan h(x,y) adalah homogen orde n
Solusi PD, kasus pertama : y = ux ; dy = udx + x du, maka :
g(x,ux)dx + h(x,ux)(udx + x du) = 0
𝑥 𝑛
𝑔 1, 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑛
ℎ 1, 𝑢 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 0
--------------------------------------------- dibagi xn
Hasilnya,
𝑔 1, 𝑢 𝑑𝑥 + ℎ 1, 𝑢 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 = 0
𝑔 1, 𝑢 + 𝑢ℎ 1, 𝑢 𝑑𝑥 + 𝑥ℎ 1, 𝑢 𝑑𝑢 = 0
--------------------------------------------- dibagi x{g(1,u)+uh(1,u)}
Hasilnya,
1
𝑥
𝑑𝑥 +
ℎ(1, 𝑢)
𝑔 1, 𝑢 + 𝑢ℎ(1, 𝑢)
𝑑𝑢 = 0
Solusinya, dengan u=y/x adalah
න
1
𝑥
𝑑𝑥 + න
ℎ(1, 𝑢)
𝑔 1, 𝑢 + 𝑢ℎ(1, 𝑢)
𝑑𝑢 = 𝑐
17. Contoh
Carilah penyelesaian umum PD,.
(4x2 – 3y2)dx + 4xy dy = 0
Jawab
Substitusikan, y = ux, dy = udx + xdu : ke persamaan , maka
dihasilkan :
x2(4–3u2)dx + x24u(udx + x du) = 0
------------------------------------------- dibagi dengan x2, hasilnya :
(4–3u2)dx + 4u(udx + x du) = 0
(4–3u2+4u2) dx + 4xu du = 0
---------------------------------------- dibagi dengan x(4 + u2), hasilnya :
1
𝑥
𝑑𝑥 +
4𝑢
𝑢2 + 4
𝑑𝑢 = 0
න
1
𝑥
𝑑𝑥 + න
4𝑢
𝑢2 + 4
𝑑𝑢 = ln 𝑐 ⟹ ln 𝑥 + 2 ln( 𝑢2
+ 4) = ln 𝑐
ln 𝑥 (𝑢2
+ 4)2
= ln 𝑐 , 𝑢 =
𝑦
𝑥
⟹ 𝑥
𝑦2
𝑥2
+ 4
2
= 𝑐
(4𝑥2
+ 𝑦2
)2
= 𝑐𝑥3
18. Kasus kedua.
g(x,y)dx + h(x,y)dy = 0
Substitusi x = vy, dx = vdy + ydv, dan hasilnya adalah :
g(vy,y)(vdy + ydv) + h(vy,y)dy = 0
𝑦 𝑛
𝑔 𝑣, 1 (𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣) + 𝑦 𝑛
ℎ 𝑣, 1 𝑑𝑦 = 0
--------------------------------------------- dibagi yn
Hasilnya,
𝑔 𝑣, 1 (𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣) + ℎ 𝑣, 1 𝑑𝑦 = 0
𝑦𝑔 𝑣, 1 𝑑𝑣 + {𝑣𝑔 𝑣, 1 + ℎ 𝑣, 1 }𝑑𝑦 = 0
--------------------------------------------- dibagi y{vg(v,1)+h(v,1)}
Hasilnya,
𝑔(𝑣, 1)
𝑣𝑔 𝑣, 1 + ℎ(𝑣, 1)
𝑑𝑣 +
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0
Solusinya, dengan v=x/y adalah
න
𝑔(𝑣, 1)
𝑣𝑔 𝑣, 1 + ℎ(𝑣, 1)
𝑑𝑣 + න
1
𝑦
𝑑𝑦 = 𝑐
19. Contoh
Carilah penyelesaian umum, PD,
x2ydx – (x3 + y3) dy = 0
Jawab
Substitusi, x=vy, dx=vdy+ydv, ke PD diperoleh,
(vy)2y(vdy +ydv) – {(vy)3 + y3)dy = 0
v2y3 (vdy +ydv) – y3(v3 + 1)dy = 0
---------------------------------------------- dibagi y3 , hasilnya :
v2(vdy +ydv) – (v3 + 1)dy = 0
v2y dv + (v3 – v3 – 1)dy = 0
---------------------------------------------- dibagi y, hasilnya :
𝑣2
𝑑𝑣 −
1
𝑦
𝑑𝑦 = 0 ⟹ න 𝑣2
𝑑𝑣 − න
1
𝑦
𝑑𝑦 = ln 𝑐
1
3
𝑣3
− ln 𝑦 = ln 𝑐 ⟹ ln 𝑒 𝑣3
− 3 ln 𝑦 = ln 𝑐
ln 𝑒 𝑣3
= ln 𝑐 𝑦3
, 𝑣 =
𝑥
𝑦
⟹ 𝑒(𝑥/𝑦)3
= 𝑐𝑦3
20. Reduksi Persamaan Homogen
Kasus khusus PD berbentuk, (ax+by+d)dx + (px+qy+r)dy=0
Penyelesaiannya dibedakan tiga kasus, yaitu :
(1) Kasus pertama d=r=0
(2) Kasus kedua aq – bp = 0
(3) Kasus ketiga, aq – bp ≠ 0
Kasus 1. d=r=0
Bentuk PD : (ax + by)dx + (px + qy)dy = 0
Substitusi, y=ux,dy=udx+xdu ; diperoleh,
x(a+bu)dx+x(p+qu)(udx+xdu) = 0
------------------------------------ dibagi dengan x, hasilnya
[a+(b+p)u+qu2]dx+x(p+qu) du = 0
------------------------------------ dibagi x{a+(b+p)u+qu2}, hasilnya
1
𝑥
𝑑𝑥 +
𝑞𝑢 + 𝑝
𝑞𝑢2 + (𝑏 + 𝑝)𝑢 + 𝑎
𝑑𝑢 = 0
Solusi,
න
1
𝑥
𝑑𝑥 + න
𝑞𝑢 + 𝑝
𝑞𝑢2 + (𝑏 + 𝑝)𝑢 + 𝑎
𝑑𝑢 = 𝑐
21. Contoh :
Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD, (x + 4y)dx + (4x + 2y)dy = 0
Jawab
Kasus, d=r=0. Substitusi, y=ux,dy=udx+xdu. PD menjadi,
x(1+4u)dx + x(4+2u)[udx+xdu] = 0
---------------------------------------------- dibagi dengn x hasilnya :
(1 + 4u) dx + (4 + 2u)[udx + xdu] = 0
(1 + 8u + 2u2)dx + x(2u + 4)du = 0
--------------------------------- dibagi dengan x(1+8u + 2u2) hasilnya :
1
𝑥
𝑑𝑥 +
2𝑢 + 4
2𝑢2 + 8𝑢 + 1
𝑑𝑢 = 0
Solusi, integralkan dan hasilnya :
න
1
𝑥
𝑑𝑥 + න
2𝑢 + 4
2𝑢2 + 8𝑢 + 1
𝑑𝑢 = 𝑐 ⟹ ln 𝑥 +
1
2
ln 2𝑢2
+ 8𝑢 + 1 = ln 𝑐
2 ln 𝑥 + ln 2𝑢2
+ 8𝑢 + 1 = ln 𝑐 ⟹ ln |𝑥2
2𝑢2
+ 8𝑢 + 1 | = ln 𝑐
𝑥2
2𝑢2
+ 8𝑢 + 1 = 𝑐 𝑢 =
𝑦
𝑥
⟹ 𝑥2
2
𝑦2
𝑥2
+ 8
𝑦
𝑥
+ 1 = 𝑐
𝑥2
+ 8𝑥𝑦 + 2𝑦2
= 𝑐
22. Kasus 2 : aq-bp=0
Bilamana persamaan diferensial homogen,
(ax+by+d)dx + (px+qy+r)dy=0
Berlaku aq – bp=0, maka diperoleh :
px + qy = k(ax + by)
konstanta k tak nol. Substitusikanlah,
z = ax + by, dz = adx + bdy, atau :
𝑑𝑦 =
𝑑𝑧 − 𝑎𝑑𝑥
𝑏
Sehingga diperoleh PD berbentuk,
(ax+by+d)dx + [k(ax+by)+r] dy=0
(𝑧 + 𝑑)𝑑𝑥 + (𝑘𝑧 + 𝑟)
𝑑𝑧 − 𝑎𝑑𝑥
𝑏
= 0
[(𝑏𝑑 − 𝑎𝑟) + (𝑏 − 𝑎𝑘)𝑧]𝑑𝑥 + (𝑘𝑧 + 𝑟)𝑑𝑧 = 0
𝑑𝑥 +
𝑘𝑧 + 𝑟
(𝑏 − 𝑎𝑘)𝑧 + (𝑏𝑑 − 𝑎𝑟)
𝑑𝑧 = 0
Solusi,
න 𝑑𝑥 + න
𝑘𝑧 + 𝑟
(𝑏 − 𝑎𝑘)𝑧 + (𝑏𝑑 − 𝑎𝑟)
𝑑𝑧 = 𝑐
23. Contoh :
Contoh
Carilah penyelesaian umum PD, (2x+5y + 2)dx+(4x+10y + 3)dy=0
Jawab
Karena : aq – bp = (2)(10) – (5)(4) = 0, maka kasus 2.
Subsitusi, 4x + 10y = 2(2x + 5y), dan z=2x+5y, dz=2dx+5dy.
𝑑𝑦 =
𝑑𝑧 − 2𝑑𝑥
5
Maka diperoeh PD
𝑧 + 2 𝑑𝑥 + 2𝑧 + 3
𝑑𝑧 − 2𝑑𝑥
5
= 0
5(z + 2)dx + (2z + 3)(dz – 2dx) = 0 → (5z + 10–4z–6)dx + (2z+3)dz = 0
(z + 4)dx + (2z + 3)dz = 0 -→ dibagi (z + 4)
𝑑𝑥 +
2𝑧 + 3
𝑧 + 4
𝑑𝑧 = 0 ⟹ න 𝑑𝑥 + න
2𝑧 + 3
𝑧 + 4
𝑑𝑧 = 𝑐
𝑥 + 2𝑧 − 5 ln( 𝑧 + 4) = 𝑐
Karena, z= 2x + 5y, maka solusinya :
x + 2(2x + 5y) – 5 ln(2x + 5y + 4) = c
24. Kasus Ketiga, aq – bp ≠ 0
Diberikan persamaan diferensial,
ax+by+d)dx +
(px+qy+r)dy=0
Bilamana, aq – bp ≠ 0. Maka
(i). Substitusi pertama,
u=ax+by+d, du=adx+bdy
v=px+qy+r, dv=pdx+qdy
𝑎 𝑏
𝑝 𝑞
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥 =
𝑞𝑑𝑢 − 𝑏𝑑𝑣
𝑎𝑞 − 𝑏𝑝
𝑑𝑦 =
−𝑝𝑑𝑢 + 𝑎𝑑𝑣
𝑎𝑞 − 𝑏𝑝
Sehingga diperoleh PD
𝑢
𝑞𝑑𝑢 − 𝑏𝑑𝑣
𝑎𝑞 − 𝑏𝑝
+ 𝑣
−𝑝𝑑𝑢 + 𝑎𝑑𝑣
𝑎𝑞 − 𝑏𝑝
= 0
(𝑞𝑢 − 𝑝𝑣)𝑑𝑢 + (−𝑏𝑢 + 𝑎𝑣)𝑑𝑣 = 0
Substitusi kedua,
v = uz dan dv = udz + zdu
kedalam persamaan homogen,
sehingga dihasilkan :
u(q–pz)du + u(az – b)(udz+zdu) = 0
[az2 – (b+p)z + q]du + u(az–b)dz = 0
----- dibagi u[az2 – (b+p)z + q],
Hasilnya,
1
𝑢
𝑑𝑢 +
𝑎𝑧 − 𝑏
𝑎𝑧2 − (𝑏 + 𝑝)𝑧 + 𝑞
𝑑𝑢 = 0
Solusi,
න
1
𝑢
𝑑𝑢 + න
𝑎𝑧 − 𝑏
𝑎𝑧2 − (𝑏 + 𝑝)𝑧 + 𝑞
𝑑𝑢 = 𝑐
25. Contoh :
Carilah penyelesaian umum PD, (x + 2y + 2)dx + (2x + 3y + 3)dy = 0
Jawab :
Karena, aq – bp = 1(3) – 2(2) = -1 ≠ 0. maka kasus 3.
Substitusi pertama
u= x + 2y + 2, du = dx + 2dy
v= 2x + 3y + 3, dv = 2dx + 3dy
atau,
1 2
2 3
𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑑𝑢
𝑑𝑣
⟹ metode Crammer ∶
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢 2
𝑑𝑣 3
1 2
2 3
=
3𝑑𝑢 − 2𝑑𝑣
−1
; 𝑑𝑦 =
1 𝑑𝑢
2 𝑑𝑣
1 2
2 3
=
−2𝑑𝑢 + 𝑑𝑣
−10
Disubstitusikan ke PD diperoleh hasil,
𝑢
3𝑑𝑢 − 2𝑑𝑣
−1
+ 𝑣
−2𝑑𝑢 + 𝑑𝑣
−1
= 0
(3u – 2v)du + (–2u + v) dv = 0
26. Dari persamaan diferensial, (3u – 2v)du + (–2u + v) dv = 0
Substitusi kedua,
v=uz, dv=udz+zdu
diperoleh hasil,
(3u – 2uz)du + (–2u + uz)(udz+zdu)= 0
u(3 – 2z)du + u(–2 + z)(udz+zdu) = 0
-------------------------------------- dibagi dengan u, hasilnya :
(3 – 2z)du + (z – 2)(udz + zdu) = 0
(3 – 2z – 2z + z2)du + u(z – 2)dx = 0
-------------------------------------- dibagi dengan u(3 – 4z + z2)
1
𝑢
𝑑𝑢 +
𝑧 − 2
𝑧2 − 4𝑧 + 3
𝑑𝑧 = 0 ⟹ න
1
𝑢
𝑑𝑢 + න
𝑧 − 2
𝑧2 − 4𝑧 + 3
𝑑𝑧 = 𝑐
ln 𝑢 +
1
2
ln( 𝑧2
− 4𝑧 + 3) = ln 𝑐 − − > 2 ln 𝑢 + ln( 𝑧2
− 4𝑧 + 3) = ln 𝑐
𝑢2
𝑧2
− 4𝑧 + 3 = 𝑐; 𝑧 =
𝑣
𝑢
⟹ 𝑢2
𝑣2
𝑢2
− 4
𝑣
𝑢
+ 3 = 𝑐
(3𝑢2
− 4𝑢𝑣 + 𝑣2
) = 𝑐
dimana : u= x + 2y + 2, dan v = 2x + 3y + 3
27. Soal-soal Latihan PD Homogen
1. (x2 + y2)dx – xydy = 0
2. x2y dx + (x3 + y3)dy = 0
3. x2ydx - (x2y + y3)dy=0
4. (3x2y + y3)dx + (x3+ 3xy2)dy = 0
5. (4x – 3y)dx + (3x – y)dy = 0
6. (8x + 2y)dx + (2x + 2y)dy=0
7. (x – 2y + 4)dx +(3x – 6y + 3)dy = 0
8. (2x + 3y + 2)dx + (4x+6y + 4)dy=0
9. (x + 2y + 3)dx + (2x – 8y+4)dy = 0
10. (x + 2y + 3)dx + (2x + 3y + 2)dy = 0
11. (x + 5y + 2)dx + (5x – 4y – 2)dy = 0
12. (x + 2y + 3)dx + (2x – 9y – 4)dy = 0
28. Soal-soal Latihan PD Homogen
1. (x2 + y2)dx – xydy = 0
2. x2y dx + (x3 + y3)dy = 0
3. y dx – (x−yex/y)dy = 0
4. y(1 + ey/x) dx + (xey/x+ y) dy = 0
5. x2(x+3y)dx + (x3+ y3)dy = 0
6. y(y + xex/y)dx – x2ex/y dy = 0
7. x2ydx - (x2y + y3)dy=0
8. (3x2y + y3)dx + (x3+ 3xy2)dy = 0
9. (4x – 3y)dx + (3x – y)dy = 0
10.(8x+2y)dx +(-2x + 2y)dy=0
11.(x – 2y+4)dx +(3x – 6y + 3)dy = 0
12.(2x+3y+2)dx + (4x+6y + 4)dy=0
13.(x – 2y + 3)dx + (2x – 8y+4)dy = 0
14.(x + 2y+3)dx + (2x + 3y + 2)dy = 0
15.(x + 5y + 2)dx + (5x - 4y – 2)dy = 0
