Makalah graph

1. RESUME
“ GRAPH ”
Disusun oleh :
Nama
NIM
Mata Kuliah
Dosen
: Roji Muhidin
: 1202080
: Logika Matematika
: Ridha Endarani, S.pd
STMIK MUHAMMADIYAH BANTEN
2013

2. KATA PENGANTAR
Puji Syukur khadirat Allah Yang Maha Kuasa karena atas Rahmat dan
Hidayah-Nyalah kami dapat menyelesaikan Tugas Tengah Semester ini.
Resume ini merupkan salah satu bagian dalam Tugas kami yang berjudul
“GRAPH”.
Resume ini berisi tentang Pembelajaran mengenai “GRAPH” di dalam
Struktur Data. Tentunya kami sangat berharap Makalah ini dapat berguna bagi
siapapun yang membacanya.
Masih banyak kekurangan dalam resume ini . Selain itu dalam
penyusunan tugas atau materi ini, tidak sedikit hambatan yang penulis hadapi.
Namun penulis menyadari bahwa kelancaran dalam penyusunan materi ini tidak
lain berkat bantuan, dorongan dan bimbingan orang tua, sehingga kendalakendala yang penulis hadapi teratasi
Lebak, 16 Desemberber 2013
Penyusun
i

3. DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .......................................................................................... i
DAFTAR ISI ........................................................................................................ ii
I. PENDAHULUAN.............................................................................................. 1
II. TEORI GRAPH ............................................................................................... 3
A. Definisi Graph .......................................................................................... 3
B. Istilah dalam Graph .................................................................................. 6
C. Jenis – jenis Graph .................................................................................. 7
D. Konektivitas Tiap Jenis Graph.................................................................. 9
E. Metode Pencarian Vertex......................................................................... 10
a. Depth First Search (DFS)..................................................................... 11
b. Breadth First Search (BFS) .................................................................. 11
F. Shortest Path ........................................................................................... 14
a. Graph Berbobot (Weighted Graph) ...................................................... 14
b. Algoritma Dijkstra’s .............................................................................. 15
c. Dinamic Programming .......................................................................... 15
G. Minimum Spanning Tree .......................................................................... 18
H. Algoritma Menentukan Minimum Spanning Tree (MST) .......................... 19
III. GRAPH PADA JAVA ..................................................................................... 22
IV. KESIMPULAN ............................................................................................... 24
DAFTAR PUSTAKA............................................................................................ 25
ii

4. I. PENDAHULUAN
Dalam istilah ilmu komputer, sebuah struktur data adalah cara penyimpanan,
pengorganisasian dan pengaturan data di dalam media penyimpanan komputer sehingga
data tersebut dapat digunakan secara efisien. Dalam tehnik pemrograman, struktur data
berarti tata letak data yang berisi kolom-kolom data, baik itu kolom yang tampak oleh
pengguna (user) ataupun kolom yang hanya digunakan untuk keperluan pemrograman
yang tiadak tampak oleh pengguna.
Graph merupakan struktur data yang paling umum. Jika struktur linear
memungkinkan pendefinisian keterhubungan sikuensial antara entitas data, struktur data
tree memungkinkan pendefinisian keterhubungan hirarkis, maka struktur graph
memungkinkan pendefinisian keterhubungan tak terbatas antara entitas data.
Banyak entitas-entitas data dalam masalah-masalah nyata secara alamiah
memiliki keterhubungan langsung (adjacency) secara tak terbatas demikian. Contoh:
informasi topologi dan jarak antar kota-kota di pulau Jawa. Dalam masalah ini kota x bisa
berhubungan langsung dengan hanya satu atau lima kota lainnya. Untuk memeriksa
keterhubungan dan jarak tidak langsung antara dua kota dapat diperoleh berdasarkan data
keterhubungan-keterhubungan langsung dari kota-kota lainnya yang memperantarainya.
Representasi data dengan struktur data linear ataupun hirarkis pada masalah ini
masih bisa digunakan namun akan membutuhkan pencarian-pencarian yang kurang
efisien. Struktur data graph secara eksplisit menyatakan keterhubungan ini sehingga
pencariannya langsung (straightforward) dilakukan pada strukturnya sendiri.
Graf adalah salah satu jenis struktur data yang terdiri dari titik (vertex) dan garis
(edge), dimana dalam graf tersebut, vertex - vertex yang ada dihubungkan oleh edge,
hingga menjadi suatu kesatuan yang disebut graf. Sebagai contoh dari pemodelan graf
adalah peta kota kota, dimana kota disini sebagai vertex dan jalur yang
menghubungkannya berlaku sebagai edge.
Agar lebih jelas perhatikan gambar dibawah ini :
1

5. Dalam gambar tersebut, terdapat beberapa kota yang berada dipulau jawa dimana
kota - kota tersebut dihubungkan oleh beberapa jalur jalur yang ada. Untuk contoh diatas
kita bisa menganggap bawah kota-kota yang ada merupakan vertex, dan jalur-jalur yang
menghubungkan kota-kota tersebut sebagai edge. Sehingga secara keseluruhan peta
diatas dapat dibuat pemodelannya sebagai sebuah graf.
Ada terdapat beberapa jenis graf yang bisa kita gunakan, yaitu beberapa
diantaranya adalah sebagai berikut :
• Graf Berarah : adalah graf yang edge-nya memiliki arah, sebagai contoh edge AB
menghubungkan vertex A ke B, dimana hubungan vertex B ke A, harus diperoleh dari
edge lain, yaitu edge BA, dan jika edge BA tidak ada, maka vertex B ke A tidak memiliki
hubungan, meski vertex A ke B memiliki hubungan
• Graf Tak Berarah : adalah graf yang edge-nya tidak memiliki arah, sehingga jika edge
AB menghubungkan vertex A ke B, maka secara otomatis juga menghubungkan vertex B
ke A.
• Graf Berbobot : adalah suatu graf dimana edge dari graf tersebut memiliki bobot atau
nilai tertentu.
• Graf Tidak Berbobot : adalah suatu graf dimana edge dari graf tersebut tidak memiliki
bobot atau nilai. Untuk merepresentasikannya dalam pemrograman komputer, graf dapat
disusun dari LinkedList yang berada dalam LinkedList.
2

6. II. TEORI GRAPH
A. Definisi Graph
Suatu graph didefinisikan oleh himpunan verteks dan himpunan sisi (edge).
Verteks menyatakan entitas-entitas data dan sisi menyatakan keterhubungan antara
verteks. Biasanya untuk suatu graph G digunakan notasi matematis.
G = (V, E)
Dimana :
G = Graph
V = Simpul atau Vertex, atau Node, atau Titik
E = Busur atau Edge, atau arc
V adalah himpunan verteks dan E himpunan sisi yang terdefinisi antara pasanganpasangan verteks. Sebuah sisi antara verteks x dan y ditulis {x, y}. Suatu graph H = (V1,
E1) disebut subgraph dari graph G jika V1 adalah himpunan bagian dari V dan E1
himpunan bagian dari E.
Cara pendefinisian lain untuk graph adalah dengan menggunakan himpunan
keterhubungan langsung Vx. Pada setiap verteks x terdefinisi Vx sebagai himpunan dari
verteks-verteks yang adjacent dari x. Secara formal:
Vx = {y | (x,y) -> E}
Dalam digraph didefinisikan juga terminologi-terminologi berikut ini. Predesesor
dari suatu verteks x (ditulis Pred(x)) adalah himpunan semua verteks yang adjacent ke x.
Suksesor dari verteks x (ditulis Succ(x)) adalah himpunan semua verteks yang adjacent
dari x, yaitu adjacenct set di atas.
Struktur data yang berbentuk network/jaringan, hubungan antar elemen adalah
many-to-many. Contoh dari graph adalah informasi topologi jaringan dan keterhubungan
antar kota-kota. Keterhubungan dan jarak tidak langsung antara dua kota sama dengan
data keterhubungan langsung dari kota-kota lainnya yang memperantarainya. Penerapan
struktur data linear atau hirarkis pada masalah graph dapat dilakukan tetapi kurang
3

7. efisien. Struktur data graph secara eksplisit menyatakan keterhubungan ini sehingga
pencariannya langsung (straight forward) dilakukan pada strukturnya sendiri.
1. Struktur Data Linear = keterhubungan sekuensial antara entitas data
2. Struktur Data Tree = keterhubungan hirarkis
3. Struktur Data Graph = keterhubungan tak terbatas antara entitas data.
Representasi Graph dalam Bentuk Matrik
a. Graph Tak Berarah
Graf tersebut dapat direpresentasikan dalam sebuah matrik 5x5 , dimana baris dan
kolom di matriks tersebut menunjukan vertex yang ada.
4

8. b. Graph Berarah
Dalam matrik diatas dapat kita lihat bahwa kotak yang berisi angka satu
menunjukan bahwa dalam dua vertex tersebut terdapat edge yang menghubungkannya.
Dan jika dalam kotak terdapat angka nol, maka hal tersebut menandakan tidak ada edge
yang mengubungkan secara langsung dua vertex tersebut.
Untuk representasi dalam pemorgraman komputer, graf tersebut dapat
digambarkan seperti dibawah ini :
5

9. B. Istilah Dalam Graph
1. Incident
Jika e merupakan busur dengan simpul-simpulnya adalah v dan w yang
ditulis e=(v,w), maka v dan w disebut “terletak” pada e, dan e disebut incident
dengan v dan w.
2. Degree
Didalam Graph ada yang disebut dengan Degree, Degree mempuyai 3
jenis antara lain :

Degree dari suatu verteks x dalam undigraph adalah jumlah busur yang
incident dengan simpul tersebut.

Indegree dari suatu verteks x dalam digraph adalah jumlah busur yang
kepalanya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur yang
“masuk” atau menuju simpul tersebut..

Outdegree dari suatu verteks x dalam digraph adalah jumlah busur yang
ekornya incident dengan simpul tersebut, atau jumlah busur yang “keluar”
atau berasal dari simpul tersebut.
3. Adjacent
Pada graph tidah berarah, 2 buah simpul disebut adjacent bila ada busur yang
menghubungkan kedua simpul tersebut. Simpul v dan w disebut adjacent.
6

10. Pada graph berarah, simpul v disebut adjacent dengan simpul w bila ada busur
dari w ke v.
4. Successor dan Predecessor
Pada graph berarah, bila simpul v adjacent dengan simpul w, maka simpul
v adalah successor simpul w, dan simpul w adalah predecessor dari simpul v.
5. Path
Sebuah path adalah serangkaian simpul-simpul berbeda yang adjacent
secara berturut-turut dari simpul satu ke simpul berikutnya.
C. Jenis - Jenis Graph
1. Directed Graph (Digraph)
Jika sisi-sisi graph hanya berlaku satu arah. Misalnya : {x,y} yaitu arah x ke y,
bukan dari y ke x, x disebut origin dan y disebut terminus. Secara notasi sisi digraph
ditulis sebagai vektor (x, y).
Contoh Digraph G = {V, E} :
V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M}
E = {(A,B), (A,C), (A,D), (A,F), (B,C), (B,H), (C,E), (C,G), (C,H), (C,I), (D,E), (D,F),
(D,G), (D,K), (D,L), (E,F), (G,I), (G,K), (H,I), (I,J), (I,M), (J,K), (J,M), (L,K), (L,M)}.
7

11. 2. Graph Tak Berarah (Undirected Graph atau Undigraph)
Setiap sisi {x, y} berlaku pada kedua arah: baik x ke y maupun y ke x. Secara
grafis sisi pada undigraph tidak memiliki mata panah dan secara notasional menggunakan
kurung kurawal.
Contoh Undigraph G = {V, E}
V = {A, B, C, D, E, F, G, H, I,J, K, L, M}
E = { {A,B},{A,C}, {A,D}, {A,F}, {B,C}, {B,H}, {C,E}, {C,G}, {C,H}, {C,I}, {D,E},
{D,F}, {D,G}, {D,K}, {D,L}, {E,F}, {G,I}, {G,K}, {H,I}, {I,J}, {I,M}, {J,K}, {J,M},
{L,K}, {L,M}}.
8

12. Khusus graph, undigraph bisa sebagai digraph (panah di kedua ujung edge
berlawanan) Struktur data linear maupun hirarkis adalah juga graph. Node-node pada
struktur linear ataupun hirarkis adalah verteks-verteks dalam pengertian graph dengan
sisi-sisinya menyusun node-node tersebut secara linear atau hirarkis.
Struktur data linear adalah juga tree dengan pencabangan pada setiap node hanya
satu atau tidak ada. Linear 1-way linked list (digraph), linear 2- way linked list
(undigraph).
D. Konektivitas Tiap Jenis Graph
a. Konektivitas pada Undigraph

Adjacency: Dua verteks x dan y yang berlainan disebut berhubungan langsung
(adjacent) jika terdapat sisi {x, y} dalam E.

Path: Sederetan verteks yang mana setiap verteks adjacent dengan verteks yang tepat
berada disebelahnya.

Panjang dari path: jumlah sisi yang dilalui path.

Siklus: suatu path dengan panjang lebih dari satu yang dimulai dan berakhir pada suatu
verteks yang sama.

Siklus sederhana: dalan undigraph, siklus yang terbentuk pada tiga atau lebih verteksverteks yang berlainan yang mana tidak ada verteks yang dikunjungi lebih dari satu
kali kecuali verteks awal/akhir.

Dua verteks x dan y yang berbeda dalam suatu undigraph disebut berkoneksi
(connected) apabila jika terdapat path yang menghubungkannya.

Himpunan bagian verteks S disebut terkoneksi (connected) apabila dari setiap verteks
x dalam S terdapat path ke setiap verteks y (y bukan x) dalam S.

Suatu komponen terkoneksi (connected components) adalah subgraph (bagian dari
graph) yang berisikan satu himpunan bagian verteks yang berkoneksi.

Suatu undigraph dapat terbagi atas beberapa komponen yang terkoneksi; jika terdapat
lebih dari satu komponen terkoneksi maka tidak terdapat path dari suatu verteks dalam
satu komponen verteks di komponen lainnya.
9

13. 
Pohon bebas (free tree): suatu undigraph yang hanya terdapat satu komponen
terkoneksi serta tidak memiliki siklus sederhana.
b. Konektivitas pada Digraph
Terminologi di atas berlaku juga pada Digraph kecuali dalam digraph harus
dikaitkan dengan arah tertentu karena pada arah yang sebaliknya belum tentu terdefinisi.

Adjacency ke / dari: Jika terdapat sisi (x,y) maka dalam digraph dikatakan bahwa x
"adjacent ke" y atau y "adjacent dari" x. Demikian pula jika terdapat path dari x ke y
maka belum tentu ada path dari y ke x Jadi dalam digraph keterkoneksian didefinisikan
lebih lanjut lagi sebagai berikut.

Terkoneksi dengan kuat: Himpunan bagian verteks S dikatakan terkoneksi dengan
kuat (strongly connected) bila setiap pasangan verteks berbeda x dan y dalam S, x
berkoneksi dengan y dan y berkoneksi dengan x (dpl., ada path dari x ke y dan
sebaliknya dari y ke x).

Terkoneksi dengan Lemah: Himpunan bagian verteks S dikatakan terkoneksi dengan
lemah (weakly connected) bila setiap pasangan verteks berbeda x dan y dalam S, salah
satu: x berkoneksi dengan y (atau y berkoneksi dengan x) dan tidak kebalikan arahnya
(dpl., hanya terdefinisi satu path: dari x ke y atau sebaliknya dari y ke x).
E. Metode Pencarian Vertex
Pencarian vertex adalah proses umum dalam graph. Terdapat 2 metoda pencarian,
yakni Depth First Search (DFS) dan Breadth First Search (BFS).
a. Depth First Search (DFS)
Pencarian dengan metode ini dilakukan dari node awal secara mendalam hingga
yang paling akhir (dead-end) atau sampai ditemukan. Dengan kata lain, simpul cabang
atau anak yang terlebih dahulu dikunjungi.
10

14. Proses pencarian dilakukan dengan mengunjungi cabang terlebih dahulu hingga
tiba di simpul terakhir. Jika tujuan yang diinginkan belum tercapai maka
pencarian
dilanjutkan ke cabang sebelumnya, turun ke bawah jika memang masih ada
cabangnya. Begitu seterusnya hingga diperoleh tujuan akhir (goal). Depth First Search,
memiliki kelebihan diantaranya adalah cepat mencapai kedalaman ruang pencarian. Jika
diketahui bahwa lintasan solusi permasalahan akan panjang maka Depth First Search
tidak akan memboroskan waktu untuk melakukan sejumlah besar keadaan dangkal
dalam permasalahan graf. Depth First Search jauh lebih efisien untuk ruang pencarian
dengan banyak cabang karena tidak perlu mengeksekusi semua simpul pada suatu
level tertentu pada daftar open. Selain itu, Depth First Search memerlukan memori
yang relatif kecil
karena banyak node pada lintasan yang aktif saja yang Selain
kelebihan, Depth First Search juga memiliki kelemahan di antaranya adalah
memungkinkan tidak ditemukannya tujuan yang diharapkan
dan
hanya
akan
mendapatkan satu solusi pada setiap pencarian.
b. Breadth First Search (BFS)
Prosedur Breadth First Search (BFS) merupakan pencarian yang dilakukan
dengan mengunjungi tiap-tiap node secara sistematis pada setiap level hingga keadaan
tujuan (goal state) ditemukan. Atau dengan kata lain, penulusuran
yang
dilakukan
adalah dengan mengunjungi tiap-tiap node pada level yang sama hingga ditemukan goal
state-nya.
11

15. Implementasi algoritma BFS :
Pengimplementasian BFS dapat ditelusuri dengan menggunakan daftar (list), open, dan
closed, untuk menelusuri gerakan pencarian di dalam ruang keadaan. Prosedur untuk
Breadth First Search dapat dituliskan sebagai berikut:
Pada diatas, state 21 merupakan tujuannya (goal) sehingga bila ditelusuri menggunakan
prosedur Breadth First Search, diperoleh:
1)
Open = [1]; closed = [ ].
2)
Open = [2, 3, 4]; closed = [1].
3)
Open = [3, 4, 5, 6]; closd = [2, 1].
4)
Open = [4, 5, 6, 7, 8]; closed = [3, 2, 1].
5)
Open = [5, 6, 7, 8, 9, 10]; closed = [4, 3, 2, 1].
6)
Open = [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]; closed = [5, 4, 3, 2, 1].
7)
Open = [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13] (karena 12 telah di-open);
12

16. closed = [6, 5, 4, 3, 2, 1].
8)
Open = [8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]; closed = [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1].
9)
Dan seterusnya sampai state 21 diperoleh atau open = [ ].
Ada beberapa keuntungan menggunakan algoritma Breadth First Search ini,
diantaranya adalah tidak akan menemui jalan buntu dan jika ada
satu solusi maka
Breadth First Search akan menemukannya, dan jika ada lebih dari satu solusi maka
solusi minimum akan ditemukan.
Namun ada tiga persoalan utama berkenaan dengan Breadth First Search ini
yaitu :
1) Membutuhkan memori yang lebih besar, karena menyimpan semua node dalam
satu pohon.
2) Membutuhkan
sejumlah
besar
pekerjaan,
khususnya
jika lintasan solusi
terpendek cukup panjang, karena jumlah node yang perlu diperiksa bertambah
secara eksponensial terhadap panjang lintasan.
3) Tidak relevannya operator akan menambah jumlah node yang harus diperiksa.
Oleh karena proses Breadth First Search mengamati node di setiap level
graf sebelum bergerak menuju ruang yang lebih dalam maka mula-mula semua
keadaan akan dicapai lewat lintasan yang terpendek dari keadaan awal. Oleh sebab
itu, proses ini menjamin ditemukannya lintasan terpendek dari keadaan awal ke
keadaan tujuan (akhir). Lebih jauh karena mula-mula semua keadaan ditemukan
melalui lintasan terpendek sehingga setiap keadaan yang ditemui pada kali kedua
didapati pada sepanjang sebuah lintasan yang sama atau lebih panjang. Kemudian, jika
tidak ada kesempatan ditemukannya keadaan yang identik pada sepanjang lintasan
yang lebih baik maka algoritma akan menghapusnya
13

17. F. Shortest Path
Pencarian shortest path (lintasan terpendek) adalah masalah umum dalam suatu
weighted, connected graph. Misal : Pencarian jaringan jalan raya yang menghubungkan
kota-kota disuatu wilayah.
1. Lintasan terpendek yag menghubungkan antara dua kota berlainan tertentu
(Single-source Single-destination Shortest Path Problems)
2. Semua lintasan terpendek masing-masing dari suatu kota ke setiap kota lainnya
(Single-source Shortest Path problems)
3. Semua lintasan terpendek masing-masing antara tiap kemungkinan pasang kota
yang berbeda (All-pairs Shortest Path Problems)
Untuk memecahkan masing-masing dari masalah-masalah tersebut terdapat sejumlah
solusi.
Dalam beberapa masalah graph lain, suatu graph dapat memiliki bobot negatif dan
kasus ini dipecahkan oleh algoritma Bellman-Ford. Yang akan dibahas di sini adalah
algoritma Dijkstra yaitu mencari lintasan terpendek dari suatu verteks asal tertentu vs ke
setiap verteks lainnya.
a. Graph berbobot (weighted graph)
Apabila sisi-sisi pada graph disertai juga dengan suatu (atau beberapa) harga yang
menyatakan secara unik kondisi keterhubungan tersebut maka graph tersebut disebut
graph berbobot. Biasanya dalam masalah-masalah graph bobot tersebut merupakan
"harga" dari keterhubungan antar vertex. Pengertian "harga" ini menggeneralisasikan
banyak aspek, biaya ekonomis dari proses/aktifitas, jarak geografis/tempuh, waktu
tempuh, tingkat kesulitan, dan lain sebagainya.
Dalam beberapa masalah lain bisa juga bobot tersebut memiliki pengertian "laba"
yang berarti kebalikan dari "biaya" di atas. Dalam pembahasan algoritma-algoritma graph
nanti pengertian bobot akan menggunakan pengertian biaya sehingga apabila
diaplikasikan pada masalah yang berpengertian laba maka kuantitas-kuantitas terkait
14

18. adalah kebalikannnya. Misalnya mencari jarak tempuh minimum digantikan dengan
mencari laba maksimum.
b. Algoritma Dijkstra’s
Algoritma Dijkstra's :
1. Menyelesaikan problem single-source shortest-path ketika semua edge memiliki
bobot tidak negatif.
2. Algoritma greedy mirip ke algoritma Prim's.
3. Algoritma di awali pada vertex sumber s, kemudian berkembang membentuk
sebuah tree T, pada akhirnya periode semua vertex dijangkau dari S. Vertex di
tambah ke T sesuai urutan
Misalnya :
Pertama S, kemudian vertex yang tepat ke S, kemudian yang tepat berikutnya dan
seterusnya.
c. Dynamic Programming
Terdiri dari sederetan tahapan keputusan. Pada setiap tahapan berlaku prinsip
optimality (apapun keadaan awal dan keputusan yang diambil, keputusan berikutnya
harus memberikan hasil yang optimal dengan melihat hasil keputusan sebelumnya.
Misalnya :
Multistage Graph
15

19. Dimana :
Cost (i,j) = Min(C(j,l) + Cost(i+1,l)}
Dengan
C(j,l) = Bobot edge j dan l
:
l = Elemen Vi+1 Dan <j,l> eemen E
i=stage ke-I dan j = node dalam V
Proses dimulai dari k-2, dimana k adalah banyak stage.
Perhatikan contoh untuk menentukan biaya termurah dari 1 hingga 12.
Diketahui graph dengan stage sebagai berikut :
Maka langkah-langkah yang dilakukan adalah :
K=5, sehingga dimulai dari S3
Cost(3,6) = Min{6+Cost(4,9); 5+Cost(4,10)} = Min{6+4;5+2} = 7
Cost(3,7) = Min{4+Cost(4,9); 3+Cost(4,10)} = Min{4+4;3+2} = 5
Cost(3,8) = Min{5+Cost(4,10); 6+Cost(4,11)} = Min(5+2;6+5} = 7
Cost(2,2) = Min{4+Cost(3,6);2+Cost(3,7);1+Cost(3,8)}
= Min{4+7;2+5;1+7} = 7
Cost(2,3) = Min{2+Cost(3,6); 7+Cost(3,7)} = Min(2+7; 7+5) = 9
Cost(2,4) = Min{11+Cost(3,8)} = 18
Cost(2,5) = Min{11+Cost(3,7); 8+Cost(3,8)} = Min(11+5;8+7} = 15
Cost(1,1) = Min{9+Cost(2,2);7+Cost(2,3);3+Cost(2,4),2+Cost(2,5)}
= Min{9+7;7+9;3+18;2+15} = 16
16

20. Shorthest Path menjadi :
1 -> 3 -> 6-> 10-> 12 Ata 1 -> 2-> 7-> 10 12
u
->
Jika ada dua atau lebih shorthest path maka total biaya harus sama.
Shortest Path Pertama adalah :
Shortest Path Kedua adalah :
17

21. G. Minimum Spanning Tree
Definisi Pohon rentangan atau spanning tree dari suatu connected graph
didefinisikan sebagai free-tree yang terbentuk dari subset sisi-sisi serta menghubungkan
setiap verteks dalam graph tersebut. Minimum Spanning Tree (MST) adalah pohon
rentangan dengan total bobot dari sisi-sisinya adalah minimal. Dalam penelusuran vertex
tidak diperkenankan terbentuk siklus (cycle).
Diketahui sebuah graph tak berarah dan tak berbobot sebagai berikut :
Kemungkinan Spanning Tree :
Bila jalur (edge) mempunyai biaya (cost) maka yang dicari adalah minimum
cost spanning tree.
18

22. H. Algoritma Menentukan Minimum Spanning Tree (MST)
Dua algoritma populer untuk menentukan minimum spanning tree (MST) adalah
Kruskal Algorithm dan Prim’s Algorithm.
1. Algoritma Kruskal
Algoritma ini lebih sederhana jika dilihat dari konsepnya namun lebih sulit dalam
implementasinya. Idenya adalah mendapatkan satu demi satu sisi mulai dari yang
berbobot terkecil untuk membentuk tree, suatu sisi walaupun berbobot kecil tidak akan
diambil jika membentuk siklik dengan sisi yang sudah termasuk dalam tree. Yang
menjadi masalah dalam implementasinya adalah keperluan adanya pemeriksaan kondisi
siklik tersebut.Salah satu pemecahaannya adalah dengan subsetting yaitu pembentukan
subset-subset yang disjoint dan secara bertahap dilakukan penggabungan atas tiap dua
subset yang berhubungan dengan suatu sisi dengan bobot terpendek. Algoritma
lengkapnya:

Tahap pertama, jika dalam V terdapat n verteks maka diinisialisasi n buah subset
yang disjoint, masing-masing berisi satu verteks, sebagai subset-subset awal.

Tahap berikutnya, urutkan sisi-sisi dengan bobot yang terkecil hingga terbesar.

Mulai dari sisi dengan bobot terkecil hingga terbesar lakukan dalam iterasi: jika
sisi tsb. menghubungkan dua vertex dalam satu subset (berarti membentuk siklik)
maka skip sisi tersebut dan periksa sisi berikutnya jika tidak (berarti membentuk
siklik) maka kedua subset dari verteks-verteks yang bersangkutan digabungkan
menjadi satu subset yang lebih besar. Iterasi akan berlangsung hingga semua sisi
terproses.
MST_KRUSKAL (G)
{ For setiap vertex v dalam V[G] Do
{ set S(v) ← {v} }
Inisialisasi priority queue Q yang berisi semua edge dari G,
gunakan bobot sebagai keys.
19

23. A ← { } // A berisi edge dari MST
While A lebih kecil dari pada n-1 edge Do
{ set S(v) berisi v dan S(u) berisi u }
IF S(v) != S(u) Then
{ Tambahkan edge (u, v) ke A
Merge S(v) dan S(u) menjadi satu set
}
Return A
}
2. Algoritma Prim
Algoritma dimulai dari suatu verteks awal tertentu dan bisa ditentukan oleh
pemanggil atau dipilih sembarang oleh algoritma. Misalnya verteks awal tersebut adalah
v. Pada setiap iterasi terdapat kondisi di mana himpunan vertex V terbagi dalam dua:
W yaitu himpunan verteks yang sudah dievaluasi sebagai node di dalam pohon,
serta (V-W) yaitu himpunan verteks yang belum dievaluasi.
Di awal algoritma W diinisialisasi berisi verteks awal v. Selanjutnya, di dalam iterasinya:
Pada setiap adjacency dari tiap verteks dalam W dengan verteks dalam (V-W)
dicari sisi dengan panjang minimal. setelah diperoleh, sisi tersebut ditandai
sebagai sisi yang membentuk tree dan verteks adjacent sisi tersebut dalam (VW)
dipindahkan ke W (menjadi anggota W).
Jika sisi tersebut tidak ada maka proses selesai.
Dari contoh di atas misalnya dilakukan pencarian mulai dari verteks A Maka
algoritma ini menghasilkan tahapan-tahapan iterasi pencarian sbb.:
20

24. MST_PRIM (G, w, v)
{ Q ← V[G]
for setiap u dalam Q do key [u] ← ∞
key [r] ← 0
π[r] ← NIl
while queue tidak kosong do
{ u ← EXTRACT_MIN (Q)
for setiap vertex v dalam Adj[u] do
{ if v ada dalam Q dan w(u, v) < key [v] then
{ π[v] ← w(u, v)
key [v] ← w(u, v)
}
}
}
21

25. III. GRAPH PADA JAVA
Pada Project ini, kita lakukan pengaplikasian dari teori Graph pada program Java.
Software yang kita gunakan adalah Eclipse.
Didalam Project ini terdapat 5 package Java. Dan yang akan kita bahas disini
adalah Package GRAPH_BASIC. Package GRAPH_BASIC, berisi 5 file berextensi .java
yang saling berhubungan satu sama lain. Untuk detail File bisa di lihat di gambar di
bawah ini.
Untuk melakukan Logika Aplikasi Graph terdapat pada File Main.java
22

26. Tampilan Scriptnya seperti gambar di bawah ini.
Dapat Kita lihat dari gambar diatas, logika Graph di mulai dari penambahan Vertex/Node,
dengan memanggil fungsi “AddVertex” pada file Graph.java. Setelah vertex tercipta,
dilakukan penambahan Edge/Busur dan terakhir memanggil fungsi untuk menghasilkan
output.
Untuk Output yang di hasilkan bisa di lihat gambar di bawah ini.
23

27. IV. KESIMPULAN
Mengenal Graph :
 Terdiri dari node dan terdiri dari link (busur)
 Node disebut vertex dan Link disebut edge
 Informasi penting dalam graph adalah koneksi antar vertex
 Pada undirected graph, tidak terdapat directions (arah), Edge dari v0 ke v1 adalah
sama dengan edge dari v1 ke v0
 Jika sebuah masalah dapat direpresentasikan ke dalam bentuk kgraph maka solusi
dari masalah tersebut bisa dicari dengan bantuan graph
 Setiap vertex mewakili sebuah kondisi (state) dan edge mewakili transisi antar
state
Analogi Graph dalam Kehidupan Sehari-Hari
Graph dalam kehidupan sehari-hari dapat dianalogikan sebagai suatu jaringan satu
dengan jaringan lainnya yang saling terhubung. Misal seperti negara Indonesia
yang memiliki banyak kota seperti: Jakarta, Bandung, Surabaya, Yogyakarta.
Kota-kota itulah yang tergabung dalam negara Indonesia dan kota-kota itulah
yang saling berhubungan.
24

28. DAFTAR PUSTAKA
Undip, BFS dan DFS,
http://eprints.undip.ac.id/5202/2/BAB_I_dan_II.pdf,
Tanggal Akses : 10 November 2010
Rachmat Antonius, Struktur Data
http://lecturer.ukdw.ac.id/anton/download/TIstrukdat11.ppt
Tanggal Akses : 10 November 2010
AlpenYap, Struktur Data Hirarkis
http://alpz.files.wordpress.com/2007/12/tree-btree-graph.pdf
Tanggal Akses : 2 November 2010
Ciptarjo Imam, Pengantar Graph
http://134738.yolasite.com/resources/17782333-Struktur-Data-Graphwwwaloneareacom.pdf
Tanggal Akses : 2 November 2010
25