Variable compleja

1. UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA
DE MÉXICO
BVCO. VARIABLE COMPLEJA. B2
UNIDAD 1. NÚMEROS COMPLEJOS Y
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
ACTIVIDAD 2. Actividad entregable
DOCENTE: María Angélica Fuentes
Rodríguez
ASESOR: Sin asesor asignado
ALUMNO: Josué García Flores
MATRÍCULA: ES1821012682
GRUPO: BI-BVCO-2102-B2-001
FECHA DE ENTREGA:
08 de octubre del 2021

2. UNIDAD 1. NÚMEROS COMPLEJOS Y FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
ACTIVIDAD 2. Actividad entregable
Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios. Incluye tu análisis e identifica claramente
los resultados
obtenidos.
1) Calcula el módulo de las expresiones:
a. −𝑖 +
6+𝑖
2−𝑖
Resolver la división entre números complejos.
−𝑖 +
6 + 𝑖
2 − 𝑖
= −𝑖 +
(6 + 𝑖)(2 + 𝑖)
(2 − 𝑖)(2 + 𝑖)
= −𝑖 +
12 + 6𝑖 + 2𝑖 + 𝑖2
4 − 𝑖2
= −𝑖 +
12 + 6𝑖 + 2𝑖 − 1
4 − (−1)
= −𝑖 +
11 + 8𝑖
5
= −𝑖 +
11
5
+
8𝑖
5
=
11
5
+
3
5
𝑖
Cálculo del módulo del número complejo.
‖𝑍‖ = √𝑎2 + 𝑏2 = √
11
5
2
+
3
5
2
= √
121
25
+
9
25
= √
130
25
=
√130
5
= ~2.28
Representación gráfica del módulo del número complejo. (GEOGEBRA)
b. |
(3+4𝑖)5
(𝑖+𝑖√3)
|
i. Multiplicar por el conjugado
(−𝟏−√𝟑)𝒊
(−𝟏−√𝟑)𝒊
:
(3 + 4𝑖)5
(−1 − √3)𝑖
(𝑖 + 𝑖√3)(−1 − √3)𝑖
ii. Simplificar la potencia por teorema del binomio:
(𝑎 + 𝑏)𝑛
= ∑ (
𝑛
𝑖
)𝑎(𝑛−𝑖)
𝑏𝑖
𝑛
𝑖=0
= ∑ (
5
𝑖
) 3(5−𝑖)(4𝑖)𝑖
5
𝑖=0
1. Expandir sumatorio y resolver cada uno:

3. (
𝑛
𝑖
) =
𝑛!
𝑖! (𝑛 − 𝑖)!
𝑖 = 0 ∶
5!
0! (5 − 0)!
∙ 35(4𝑖)0
=
5!
1(5)!
∙ 35
=
5!
5!
∙ 243 = 243
𝑖 = 1 ∶
5!
1! (5 − 1)!
∙ 34(4𝑖)1
= 34
∙ 4𝑖
5
1!
=
81 ∙ 20𝑖
1!
=
1620𝑖
1!
= 1620𝑖
𝑖 = 2 ∶
5!
2! (5 − 2)!
∙ 33(4𝑖)2
= 33
∙
20
2!
∙ (4𝑖)2
=
20 ∙ 33
∙ 42
𝑖2
2!
= −
8640
2!
= −4320
𝑖 = 3 ∶
5!
3! (5 − 3)!
∙ 32(4𝑖)3
= 32
∙
20
2!
∙ 43
𝑖3
=
32
∙ 20 ∙ 43
𝑖3
2!
= −
11520𝑖
2
= −5760𝑖
𝑖 = 4 ∶
5!
4! (5 − 4)!
∙ 31(4𝑖)4
= 3 ∙
5
1!
∙ 44
𝑖4
=
3 ∙ 5 ∙ 256 ∙ 1
1
= 3840
𝑖 = 5 ∶
5!
5! (5 − 5)!
∙ 30(4𝑖)5
=
45
𝑖5
(5 − 5)!
= 45
𝑖5
= 1024𝑖
∑ (
5
𝑖
) 3(5−𝑖)(4𝑖)𝑖
5
𝑖=0
= 243 + 1620𝑖 − 4320 − 5760𝑖 + 3840
+ 1024𝑖 = −237 − 3116𝑖
iii. Sustituir en la multiplicación por el conjugado
(−𝟏−√𝟑)𝒊
(−𝟏−√𝟑)𝒊
:
(= −237 − 3116𝑖)(−1 − √3)𝑖
(𝑖 + 𝑖√3)(−1 − √3)𝑖
=
𝑖(237 + 237√3 + 3116𝑖 + 3116√3𝑖)
𝑖(−1𝑖 − √3𝑖 − 1 ∙ √3𝑖 − √3√3𝑖)
=
𝑖(237 + 237√3 + 3116𝑖 + 3116√3𝑖)
𝑖(−𝑖 − 2√3𝑖 − 3𝑖)
=
𝑖(237 + 237√3 + 3116𝑖 + 3116√3𝑖)
𝑖(−4𝑖 − 2√3𝑖)
=
237𝑖 + 237√3𝑖 + 3116𝑖2
+ 3116√3𝑖2
−4𝑖2 − 2√3𝑖2
=
237𝑖 + 237√3𝑖 − 3116 − 3116√3
4 + 2√3

4. iv. Multiplicar por el conjunto
𝟒−𝟐√𝟑
𝟒−𝟐√𝟑
:
(237𝑖 + 237√3𝑖 − 3116 − 3116√3)(4 − 2√3)
(4 + 2√3)(4 − 2√3)
=
948𝑖 − 474√3𝑖 + 948√3𝑖 − 1422𝑖 − 12464 + 6232√3 − 12464√3 + 18696
42 − (2√3)
2
=
474√3𝑖 − 474𝑖 + 6232 − 6232√3
16 − 12
=
474√3𝑖 − 474𝑖 + 6232 − 6232√3
4
=
2(237√3𝑖 − 237𝑖 + 3116 − 3116√3)
4
=
237√3𝑖 − 237𝑖 + 3116 − 3116√3
2
=
237√3𝑖
2
−
237𝑖
2
+
3116
2
−
3116√3
2
= (1558 − 1558√3) +
237√3 − 237
2
𝑖
v. Cálculo del módulo del número complejo:
‖𝑍‖ = √𝑎2 + 𝑏𝑖2 = √(1558 − 1558√3)
2
+ (
237√3 − 237
2
)
2
= √(−1140.535158)2 + (86.7480207)2
= √1300820.447 + 7525.219095 = √1308345.666
= 1143.83
vi. Representación gráfica del módulo del número complejo. (GEOGEBRA)

5. 2) Los siguientes vectores representan números complejos. Expresa estos números en la
forma a + ib
a. El vector que termina en (2,2). Su longitud es de 5 y pasa por el punto (1,0).
Calculamos la pendiente entre dos puntos
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
2 − 0
2 − 1
=
2
1
= 2
Calculamos el ángulo ϴ.
𝜃 = arctan(𝑚) = arctan 2 = ~63.43
Calculamos los catetos.
𝑎 = 𝑍 ∙ cos 𝜃 = 5 ∙ cos 63.43 = ~2.24
𝑏 = 𝑍 ∙ sen 𝜃 = 5 ∙ sen 63.43 = ~4.47
Número complejo y gráfico
del vector que termina en
(2,2) de longitud de 5 que
pasa por el punto (1,0):
𝑍 = 2.24 + 𝒊4.47
Forma polar y gráfico del
número complejo del vector
que termina en (2,2) de
longitud de 5 que pasa por el
punto (1,0):
𝑎 = 𝑍 ∙ cos 𝜃 ; 𝑏 = 𝑍 ∙ sin 𝜃
∴
𝑍 = 5 ∙ cos 63.4 + 5
∙ 𝒊 sin 63.4
𝑍 = 5(cos 63.4 + 𝒊 sin 63.4)
b. El vector de longitud 10 que sale de (1,-2) y forma un ángulo de Π/6 radianes
en sentido positivo con la parte positiva del eje x.
Tenemos un módulo de R=10 y argumento de π/6 rad

6. (1) Convertimos Rad a Grados.
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠° = 𝑟𝑎𝑑 ∙
180
𝜋
=
𝜋
6
∙
180
𝜋
= 30°
(2) Encontrar el cateto a.
𝑎 = 𝑍 ∙ cos 𝜃 = 10 ∙ cos 30° = 5√3~8.66
(3) Encontrar el cateto b.
𝑏 = 𝑍 ∙ sin 𝜃 = 10 ∙ sin 30° = 5
(4) El número complejo en su forma binomial y su gráfico son:
𝑍 = 5√3 + 𝒊5
(5) El número complejo en su forma polar y su gráfico son:
𝑍 = 10(cos30° + 𝒊 sin 30°)
Referencias:
1) MateFácil. (2019, 15 febrero). 29. Módulo o valor absoluto de un número complejo.
YouTube: MateFacil. https://www.youtube.com/watch?v=qPrwPe4MeNo&t=189s
2) Matemática Profesor Rosado. (2021, 7 marzo). POTENCIA DE NÚMERO COMPLEJO EN
FORMA BINÓMICA (a +b)^n. YouTube: Matemática Profesor Rosado.
https://www.youtube.com/watch?v=Ghdj_rTkl7o
3) unProfesor. (2015, 28 agosto). Explicación de los números complejos en forma polar.
YouTube: unProfesor. https://www.youtube.com/watch?v=5yBoG715XyE
4) Llanos, S. (2021, 24 mayo). El número imaginario i. La raíz cuadrada de menos uno.
Números Complejos. YouTube: ProfesorSergioLlanos.
https://www.youtube.com/watch?v=xOOa7gDq-rU
5) Llanos, S. (2021b, mayo 26). Los Números Complejos. Forma Binómica y Operaciones
Elementales. YouTube: ProfesoSergioLlanos.
https://www.youtube.com/watch?v=YuhQJ0bZ3Fo

7. 6) Llanos, S. (2021c, mayo 27). Número Complejo. Forma Gráfica y Polar. YouTube:
ProfesorSergioLlanos. https://www.youtube.com/watch?v=FifTaw0aQ_w&t=6s
7) Llanos, S. (2021d, mayo 30). Números Complejos. Forma Exponencial y Fórmula de
Moivre. YouTube: ProfesorSergioLlanos.
https://www.youtube.com/watch?v=ekPea2zc3rY