Logarifmicheskaya funkciya

1. Логарифмическая функция

2. Содержание
1. Понятие логарифма.
2. Графики логарифмических функций.
3. Свойства логарифмов.
4. Решение логарифмических уравнений.
5. Решение логарифмический неравенств.
завершить

3. Логарифмом положительного числа b по положительному и
отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в
которую необходимо возвести число а, чтобы получить число b.
baxb x
a =⇔=log
8238log 3
2 =⇔=
);1()1;0( +∞∪∈a );0( +∞∈b
Пример:

4. В зависимости от значения основания приняты два
обозначения
1. Если основанием является 10, то вместо log10 x пишут lg
x.
2. Для введения следующего определения стоит понимать
что за число e.
Число е есть предел, к которому стремится при
неограниченном возрастании n. Т.е
Вместо logex принято писать ln x.
...718281,2
1
1lim =





+=
∞→
n
n n
e
n
n






+
1
1

5. Можно выделить три формулы
Из определения логарифма следует
следующее тождество:
1log =aa cac
a =log01log =a
ba ba
=log
53 5log3
= 01lg = 1ln =e
Примеры:

6. Графики логарифмических функции
1. y = lg x
2. y = ln x
3. y = loga x,a>1
4. y = loga x,0<a<1
5. Свойства функции.
содержание

7. График функции y=lg x
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

8. График функции y=ln x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

9. График функции y=loga x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
a>1

10. График функции y=loga x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
0<a<1

11. Свойства f(x)=loga x
1. D(f)=(0;+∞);
2. Не является ни четной, ни нечетной;
3. При a>1 функция возрастающая, при 0<a<1 функция убывающая;
4. Не ограничена;
5. Не имеет ни максимального, ни минимального значения;
6. Непрерывна;
7. E(f)=(- ∞;+ ∞);
8. Асимптота х=0;
9. Выпукла вверх при a>1, выпукла вниз при 0<a<1
Стоит заметить, что график проходит через точки (1;0) и (а;1)

12. Свойства логарифмов
1. Логарифм произведения.
2. Логарифм частного.
3. Логарифм степени.
4. Логарифм корня.
5. Переход от одного показателя к другому.
6. Свойства натуральных логарифмов.
содержание

13. 1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов
множителей:
( ) baab xxx logloglog +=
2. Логарифм частного равен логарифмов делимого без
логарифма делителя:
ba
b
a
xxx logloglog −=






14. 3. Логарифм степени равен произведению показателя
степени на логарифм ее основания:
ama x
m
x loglog =
4. Логарифм корня равен отношению логарифма
подкоренного выражения и показателя корня:
m
a
a xm
x
log
log =

15. 5. Переход от одного основания к другому
a
x
a
x
x
x
a
b
b
a
log
1
log
log
log
log =⇒=

16. Свойства натуральных логарифмов
Чтобы по известному десятичному логарифму числа х найти
его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный
логарифм числа х на десятичный логарифм числа е:
Чтобы по известному натуральному логарифму числа х
найти его десятичный логарифм, нужно умножить
натуральный логарифм числа х на десятичный логарифм
числа е:
x
x
e
x
x lg30259.2
43429.0
lg
lg
lg
ln ≈≈=
xxex ln43429.0lnlglg ≈⋅=
Число lg e=0.43429 называется модулем
десятичных логарифмов и обозначается через М.

17. Решения логарифмических уравнений
25log =x
5:
05..,5
52
=
>=
=
xОтвет
ктx
x
5,0log4 =x
2:
2
244 5.0
=
=
===
xОтвет
x
x

18. ( )
x
x
x
xx
21
52
21
422 1
−
−
=
−
− +
Решить уравнение:
( )
23
4
5,3
2
,1
056
0524
524
1
2,1
2
1
2
2
±=
±−
=
=−=
=−===
=+−
=+−−
−=−
a
Dk
m
ackD
c
b
ka
mm
mmm
mmm ноm ,11 = 1≠m 52 =m
Значит, 5log52 2=⇔= xx
.5log: 2=xОтвет
( ) ( )+∞∪∈= ;11;0,2 mпричемmПусть x

19. Решение логарифмических неравенств
0log 5.0 >x
)1;0(:
1
0log 5.0
∈
=
=
xОтвет
x
x
32 >x
( ).;3log:
3log
22
2
2
3log2
+∞∈
>
>
xОтвет
x
x

20. Решите неравенство:
( ) 2103210
2
−⋅≤− xx
( )
( )( )
6lg0
6101
61
061
067
02344
232
2
2
2
≤≤
≤≤
≤≤
≤−−
≤+−
≤+−+−
−≤−
x
t
tt
tt
ttt
tt
x
( )+∞∈= ,0,10 ttПусть x
[ ].6lg;0: ∈xОтвет

21. Над презентацией работали:
Киселев Михаил
Таячков Максим
Кирилов Дмитрий
Спасибо за внимание