Dokumen tersebut membahas tentang pengertian limit secara umum dan beberapa teorema yang terkait dengan limit fungsi. Secara khusus dijelaskan tentang makna limit secara intuitif, limit kanan dan kiri, teorema limit utama, dan teorema substitusi. Diberikan juga contoh soal untuk menguji pemahaman tentang konsep-konsep limit yang diajarkan.

1. Materi 5
Pendahuluan Limit
dan
Teorema Limit
Kalkulus 1
Prodi TI FKOM UNIKU
Tahun Pembelajaran 2022-2023

2. Pengantar
Topik-topik yang dibahas di bab sebelumnya merupakan
bagian dari prakalkulus. Prakalkulus memberikan dasar-
dasar untuk kalkulus tetapi bukan kalkulus.
Sekarang kita siap untuk suatu gagasan baru yang
penting, yaitu pengertian limit. Gagasan inilah yang
membedakan kalkulus dari cabang matematika lainnya.
Nyatanya, kita dapat mendefinisikan kalkulus seperti
berikut ini
Kalkulus adalah studi tentang limit.
Konsep limit adalah pusat dalam banyak masalah di fisika,
rekayasa, dan ilmu sosial. Secara mendasar pertanyannya
adalah : apa yang terjadi pada fungsi f(x) ketika x semakin
mendekati suatu konstanta c? terdapat variasi pada tema
ini, tetapi gagasan dasarnya tetap sama untuk banyak
keadaan.

3. Makna Limit secara intuisi
Untuk mengatakan bahwa lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)= L,
berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan
dari c, maka f(x) dekat ke L.
Lihat Contoh 1 dan 2, halaman 57

4. Limit Kanan dan Limit Kiri
Limit kanan
Untuk mengatakan bahwa lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = L berarti
bahwa ketika x dekat pada sebelah kanan c, maka
f(x) dekat ke L.
Limit kiri
Demikian pula, untuk mengatakan bahwa
lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = L berarti bahwa ketika x dekat tetapi
pada sebelah kiri c, maka f(x) dekat ke L

5. Teorema
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = L , jika dan hanya jika
lim
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = L dan lim
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = L
Lihat Gambar 10 halaman 59

6. Teorema Limit Utama
Misalkan n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g adalah fungsi-
fungsi yang mempunyai limit di c. maka :
a. lim
𝑥→𝑐
𝑘 = k
b. lim
𝑥→𝑐
𝑥 = c
c. lim
𝑥→𝑐
𝑘 𝑓(𝑥) = k lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
d. lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
e. lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) - lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
f. lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 . 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) . lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
g. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥)
, asalkan lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) ≠ 0
h. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) 𝑛
= lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥)
𝑛
i. lim
𝑥→𝑐
𝑛
𝑓(𝑥) = 𝑛
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) , asalkan lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) > 0, ketika n genap
Lihat Contoh 1, 2, 3 dan 4 Halaman 69

7. Teorema Substitusi
Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka:
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = f(c)
Asalkan f(c) terdefinisi. Dalam kasus fungsi rasional,
ini bermakna bahwa nilai penyebut pada c tidak
nol.
Lihat Contoh 5 dan 6 halaman 70
Lihat juga Contoh 7 dan 8 halaman 71

8. Tugas Terstruktur 5
Jawaban dalam bentuk PDF/ image dan
kirimkan di hybrid
Mohon diperhatikan batas waktu
pengiriman tugas
Point Penilaian :
1. Kelengkapan jawaban
2. Ketepatan waktu pengumpulan

9. No. 1
Carilah limit berikut :
a. lim
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
b. lim
𝑡→−7
𝑡2+ 4𝑡−21
𝑡 + 7
c. lim
𝑥→0
𝑥4+ 2𝑥3− 𝑥2
𝑥2
d. lim
𝑥→−𝑡
𝑥2− 𝑡2
𝑥+𝑡
e. lim
𝑥→3
𝑥4−18𝑥2+81
𝑥−3 2
f. lim
ℎ→0
2+ℎ 2−4
ℎ
g. lim
ℎ→0
𝑥+ℎ 2−𝑥2
ℎ

10. No. 2
Untuk fungsi f yang digambarkan grafiknya di bawah ini,
cari limit atau nilai fungsi yang ditunjukkan , atau
nyatakan bahwa limit tersebut tidak ada.
a. lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥)
b. F(-3)
c. F(-1)
d. lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥)
e. F(1)
f. lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥)
g. lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥)
h. lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)

11. No. 3
Diketahui fungsi
G(x) =
−𝑥 + 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 1
𝑥 − 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 1 < 𝑥 < 2
5 − 𝑥2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 2
Sketsakan grafik dari fungsi berikut, kemudian cari
masing-masing yang berikut atau nyatakan jika tidak ada
a. G(1)
b. lim
𝑥→1
𝑔(𝑥)
c. G(2)
d. lim
𝑥→2
𝑔(𝑥)

12. No. 4
Carilah nilai limit berikut :
a. lim
𝑥→−1
𝑥2−2𝑥−3
𝑥+1
b. lim
𝑥→−1
𝑥2+𝑥
𝑥2+1
c. lim
𝑥→−1
𝑥3−6𝑥2+11𝑥−6
𝑥3+4𝑥2−19𝑥+14
d. lim
𝑥→1
𝑥2+ 𝑥−2
𝑥2−1
e. lim
𝑥→−3
𝑥2− 14𝑥−51
𝑥2−4𝑥−21
f. lim
𝑤→−2
(𝑤+2)(𝑤2− 𝑤−6)
𝑤2+4𝑤+4

13. Diketahui lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 3 , lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = -1 .
Carilah nilai limit berikut
a. lim
𝑥→𝑎
𝑓2 𝑥 + 𝑔2(𝑥)
b. lim
𝑥→𝑎
2𝑓 𝑥 −3𝑔(𝑥)
𝑓 𝑥 +𝑔(𝑥)
c. lim
𝑥→𝑎
3
𝑔(𝑥) [𝑓 𝑥 + 3]
d. lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 1 4
No. 5

14. No. 6
Carilah nilai dari : lim
𝑥→2
𝑓 𝑥 −𝑓(2)
𝑥−2
untuk masing-
masing fungsi yang diberikan berikut :
a. F(x) = 3x2
b. F(x) = 3x2 + 2x + 1
c. F(x) = 1/x
d. F(x) = 3/x2

15. Sekian dan Terimakasih
Wassalamu ‘alaikum wr wb