Lecture on Classical Electrodynamics - Chapter 4 - Magnetostatics field

Điện động lực học
Chương 4:
Từ trường dừng
Design by Lê Đại Nam
GV: Lê Đại Nam
03/09/2018
1

Nội dung
Từ trường dừng, thế vector1
Thế điện động ngoại lai2
Năng lượng của dòng dừng3
Luyện tập4
03/09/2018
2

Từ trường dừng – Thế vector
03/09/2018
3
Thế nào là trường dừng?
Trường dừng là trường mà
• các yếu tố của trường không thay đổi theo thời gian
0 0
0 0
D
t t
j
t t
B

 
 
 
 
 
 

03/09/2018
4
Thế nào là trường dừng?
Định luật bảo toàn điện tích => dòng dừng là dòng kín
0 di 0v
t
j

 



03/09/2018
5
Hệ phương trình Maxwell mô tả trường dừng
Từ hệ phương trình Maxwell, áp dụng điều kiện dừng của các yếu tố
trường, ta được
Hai phương trình mô tả điện trường tương đương với trường hợp điện
trường tĩnh.
Hai phương trình mô tả từ trường gây ra bởi dòng dừng=> được gọi là
từ trường dừng.
div rot
d
0
iv 0 rot
E
H j
D
B
 




03/09/2018
6
Từ trường dừng
Từ trường dừng là từ trường gây ra bởi dòng dừng, được mô tả bởi hai
phương trình
Từ trường dừng là một trường xoáy.
div 0
rot H j
B 

Dạng tích phânDạng vi phân
0
S
SL
B dS
H dl j dS
 
  
˜
˜

03/09/2018
7
Khái niệm thế vector
Tính chất xoáy của từ trường, hay từ phương trình div, chứng tỏ từ
trường dừng có thể biểu diễn thông qua một thế vector
div 0B  0
S
B dS ˜hay
rotB A
S L
B dS A dl   ˜

03/09/2018
8
Khái niệm thế vector
Thế vector không xác định đơn giá mà sai khác nhau một gradient của
một trường vô hướng bất kỳ. Do đó, ta cần điều kiện để xác định đơn
giá thế vector – điều kiện định cỡ Coulomb
div 0A 

03/09/2018
9
Phương trình Poisson cho thế vector
Từ khái niệm thế vector, ta thay vào phương trình còn lại mô tả từ
trường dừng, thì trong môi trường đồng nhất
Từ hệ thức Laplace của trường vector, ta có
  0rot rot rotH j A j  
  0grad div A A j  

03/09/2018
10
Phương trình Poisson cho thế vector
Định cỡ Coulomb cho phép ta loại bỏ số hạng đầu, từ đó, ta thu được
phương trình Poisson cho thế vector
tương đương 3 phương trình Poisson cho thế vô hướng.
Đối với những miền không chứa dòng dừng thì phương trình Poisson
trở thành phương trình Laplace cho thế vector
0A j  
Phương trình Laplace cho thế vector
0A 

03/09/2018
11
Xác định thế vector
Nghiệm của phương trình Poisson
với định cỡ Coulomb
có dạng
0A j  
div 0A 
  3
0
4 V
j r d r
A
r r


 




03/09/2018
12
Xác định thế vector
0
4 L
I dl
A
r

 


˜
Đối với trường hợp dòng điện kín phân bố trên một đường cong kín thì

Thế điện động ngoại lai
03/09/2018
13
Từ định luật Ohm và định luật Gauss cho điện trường dừng
j E
Từ định luật Ohm => mối quan hệ giữa mật độ dòng và điện trường
Từ định luật Gauss cho điện trường dừng (cũng tương đương điện
trường tĩnh)
0
div E




03/09/2018
14
Từ định luật Ohm và định luật Gauss cho điện trường dừng
0
div 0j



 
Nếu chỉ từ hai phương trình này, ta dễ dàng thấy rằng
Dòng dừng
div 0j 
Dòng dừng không thể thuần túy xuất hiện từ điện trường tĩnh
Cần có một điện trường có nguồn gốc khác với điện trường tĩnh

03/09/2018
15
Điện trường ngoại lại
 nj E E 
Ta đưa vào định luật Ohm một thành phần: điện trường ngoại lai
Lấy tích phân trên một đường cong kín
n
L L L
j dl E dl E dl     ˜ ˜ ˜
Bằng 0

03/09/2018
16
n
L L
j dl E dl  ˜ ˜
Ta được biểu thức sau
Vế phải của phương trình trên có thừa số
có thứ nguyên của điện thế, được gọi là thế điện động ngoại lai.
 n
L L
j dl
E dl n


  ˜ ˜

03/09/2018
17
 
L L
LL S
j dl j S dl
n
S
j Sdl dl
j dS
S S

 
 
  
 

  
         

˜ ˜
˜ ˜
Biến đổi một chút
Dòng điện Điện trở

03/09/2018
18
 
LS
dl
n j dS
S
IR


  
        

˜
Ta được định luật Ohm dạng tích phân

Năng lượng của dòng dừng
03/09/2018
19
Năng lượng của một phân bố dòng dừng
Một phân bố dòng dừng có mật độ năng lượng nên
có năng lượng toàn phần là
1
2
B H  
   1 1
rot
2 2
W B H dV H A dV
 
    
 div rot rot rotA H H A A H H A A j        Lại có
   1 1
2 2
divW dA j dV H VA
 
  

   1 1
2 2 S
A j d H dW V A S
 
    ˜
Năng lượng của dòng dừng
03/09/2018
20
Năng lượng của một phân bố dòng dừng
Bị triệt tiêu với
phân bố giới nội
 1
2
jW A dV

 
Định lý Gauss - Ostrogradski
   1 1
2 2
divW dA j dV H VA
 
  

Luyện tập
03/09/2018
Ôn tập
1. Thế nào là trường dừng? Trường dừng khác gì so với trường tĩnh?
2. Tại sao phải dùng thế vector để biểu diễn từ trường?
3. Tại sao phải có điều kiện định cỡ Coulomb cho thế vector của từ
trường dừng? Điện trường tĩnh có cần điều kiện định cỡ không, tại
sao?
4. Thành lập phương trình Poisson mô tả thế vector của từ trường
dừng.
5. Thế điện động ngoại lai là gì? Tại sao phải đưa thế điện động ngoại
lai vào trong trường dừng?
21

Luyện tập
03/09/2018
Bài tập
22
1. Áp dụng định luật Ampère, tìm vectơ cảm ứng từ 𝐵 gây bởi dòng điện
thẳng dài vô hạn.
2. Một dây dẫn hình trụ dài vô hạn, bán kính a, có dòng điện chạy qua
với mật độ dòng 𝑗 =
𝛼
𝑟
, r là khoảng cách đến trục dây dẫn. Tính vectơ
cảm ứng từ trong 2 trường hợp sau:
a) Độ thẩm từ bên trong và bên ngoài là μ
b) Độ thẩm từ bên trong và bên ngoài lần lượt là μ1 và μ2 .

Luyện tập
03/09/2018
Bài tập
23
3. Một dây dẫn hình trụ rỗng dài vô hạn, bán kính trong và ngoài là R1 và
R2 , có dòng điện chạy qua với mật độ dòng 𝑗 =
𝛼
𝑟2 , r là khoảng cách
đến trục dây dẫn. Tính vectơ cảm ứng từ trong 2 trường hợp sau:
a) Độ thẩm từ bên trong và bên ngoài là μ
b) Độ thẩm từ bên trong và bên ngoài lần lượt là μ1 và μ2 .
4. Tìm cường độ từ trường bên trong một hốc hình trụ của một dây dẫn
hình trụ có dòng điện chạy qua với mật độ dòng j phân bố đều theo tiết
diện của nó. Trục của hình trụ và dây dẫn song song với nhau và cách
nhau một khoảng là a.

Luyện tập
03/09/2018
Bài tập
24
5. Xác định vectơ cảm ứng từ tạo bởi dòng điện một chiều I chạy theo
một dây dẫn dài vô hạn, hình trụ tròn bán kính a, hằng số từ thẩm là μ0,
độ từ thẩm của môi trường xung quanh là μ. Tính năng lượng từ trường
tích lũy bên trong một đơn vị dài của dây dẫn.
6. Một dây dẫn dạng cáp đồng trục có ruột là vật dẫn hình trụ bán kính
là R1, độ từ thẩm μ1, có dòng điện chạy qua với mật độ dòng 𝑗 =
𝜋
𝑟
, r là
khoảng cách đến trục dây dẫn, vỏ bọc mỏng bán kính R2, độ từ thẩm μ2.
Tính năng lượng từ trường tích lũy trên một đơn vị dài của dây cáp này.

Luyện tập
03/09/2018
Bài tập
25
7. Một dây dẫn thẳng hình trụ dài vô hạn, bán kính a, có dòng điện
không đổi I chạy qua. Tìm thế véc-tơ và cảm ứng từ tại một điểm ở bên
trong và bên ngoài dây. Biết độ từ thẩm trong và ngoài dây đều là μ.
8. Một dây dẫn thẳng hình trụ dài vô hạn, bán kính a, có dòng điện chạy
qua với mật độ dòng 𝑗 =
𝛼
𝑟
, (với α là hằng số, r là khoảng cách đến trục
dây dẫn). Tìm thế véc-tơ và cảm ứng từ tại một điểm ở bên trong và
bên ngoài dây. Biết độ từ thẩm trong và ngoài dây lần lượt là μ1 và μ2 .

Luyện tập
03/09/2018
Bài tập
26
9. Dây dẫn hình trụ rỗng, bán kính trong a, bán kính ngoài b, có dòng
điện không đổi I (hình vẽ bên). Tìm thế véc-tơ và cảm ứng từ trong các
miền 1, 2 và 3.

Luyện tập
03/09/2018
Bài tập
27
10. Một nam châm kích thước nhỏ có thể xem gần đúng là một lưỡng
cực từ có moment lưỡng cực từ 𝑚. Hãy xác định thế vector và cảm ứng
từ tại một điểm bất kì cách xa nam châm.
11. Chứng minh rằng thế vector
thỏa định cỡ Coulomb.
  3
0
4 V
j r d r
A
r r


 




Design by Lê Đại Nam 03/09/2018
28

Lecture on Classical Electrodynamics - Chapter 4 - Magnetostatics field

More Related Content

What's hot

Similar to Lecture on Classical Electrodynamics - Chapter 4 - Magnetostatics field

More from Lê Đại-Nam

Recently uploaded

Lecture on Classical Electrodynamics - Chapter 4 - Magnetostatics field