1. Комплексные
числа

2. Комплексные числа
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Московский педагогический государственный университет»
Автор: Фонтанова Алёна Эдуардовна
Москва 2015 г.

3. Оглавление
1. Необходимость введения комплексных чисел.
2. Историческая справка.
3. Основные понятия: (комплексное число (КЧ); действительные и мнимые
КЧ; равные КЧ, противоположные КЧ; сопряженные КЧ).
4. Геометрическое изображение комплексных чисел
5. Модуль и аргумент комплексного числа.
6. Формы записи комплексных чисел.
7. Алгоритм перехода от алгебраической формы комплексного числа к
тригонометрической и показательной.
8. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к
тригонометрической и показательной без использования алгоритма.
9. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к
тригонометрической и показательной с использованием алгоритма.

4. 1. Необходимость введения
комплексных чисел
Наше представление о числе изменялось по мере расширения круга задач,
которые необходимо было решать. Когда было известно, как уже казалось,
последнее числовое множество действительных чисел, стало понятно, что их
также недостаточно для решения простейших квадратных уравнений,
например, таких как:
𝒙 𝟐
+ 𝟏 = 𝟎, 𝒙 𝟐
+ 𝒙 + 𝟏 = 𝟎.
Потребовалось введение новых чисел, названных комплексными.
Для того чтобы на множестве комплексных чисел уравнение 𝑥2 + 1 = 0
имело решение, было введено некоторое новое число – корень этого
уравнения, которое было обозначено буквой i. Таким образом, i – комплексное
число, такое, что 𝑖2 = −1.

5. 2. Историческая справка
 Первое появление мнимых чисел в работе Дж. Кардано «Великое искусство,
или об алгебраических правилах» в 1545 году.
 Применение мнимых чисел при решении кубических уравнений впервые
оценил итальянский ученый Р. Бомбелли (1572).
 Символ i предложил российский ученый Л. Эйлер (1777, опубликовано1794).
 Задача о выражении степени n из комплексного числа была решена в работе
английского ученого А. Муавра (1707, 1724).
 Термин «комплексное число» ввел французский ученый Л. Карно (1803).
 В употребление термин вошел после работ К. Гаусса (1831).
 Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними
появилось впервые в работе датского ученого К. Весселя (1799).

6. 3. Основные понятия
Комплексным числом называется выражение
вида 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊, где a и b действительные
числа, а i – мнимая единица, определяемая
равенством 𝒊 𝟐
= 𝟏.

7. 3. Основные понятия
Действительные числа:
z=a+0i=a, z=Re z.
Мнимые числа:
z=0+bi=bi, z=Im z.

8. 3. Основные понятия
Равные комплексные числа:
Два комплексных числа z1=a+bi,
z2=c+di называются равными тогда и
только тогда, когда a=c и b=d, т.е. когда
равны их действительные и мнимые
части.

9. 3. Основные понятия
Противоположные комплексные
числa
Два комплексных числа называются
противоположными тогда, когда:
z1=a+bi, z2=-a-bi

10. 3. Основные понятия
Сопряженные комплексные числа
Сопряженным с числом z=a+bi
называется комплексное число a-bi,
которое обозначается 𝑧, т.е.
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎 − 𝑏𝑖.

11. 4. Геометрическая
интерпретация комплексных
чисел
Комплексные числа на плоскости
изображаются в прямоугольной
декартовой системе координат
либо точкой М(а; в), либо
радиус – вектором этой точки
r =ОМ=(а; в).
(см. видеоурок в материалах сайта)
x
y
0
M(x; y)
r
a
b


12. 5. Модуль и аргумент
комплексного числа
Модуль комплексного числа
𝒛 = 𝒓 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
Аргумент комплексного
числа
𝑨𝒓𝒈 𝒛 = 𝝋 + 𝟐𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁,
𝝋 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈
𝒃
𝒂
, −𝛑 < 𝝋 ≤ 𝝅.

13. 6. Алгоритм перехода от алгебраической
формы комплексного числа к
тригонометрической и показательной
1. Найти модуль комплексного числа: 𝒛 = 𝒓 = 𝒂 𝟐 + 𝒃 𝟐
2. Вычислить: 𝒕𝒈𝝋 𝟎 =
𝒃
𝒂
, 𝝋 𝟎 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈
𝒃
𝒂
.
3. По знакам и определить четверть, в которой заканчивается искомый угол 𝝋.
4. Найти аргумент комплексного числа , используя следующие равенства:
• первая четверть: 𝝋 = 𝝋 𝟎
• вторая четверть: 𝝋 = 𝝅 − 𝝋 𝟎
• третья четверть: 𝝋 = 𝝅 + 𝝋 𝟎
• четвертая четверть: 𝝋 = 𝟐𝝅 − 𝝋 𝟎
5. Записать комплексное число в тригонометрической или показательной форме.

14. 7. Формы записи
комплексных чисел
Алгебраическая: z =a + bi
Тригонометрическая: z = r (cos φ + i sin φ)
Показательная: z = r e iφ , e iφ = (cos φ + i sin φ) – формула Эйлера

15. 8. Переход от алгебраической формы
комплексных чисел к тригонометрической
и показательной без использования
алгоритма
y
x3-7
4,5
0
Φ =90°
r=3r=7
r=4,5
Φ=180°
z1
z2
z3
z1 = 3 = 3 (cos 0°+i sin 0°) = 3 e i0°
z2 = 4,5 = 4,5 (cos 90°+i sin 90°) = 4,5 e i90°
z3 = -7 = 7 (cos 180°+i sin 180°) = 7 e i180°

16. 9. Переход от алгебраической формы
комплексных чисел к тригонометрической
и показательной с использованием
алгоритма
Z = 2 +2i,
a = 2, b = 2,
.22822 22
r
,1
2
2
0 tg
,
4
0

 arctg
,
4
0

 
.22)
4
sin
4
(cos22 4

 i
eiz 
y
x
r
φ
a
b
0

17. Самостоятельная
работаI Вариант
1. Вычислите:
( 𝟑𝒊 + 𝟏)
𝟒
(𝟏 + 𝒊) 𝟓
;
2. Заштрихуйте на плоскости
множество точек плоскости,
удовлетворяющих условию:
𝒛 + 𝒊 = 𝒛 − 𝒊 ;
3. Используя теорему Муавра,
вычислите:
𝟏 + 𝒊
𝒊 − 𝟏
𝟏𝟎𝟎
;
II Вариант
1. Вычислите:
𝟏 − 𝟑𝒊
𝟓
: (𝟏 − 𝒊) 𝟔;
2. Заштрихуйте на плоскости
множество точек плоскости,
удовлетворяющих условию:
𝒛 + 𝟏 = 𝒛 + 𝒊 ;
3. Используя теорему Муавра,
вычислите:
−𝟏 + 𝒊 𝟑
𝟔𝟎
;

18. Леонард Эйлер (Eular)
(1707 – 1783)
Леонард Эйлер -
математик, академик
Петербургской академии
наук. В его трудах многие
математические формулы и
символика впервые
получают современный вид
(ему принадлежат
обозначения для e, , i)

19. Абрамах Муавр (Moivre)
(1667 – 1754)
Абрахам Муавр – английский
математик. Муавр нашел (1707г.)
правила возведения в n – ю
степень и извлечения корня n – й
степени для комплексных чисел.

20. Карл Фридрих Гаусс (Gauss)
(1777 – 1855)
Карл Фридрих
Гаусс– немецкий
математик. Работы
Гаусса оказали
большое влияние на
развитие теории
чисел.

21. Справочная система
Функциональное назначение, встречаемых в
презентации кнопок:
• Подчеркнутый текст, выделенный синим, является
ссылкой, нажатие на которую помогает перейти к
расширенному описаннию написанного. Например:
Эйлер
• Кнопка при нажатии возвращает к оглавлению
презентации
• Кнопка при нажатиии приводит к справочной
системе

22. Список литературы:
• История математики в школе. IX-X кл. Глейзер Г.И. М.:
Просвещение, 1983. - 351 с.
• Алгебра и начала математического анализа. 10 класс.
В 2 частях. Часть 1. Учебник (профильный уровень).
Мордкович А.Г., Семенов П.В. 6-е изд., стер. - М.: 2009. -
424 с.
• Комплексные числа : Учеб. пособие. - 3-е изд. -
Шахмейстер А. Х. СПб.: •Петроглиф• : М.: Изд-во
МЦНМО : ИД КДУ, 2014. - 176с.: