Документ представляет собой лекцию о множествах и операциях над ними, вводя основные математические понятия, такие как конечные и бесконечные множества, подмножества, пересечения и объединения. Также рассматриваются способы задания множеств, диаграммы Эйлера-Венна и понятие разбиения множеств на классы, подчеркивающее важность характеристики элементов. Лекция завершает краткий обзор классификации и дихотомического деления множеств.

1. Лекция 1. Часть 2. Множества и операции над ними. Понятие о разбиении множества на классы © Гусева И.Н., кафедра СМиРЯ, КГУ, 2010

2. Множество – это одно из основных понятий математики, исходное, на основе которого строятся другие понятия. Вместо слова «множество» в повседневной жизни употребляются слова: «набор», «коллекция», «собрание», «совокупность», «семейство». Объекты любой природы, составляющие множество, называют его элементами. Например: Множество: Дни недели, элементы: понедельник, вторник, … Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A , C , F …, а их элементы – малыми: d , c , h …, слово «принадлежит» - символом ϵ , «не принадлежит» - ϵ . Например:

3. Множество конечное, если оно содержит конечное число элементов. Множество бесконечное, если в нём бесконечно много элементов. Например: конечные множества: множеств букв алфавита, множество месяцев в году, множество дней недели. Бесконечные множества: множество звёзд на небе, множество точек на числовом отрезке, множества N , Z , Q , R .

4. Способы задания множеств Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Возможны следующие способы задания: 1. Перечисление элементов множества . Этот способ применим только для конечных множеств, да и то при условии, что число элементов множества невелико.

5. Способы задания множеств Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или нет. Возможны следующие способы задания: 2. Указание характеристического свойства элементов множества, то есть свойства, которым обладают все элементы.

6. Само понятие «множество» наводит на мысль, что каждое множество должно содержать много элементов. В математике приходится рассматривать и множества, не имеющие ни одного элемента. Это множество называют пустым и обозначают символом Ø. Например: Множество лошадей, пасущихся на Луне. Множества А и В считают равными , если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначается: А=В. С – множество равносторонних треугольников, Р – множество равноугольных треугольников. С=Р, так как это одни и те же треугольники.

7. Подмножество Понятие «подмножество» возникает каждый раз, когда приходится рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества. Например: А – множество рек в Европе, В = {Волга, Днепр, Лена, Ока}. Множество В является частью множества А, так как каждый элемент В является рекой, протекающей в Европе. Таким образом, множество В является подмножеством множества А. Множество В называют подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент В принадлежит множеству А.

8. Диаграммы Эйлера-Венна Чтобы наглядно изображать множества и отношения между ними, рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях. Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а снаружи – элементы, не принадлежащие этому множеству. В В

9. Пусть нам дано какое-либо множество I . Мы будем рассматривать всевозможные подмножества данного множества I . Исходное множество I в таком случае называют универсальным множеством.

10. Пересечением множеств А и В называется множество, в которое входят только те элементы, которые одновременно принадлежат множествам А и В. Обозначают: А∩В=Р. Например : А – множество равнобедренных треугольников В – множество прямоугольных треугольников А∩В=Р, Р - множество равнобедренных прямоугольных треугольников.

11. Объединением множеств А и В называется множество, в которое входят только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Обозначают: А υ В=Р. Например: А = { m , n , p , k , l }, B = { p , r , s , n }. А υ В= { m , n , p , k , l , r , s }.

12. В объединение множеств А и В входят: элементы из А, не принадлежащие множеству В, элементы из В, не принадлежащие множеству А, элементы, принадлежащие А и В одновременно

14. Разностью двух множеств А и В называется такое множество, в которое входят все те элементы, которые принадлежат А и не принадлежат В. Обозначают: А\В. Например: А={ a , b , c , d , e }, В={ b , d , e , k , f , n }. А\В= { a , c }.

15. Основные законы операций над множествами

16. Понятие о разбиении множества на классы Понятия множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации действии распределения объектов по классам. Классификацию мы выполняем достаточно часто. Так, натуральные числа представляем как два класса — четные и нечетные. Углы на плоскости разбиваем на три класса: прямые, острые и тупые. Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества. При этом считают, что множество Х разбито на классы Х1, Х2, Хn, .., если: 1)подмножества Х1, Х2, Хn… попарно не пересекаются; 2) объединение подмножеств Х1, Х2, Х n ... совпадает с множеством Х.

17. Если не выполнено хотя бы одно из условий, классификацию считают неправильной. Например, если из множества Х треугольников выделить подмножества равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, поскольку подмножества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторонние треугольники являются равнобедренными). В данном случае не выполнено первое условие разбиения множества на классы. Так как разбиение множества на классы связано с выделением его подмножеств, то классификацию можно выполнять при помощи свойств элементов множеств .

18. Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его элементы обладают различными свойствами. Положим, что нас интересуют числа, обладающие свойством «быть кратным 3». Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество, состоящее из чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т. е. получаем еще одно подмножество множества натуральных чисел. Так как выделенные подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством натуральных чисел, то имеем разбиение этого множества на два класса. Вообще, если на множестве Х задано одно свойство, то это множество разбивается на два класса. Первый — это класс объектов, обладающий этим свойством, а второй — дополнение первого класса до множества Х. Во втором классе содержатся такие объекты множества Х, которые данным свойством не обладают. Такую классификацию называют дихотомической.

19. Рассмотрим теперь ситуацию, когда для элементов множества заданы 2 свойства. Например, такие свойства натуральных чисел, как «быть кратным 3» и «быть кратным 5». При помощи этих свойств из натуральных чисел можно выделить два подмножества: А - множество чисел, кратных 3, и В — подмножество чисел, кратных 5. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.

20. Проанализируем получившийся рисунок. Конечно, разбиения множества натуральных чисел на подмножества А и В не произошло. Но круг, изображающий множество N , можно рассматривать как состоящий из четырех непересекающихся областей, на рисунке они пронумерованы. Каждая область изображает некоторое подмножество множества N : подмножество I состоит из чисел, кратных З и 5; подмножество II — из чисел, кратных 3 и не кратных 5; подмножество III — из чисел, кратных 5 и не кратных 3; подмножество IV - из чисел, не кратных 3 и не кратных 5. Объединение этих четырех подмножеств есть множество N .

21. Таким образом, выделение двух свойств привело к разбиению множества N натуральных чисел на четыре класса. Не следует думать, что задание двух свойств элементов множества всегда приводят к разбиению этого множества на четыре класса. Например, при помощи таких двух свойств «быть кратным 3» и « быть кратным 6» множество натуральных чисел разбивается на три класса: I - класс чисел, кратных 6; II — класс чисел, кратных 3, но не кратных 6; III — класс чисел, не кратных З.

22. Лекция окончена, уважаемый СТУДЕНТ, можете переходить к третьей части нашей лекции.