Reshenie diofantovyh uravnenij

1. Работу подготовили учащиеся 9Работу подготовили учащиеся 9
классакласса
МОУ СОШ №3 городского округаМОУ СОШ №3 городского округа
город Мантуровогород Мантурово
Соколов Илья Викторович,Соколов Илья Викторович,
Соколов Дмитрий Викторович.Соколов Дмитрий Викторович.
Руководитель:Руководитель:
Малышева Светлана Юрьевна,Малышева Светлана Юрьевна,
учитель математики высшейучитель математики высшей

2.  Цели и задачи.Цели и задачи.
 Биография ДиофантаБиография Диофанта
 Диофантовы уравнения с однойДиофантовы уравнения с одной
неизвестнойнеизвестной
 Диофантовые уравнения первойДиофантовые уравнения первой
степенистепени
 Диофантовые уравнения высшихДиофантовые уравнения высших
степенейстепеней
 Другие методы решения диофантовыхДругие методы решения диофантовых
уравненийуравнений

3. ЦелиЦели : научиться находить решения: научиться находить решения
неопределенного диофантового уравнения,неопределенного диофантового уравнения,
если это решение имеется.если это решение имеется.
 Для достижения наших целей, былиДля достижения наших целей, были
поставлены следующиепоставлены следующие задачизадачи::
1)1) Изучить литературу о Диофанте, и оИзучить литературу о Диофанте, и о
диофантовых уравнениях.диофантовых уравнениях.
2)2) Понять, как решаются диофантовыеПонять, как решаются диофантовые
уравнения.уравнения.
3)3) Найти различные методы их решеня.Найти различные методы их решеня.
4)4) Систематизировать материал.Систематизировать материал.
5)5) Выступить с ним на научной конференции.Выступить с ним на научной конференции.

4. Нам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могилеНам неизвестно, кем был Диофант, точные года его жизни. На могиле
Диофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудноДиофанта есть стихотворение-загадка, решая которую нетрудно
подсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофантаподсчитать, что Диофант прожил 84 года. О времени жизни Диофанта
мы можем судить по работам французского исследователя наукимы можем судить по работам французского исследователя науки
Поля Таннри, и это, вероятно, серединаПоля Таннри, и это, вероятно, середина IIIIII в.н.э.в.н.э.
Наиболее интересным представляется творчество Диофанта.Наиболее интересным представляется творчество Диофанта.
«Труды его подобны сверкающему огню среди полной«Труды его подобны сверкающему огню среди полной
непроницаемой тьмы». [Стройк] До нас дошло 7 книг из 13, которыенепроницаемой тьмы». [Стройк] До нас дошло 7 книг из 13, которые
были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книгбыли объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг
резко отличаются от классических античных сочинений по теориирезко отличаются от классических античных сочинений по теории
чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида,чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида,
леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика»,леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика»,
несомненно, явилась результатом многочисленных исследований,несомненно, явилась результатом многочисленных исследований,
многие из которых остались нам неизвестны. Мы можем толькомногие из которых остались нам неизвестны. Мы можем только
гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов игадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и
результатов.результатов.

5. «Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая«Арифметика» Диофанта – это сборник задач (их всего 189), каждая
из которых снабжена решением и необходимым пояснением. Виз которых снабжена решением и необходимым пояснением. В
собрание входят весьма разнообразные задачи, а их решениесобрание входят весьма разнообразные задачи, а их решение
часто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался вчасто в высшей степени остроумно. Диофант практиковался в
нахождении решений неопределенных уравнений вида , илинахождении решений неопределенных уравнений вида , или
систем таких уравнений. Типично для Диофанта, что егосистем таких уравнений. Типично для Диофанта, что его
интересуют только положительные целые и рациональныеинтересуют только положительные целые и рациональные
решения. Иррациональные решения он называетрешения. Иррациональные решения он называет
«невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так,«невозможными» и тщательно подбирает коэффициенты так,
чтобы получились искомые положительные, рациональныечтобы получились искомые положительные, рациональные
решения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенноерешения. Поэтому, обычно, произвольное неопределенное
уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами)уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами)
получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что егополучает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его
требуется решить в целых числах.требуется решить в целых числах.

6. В дальнейшем нам потребуются следующие определенияВ дальнейшем нам потребуются следующие определения
Определение 1Определение 1.. Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным)Диофантовым уравнением 1-ой степени (линейным)
сс nn неизвестными называется уравнение виданеизвестными называется уравнение вида aa11xx11+a+a22xx22+ … +a+ … +annxxnn ==
b,b,
где все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одногде все коэффициенты и неизвестные – целые числа и хотя бы одно
aaii≠0≠0..
Для сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейноеДля сокращения записи условимся далее сокращать фразу линейное
диофантово уравнение, как ЛДУ.диофантово уравнение, как ЛДУ.
Определение 2.Определение 2. Решением ЛДУ называется упорядоченнаяРешением ЛДУ называется упорядоченная nn -- кака
целых чиселцелых чисел (( x(( x11, x, x22 … ,x … ,xnn )))) , такая, что, такая, что aa11xx11+a+a22xx22+ … +a+ … +annxxnn=b=b..
Нашей целью будет научиться находить решения неопределенногоНашей целью будет научиться находить решения неопределенного
уравнения первой степени, если это решение имеется.уравнения первой степени, если это решение имеется.
Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы:
1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования
решения.решения.
2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.

7. Рассмотрим уравнениеРассмотрим уравнение
aa00 ++ aa11xx + ... ++ ... + aannxxnn = 0, (2) где= 0, (2) где aajj ЄЄ Z (Z (jj = 0,...,= 0,...,nn),), aann ≠ 0.≠ 0.
Покажем, каким образом можно определить все рациональные корниПокажем, каким образом можно определить все рациональные корни
уравнения (уравнения (22) (этот метод позволяет, в частности, решать уравнения вида) (этот метод позволяет, в частности, решать уравнения вида
((22) в целых числах). Не нарушая общности рассуждений, можно считать,) в целых числах). Не нарушая общности рассуждений, можно считать,
чточто aa00 ≠ 0. Пусть≠ 0. Пусть rr - рациональный корень уравнения (- рациональный корень уравнения (22),), rr == pqpq, где, где pp ЄЄ Z,Z, qq
ЄЄ N*, (N*, (pp,, qq) = 1. Умножая обе части равенства) = 1. Умножая обе части равенства aa00+a+a11pp∕∕q+ … +aq+ … +ann(p/q)(p/q)nn
=0,=0,
нана qqnn
,, получимполучим
aa00qqnn
++ aa11pp**qqnn-1-1
+ ...+ ... ++ aann-1-1ppnn-1-1
qq ++ aannppnn
= 0,= 0,
следовательно,следовательно,
papa00qqnn
ии qaqannppnn
.(.(33)Так как ()Так как (pp,,qq) = 1, то () = 1, то (pp,,qqnn
) = 1, () = 1, (qq,,ppnn
) = 1, поэтому из) = 1, поэтому из
соотношений (соотношений (33) следует, что) следует, что papa00,, qaqann..
Поскольку рациональных чисел видаПоскольку рациональных чисел вида rr = p/q, таких что (= p/q, таких что (pp,,qq) = 1,) = 1, papa00,, qaqann,,
конечное число, то за конечное число шагов можно выбрать те из них,конечное число, то за конечное число шагов можно выбрать те из них,
которые являются решением уравнения (которые являются решением уравнения (22). Как следует из приведенных). Как следует из приведенных
выше рассуждений, других решений уравнение (выше рассуждений, других решений уравнение (22) иметь не может.) иметь не может.

8. Перейдем теперь к решению в целых числах уравнений первойПерейдем теперь к решению в целых числах уравнений первой
степени или так называемых линейных уравнений, т. е. уравненийстепени или так называемых линейных уравнений, т. е. уравнений
видавида
aa11 xx11 ++ aa22 xx22 + ... ++ ... + aann xxnn == bb,(,(66)где)где aajj Є Z (Є Z (jj = 1,2,...,= 1,2,..., nn),), bb ЄЄ Z.Z.
Предположим, что не все числаПредположим, что не все числа aajj ((jj = 1,...,= 1,..., nn) равны нулю. Очевидно,) равны нулю. Очевидно,
для существования решения в целых числах уравнения (для существования решения в целых числах уравнения ( 66))
необходимо, чтобы (необходимо, чтобы ( aa11 ,...,,...,aann ))bb. Покажем, что это условие является и. Покажем, что это условие является и
достаточным. Положивдостаточным. Положив
перейдем к равносильномуперейдем к равносильному
уравнениюуравнению aa11’’ xx11 + ... ++ ... + aann’’xxnn == bb ’’ ((77),), где (где (aa11 ’, ...,’, ..., aann ’) = 1. Пусть’) = 1. Пусть aaii,, ’ ’ aajj
’- два ненулевых числа, таких, что |’- два ненулевых числа, таких, что | aaii ’| ≠ |’| ≠ |aajj ’|. Для определенности’|. Для определенности
предположим, чтопредположим, что ii << jj, |, |aaii ’|> |’|> | aajj ’|. Разделив с остатком’|. Разделив с остатком aaii ’’ нана aajj ’’ ,,
получим представлениеполучим представление aaii ’’== aajj ’’qq ++ rr. Заменив. Заменив aaii ’на’на aajj ’’qq ++ rr вв
уравненииуравнении ((77),), приведем его к видуприведем его к виду
аа11 ’’ xx11 + ... ++ ... + rxrxii + ... ++ ... + aajj ’’((xxjj ++ qxqxii ) + ...) + ... ++ aann ’’xxnn == bb ’. (8)’. (8)
Перепишем уравнение (Перепишем уравнение ( 88) в виде) в виде ааkk ’,’, kk ‡‡ ii ххkk ,,
kk ‡‡ jj ,,
aa11 ’’’’xx11 + ... + a+ ... + ann ’’’’xxnn ’’’’= b= b ’’,, (9), где(9), где aakk ’’=’’= ххkk ’’=’’=

9. Очевидно, что решения уравнения (7) и (9). связаны между собойОчевидно, что решения уравнения (7) и (9). связаны между собой
взаимно однозначным соответствием и, таким образом, решиввзаимно однозначным соответствием и, таким образом, решив
уравнение (9), несложно найти все решения уравнения (7). С другойуравнение (9), несложно найти все решения уравнения (7). С другой
стороны отметим, что стороны отметим, что  kk,, ii {1,...,{1,..., nn}, }, kk ≠≠ ii
ааkk ’’=’’= aakk ’, |’, | aaii ’’| < |’’| < |aaii ’|.’|.
Отметим также, чтоОтметим также, что
((aa11 ’’, ...,’’, ..., aann ’’) = (’’) = (aa11 ’, ...,’, ..., aaii ’’ -- aajj·· ’’qq, ...,, ..., aann ’’ ) = () = (aa11 ’, ...,’, ..., aann ’’ ) = 1. .) = 1. .
Следовательно, за конечное число шагов уравнение (7) приведется кСледовательно, за конечное число шагов уравнение (7) приведется к
видувиду аа11 хх1 +…+1 +…+ ааnn ххn=n= bb ’’ ((1010), где числа (), где числа ( ii = 1,...,= 1,..., nn), которые не равны), которые не равны
нулю, равны между собой по абсолютной величине. Из соотношениянулю, равны между собой по абсолютной величине. Из соотношения
следует, что числа (следует, что числа ( ii = 1,...,= 1,..., nn) могут принимать только значения 0,±1,) могут принимать только значения 0,±1,
причем не все из них равны нулю. Предположим, для определенности,причем не все из них равны нулю. Предположим, для определенности,
. Тогда уравнение (10) имеет следующее решение:. Тогда уравнение (10) имеет следующее решение:
гдегде tt22 ,, tt33 , ...,, ..., tt - произвольные целые числа. Отсюда, учитывая- произвольные целые числа. Отсюда, учитывая
проведенные замены, получается и решение уравнения (7). Отметим,проведенные замены, получается и решение уравнения (7). Отметим,
что при получении решения уравнения (10) использовался лишь факт,что при получении решения уравнения (10) использовался лишь факт,
что , поэтому, при выполнении алгоритма можно остановиться на томчто , поэтому, при выполнении алгоритма можно остановиться на том
шаге, когда хотя бы один из коэффициентов станет равен ±1.шаге, когда хотя бы один из коэффициентов станет равен ±1.
∈

10. 1. Метод разложения на множители1. Метод разложения на множители
Доказать: что уравнение (Доказать: что уравнение ( xx -- yy))33
+ (+ (yy -- zz))33
+ (+ (zz -- xx))33
= 30= 30
не имеет решений в целых числах.не имеет решений в целых числах.
Решение:Решение:
Разложив левую часть на множители, приведем уравнение к видуРазложив левую часть на множители, приведем уравнение к виду
((xx -- yy)()(yy -- zz)()(zz -- xx) = 10.) = 10.
Заметим, что (Заметим, что ( xx -- yy) + () + (yy -- zz) + () + (zz -- xx) = 0. С другой стороны,) = 0. С другой стороны,
делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Нетрудно проверить,делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Нетрудно проверить,
что сумма любых трех чисел из этого множества, дающих вчто сумма любых трех чисел из этого множества, дающих в
произведении 10, не будет равняться 0.произведении 10, не будет равняться 0.

11. 2. Использование четности2. Использование четности
Доказать, что уравнениеДоказать, что уравнение xx33
+ 2+ 2yy33
+ 4+ 4zz33
- 6- 6xyzxyz = 0, (13)= 0, (13)
в целых числах не имеет решений, не равных нулюв целых числах не имеет решений, не равных нулю
одновременно.одновременно.
Решение:Решение:
Предположим, что числаПредположим, что числа xx,, yy,, zz, не равные одновременно, не равные одновременно
нулю, являются решением исходного уравнения. Видно, чтонулю, являются решением исходного уравнения. Видно, что
числочисло xx - четное. Подстановка- четное. Подстановка xx = 2= 2xx1 дает1 дает
44xx11
33
++ yy33
+ 2+ 2zz33
- 6- 6xx11 yzyz = 0.= 0.
Отсюда следует, что числоОтсюда следует, что число yy - четное,- четное, yy = 2= 2yy1. Учитывая это,1. Учитывая это,
получимполучим
22xx11
33
+ 4+ 4yy11
33
++ zz33
- 6- 6xx11 yy11 zz = 0.= 0.
Следовательно,Следовательно, zz - также четное число. После подстановки- также четное число. После подстановки zz ==
22zz1 уравнение принимает вид1 уравнение принимает вид
xx11
33
+ 2+ 2yy11
33
+ 4+ 4zz11
33
- 6- 6xx11 yy11 zz11 = 0.= 0.
Рассуждая аналогично, доказывается, что для любогоРассуждая аналогично, доказывается, что для любого nn NN
22nn
||xx, 2, 2nn
||yy, 2, 2nn
||zz. Противоречие.. Противоречие.

12. Задача:Задача:
Доказать, что уравнениеДоказать, что уравнение
xx 33
++ yy 33
++ zz 33
= 2= 2
имеет бесконечно много решений в целых числах.имеет бесконечно много решений в целых числах.
Решение:Решение:
ПоложимПоложим xx == aa ++ bb, , yy == aa -- bb. Тогда. Тогда xx 33
++ yy 33
= 2= 2aa 33
+ 6+ 6abab 22
. С учетом. С учетом
последнего равенства исходное уравнение принимает видпоследнего равенства исходное уравнение принимает вид
22aa 33
+ 6+ 6abab 22
++ zz 33
= 2.= 2.
ПоложивПоложив aa = 1, получим= 1, получим zz 33
= -6= -6bb 22
. Положим теперь. Положим теперь bb = 6= 6tt 33
. Отсюда. Отсюда zz
= -6= -6tt 22
, , xx = 1 + 6= 1 + 6tt 33
, , yy = 1 - 6= 1 - 6tt 33
. Таким образом, получено. Таким образом, получено
бесконечное множество решений исходного уравнения,бесконечное множество решений исходного уравнения,
соответствующих целочисленным значениям параметрасоответствующих целочисленным значениям параметра tt

13. Задача:Задача:
Доказать, что уравнениеДоказать, что уравнение
XX 22
- 2- 2yy 22
= 1 (1= 1 (144)имеет бесконечно много решений в натуральных)имеет бесконечно много решений в натуральных
числах.числах.
Решение:Решение:
Нетрудно заметить, что (3,2) - одно из решений исходного уравнения.Нетрудно заметить, что (3,2) - одно из решений исходного уравнения.
С другой стороны из тождестваС другой стороны из тождества
((xx 22
+ 2+ 2yy 22
))22
- 2(2- 2(2xyxy))22
= (= (xx2 - 22 - 2yy2)22)2
следует, что если (следует, что если ( xx,, yy) - решение уравнения (14), то пара () - решение уравнения (14), то пара ( xx2 + 22 + 2yy2 ,2 ,
22xyxy) также является его решением. Используя этот факт, рекуррентно) также является его решением. Используя этот факт, рекуррентно
определим бесконечную последовательность (определим бесконечную последовательность ( xnxn ,, ynyn) различных) различных
решений исходного уравнения:решений исходного уравнения:
((xx11 ,, yy11 ) = (3,2) и ) = (3,2) и xxnn +1 =+1 = xxnn
22
+ 2+ 2yynn
22
, , yynn +1 = 2+1 = 2xxnn yynn , , nn N.N.
Задача:Задача:
Доказать, что уравнениеДоказать, что уравнение
xx((xx + 1) = 4+ 1) = 4yy((yy + 1)+ 1)
неразрешимо в целых положительных числах.неразрешимо в целых положительных числах.
Решение:Решение:
Нетрудно заметить, что исходное уравнение равносильно уравнениюНетрудно заметить, что исходное уравнение равносильно уравнению
xx22
++ xx + 1 = (2+ 1 = (2yy + 1)+ 1)22
..
Следовательно,Следовательно, xx22
< (2< (2yy + 1)+ 1)22
< (< (xx + 1)+ 1)22
илиили xx < 2< 2yy + 1 <+ 1 < xx + 1.+ 1.
Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.
∈∈
∈

14. Задача:Задача: решить в целых числах уравнение.решить в целых числах уравнение.
Решение:Решение:
Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковыйЗаметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый
знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое такжезнак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также
положительно. Применяя неравенство Коши, получимположительно. Применяя неравенство Коши, получим
Следовательно,Следовательно, xyzxyz = 1. Отсюда получим, что решениями могут быть= 1. Отсюда получим, что решениями могут быть
только тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Проверкойтолько тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Проверкой
убеждаемся, что каждая из них действительно является решениемубеждаемся, что каждая из них действительно является решением
исходного уравнения.исходного уравнения.
ЗадачаЗадача:: Доказать, что уравнениеДоказать, что уравнение
не имеет решений в целых положительных числах.не имеет решений в целых положительных числах.
Решение:Решение:
ПоложимПоложим dd = (= (xx ,, yy), ), xx11 = x/d, = x/d, yy11 = y/d. Так как= y/d. Так как
xx22
++ xyxy ++ yy22
== xx22
yy22
,,
следовательно,следовательно,
xx11
22
++ xx11 yy11 ++ yy11
22
== dd 22
xx11
22
yy 11
22
. (15)Отсюда получаем, что. (15)Отсюда получаем, что
xx11 ||yy11 , , yy11 ||xx11 ..
Учитывая, что (Учитывая, что ( xx11 ,,yy11 ) = 1, делаем вывод, что) = 1, делаем вывод, что xx11 == yy11 = 1. Таким= 1. Таким
образом, уравнение (15) принимает видобразом, уравнение (15) принимает вид
dd2 = 3,2 = 3,
Отсюда следует требуемое утверждение.Отсюда следует требуемое утверждение.

15. Задача:Задача:
Доказать, что уравнениеДоказать, что уравнение
xx22
+ 1 =+ 1 = pypy,,
гдегде pp - простое число вида 4k+3, неразрешимо в целых числах.- простое число вида 4k+3, неразрешимо в целых числах.
Решение:Решение:
Предположим, что исходное уравнение разрешимо в целых числах.Предположим, что исходное уравнение разрешимо в целых числах.
ТогдаТогда
xx22
+ 1 ≡ 0(mod+ 1 ≡ 0(mod pp).).
Но, согласно малой теореме Ферма,Но, согласно малой теореме Ферма,
-1 ≡ (-1)-1 ≡ (-1)22kk+1+1
≡ (≡ (xx2)2)22kk+1+1
≡≡ xx pp-1-1
≡ 1(mod≡ 1(mod pp).).
Полученное противоречие доказывает неразрешимость исходногоПолученное противоречие доказывает неразрешимость исходного
уравнения в Z.уравнения в Z.
Задача:Задача: решить в целых числах уравнениерешить в целых числах уравнение
22xx3 +3 + xyxy - 7 = 0.- 7 = 0.
Решение:Решение:
Из условия следует, чтоИз условия следует, что xx должен быть делителем числа 7. Т. е.должен быть делителем числа 7. Т. е.
возможные значениявозможные значения xx находятся среди чисел {±1, ±7}. Перебрав этинаходятся среди чисел {±1, ±7}. Перебрав эти
возможности, получаем решение уравнения: (1,5), (-1,-9), (7,-97), (-7,-возможности, получаем решение уравнения: (1,5), (-1,-9), (7,-97), (-7,-
9999