This document discusses using geometric approaches to analyze differential equations. It examines four different differential equations: 1) the damped, forced oscillator equation, 2) the damped, forced pendulum equation, 3) the damped, forced Duffing oscillator equation, and 4) the extended Lorenz-Maxwell-Bloch equation. For each equation, it applies Melnikov's method to show the existence of different types of homoclinic or heteroclinic orbits in the Poincare map. It then asserts properties of the invariant sets that result from these orbits based on homoclinic bifurcation theorems.
М.Г.Гоман (2000) – Динамика нелинейных систем и хаосProject KRIT
М.Г.Гоман «Динамика нелинейных систем и хаос», доклад на 1-й конференции Института математики и приложений (IMA) по фрактальной геометрии, г.Лейстер (Великобритания), 19 сентября 2000 года.
M.G.Goman "Nonlinear Systems Dynamics and Chaos", presentation at the IMA (Institute of Mathematics and its Applications) 1st Conference in Fractal Geometry, De Montfort University, Leicester, the UK, 19 September 2000.
This document provides an overview of different types of electronic oscillators. It begins with introducing oscillators and their basic components. It then describes several common oscillator circuits in more detail, including tuned collector oscillators, tuned base oscillators, Hartley oscillators, Colpitts oscillators, and Clapp oscillators. It discusses the working principles, construction, and frequency of oscillation calculations for some of these oscillator types. The document provides a useful reference for understanding the different categories of oscillators and how they generate oscillations.
This document describes different types of oscillators. It discusses oscillators that use positive feedback to generate AC signals at a desired frequency. It provides block diagrams and explanations of RC phase shift oscillators, Wein bridge oscillators, Hartley oscillators, Colpitts oscillators, and Clapp oscillators. Equations for calculating the oscillation frequency of each type of oscillator are also presented.
This document discusses using geometric approaches to analyze differential equations. It examines four different differential equations: 1) the damped, forced oscillator equation, 2) the damped, forced pendulum equation, 3) the damped, forced Duffing oscillator equation, and 4) the extended Lorenz-Maxwell-Bloch equation. For each equation, it applies Melnikov's method to show the existence of different types of homoclinic or heteroclinic orbits in the Poincare map. It then asserts properties of the invariant sets that result from these orbits based on homoclinic bifurcation theorems.
М.Г.Гоман (2000) – Динамика нелинейных систем и хаосProject KRIT
М.Г.Гоман «Динамика нелинейных систем и хаос», доклад на 1-й конференции Института математики и приложений (IMA) по фрактальной геометрии, г.Лейстер (Великобритания), 19 сентября 2000 года.
M.G.Goman "Nonlinear Systems Dynamics and Chaos", presentation at the IMA (Institute of Mathematics and its Applications) 1st Conference in Fractal Geometry, De Montfort University, Leicester, the UK, 19 September 2000.
This document provides an overview of different types of electronic oscillators. It begins with introducing oscillators and their basic components. It then describes several common oscillator circuits in more detail, including tuned collector oscillators, tuned base oscillators, Hartley oscillators, Colpitts oscillators, and Clapp oscillators. It discusses the working principles, construction, and frequency of oscillation calculations for some of these oscillator types. The document provides a useful reference for understanding the different categories of oscillators and how they generate oscillations.
This document describes different types of oscillators. It discusses oscillators that use positive feedback to generate AC signals at a desired frequency. It provides block diagrams and explanations of RC phase shift oscillators, Wein bridge oscillators, Hartley oscillators, Colpitts oscillators, and Clapp oscillators. Equations for calculating the oscillation frequency of each type of oscillator are also presented.
ВЛИЯНИЕ ИНДИКАТРИСЫ РАССЕЯНИЯ МОРСКОЙ ВОДЫ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ АВИАЦИОННОГО ОКЕ...ITMO University
В приближении малоуглового рассеяния для уравнения переноса излучения получены аналитические выражения для характеристик пространственного разрешения авиационного океанологического лидара и скорости затухания лидарного эхо-сигнала с увеличением глубины при произвольном виде индикатрисы рассеяния морской воды. Проведен численный анализ для трех типов воды с использованием полученных Петцольдом экспериментальных данных по измерению функции рассеяния. Результаты сравниваются с расчетами на основе модельной индикатрисы Долина и малоуглового диффузионного приближения. Обсуждается применимость рассмотренных моделей в различных условиях.
1. Лекция 9
Странные аттракторы.
Аттрактор Лоренца
Малышев А.И.
Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского
2. Как уже известно, хаос в гамильтоновских системах приводит к
беспорядочному и почти однородному заполнению конечных
областей на сечениях Пуанкаре отображающими точками (см.,
примеры в Лекциях 5 и 8).
Для диссипативных систем, перешедших в хаотический режим,
характерно возникновение в их фазовом пространстве странных
аттракторов.
Слово «аттрактор» (от английского “to attract” – притягивать) означает
центр притяжения – «притягиватель».
Обыкновенные аттракторы – асимптотически устойчивые положения
равновесия на плоскости (фокусы, узлы), устойчивые предельные
циклы.
В чем странность странных аттракторов?
2
3. Рассмотрим модель, предложенную метеорологом Э.Лоренцем в
1963 г. для описания конвекции воздушных потоков в атмосфере:
x y x
y rx y xz
z bz xy
Здесь σ, r и b – некоторые положительные параметры.
Количество положений равновесия зависит от величины параметра r:
при r < 1 существует одно положение равновесия x1 = y1 = z1 = 0
при r > 1 появляются еще два положения равновесия с
координатами:
x2,3 y 2,3 br 1, z2,3 r 1.
Выясним теперь их устойчивость.
3
4. Линеаризация вблизи первого положения равновесия (0, 0, 0)
приводит к характеристическим показателям
1 12 4 r 1 .
1 b, 2,3
2
При 0 < r < 1 все три значения λ чисто
действительные и отрицательные.
Положение равновесия – устойчивый
трехмерный узел.
При r > 1 это положение равновесия
теряет устойчивость.
На рисунке – эволюция для начальных
условий (10, 15, 30) и (–10, –15, 35) при
σ = 10, b = 8/3 и r = 0.5.
4
5. Линеаризуем систему вблизи положения равновесия
x2 y 2 br 1, z2 r 1,
~ ~ ~
введя новые переменные x x2 x, y y 2 y , z z2 z .
В линейном приближении получим
x y x
~ ~ ~
~ ~ ~
y x y br 1 z
~
z bz b r 1x y
~ ~ ~ ~
откуда уравнение на характеристические показатели:
3 b 1 2 b r 2br 1 0.
Решение уравнения в общем случае затруднительно, но нас
интересует даже не само решение…
5
6. Для определения знаков действительных частей корней уравнения
воспользуемся матрицей Гурвица:
b 1 1 0
2br 1 b r b 1
2br 1
0 0
Ее диагональные миноры:
1 b 1 0, 2 br b 1 b 3,
3 2 2br 1.
Очевидно, что если Δ2 > 0, то и Δ3 > 0.
Для устойчивости положения равновесия необходимо, чтобы было
Δ2 > 0, откуда получаем
b 3
r .
b 1
6
7. Общий итог анализа:
b 3
Здесь rкр.1 1 , rкр.2 .
b 1
8
Параметры Лоренца: b , 10, откуда rкр. 2 ≈ 24.74
3
Каково поведение системы при r > rкр. 2?
7
8. Пример эволюции системы для
начальных условий в точках
(10, 15, 30) и (–10, –15, 35)
при σ = 10, b = 8/3 и r = 20 < rкр. 2.
С течением времени система
приходит к одному из устойчивых
положений равновесия.
8
9. Пример эволюции системы для
начальных условий в точках
(10, 15, 30) и (–10, –15, 35)
при σ = 10, b = 8/3 и r = 28 > rкр. 2.
Режим странного аттрактора:
область положений
равновесия «притягивает»
траектории;
траектории не стремятся
асимптотически к этим точкам, а
вращаются вокруг них,
перескакивая с одной спирали
на другую.
9
10. Время, проведенное вблизи того
или другого положения
равновесия является
совершенно случайным.
↓
Система демонстрирует
большую чувствительность к
начальным условиям.
↓
«Эффект бабочки»
10
11. Задания по теме
1. Построить с помощью компьютера аттрактор Лоренца. Задать
разные значения параметра r и разные начальные условия.
Исследовать поведение траекторий.
Каково поведение системы в случае, если rкр. 2 < 1?
2. Прочитать рассказ Р. Брэдбери «И грянул гром»
11