Е.В. Бурнаев "Изменение среднего значения последовательности независимых норм...Yandex
Е.В. Бурнаев "Изменение среднего значения последовательности независимых нормально распределенных случайных величин (Шухарт) и сравнение различных способов выявления разладки", 13.03.2012, место показа МФТИ, Школа анализа данных (ШАД)
Е.В. Бурнаев "Изменение среднего значения последовательности независимых норм...Yandex
Е.В. Бурнаев "Изменение среднего значения последовательности независимых нормально распределенных случайных величин (Шухарт) и сравнение различных способов выявления разладки", 13.03.2012, место показа МФТИ, Школа анализа данных (ШАД)
1. Лекция 5
Резонансная
теория возмущений
Малышев А.И.
Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского
2. Как известно, каноническая теория возмущений в многомерном
случае не работает вблизи резонансов, т.е. в областях, где
m I 0.
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы и на примере
отдельного резонанса построим резонансную теорию возмущений.
Итак, гамильтониан в переменных действие-угол невозмущенной
системы:
H I1,I2 ,1, 2 H0 I1,I2 V I1,I2 ,1, 2 .
Невозмущенные частоты: 1,2 H0 I1,2 .
Рассмотрим резонанс nω1 – mω2 = 0, где n и m – положительные
целые числа.
Вблизи этого резонанса фаза nθ1 – mθ2 является медленной (по
сравнению с θ1 и θ2). На этом и построим каноническое
преобразование…
2
3. Введем новые переменные:
медленную фазу
n1 m 2
2
n2 m2
и быструю фазу
m1 n 2
1
n2 m2
Соответствующее
каноническое преобразование
имеет вид:
I1 mJ1 nJ 2 n 2 m 2
m1 n 2 n1 m 2 I2 nJ1 mJ2 n m
2 2
F2 J1 J2
n m
2 2
n m
2 2 1 m 1 n 2 n 2 m 2
2 n 1 m 2 n m
2 2
3
4. Разложим возмущение в ряд Фурье с нулевым средним (для
простоты)
V I1,I2 ,1, 2 Vn,m I1,I2 e i n m .
1 2
n,m0
и запишем гамильтониан в новых переменных:
n m 1 n 2 m n 1 m 2
i
H H0 J1, J 2 Vn,m J1, J2 e n 2 m2
n,m0
Усредним его по быстрой фазе ψ1 …
n 2
i n m 2 2
H0 J1, J 2 V m J1, J2 e n
n, n
n 0 n
и оставим в сумме гармоники с n′ = n и –n…
H0 J1, J2 Vn, m J1, J2 e i n 2 m2 2
Vn,m J1, J2 e i n 2 m2 2
.
4
5. Обе оставшиеся гармоники обычно примерно равны друг другу.
Положим далее для простоты
V J , J
Vn, m J1, J2 Vn,m J1, J2 0 1 2 ,
2
тогда
H H0 J1, J2 V0 J1, J2 cos n 2 m 2 2 .
Из канонических уравнений следует:
J1 0,
2 2 2 2
J 2 V0 J1, J 2 n m sin n m 2 ,
т.е. J1(t) = J10, а J2(t) меняется медленно на фоне J20:
~
J2 (t ) J20 J (t ).
~
Произведем в гамильтониане разложение по J в ряд Тейлора с
точностью до величин второго порядка:
H H0 J10 , J20
H0 ~ 1 2H0 ~2
J2
J
2 J2 2
J V0 J10 , J20 cos n 2 m 2 2 .
5
6. В правой части полученного выражения
H H0 J10 , J20
H0 ~ 1 2H0 ~2
J2
J
2 J2 2
J V0 J10 , J20 cos n 2 m 2 2
первое слагаемое может быть опущено как постоянная, а второе
слагаемое на резонансе равно нулю:
H0
2 0.
J2 J J ,
1 10
J2 J20
В оставшемся слагаемом вторую производную обозначим за K.
В итоге получим резонансный гамильтониан (гамильтониан
эффективно одномерной системы):
~ K~
H J 2 V0 cos n 2 m 2 2 .
2
Получили известный гамильтониан математического маятника!
6
7. Из гамильтониана легко
найти уравнение
сепаратрисы резонанса
~ V0 n2 m2
J 2 cos
2
K 2
и ширину резонанса
~ V0
J 4 .
K
Частота малых колебаний
вблизи его центра найдется
из уравнения:
2 V0K n 2 m 2
sin n 2 m 2 2 0
V0K n 2 m 2 .
~
7
8. Сформулируем ряд итоговых замечаний:
Если бы ранее выбрали Vn, m J1, J2 Vn,m J1, J2 e i , где α –
некоторая фаза, то получили бы качественно ту же картину
резонанса, лишь сдвинутую вдоль оси ψ2.
Каноническая теория возмущений работает вдали от резонанса
(вне его), а в области порядка необходима резонансная
теория возмущений.
Рассмотренный резонанс – резонанс между двумя степенями
свободы – называют также внутренним резонансом или
резонансом связи.
8
9. Система с 1.5 степенями свободы
Рассмотрим теперь другой по происхождению тип резонанса –
резонанс одномерной нелинейной системы с периодическим во
времени внешним полем:
H I, ,t H0 I V I, ,t .
Пусть возмущение имеет характерный период T 2 , тогда
V I, ,t Vn,m I e i n mt .
n,m
Резонанс: n IR m . Рассмотрим случай, когда n = m = 1. С
помощью производящей функции
F2 t J IR
введем медленную вблизи резонанса фазу ψ = θ – Ωt, и сдвинем
начало отсчета по действию: J = I – IR.
9
10. Гамильтониан при этом:
F
H H 2 H0 J IR Vn,m J IR e i n n m t J IR .
~
t n,m
Разложим далее H0 в ряд Тейлора по J << IR , исключим из
гамильтониана постоянные составляющие, а также усредним по
быстрой фазе Ωt :
K
H IR J J 2 Vn, n IR e in J .
~
2 n 0
Здесь, как и ранее, K 2H0 I 2 I I . Первое и последнее слагаемые
далее сокращаются.
R
Оставим в сумме самые медленные слагаемые с n = ±1 и, как и
ранее, примем V1,1IR V1,1IR V0 IR 2, тогда снова придем к
гамильтониану математического маятника:
~ K 2
H J V0 cos .
2
10
11. Перекрытие резонансов
Если в возмущении можно
выделить две характерные
частоты – Ω1 и Ω2, то
I i IRi
У каждого резонанса своя ширина
(ΔJ)i , а «расстояние» между ними
по действию равно |IR1 – IR2|.
Критерий перекрытия резонансов
(критерий Чирикова) – касание
невозмущенных сепаратрис:
1
J 1 1 J 2 IR1 IR 2 .
2 2
11
12. Перекрытие резонансов: замечания
Критерий Чирикова дает значение амплитуды возмущения ε, при
котором происходит перекрытие резонансов, лишь по порядку
величины. Реально перекрытие наступает при меньшей
амплитуде вследствие взаимодействия резонансов между собой,
а также с резонансами более высокий порядков.
С ростом амплитуды возмущения сепаратрисы резонансов
разрушаются, образуя тонкие стохастические слои – малые
области с хаотической динамикой.
С ростом амплитуды возмущения заметную роль начинают играть
резонансы более высоких порядков, а также вторичные
резонансы (см. пример далее).
12
13. Пример
Рассмотрим нелинейный осциллятор во внешнем слабом
электрическом поле:
p2 x 4
H f0 x cos 1t cos 2t .
2 4
В переменных действие-угол ввиду небольшой степени
нелинейности положим x(I, θ) ≈ a(I)·cosθ, где a(I) – амплитуда
колебаний, тогда
f0aI cos cos 1t cos 2t ,
4
H AI 3
где a 4 A I
1 1
4 3 , а также A ≈ 0.8671.
Пренебрежем также и высокочастотными слагаемыми, в итоге:
4 A
1
cos 1t cos 2t .
4 4 1
H AI 3
f0 I 3
2
13
14. Из гамильтониана видно, что возмущение создает два основных
резонанса на частотах Ω1 и Ω2. Рассматривая их независимо, найдем
для каждого их положение 3
3 i
IRi
4A
и ширину
f0 IRi
Ii 6 .
24 A 4
3
Теперь по критерию Чирикова найдем критическое значение
амплитуды внешнего поля f0, при котором происходит перекрытие
резонансов:
~ 24 A 4 IR 2 IR1
3
f0 IR1 f0 IR 2
2
3 3 IR 2 IR 1 f0 .
24 A 24 A 9 IR 1 IR 2
3 3 2
4 4
Далее представлены фрагменты фазовых портретов осциллятора
для Ω1 = 1, Ω2 = 1.2 и разных амплитуд f0…
14
16. На рисунке показан увеличенный
фрагмент фазового портрета системы
при f0 = 0.003.
Видно, что возрастание амплитуды
возмущения приводит к проявлению
большого количества резонансов.
Например, в центре рисунка – резонанс
на частоте
2
1 .
2
? Каким резонансным частотам
соответствуют остальные резонансы,
видимые на рисунке?
16
17. Задания по теме
1. Определить частоту малых колебаний на резонансе и ширину
резонанса для системы с гамильтонианом:
а ). H (I, , t ) AI 2 I cos cos t
б ). H (I , ) I x I y cos x 2 y
A 2 2
2
2. При каком значении параметра α резонансы в системе с
гамильтонианом
H I, , t AI 2 cos cos 1t cos 2t
перекроются?
17