Документ представляет собой план лекции по нелинейным моделям парной регрессии и корреляции, разработанный доцентом А.Н. Шыныбековым. В нем обсуждаются различные виды регрессий, оценка их параметров, коэффициенты эластичности и детерминации, а также статистические методы проверки значимости регрессионных уравнений. Также представлено применение указанных моделей на примере связи расходов населения на продукты с уровнем доходов.

1. Нелинейные модели
парной регрессии и
корреляции
к.ф-м.н., доцент Шыныбеков А.Н. кафедра
“Информационных технологии”

2. План лекции
• Регрессии, нелинейные относительно
включенных в анализ объясняющих
переменных, но линейные по оцениваемым
параметрам
• Регрессии, нелинейные по оцениваемым
параметрам
• Сведение к линейному виду. Коэффициент
эластичности
• Коэффициент детерминации. Проверка
значимости уравнения регрессии
• Пример. Сравнение различных моднлей

3. Регрессии, нелинейные относительно включенных в
анализ объясняющих переменных, но линейные по
оцениваемым параметрам
ˆ
yx a bx cx 2
dx 3
b
ˆ
yx a
x
ˆ
yx a b ln x

4. Регрессии, нелинейные по оцениваемым
параметрам
ˆ
yx a x b
ˆ
yx a b x
ˆ
yx e a bx

5. Сведение к линейному виду
ˆ
y x a bx cx 2
x x1 , x 2
x2
ˆ
y x a bx1 cx2
b
ˆ
yx a z 1/ x ˆ
y x a bz
x

6. ˆ ˆ
y x a b ln x, y x a b x
b
y a x
b
ln y ln( a x ) ln y ln a b ln x ln .
Y ln y, A ln a, E ln

7. Экономическии смысл параметра b:
• Для степенной функции b - коэффициент
эластичности. (Коэффициент эластичности
показывает, на сколько процентов
измениться в среднем результат, если
фактор изменится на 1%.) Формула для
расчета коэффициента эластичности имеет
вид:
• Э=f (x)x/y

8. Приведем формулы для расчета средних коэффициентов
эластичности для наиболее часто используемых типов
уравнений регрессии:

9. Уравнение нелинейной регрессии, так же, как
и в случае линейной
зависимости, дополняется показателем
тесноты связи. В данном случае это индекс
корреляции:
2
îñò
xy 1 2
ó

10. Величина данного показателя находится в пределах:
0 xy 1
Чем ближе значение индекса корреляции к
единице, тем теснее связь рассматриваемых
признаков, тем более надежно уравнение
регрессии.
Квадрат индекса корреляции носит название
индекса детерминации и характеризует долю
дисперсии результативного признака,
объясняемую регрессией, в общей дисперсии
результативного признака: 2 2
2 îñò ô
xy 1 2 2
ó ó

11. Индекс детерминации используется для проверки
существенности в целом уравнения регрессии по -
критерию Фишера:
2
xy n m 1
F 2
1 xy m
проверки существенности уравнения регрессии
Фактическое значение –критерия сравнивается с
табличным при уровне значимости и числе степеней
свободы k1=n-m-1 (для остаточной суммы квадратов) и
k2=m (для факторной суммы квадратов).
Если Fфакт<Fтабл – подтверждается статистическая
значимость уравнения регрессии и его принимаем.
Если Fфакт>Fтабл – статистическая значимость

12. • Чтобы иметь общее суждение о качестве
модели из относительных отклонений по
каждому наблюдению, определяют
среднюю ошибку аппроксимации. Средняя
ошибка аппроксимации не должна
превышать 8–10%.
1 y ˆ
yx
A 100%
n y

13. Рассмотрим пример. По данным проведенного
опроса восьми групп семей известны данные связи
расходов населения на продукты питания с уровнем
доходов семьи.