1. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?
Ответ на вопрос, поставленный в заголовке, отнюдь не тривиален. Еще 20 лет
назад его просто не было. Сейчас ответ известен, однако круг людей, знающих
его и могущих объяснить, не так широк. Материал, представленный ниже, явля-
ется одним из вариантов развернутого ответа на вопрос о том, что же представ-
ляет собой квантовый хаос. Суровая ли это реальность, с которой осталось толь-
ко смириться? Сверхтонкие ли эффекты, на обнаружение которых можно лишь
надеяться? Или это просто забавная выдумка физиков-теоретиков (они вообще
большие шутники)?
Интересно? Что ж, тогда за дело!
Начиная со времён Галилея и Ньютона современная физика проделала ог-
ромный путь по накоплению, систематизации, описанию и осмыслению фактов
об окружающем мире. Это кажется удивительным, но применение развитого
математического аппарата для описания окружающих явлений позволяло со-
вершать и новые открытия в реальном мире. Так, например, «на кончике пера»
был открыт Нептун: появилась гипотеза о существовании новой планеты, была
рассчитана ее траектория и положение на небесной сфере – там впоследствии
планету и обнаружили. За три столетия предсказательная роль физики стала на-
столько велика, что в настоящее время нерешаемых задач практически не оста-
лось (по крайней мере, с точки зрения принципиального понимания происхо-
дящих явлений) ни в механике, ни в классической электродинамике, ни в кван-
товой теории.
Физика продолжает развиваться и в настоящее время, и за последние не-
сколько десятилетий заметно возрос интерес к таким новым ее областям, как
динамический и квантовый хаос. В этих разделах физики зачастую использует-
ся оригинальный математический аппарат, а в сочетании с возрастающей мощ-
ностью компьютеров и возможностями численного эксперимента их предсказа-
тельная сила оказывается вполне «на уровне», наряду с традиционными подхо-
дами.
Что касается нелинейной динамики и, в частности, динамического хаоса,
то они с момента своего рождения вызывали и поныне вызывают большой ин-
терес в обществе, в том числе и у людей, не имеющих специального образова-
ния. Об этом свидетельствуют, в частности, многочисленные статьи, относя-
щиеся к данной тематике и опубликованные в известных журналах; часть из
них, вообще говоря, трудно назвать научными. О квантовом хаосе подобного
сказать нельзя. На протяжении многих лет этот раздел квантовой механики рас-
сматривался как довольно таинственная и загадочная область науки, находя-
щаяся в ведении лишь узкого круга теоретиков. Действительно, ведь если с эф-
фектами классической нелинейной динамики мы часто сталкиваемся в повсе-
дневной жизни, они наглядны, то квантовый хаос, на первый взгляд, представ-
ляется не имеющим какого бы то ни было отношения к реальности.
Итак, данная лекция имеет своей целью насколько возможно прояснить
круг вопросов, связанных с понятием квантового хаоса, выяснить, какое отно-
шение он имеет к реальности, да и… существует ли вообще квантовый хаос?

2. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
Во-первых, хАос или хаОс?
Первую часть настоящей лекции, посвященную классическому динамиче-
скому хаосу, логично начать с некоторых определений. Во-первых, само слово
“хаос” происходит от греческого “χαοζ”, что первоначально в мифологии озна-
чало беспредельное пространство, из которого образовалось впоследствии все
существующее. Позднее римляне интерпретировали хаос как изначальную сы-
рую бесформенную массу, в которую Создатель привнес порядок и гармонию.
По мнению ряда специалистов, само слово содержит разные смыслы, завися-
щие от того, как поставлено ударение. Так, например, в «хАосе» видят неорга-
низованную массу как источник новых возможностей и перспектив, а в «хаОсе»
− унылый полный беспорядок, абсолютно бесперспективный. В современном
понимании, которого мы и будем придерживаться, хаос означает состояние
беспорядка и нерегулярности. Ударение? Пусть будет на первом слоге: так го-
раздо оптимистичнее!
Во-вторых, пора определиться
Далее разговор пойдет о физических системах, поведение которых во вре-
мени детерминировано, что означает существование правила в виде дифферен-
циальных или разностных уравнений, определяющего их будущее исходя из за-
данных начальных условий. Было бы естественно предположить, что детерми-
нированное движение (определяемое, например, вторым законом Ньютона, т.е.
системой непрерывных дифференциальных уравнений) по определению регу-
лярно и далеко от хаотичности, поскольку последовательные состояния непре-
рывно развиваются одно из другого. Однако еще на грани XIX и XX веков ма-
тематик Анри Пуанкаре обнаружил, что в некоторых механических системах
может проявляться хаотическое движение, что делает невозможным его долго-
срочный прогноз. В своей книге «Наука и метод», опубликованной в 1908 г., он
делает важное замечание, примиряющее случайность и детерминизм. Одним
предложением оно выражается так: «Очень маленькая причина, которая от нас
ускользает (случайная!), определяет (!) значительное следствие, которое мы
не можем проигнорировать, и тогда мы говорим, что это следствие вызвано
случайностью». К сожалению, тогда это было воспринято многими физиками
всего лишь как забавный курьез.
К вопросу о бабочках
История серьезного изучения классического хаоса начинается приблизи-
тельно с 1952 года. Именно в этом году Рэй Брэдбери опубликовал свой рассказ
«И грянул гром», в котором по сути сформулировал идею динамического хаоса.
В этом рассказе один из организаторов предвыборной кампании после победы
своего кандидата отправляется в путешествие по времени. Фирма, организую-
щая такую поездку, предлагает охоту на динозавров, которым в ближайшее
время все равно суждено умереть. Чтобы не нарушить сложную ткань причин-
но-следственных связей и не изменить будущее, охотникам следовало двигать-
ся по специальным тропам. Однако герой рассказа не смог выполнить этого ус-
2

3. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
ловия и нечаянно раздавил золотистую бабочку. Возвратившись назад, он уви-
дел, что изменились состав атмосферы, правила правописания и итог предвы-
борной кампании. «Из-за такой малости! Из-за бабочки! – закричал Экельс.
Она упала на пол – изящное маленькое создание, способное нарушить равнове-
сие. Повалились маленькие костяшки домино... большие костяшки... огромные
костяшки, соединенные цепью неисчислимых лет, составляющих Время». Ни-
чтожные отклонения от исходной траектории, вызванные раздавленной бабоч-
кой, стремительно нарастали. Малые причины имели большие следствия. Ма-
тематики называют это свойство чувствительностью к начальным условиям.
Чуть позже, в 1963 году мысль о существовании горизонта прогноза даже
в мире, который идеально описывается классической механикой, была высказа-
на лауреатом Нобелевской премии Ричардом Фейнманом. По его мнению, для
существования горизонта прогноза не нужно, чтобы «бог играл в кости», до-
бавляя в уравнения, описывающие нашу реальность, какие-то случайные чле-
ны. Не нужно опускаться на уровень микромира, на котором квантовая механи-
ка дает вероятностное описание Вселенной. Объекты, поведение которых мы не
можем предсказывать на достаточно большие времена, могут быть очень и
очень простыми (как, например, система из пары связанных друг с другом ма-
тематических маятников).
То, что чувствительность к начальным данным ведет к хаосу, понял – и
тоже в 1963 году! – американский метеоролог Эдвард Лоренц. Он задался во-
просом: почему стремительное совершенствование компьютеров не привело к
воплощению в жизнь мечты метеорологов – достоверному среднесрочному (на
2-3 недели вперед) прогнозу погоды? Лоренц предложил простейшую модель,
описывающую конвекцию воздуха, которая играет важную роль в динамике
атмосферы, просчитал ее на компьютере и… История говорит о том, что одна-
жды некоторая часть его насчитанных данных оказалась утеряна. Лоренц ре-
шил просчитать все заново, однако начальные параметры он по каким-то при-
чинам задал с несколько меньшей точностью − не с шестью, а с тремя знаками
после запятой. Мелочь, казалось бы… Лоренц увидел, что все переменные его
модели поначалу ведут себя как и ранее, потом появляются едва заметные раз-
личия, после чего поведение системы оказывается вовсе непохожим на то, что
он наблюдал до этого!
Заслуга Лоренца состоит в том, что он не побоялся всерьез отнестись к та-
кому результату, отчего он и остался в истории как один из первооткрывателей
динамического хаоса – непериодического движения в детерминированных сис-
темах.
Итоги таковы. В модели Лоренца наблюдаемое во времени хаотическое
поведение возникает не из-за внешних источников шума (в системе уравнений
Лоренца их нет), не из-за бесконечного числа степеней свободы (их лишь 3) и
не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой (речь идет о чис-
то классической системе). Настоящая первопричина нерегулярности определя-
ется внутренним свойством нелинейных систем экспоненциально быстро раз-
водить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового
3

4. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
пространства. В результате становится практически невозможно предсказать
длительное поведение таких систем, поскольку реально начальные условия
можно задать с ограниченной точностью, а ошибки нарастают экспоненциаль-
но.
Лоренц назвал высокую чувствительность к начальным условиям эффек-
том бабочки, т.к. решение его уравнений (описывающих потоки воздуха в ат-
мосфере Земли) может изменить (в буквальном смысле!) взмах крыльев бабоч-
ки. В 1972 году была опубликована его работа «Предсказуемость: может ли
взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?», после чего за-
поминающийся термин стал жить своей жизнью. Брэдбери добавил ему попу-
лярности, ибо аллюзия к его рассказу здесь вполне очевидна. Потрясение физи-
ков (и не только физиков!), вызванное открытием детерминированного хаоса,
трудно себе представить: внезапно стало понятно, что, несмотря на весь оче-
видный технический прогресс и новейшие достижения науки, человечество
бессильно перед принципиальной непредсказуемостью окружающего мира, ко-
торая может быть продемонстрирована простейшими моделями.
Резонансы: вдоль и поперек
Чтобы ввести понятие интегрируемой системы, обратимся к простому
примеру – маятнику на пружинке, т.е. одномерному гармоническому осцилля-
тору, известному многим еще со школы. Гамильтониан для него (выраженная
через координаты и импульсы полная энергия) имеет вид
p 2 kx 2
H= + ,
2m 2
где k – жёсткость пружины, m − масса, х – смещение груза от положения равно-
весия. Уравнения движения хорошо известны:
p
x=
& и p = − kx .
&
m
Чтобы их упростить, введём новые переменные θ и J вместо старых х и p:
2J
x= sin θ , p = 2mωJ cos θ .
mω
Здесь ω = k / m – собственная частота колебаний осциллятора. Переменная θ
называется угловой переменной или просто углом, J – переменной действия
или просто действием. В переменных действие-угол гамильтониан принимает
совсем простой вид:
H = ωJ ,
а уравнения движения в этом случае допускают элементарное решение:
&
⎧ J = 0, ⎧ J (t ) = J 0 ,
⎨& ⇒ ⎨
⎩θ = ω , ⎩θ (t ) = ωt + θ 0 .
Т.е. действие является сохраняющейся величиной, а угловая переменная меня-
ется линейно по времени. Сейчас важно, что уравнения движения удалось про-
интегрировать в общем виде.
4

5. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
Многие учебники по классической механике дают неверное представление
о том, что системы большей частью интегрируемы. Так считалось до Пуанкаре.
В 1889 г. он показал, что в общем случае невозможно получить каноническое
преобразование, которое приводило бы к циклическим переменным, подобно
тому, как это было сделано в примере с осциллятором. Так, например, система
двух тел (Земля – Солнце) интегрируема, а вот система трёх тел (Земля – Солн-
це – Юпитер) неинтегрируема. Поэтому на самом деле регулярное поведение
для большинства систем является скорее исключительным и необычным.
Пуанкаре удалось не только доказать неинтегрируемость, но и указать на
её причину, а именно – на существование резонансов между различными сте-
пенями свободы системы. Именно резонансы сильно связывают степени свобо-
ды и не дают возможность исключить взаимодействие. В качестве примера рас-
смотрим систему с двумя степенями свободы, гамильтониан которой имеет вид
H = H 0 ( J1 , J 2 ) + λ ⋅ V ( J1 , J 2 , θ1 , θ 2 ) ,
представимый в виде суммы невозмущённого гамильтониана интегрируемой
системы H 0 и малого возмущения λV . Как показал Пуанкаре, обычная теория
возмущений неизбежно приводит к появлению членов с «опасными» знамена-
телями вида n1ω1+ n2ω2. Если частоты кратны, т.е. существуют такие целые
числа n1 и n2, что n1ω1+ n2ω2 = 0, то говорят о резонансе. При этом ряды теории
возмущений, очевидно, расходятся.
Открытие неинтегрируемости вызвало определённый пессимизм и недо-
умение в рядах многих физиков. М. Борн, например, заметил: «Было бы по ис-
тине удивительно, если бы Природа укрылась от прогресса за аналитическими
трудностями задачи многих тел». Только с появлением работ А.Н. Колмо-
горова (1954), продолженных В.И. Арнольдом (1963) и Ю.К. Мозером (1967)
(так называемой теории КАМ), проблему неинтегрируемости перестали оцени-
вать как сопротивление Природы прогрессу знания, а начали рассматривать как
новый отправной пункт дальнейшего изучения хаотической динамики.
При введении возмущений характер движения на резонансах резко изменя-
ется (по теореме Пуанкаре), в то время как квазипериодическое движение (при
иррациональном соотношении частот) изменяется незначительно, по крайней
мере, при малом параметре возмущения λ. Таким образом, одновременно могут
сосуществовать два совершенно различных типа траекторий − слегка изменив-
шиеся квазипериодические траектории
и хаотические траектории, возникшие
при разрушении части резонансов. В
этом состоит основной результат тео-
рии КАМ.
Проиллюстрируем этот факт. Рас-
смотрим движение материальной точ-
ки в двумерном канале, одна из стенок
которого ровная, а другая имеет сину-
Рис. 1. Двумерный гофрированный канал и
соидальную форму (см. рис. 1). По-
траектория движения в нем материальной
точки. скольку точка в интервалах между аб-
5

6. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
солютно упругими соударениями движется по прямым линиям, становится оче-
видным, что если будет известна координата точки x n , в которой произошло
очередное соударение с гофрированной поверхностью, и угол α n , под которым
оно произошло, дальнейшее движение нетрудно будет рассчитать. Именно по-
этому данная задача решается методом отображений:
⎧α n +1 = α n + 2arctg(ak sin kxn ),
⎨
⎩ xn +1 = xn + 2d ⋅ tgα n +1 + a(cos kxn + cos kxn +1 ) ⋅ tgα n +1.
Результат представлен на рис. 2. Легко видеть, что фазовая плоскость содержит
множество резонансов, которые возникают вследствие кратности времени дви-
жения поперек канала (туда и обратно) Ty удвоенному времени пролета одного
периода гофрировки вдоль канала Tx. Для характеристики будем рассматривать
их отношение:
η = Tx Ty .
Ко многим, не очень искаженным взаимным
влиянием резонансам, что видны на рис. 2,
легко приписать некоторое значение данно-
го параметра.
Нетрудно заметить следующий факт.
Несмотря на то, что каждый резонанс окру-
жен своим стохастическим слоем, переход
из одного слоя в другой происходит далеко
не всегда (см., например, область между η =
∞ и η = ⅔): нерегулярные траектории, отве-
чающие рациональному отношению частот,
как бы зажаты между областями, отвечаю-
щими иррациональным отношениям. Тем
самым области с нерегулярными траекто-
риями оказываются изолированы друг от
друга, и переход из одной в другую невоз-
можен. Подобный переход возможен лишь
в случае, когда резонансы оказываются пе-
рекрытыми друг с другом (как, например,
все резонансы с параметром η < ⅔); тогда
даже говорят о диффузии поперек пере-
крывшихся резонансов. Такая диффузия
имеет порог по величине возмущения, ведь
оно должно быть достаточно велико, чтобы
перекрытие резонансов и, соответственно,
диффузия стали возможны.
Ситуация может измениться качест- Рис. 2. Структура фазового про-
венным образом при увеличении числа сте- странства при a = 0.01, d = k = 1.
пеней свободы. Уже в случае, когда их три, По вертикальной оси для удобст-
стохастические слои разных резонансов мо- ва отложен тангенс угла отскока.
6

7. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
гут пересекаться друг с другом в фазовом пространстве подобно тому, как на
поверхности глобуса пересекаются меридианы и параллели. При этом попереч-
ная ширина резонансов оказывается вовсе непринципиальна, поскольку стано-
вится возможным перемещение траектории вдоль них, т.е. по касательной.
Основной механизм диффузии вдоль стохастических слоев в честь его пер-
вооткрывателя В.И. Арнольда называется диффузией Арнольда. Она не имеет
порога по величине возмущения и, таким образом, существует практически
всегда.
Открытием математика Арнольда физики заинтересовались лишь тогда,
когда вплотную столкнулись с диффузией вдоль резонансов, происходящей в
ускорителе на встречных пучках. Основой такого ускорителя являются два по-
тока частиц высокой энергии, находящиеся на близких друг к другу круговых
орбитах. За время жизни частицы могут проделывать до 1011 оборотов по ней,
совершая при этом слабые колебания в поперечных направлениях. Как выясни-
лось из анализа фазового пространства отдельной движущейся частицы, имен-
но диффузия Арнольда приводит к тому, что со временем пучок разбухает, его
интенсивность понижается, в то время как все внешние параметры (интенсив-
ность внешних полей и т.п.) остаются неизменными. Т.е. здесь диффузия Ар-
нольда является внутренним свойством самой системы.
История повторяется и на масштабах Солнечной системы. В XIX веке Кир-
квуд исследовал ряд пустот в астероидном кольце, опоясывающем Солнце и
лежащим между орбитами Марса и Юпитера; они известны ныне как люки
Кирквуда. Наиболее жизнеспособная теория, объясняющая их наличие, заклю-
чается в том, что люки Кирквуда являются результатом взаимодействия резо-
нансов в системе трех тел – Солнца, Юпитера и непосредственно самого асте-
роида. Оказалось, что Юпитер, как самая большая планета Солнечной системы,
создает возмущения в эллиптической орбите астероида, приводя к появлению в
его фазовом пространстве множества пересекающихся резонансов. Диффузия
Арнольда в свою очередь приводит к тому, что, скользя вдоль этих резонансов,
астероид сходит с данной орбиты, переходя на другую, более устойчивую, или
вообще покидая пределы астероидного кольца.
Численные эксперименты, выполненные в 1980-х, показали, что Солнечная
система в целом не так уж стабильна, как кажется: ее эволюция носит случай-
ный характер, вследствие, главным образом, диффузии Арнольда вдоль резо-
нансов среди планет земной группы.
На старт. Внимание. Квант!
Вопрос о поведении квантовых систем, неинтегрируемых в классическом
пределе, обсуждался еще на заре квантовой механики, поскольку он был связан
с проблемой квантования систем с непериодическим движением. Чтобы объяс-
нить трудности, возникающие при переходе от классических хаотических сис-
тем к их квантовому аналогу, напомним основные различия между классиче-
скими и квантовыми системами.
7

8. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
1. По сравнению с классической механикой, где переход к статистическому
описанию возможен лишь в случае хаотического поведения системы, в
квантовой механике по существу возможно только статистическое опи-
сание. Действительно, квадрат модуля волновой функции ψ дает лишь
вероятность обнаружить частицу в пространственно-временной точке
r
(r , t ) . Таким образом, состояние по определению точно не определено.
2. Согласно принципу неопределенности Гейзенберга
δx ⋅ δp ≥ h 2 ,
в квантовой механике отсутствует понятие траектории движения. В этой
связи описание хаоса на основе экспоненциально быстрого разбегания
близких траекторий в квантовой механике невозможно.
3. Из принципа неопределенности следует также, что точки в 2N-мерном
фазовом пространстве, находящиеся внутри объема размером h N , нераз-
личимы, т.е. фазовое пространство дискретно. Это означает, что если об-
ласти в фазовом пространстве с классическим хаотическим движением
имеют размер, меньший такой ячейки, то в квантовой механике эти об-
ласти не видны, и можно ожидать, что поведение соответствующей кван-
товой системы будет регулярным. По сути, отличие от нуля постоянной
Планка ведет к подавлению хаоса.
Вот почему еще совсем недавно вопрос о том, стоит ли вообще употреб-
лять термин «квантовый хаос», оставался открытым. В 1989 году эту проблему
обсуждали ведущие специалисты, собравшиеся на летней школе в Лезуше. В
тот момент «сомнительный термин» не стали выносить в название школы – она
проходила под девизом «Хаос и квантовая физика». При жизни ставший клас-
сиком этой науки, Майкл Берри предложил тогда использовать введенный им
немногим ранее термин «квантовая хаология». Это название, вероятно, более
правильно отражало бы суть дела, однако по каким-то причинам оно не стало
общепринятым. Через несколько лет споры утихли. В наши дни под понятием
«квантовый хаос» принято объединять круг задач, связанных с квантово-
механическим описанием систем, хаотических в классическом пределе.
Физики и бильярд?!
Разговор о квантовом хаосе можно начать с рассмотрения тех систем, что
использовались еще для изучения классического хаоса – с бильярдов. Про-
стейшим примером бильярда является коробка с плоским дном и высокими
стенками, внутри которой прямолинейно движется, периодически ударяясь о
стенки, материальная точка. Другой пример – натянутая мембрана или пласти-
на определенной формы, по которым могут распространяться упругие волны.
Если на такую пластину насыпать тонкий слой речного песка и заставить ее
вибрировать, воздействуя, например, скрипичным смычком, то песчинки нач-
нут выстраивать довольно замысловатые узоры, известные ныне как фигуры
Хладни. Известно, что сам Эрнст Хладни демонстрировал подобные опыты пе-
ред Наполеоном. И в наши дни фигуры Хладни довольно популярны: видео-
ролики с их демонстрацией легко найти в Интернет.
8

9. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
Удивительным может показаться то, что уравнение Гельмгольца, описы-
вающее распространение упругих волн, и основа квантовой механики − урав-
нение Шредингера − математически эквивалентны. Появилась неожиданная
возможность экспериментально ощутить квантовый хаос, работая с система-
ми вполне классическими – волнами на поверхности воды в сосуде заданной
формы, микроволновыми резонаторами и т.п. (см. рис. 3)!
Так, например, было выяснено, что для систем, хаотических в классиче-
ском пределе, характерно расталкивание уровней спектра. Такой вывод был
сделан на основе анализа распределений межуровневых расстояний в спектрах
самых разных по своей природе систем. Причем в зависимости от того, какими
математическими свойствами обладает гамильтониан системы, характер рас-
талкивания также может различаться. Для объяснения этого явления были
предложены некоторые теоретические наработки, а немногим позже (в начале
1980-х годов) была замечена интересная связь данного явления с теорией слу-
чайных матриц. Именно тогда появилось понятие о классах универсальности.
Так обычно определяют классы GOE – гауссов ортогональный ансамбль, GUE –
гауссов унитарный ансамбль и
GSE – гауссов симплектический
ансамбль. На рис. 4 приведены
статистики межуровневых рассто-
яний для разных физических сис-
тем, относящихся к классу GOE.
Легко заметить, что все они обна-
руживают удивительную общ-
ность в характере спектров, что
лишь подтверждает верность
выбранного направления.
В последние два десятилетия
квантовый хаос изучался и на по-
настоящему квантовых системах.
Так, например, делались опыты с
квантовыми бильярдами − биль-
ярдами размером не более 1 мкм,
изготовленными из полупровод-
никовых структур. Большую из-
вестность приобрели и экспери-
менты, связанные с квантовыми
коралями − своеобразными «забо-
Рис. 3. Стоячие звуковые волны в ци-
линдрах с сечениями в форме круга и в
форме стадиона в разных диапазонах
частот.
9

10. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
Рис. 4. Функции распределения межуровне- Рис. 5. Последовательные стадии по-
вых расстояний для биллиарда Синая (а), строения квантового кораля круглой фор-
атома водорода в сильном магнитном поле мы из 48 атомов железа на поверхности
(б), спектра возбужденной молекулы NO2 меди. Структура построена с помощью
(в), спектра акустических резонансов в сканирующего зондового микроскопа.
кварцевом образце, имеющем форму бил-
лиарда Синая (г), спектра микроволн в объ-
емной полости неправильной формы (д),
спектра колебаний пластинки, имеющей
форму четверти стадиона (е).
рами», построенными методами сканирующей зондовой микроскопии из от-
дельных атомов (!) на поверхности подложки (см. рис. 5).
Среди важных теоретических результатов, вносящих вклад в изучение
квантовой механики хаотических систем, можно отметить получение Марти-
ном Гутцвиллером так называемой формулы следа, а также ее обобщения –
формулы следа Селберга. Благодаря развитой технике удается определить
вклад отдельных классических периодических траекторий в спектр квантовой
системы.
О квантовой диффузии: за и против
Как уже указывалось ранее, своеобразным индикатором хаоса может слу-
жить детерминированная диффузия и, в частности, диффузия Арнольда. По-
этому принципиальным вопросом до последнего времени было выяснение воз-
можности протекания такой диффузии в квантовых системах. Эти исследова-
ния начинались в Институте Ядерной Физики г. Новосибирска в середине 1970-
х годов, и у их истоков – Б.В. Чириков и его ученики. Уже на рубеже 1980-х
ими были открыты совершенно неожиданные свойства квантового хаоса, по-
требовавшие пересмотра принципа соответствия в применении к системам с
10

11. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
хаотическим поведением в классическом пределе. Выяснилось, например, что
соответствие между поведением классической и квантовой систем принципи-
ально зависит от интервала времени, на котором производится сравнение. Это
прекрасно иллюстрируется именно на примере диффузии.
Первоначальные численные эксперименты по изучению квантовой диффу-
зии поперек стохастических слоев перекрывшихся резонансов поставили под
сомнение возможность диффузионного процесса как такового. Оказалось, что
волновая природа материи не приводит к дополнительному расплыванию плот-
ности вероятности, как это могло бы показаться на первый взгляд. Напротив, в
тех системах, где имеет место классическая диффузия, в процессе квантовой
эволюции проявляется тенденция к сдерживанию какого-либо диффузионного
процесса и локализации. Это обстоятельство было установлено как при числен-
ном моделировании, так позже и экспериментально. Так есть ли хаос в кванто-
вых системах?
Относительно недавно, в 2002 году, в журнале «Physical Review Letters»
была опубликована работа, изменившая взгляд на квантовую диффузию. Эта
работа посвящена изучению проявлений диффузии Арнольда в квантовой сис-
теме, состоящей из двух связанных друг с другом нелинейных осцилляторов, на
один из которых действует внешняя сила с двумя периодическими составляю-
щими. Чтобы измерить коэффициент диффузии Арнольда вдоль одного из ре-
зонансов, авторы проследили за зависимостью ширины расплывания волнового
пакета вдоль этого резонанса от времени. И обнаружили линейный в среднем
рост! Это ли не квантовая диффузия Арнольда? Авторы отвечают на этот во-
прос утвердительно. Измеренный коэффициент квантовой диффузии, как ока-
залось, зависит от параметров системы подобно коэффициенту классической.
Что же с локализацией, замеченной ранее? Действительно, выяснилось, что
квантовая диффузия Арнольда не идет до бесконечности: через несколько сотен
периодов внешнего поля она замедляется и останавливается. Это явление, ха-
рактерное для квантовых систем, получило название динамической локализа-
ции.
Изучение квантовой диффузии Арнольда было продолжено, выявлялись ее
новые свойства, однако главным результатом этих исследований осталось то,
что существование квантовой диффузии Арнольда было убедительно проде-
монстрировано. А именно это и есть один из основных критериев квантового
хаоса. Неслучайно упомянутая выше работа уже в день своего выхода в свет
была отмечена довольно большой заметкой, опубликованной на физическом
портале издательства «Nature» под заголовком «The classical face of quantum
chaos» («Классическое лицо квантового хаоса»).
«Берите в руки карандаш…»
Квантово-механическое описание классических хаотических систем – за-
дача довольно старая, но вместе с тем и молодая. Начнем с того, что квантовая
механика, вероятно, является одной из немногих, если не единственной, рабо-
тающей физической теорией, по поводу интерпретации которой на фундамен-
11

12. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
тальном уровне до сих пор ведутся содержательные споры. Таким образом,
здесь мы сталкиваемся со странной ситуацией − квантовая теория оказалась не-
обычайно успешной во всех своих предсказаниях, но дискуссии относительно
ее смысла и сферы применимости не прекращаются до сих пор. Поэтому не-
смотря на все свои успехи, у большинства физиков она оставляет смутное чув-
ство неудовлетворенности. Как заметил Р. Фейнман, по-настоящему квантовую
теорию никто «не понимает».
Но несмотря на все это непонимание, квантовая механика продолжает «об-
растать» верными результатами своих предсказаний. Она продолжает разви-
ваться, и сейчас уже довольно глубоко проникла в область хаоса. И находится в
ней уже не на стадии простого наблюдателя, а на стадии сборщика и классифи-
катора нужной информации. Она как художник, который не просто знает 7 цве-
тов радуги, но и сам умеет их смешивать ради получения нового цвета, а зачас-
тую может и заранее предсказать конечный оттенок. С помощью своих новых
инструментов (теорий, подходов, результатов экспериментов) квантовая меха-
ника рисует портрет Природы. С появлением постоянной Планка и уравнения
Шредингера на этом портрете появились лишь первые общие черты. Сейчас же
идет работа над прорисовкой мельчайших деталей. Но именно эти-то детали и
должны привести к истинному сходству с оригиналом.
Литература, использованная при подготовке лекции
«Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?»
1. Рюэль Д. Случайность и хаос, Ижевск: РХД, 2001.
2. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика.
Москва: Мир, 1984.
3. Малышев А.И., Шандор А.С. // Структура и свойства твердых тел: Изд-во
ННГУ, Н.Новгород, 2003, стр. 75.
4. Штокман Х. Квантовый хаос: Введение, Москва: Наука, 2004.
5. Reichl L. The Transition to Chaos, Springer-Verlag, New-York, 1992.
6. Трейман С. Этот странный квантовый мир, Ижевск: РХД, 2002.
7. Haake F. Quantum Signatures of Chaos, Springer, Berlin, 2000.
8. V.Ya. Demikhovskii, F.M. Izrailev and A.I. Malyshev, Phys. Rev. Lett. 88,
154101 (2002).
9. Менский М.Б. // УФН 170, 631 (2000).
12

13. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
Литература, рекомендуемая по теме лекции
«Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?»
Классические учебники и статьи по нелинейной динамике, классическому и
квантовому хаосу:
1. Chirikov B.V., Phys. Rep. 52, 263 (1979) (специалисты называют эту рабо-
ту «библией хаоса»).
2. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маят-
ника до турбулентности и хаоса, Москва: Наука, 1988.
3. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика.
Москва: Мир, 1984 (или новое издание в Меркурий-Пресс, 2000)
4. Reichl L. The Transition to Chaos, Springer-Verlag, New-York, 1992; вышел
и перевод: Райхл Л. Переход к хаосу в консервативных классических и
квантовых системах. Ижевск: РХД, 2008.
5. Лоскутов А.Ю., УФН 177, 989 (2007).
6. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. - М.: "Мир", 1988.
7. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2006
(http://sgtnd.narod.ru/publ/rus/dc.htm)
8. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.:
Физматлит, 2006 (http://sgtnd.narod.ru/publ/rus/neko.htm)
9. Штокман Х. Квантовый хаос: Введение, Москва: Физматлит, 2004.
10. Haake F. Quantum Signatures of Chaos, Springer, Berlin, 2000.
11. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука,
1984.
Литература философского характера:
12. Рюэль Д. Случайность и хаос, Ижевск: РХД, 2001.
13. Пригожин И. Конец определенности, Ижевск: РХД, 2001.
14. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. Москва: Прогресс, 1994.
15. Глейк Дж. Хаос: создание новой науки, СПб.: Амфора, 2001.
16. Трейман С. Этот странный квантовый мир, Ижевск: РХД, 2002.
17. Менский М.Б. // УФН 170, 631 (2000), а также подборка статей-откликов
на данную работу в УФН 171, 437 (2001) (излагаются вопросы интерпре-
тации квантовой механики).
Статьи по диффузии Арнольда в классических и квантовых системах:
18. Арнольд В.И. // ДАН СССР 156, 9 (1964).
19. V.Ya. Demikhovskii, F.M. Izrailev and A.I. Malyshev, Phys. Rev. Lett. 88,
154101 (2002); Phys. Rev. E 66, 036211 (2002); Phys. Lett. A 352, 491
(2006); arXiv:cond-mat/0610390, 2006.
20. Демиховский В.Я., Малышев А.И., Известия Вузов – ПНД 12(5), 3 (2004).
21. Малышев А.И., Чижова Л.А, ЖЭТФ 137(5), 956 (2010); Известия Вузов –
ПНД 17(1), 46 (2009).
13

14. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
Канал с гофрированной границей, приводимый в пример, кратко рассматривал-
ся в работе [20]. Подобная же очень простая система рассмотрена недавно в ра-
боте
22. Малышев А.И., Нелинейная динамика 5(3), 425 (2009).
Электронные ресурсы:
1. http://sgtnd.narod.ru/rus/index.htm − Саратовская группа теоретической нели-
нейной динамики
2. http://www.scintific.narod.ru/nlib/ − электронная библиотека по нелинейной
динамике
14

15. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
Глоссарий
Теория возмущений – метод теоретической физики, заключающийся в поиске
решения уравнений в виде степенного ряда по некоторому малому па-
раметру.
В примере H = H 0 ( J1 , J 2 ) + λ ⋅ V ( J1 , J 2 , θ1 , θ 2 ) , т.е. гамильтониан состоит
из невозмущенной части (Н0), решение уравнений движения для которо-
го известно, и возмущения (λV), причем малость возмущения обеспечи-
вается коэффициентом λ. Применение метода подразумевает, что иско-
мое решение не сильно отличается от невозмущенного решения.
В нелинейной динамике описанный подход также носит название кано-
нической теории возмущений, ее степенные ряды расходятся в области
резонансов. Для описания резонансов применяется резонансная теория
возмущений.
Теория возмущений является одним из стандартных методов квантовой
механики и теории поля. Ее аналогом в вычислительной математике яв-
ляется метод простых итераций.
Рациональное соотношение – отношение двух величин друг другу, которое
может быть представлено в виде рациональной дроби, т.е. дроби вида
m n , где m – целое число, n – натуральное число. Примеры рациональ-
ных дробей: 2 3 , 5 2 , − 57 10001 и т.д. Напротив, иррациональные чис-
ла не могут быть представлены в виде рациональной дроби, например,
число пи, 2 и т.п.
Абсолютно упругое соударение – идеализация, позволяющая пренебрегать по-
терями энергии системы при соударениях, что в свою очередь также оз-
начает и пренебрежение деформациями.
Стохастический слой [резонанса] – область хаоса в фазовом пространстве, об-
разующаяся на месте разрушенной сепаратрисы резонанса. Так, напри-
мер, на рис. 2 резонанс с η = ∞ ограничен сепаратрисой – кривой про-
межуточной формы между замкнутыми кривыми, похожими на эллип-
сы, вблизи центра резонанса и разомкнутыми внерезонансными кривы-
ми. В отличие от него, резонанс с η = 1 ограничен узким стохастическим
слоем.
Фазовое пространство − пространство, в котором представлено множество
всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию сис-
темы соответствует точка фазового пространства. Т.е. само состояние
может быть очень сложным и определяться множеством параметров,
однако в фазовом пространстве ему будет соответствовать единственная
точка. Эволюция системы будет представляться непрерывной кривой. В
15

16. «Квантовый хаос – реальность, надежда или выдумка?» – А.И. Малышев
случае одной степени свободы фазовое пространство двумерно (это фа-
зовая плоскость): по одной оси координат в этом случае откладывается
непосредственно координата, по второй оси – проекция скорости или
импульса.
Сканирующая зондовая микроскопия (СЗМ) – набор методик, позволяющих
получать изображение поверхности изучаемого образца с высоким раз-
решением. Процесс получения изображения связан со сканированием
тонкого зонда вдоль поверхности. Характерная область сканирования не
превышает квадрата со стороной в 200 мкм, допустимый перепад высот
– до 25 мкм. Зонд представляет собой своеобразную иголку, на острие
которой находится всего несколько штук или десятков штук атомов; его
острота в конечном итоге и определяет разрешение изображения.
Принцип соответствия – фундаментальный принцип методологии науки, ука-
зывающий на необходимость «смыкания» научных теорий в областях
перекрытия их сфер применения. Так, например, специальная теория
относительности в пределе скоростей, малых по сравнению со скоро-
стью света, приводит к тем же результатам, что и ньютоновская меха-
ника. Квантовая механика «смыкается» с ньютоновской в области боль-
ших квантовых чисел.
16