1. Лекция 8
Двумерное отображение
Малышев А.И.
Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского

2. Рассмотренные ранее одномерные отображения являются наиболее
простыми с точки зрения анализа. Более сложную динамику могут
демонстрировать многомерные отображения…
Рассмотрим движение частицы в канале, одна из стенок которого
гофрирована.
2

3. Полагая гофрировку слабой (a << d, ka << 1), из геометрических
соображений нетрудно связать между собой координаты и углы
последовательных соударений:
 n 1   n  2ka sinkxn  kd tg n ,

 xn 1  xn  d tg n  tg n 1 .
Стационарные точки отображения означают периодичность
траектории. Ее условие – скачки на целое число периодов
гофрировки:
  m
 n 1   n tg 0  kd
  
2 
 xn 1  xn  m  x0  l
 k  k
Здесь m и l – целые числа.
3

4.  m  
Примеры периодических траекторий  tg 0  , x0  l  :
 kd k 
4

5. Рассмотрим периодические траектории с m = 1, стартующие из точек
x0 = 0 и x0 = π/k под углом 0  arctg kd .
Для выяснения их устойчивости, линеаризуем отображения. Начнем
с траектории с l = 0. Пусть
 y n  xn , y n 1  xn 1  2 k и т.д.,

 n   n  0 ,
тогда
  2k 2ad 
  n 1   1 
 cos 2     n  2k 2a y n
  0

d
 y n 1  y n   n   n 1 

 cos  0
2
5

6. Переменные, отвечающие последовательным шагам отображения,
теперь можно явно выделить:
  2k 2ad  2d  k 2ad 
 y n 1   1  cos 2   y n  cos 2   1  cos 2    n
   
  0 0  0

  n 1  2k 2a y n   1  2k ad   n
2

 cos 2   

  0
или
 2k 2ad  2d  k 2ad  
 1 
 cos 2   cos 2  1  cos 2   
  
 y ˆ  y ˆ  0 0  0 
   A   , где A   
.
   n 1   n  2k ad 
2

 2k 2a 1 
 cos 2    

  0 
ˆ ,
Важно, что в силу сохранения фазового объема det A  1 а также
ˆ
SpA  2  4k 2ad cos2 0  2,
что указывает на неустойчивость выбранной траектории.
6

7. Чтобы выяснить тип положения равновесия, решим систему
уравнений для переменных yn и βn. Будем искать решение в виде
y n  At n и  n  Bt n , тогда
 2k 2ad
t1,2  e , где ch  1  .
cos  0
2
sh
Нетрудно найти, что A   2 B  , тогда
2k a
 2k 2a
 sh y n  B  e n  B e n
 sh  2
2

   n   2  y n  4B  B 
2
  n  B  e n  B e n  2k a 


Таким образом, точка y = β = 0
является положением равновесия
типа «седло».
7

8. Рассмотрим теперь периодическую траекторию с m = 1 и l = 1:
Для выяснения ее устойчивости линеаризуем отображения. Пусть
теперь
y n  xn   k , y n 1  xn 1  3 k и т.д.,

 n   n  0 ,
тогда
  2k 2ad  2d  k 2ad 
 y n 1   1  cos 2   y n  cos 2   1  cos 2    n
   
  0 0  0


  n 1  2k a y n   1  2k 2ad 
 cos 2    n
2
 
  0
8

9. Перепишем систему уравнений в векторной форме
 2k 2ad  2d  k 2ad  
 1 
 cos 2   cos 2  1  cos 2   
  
y ˆ y ˆ  0 0  0 
   A   , где A   
.
   n 1   n  2k ad 
2
  2k a

2
1 
 cos 2    

  0 
ˆ ,
Здесь аналогично предыдущему случаю det A  1 но теперь
ˆ 4k 2ad
SpA  2   2,
cos  0
2
что указывает на устойчивость данной траектории.
Решая систему аналогично рассмотренному случаю, найдем
 i 2k 2ad
t1,2  e , где cos   1  ,
cos  0
2
 sin  
а также связь между амплитудами A  i 2 B .
2k a
9

10. В итоге получаем решение
 2k 2a
 i sin  y n  B  e in  B e in
sin 
2

   n2   2  y n  4B  B 
 
2
  n  B  e in  B e in  2k a 


Таким образом, точка y = β = 0
является положением равновесия
типа «центр».
Замечание. Аналогично можно показать, что все периодические
траектории с соударением в точке с максимальной шириной канала –
устойчивы, с соударением в точке с минимальной шириной канала –
неустойчивы.
10

11. Вопрос:
как сшиваются между собой две отдельно описанные области?
11

12. Возможно, так:
Для обоснования предположения необходимо найти
уравнение сепаратрисы.
12

13. Для нахождения уравнения сепаратрисы, линеаризуем отображения
по углу, введя β = α – α0, а также сделаем замену
y n  xn  2d tg0  n.
После исключения слагаемых высоких порядков, получим
   n 1   n
  n 1   n  2ka sin ky n
  n  1  n  2ka sin ky n

 или y y
2d 2d
 y n 1  y n  n  n 1 n
 n

 cos  0
2
 n  1  n cos  0

2
В такой форме отображения напоминают дифференциальные
уравнения

   2ka sin ky ,

 2d
y 
 ,

 cos  0
2
13

14. являющиеся каноническими для гамильтониана
d
H  2  2a cos ky !
cos 2  0
Получили гамильтониан математического маятника, который
позволяет найти уравнение сепаратрисы:
d a ky
2a1  cos ky   2    2 cos  0  sin ,
cos 2  0 d 2
откуда и полная ширина резонанса:
a
  4 cos  0 .
d
Замечание. Ширина резонансов, связанных с другими, ранее
рассмотренными, периодическими траекториями, рассчитывается по
этой же формуле: меняется лишь величина α0.
14

15. Для полноты картины осталось описать лишь траектории, не
попавшие в резонанс. Для них угол α меняется мало, поэтому
xn 1  xn  2d tg  xn  x0  2d tg  n.
Здесь  – некоторое среднее значение угла.
Отображение для угла тогда дает
 n 1   n  2ka sinkx0  kd tg  2n  1 
  n 1  2kasinkx0  kd tg  2n  1  sinkx0  kd tg  2n  1  
n
   0  2ka sinkx0  kd tg  2 j  1  ?
j 0
Для нахождения суммы синусов обратимся к другой сумме:
n
 e i kx kd tg 2 j 1  ?
j 0
0
15

16. n n
1  e i 2kd tg ( n 1)
e
j 0
i kx0  kd tg  2 j 1
e i kx0  kd tg 
e
j 0
i 2 kd tg  j
e i kx0  kd tg 
1 e i 2 kd tg

sinkd tg  (n  1)
 e ikx0 e ikd tg ( n 1)
sinkd tg 
Тогда
sinkd tg  (n  1)
 n 1   0  2ka sinkx0  kd tg  n  1 
sinkd tg 
cos kx0 coskx0  2kd tg  n  1
  0  ka  ka
sinkd tg  sinkd tg 
 
 

Первые слагаемые здесь – постоянная составляющая, относительно
которой происходят колебания с амплитудой ~ka, описываемые
последним слагаемым.
Проиллюстрируем расчеты!
16

17. Структура плоскости (x, α)
при k = 1, d = π, a = 0.002.
По вертикали отложен
тангенс угла α.
Для данных параметров
m
tg 0   m.
kd
Видны резонансы с m = 0…4.
? Что будет, если увеличить
амплитуду гофрировки?
17

18. Здесь а = 0.005 (слева) и а = 0.01 (справа)
18

19. Задания по теме
1. Записать отображение для материальной точки, движущейся
между двумя стенками с координатами: xleft = 0, xright = L + a sinωt.
Соударения абсолютно упругие, L >> a. Скорость шарика считать
много большей aω. Определить положения равновесия и их
устойчивость.
2. Записать отображение для материальной точки, движущейся в
однородном гравитационном поле и соударяющейся с
горизонтально расположенной гофрированной границей, заданной
как y(x) = – a coskx. Амплитуду а считать много меньшей
характерной высоты скачков и периода гофра. Определить
положения равновесия и их устойчивость.
19