Восстановление концентрации частиц с большим ларморовским радиусом по их диамагнетизму.

1. Содержание 1
Содержание
1 Введение 2
2 Однородное магнитное поле 3
2.1 Модель с малым β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Геометрия движения частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Описание n(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 Пределы интегрирования для n(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Описание j(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.6 Примеры для однородного распределения ларморовских центров. . . . 8
3 Аксиально-симметричное неоднородное
магнитное поле 10
3.1 Геометрия движения частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Новая параметризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Предел постоянного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Пределы интегрирования n(r) и j(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Численное моделирование 16
4.1 Область интегрирования для n(r) и j(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.2 Обезразмеривание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Частота радиальных колебаний в зависимости от x+ . . . . . . . . . . . 20
4.4 Восстановление n(r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Результаты 27
6 Выводы 29

2. 1 Введение 2
1 Введение
На установке ГДЛ института ядерной физики проводятся эксперименты по удер-
жанию и нагреву плазмы с диамагнетизмом β ∼ 0.6 и со средним ионным лармо-
1 1
ровским радиусом < ρi >, который составляет ∼ 3
÷ 2
от радиуса плазменного
шнура.([4, 5]) При таких условиях большая часть энергии плазмы сосредоточена
в быстрых ионах, поэтому они в основном и определяют диамагнетизм. Проводят-
ся эксперименты и по измерению локального диамагнетизма плазмы(метод MSE) и
плотности частиц по перезарядке(метод CXRS). Если считать магнитное поле извест-
ным на отрезке [0; R], где R - радиус лимитера установки, то с помощью уравнения
c
Максвелла для стационара j = rot(B) можно найти распределение диамагнитно-
4π
го тока в сечении цилиндра. Локальный диамагнетизм и плотность плазмы связаны
через функцию распределения ионов F (r0 ).
Размерная функция распределения F (r0 ) непосредственно не измеряется. Однако
эта функция включена в интегральные выражения как для концентрации, так и для
диамагнитного тока. Поэтому у нас есть шанс решить обратную задачу по восста-
новлению F (r0 ) с помощью известного ряда точек jϕ (rk ). Данная обратная задача
относится к классу интегральных уравнений Фредгольма первого рода, но на отрезке
[ρ; R] интегральное уравнение принадлежит к более узкому классу, а именно, к инте-
гральному уравнению Вольтерра второго рода. Несмотря на то, что на сегодняшний
день существует достаточно много методов по разрешению обратных задач такого
типа, описанных в [1, 2, 3], мы разработали разложение по базисным полиномам
функции F (r0 ). Сделано это из-за особенностей поведения и области определения
интегрального ядра G(r, r0 ) внутри интегральных выражений для плотности частиц
и диамагнитного тока. Также существуют и другие характеристики плазмы, которые
также связаны с F (r0 ), например скорость термоядерных реакций.
В главе 2 данной работы освещена разработанная теория для однородного маг-
нитного поля (для малых β), что является простым примером и частным случа-
ем аксиально-симметричного неоднородного магнитного поля, описанного в главе 3.
Для непосредственного использования разработанных расчетных формул существу-
ет необходимость в привлечении численных методов счета, которые рассматриваются
в главе 4. В качестве результатов мы приведем восстановленную концентрацию n(r)
для ε = 4.8[keV ] в главе 5. В заключительной главе мы резюмируем проделанную
работу и обсудим дальнейшее развитие.

3. 2 Однородное магнитное поле 3
2 Однородное магнитное поле
2.1 Модель с малым β
В данной главе мы выведем интегральные выражения для n(r) и j(r) и проде-
монстрируем их связь через функцию распределения ионов F (r0 ). Модель с малым
диамагнетизмом рассматривается, как частный и более простой случай неоднород-
ных магнитных полей в плазме. Приведем описание модели: в цилиндре бесконечной
длины радиуса R с постоянным продольным магнитным полем B = (0, 0, B) находят-
ся частицы, имеющие одинаковую массу m и с энергию ε, обладающие продольной
скоростью v и поперечной v⊥ относительно оси цилиндра. Данная модель описывает
стационарную задачу: в ней учитывается лишь взаимодействие частиц с магнитным
полем, а любое другое взаимодействие не рассматривается. Также, разработанная
модель оперирует лишь с моноэнергетичным спектром частиц f (ε) = δ(ε − ε0 ) и с
угловым разбросом δ(θ − θ0 ). Но в будущем, не составит труда подкорректировать
расчетные формулы, если будут заданы энергетическое и угловое распределения.
2.2 Геометрия движения частиц
В постоянном магнитном поле B = (0, 0, B) одиночная частица движется вдоль
оси цилиндра со скоростью v и поперек оси с v⊥ . Поперечная траектория одной
2 2
частицы окружность с ларморовским радиусом ρ и угловой скоростью vϕ + vr .
Мы будем рассматривать только поперечное движение частиц, поскольку только оно
влияет на диамагнетизм. В данной модели каждая частица описывает окружность
с ларморовским радиусом ρ и не взаимодействует с другими частицами. Следует
отметить, что при такой постановке существуют частицы, траектории которых охва-
тывают центр системы, и такие, чьи траектории выходят за границу цилиндра R.
Поскольку физически под границей цилиндра понимается лимитер, то будем счи-
тать, что частица, выходящая в какой-либо момент времени за стенку цилиндра,
пропадает(абсорбируется) и не учитывается.
2.3 Описание n(r)
Введем радиальный вектор r0 = (r0 , ϕ0 ) ларморовский центр частицы. Тогда,
согласно этому определению: r = r0 + ρ(t) (см. Рис. 1). У каждой частицы в систе-
ме существует собственный ларморовский центр. А значит, в такой ситуации можно
говорить о функции распределении ларморовских центров F (r0 ) с областью опреде-
1
ления D(F (r0 )) = [0, R]. Эта функция имеет размерность [F (r0 )] = .
cm2
Обратим внимание на то, что разные частицы имеют разные начальные данные, в
том числе положение на траектории. Поэтому, для перехода к стационарной задаче,
2π
нам придется усреднить всю картину по общему периоду вращения T = , где ΩB
ΩB
– ларморовская частота вращения, или, что тоже самое, по углу ϕρ = ΩB · t. Угол

4. 2 Однородное магнитное поле 4
Рис. 1: Геометрия движения частицы
ϕρ условимся отсчитывать от вектора r0 , так что ϕρ = (r0 , ρ(t)), как показано на
рисунке 2:
Рис. 2: Положение углов
Учитывая это, в такой модельной системе мы можем описать концентрацию ча-
стиц в данной точке r следующим образом:
2π 2π T
Ω
n(r) = F (r0 )2πr0 dr0 dϕ dϕ0 · δ(r − r0 − ρ)dt (2.3.1)
0 0 0 2π
В этой формуле дельта-функция δ(r − r0 − ρ) отвечает за точное положение ча-
стиц. Эту дельта-функцию мы усредняем по общему периоду вращения, тем самым
создавая окружность усреднения, которая учитывает все частицы, находящиеся на
ней. Затем, размазывая эту окружность по азимутальному углу вокруг оси шнура
плазмы на 2π, получаем кольцо усреднения, простирающиеся по радиусу в проме-
жутке [r − ρ; r + ρ]. Отметим, что иногда эта область может быть несколько уже(к

5. 2 Однородное магнитное поле 5
примеру, около лимитера). Таким образом, мы учитываем в интеграле все частицы,
ларморовские центры которых лежат внутри кольца усреднения, вне зависимости от
угла. И, наконец, интегрирование по r0 учитывает населенность полосы усреднения
1
ларморовскими центрами и имеет смысл интегрального веса для n(r).
Теперь следует максимально упростить интеграл (2.3.1) до вида
B
n(r) = F (r0 )G(r, r0 )dr0 , где G(r, r0 ) - некоторое интегральное ядро. Такой вид
A
интегрального выражения для n(r) вполне очевиден, так как в данной модели только
F (r0 ) остается неизвестной функцией.
Рис. 3: Последовательность усреднения
Дельта-функцию от векторного аргумента a в цилиндрических координатах, как
δ(r − r∗ )δ(ϕ − ϕ∗ )
известно, можно переписать в следующем виде: δ(a) = δ 2 (r, ϕ) = .
|r|
Чтобы найти координатные представления нашей δ(r−r0 −ρ(t)), обратимся к рисунку
|ρ| r
2. Из теоремы синусов имеем: = .
sin(ϕ0 − ϕ) sin(π − ϕρ )
Из теоремы косинусов: r2 = r0 + ρ2 − 2r0 |ρ| cos(π − ϕρ ). Следовательно, интеграл
2
(2.3.1) можно переписать в следующем виде:
1
n(r) = F (r0 )2πr0 dr0 dϕ δ(ϕ − ϕ0 +
2πr
ρ 2
+ arcsin( |sin(ϕρ )|))dϕ0 δ(r − r0 + ρ2 + 2r0 ρ cos(ϕρ ))dϕρ .
r
Для дальнейшего упрощения нам потребуется одно из свойств дельта-функции:
δ(x − xk )
δ(f (x)) =
xk
|f (xk )|
где xk – простые нули функции f (x). Заметим, что дельта-функция, содержащая
угловую зависимость, уже приведена к такому каноническому виду. Простым нулем
r2 − r0 − ρ2
2
для нашей функции f (r) служит выражение cos(ϕρ ) = , найденное ранее
2r0 ρ
r0 |ρ| sin(ϕρ )
из теоремы косинусов, тогда f (ϕρ ) = . Видно, что результат интегриро-
r
вания дельта-функции по радиальной координате не содержит в себе зависимости
1
Вообще говоря, порядок интегрирования может быть произвольным

6. 2 Однородное магнитное поле 6
1
ни от угла ϕ, ни от ϕρ , а значит интегрирование по углу даст . Наконец, n(r)
2π
приобретает вид:
Ω F (r0 )dr0
n(r) = . (2.3.2)
2πv⊥ 2
r − −ρ2
r0 2 2
1−
2r0 ρ
Вообще говоря, можно считать концентрацию результатом действия некоторого ин-
ˆ
тегрального оператора V на функцию F (r0 ) с собственной областью определения.
2.4 Пределы интегрирования для n(r)
Ранее уже оговаривалось, что вблизи краев области определения r0 ([0, R]) ши-
рина полосы(или кольца) усреднения может быть несколько уже, чем 2ρ. Ясно, что
лимитер не пропускает частицы с r ≥ R. Также, существуют и нижние ограниче-
ния, связанные с цилиндрической геометрией. Но можно найти область определения
интегрального оператора G(r, r0 ), просто исходя из его вида. Для этого обратимся
к выражению (2.3.2). В знаменателе ядра стоит корень от некоторого выражения и
вполне логично потребовать неотрицательность данного выражения, то есть:

 r0 ≥ r − ρ


2
r2 − r0 − ρ2
2

 r ≥ρ−r
0
1≥ ⇐⇒
2r0 ρ  r0 ≤ r + ρ



 r ≤R−ρ
0
Этой системе неравенств соответствует следующая область:
Рис. 4: Область интегрирования
Таким образом, мы вычислили область определения интегрального ядра G(r, r0 )
или, что то же самое, однозначно установили пределы интегрирования для n(r).

7. 2 Однородное магнитное поле 7
Из вида интегрального оператора G(r, r0 ) можно увидеть, что на границах области
r0 = |r − ρ| и r0 = r + ρ интегральное ядро обращается в ∞.
2.5 Описание j(r)
Выражение для j(r) по алгебраическому виду не отличается от j(r) = en(r)v. В
нашей модели частицы создают поперечный ток2 своим движением по ларморовским
окружностям. Рассмотрим плотность тока при данном r:
Рис. 5: Азимутальный ток возникает из-за неоднородности распределения ларморов-
ских центров. В результате при данном r образовался нескомпенсированный ток.
Своим движением частицы создают угловой ток в точке r, радиальный же ток
полностью скомпенсирован, благодаря чисто радиальной зависимости функции рас-
пределения ларморовских центров F (r0 ). Она же и определяет населенность лармо-
ровских центров в точках r0 = r +ρ и r0 = r −ρ. А значит, при постоянном магнитном
поле следует ожидать только наличие углового тока. Выражения для jϕ (r) можно
написать, используя операторный подход для определения концентрации:
ˆ
jϕ (r) = en(r)vϕ = eV F (r0 )vϕ = e F (r0 )vϕ G(r, r0 )dr0 (2.5.1)
В полученном интеграле неизвестным остается лишь выражение для vϕ . Его мож-
но написать, используя базовые модельные определения и рисунок 2, переписав их в
базисе (er0 , eϕ0 ):
˙
r = r0 + |ρ| −er0 cos(π − ϕρ ) − eϕ0 sin(π − ϕρ ) ⇒ r = −|ρ| er0 sin(ϕρ ) + eϕ0 cos(ϕρ ) · Ω
2
Продольный ток мы не рассматриваем

8. 2 Однородное магнитное поле 8
(er0 , ez , r) = −reϕ0 (eϕ0 , ez , r) = rer0
˙
vϕ = (eϕ · r) = ez × r ˙
·r
|r|
(2.5.2)
⇓
v⊥
vϕ = − (ρ + r0 cos(ϕρ ))
r
Последнее можно максимально упростить, используя выражение для cos(ϕρ ), которое
мы ранее получали из рисунка 2, при выводе n(r) :
r 2 − r0 + ρ 2
2
vϕ = −v⊥ . (2.5.3)
2ρr
Теперь мы можем подставить выражение vϕ в (2.5.1) и получить расчетную формулу
для диамагнитного тока jϕ (r):
Ω F (r0 )dr0 r2 − r0 + ρ2
2
jϕ (r) = −e . (2.5.4)
2π 2
r − −ρ 2
r0 2 2 2ρr
1−
2r0 ρ
Осталось отметить, что область определения подынтегрального выражения угло-
вого тока совпадает с областью определения интегрального ядра G(r, r0 ). В даль-
нейшем, несмотря на то, что алгебраически интегральные ядра для n(r) и jϕ (r)
не совпадают, мы, тем не менее, продолжим называть интегральным ядром именно
1
G(r, r0 ) = , а подынтегральные функции же будем различать.
2
r 2 − r0 − ρ 2
2
1−
2r0 ρ
Пока что, подынтегральной функцией n(r) условимся называть функцию F (r0 ), а
для jϕ (r) – eF (r0 )vϕ . Оставшиеся постоянные множители будем кратко называть
внеинтегральными.
Теперь, аналогичным нахождению vϕ способом (метод (2.5.2)), найдем и радиаль-
ную скорость:
2
˙ r0 r0 r 2 − r0 − ρ 2
2
vr = (er · r) ⇔ vr = v⊥ 1− cos2 (ϕ ρ ) = v⊥ 1− . (2.5.5)
r r 2r0 ρ
Как мы видим, выражение в знаменателе интегрального ядра G(r, r0 ) с точностью до
r0
функционального множителя v⊥ совпадает с радиальной скоростью. Предпосылки
r
к этому мы обсудим в следующей главе.
2.6 Примеры для однородного распределения ларморовских
центров.
Предел однородного поля физически соответствует малой концентрации быстрых
частиц. На установке ГДЛ измеряемый диамагнетизм β ∼ 0.6, поэтому некорректно
применять построенные расчетные формулы для n(r) и j(r). Обсуждать решение

9. 2 Однородное магнитное поле 9
обратной задачи для определения F (r0 ) мы будем в параграфе 4.4, где мы сконцен-
трируемся только на восстановлении n(r). Поэтому, в качестве примера, приведем
распределение диамагнитного тока и концентрацию, которые получаются из расчет-
ных формул для однородного магнитного поля и однородного распределения лармо-
ровских центров на r0 ∈ [0, R − ρ]:
Рис. 6: Примеры распределений n(r) и j(r) при F (r0 ) = const
Для случая F (r0 ) = const, удается аналитически вычислить как концентрацию, так и
распределение тока, однако мы не будем приводить эти расчеты. Рисунок 6 легко ин-
терпретировать: поскольку распределение ларморовких центров однородно, то всюду
в области r ∈ [0; R − 2ρ] азимутальный ток скомпенсирован (рис. 5) и концентрация
постоянна, но в области [R − ρ, R] ларморовские центры отсутствуют из-за физиче-
ских ограничений лимитера. А значит, в этой области ток и концентрацию создают
лишь те частицы, чьи ларморовские центры лежат в диапазоне [R − 2ρ; R − ρ).

10. 3 Аксиально-симметричное неоднородное магнитное поле 10
3 Аксиально-симметричное неоднородное
магнитное поле
3.1 Геометрия движения частиц
Теперь мы изменим в модели условие однородности магнитного поля по радиусу
на аксиальную симметричность этого поля и обсудим изменения. Во-первых, траек-
тории частиц – больше не окружности одинакового ларморовского радиуса, а имеют
более сложную форму. Обратимся к иллюстрации:
Рис. 7: Аксиально-симметричное неоднородное магнитное поле. Примеры траекторий
Как видно, понятие ларморовского радиуса крайне усложняется и его универ-
сальность теряется из-за неоднородности поля. Так, даже если перейти в систему
отсчета, связанную с угловым дрейфом частицы, то и в ней траектория частицы мо-
жет не оказаться окружностью. Также, понятие ларморовского центра затруднено
в описании: теперь мы можем предсказать движение частицы только в зависимости
от ее начальных данных. В дальнейшем мы найдем уравнения на траектории и из
них покажем такого рода усложнения.
Давайте обратимся к самой идее усреднения, применительно к общему измене-
нию числа частиц в дифференциальном слое dr на расстоянии r от центра, которую
сокращенно можно было записать следующим образом:

 dN (r) = F (Ψ )dΨ dt 1 dt 1
0 0
T ⇔ n(r) = F (Ψ0 )dΨ0 · (3.1.1)
 dN (r) = 2πnrdr 2πr dr T
dt
Здесь - это относительное время пребывания частицы внутри кольца усреднения
T
с учетом населенности ларморовскими центрами, а Ψ0 – некоторая параметризация
траектории частицы в данном поле (в однородном магнитном поле это r0 ). В знаме-

11. 3 Аксиально-симметричное неоднородное магнитное поле 11
нателе последней формулы для концентрации появилась радиальная скорость, что
ранее в конце параграфа 2.5 нам удалось получить из других соображений. Таким
образом, мы можем воспользоваться формулой (3.1.1) для поиска нового выражения
для концентрации, минуя заведомо непростой процесс усреднения по траекториям.
Хотя, поскольку нам пока неизвестен точный вид для радиальной скорости в ци-
линдрических координатах для продольного, неоднородного по радиусу магнитного
поля, мы не можем утверждать, что и такой подход увенчается успехом. Так, в худ-
шем случае, мы не сможем выделить новую параметризацию, пригодную для такого
поля. Говоря о распределении диамагнитного тока в сечении цилиндра, следует спер-
ва понять какие компоненты ненулевые:
er reϕ ez er reϕ ez
c c 1 ∂ ∂ ∂ c 1 ∂ ∂ ∂
j= rot(B) = ∂r ∂ϕ ∂z
= ∂r ∂ϕ ∂z
4π 4π r 4π r
Br rBϕ Bz 0 0 B(r)
Теперь ясно, что также, как и в случае однородного поля диамагнитный ток имеет
только угловую составляющую. Для того, чтобы найти радиальную скорость vr , ис-
пользуем уравнение Лагранжа. Лагранжиан частицы в цилиндрических координатах
равен:
m 2 e
L= r + (rϕ)2 + z 2 + Ar r + Aϕ rϕ + Az z .
˙ ˙ ˙ ˙ ˙
2 c
Здесь A -векторный потенциал в системе, который, как известно, определен неодно-
значно, потому может быть откалиброван. Мы применим лоренцевскую калибровку
следующим образом:
er reϕ ez
1 ∂ ∂ ∂
B = (0, 0, B(r)) = rotA =
r ∂r ∂ϕ ∂z
0 rAϕ 0
Действительно, div(A) = 0, и учитывая, что лишь угловая компонента вектор-потен-
циала ненулевая, в дальнейшем мы будем обозначать Aϕ просто символом A. Вообще
говоря, благодаря такой калибровке и алгебраическому виду лагранжиана, даль-
нейшие уравнения будут содержать преимущественно угловой векторный потенциал
A(r), а не B(r), как было в предыдущей главе. Они связаны простым способом:
1 ∂(rA(r))
= B(r) (3.1.2)
r ∂r
∂L d ∂L d
Теперь, воспользуемся уравнениями Лагранжа = = pk , предвари-
∂ xk
˙ dt ∂xk dt
тельно выразив моменты системы:

∂L
=0

 
∂z
 
 pz = mz˙


  pz = const


e
 ∂L 
2
pϕ = mr ϕ + c rA ∪
˙ =0 ⇒ pϕ = const
∂ϕ
 m¨ = mr(ϕ)2 + e ϕrB(r)
  
pr = mr
˙ r ˙ ˙
 
 
 ∂L e ∂ c
= mr(ϕ)2 + ϕ (rA)


 ˙ ˙
∂r c ∂r

12. 3 Аксиально-симметричное неоднородное магнитное поле 12
Угловую скорость vϕ можно выразить через интеграл движения pϕ :
pϕ e
vϕ (r) = rϕ =
˙ − A(r),
mr mc
которая безусловно понадобится нам для j(r), по аналогии с однородным полем.
Поперечная энергия по-прежнему сохраняется, поскольку сохраняется продольная,
согласно уравнениям Лагранжа. А значит, выражение для радиальной скорости за-
2E⊥ 2
писывается следующим образом: vr = − vϕ . Как интеграл движения, pϕ вы-
m
ражается через начальные данные частицы на траектории. Если траектории частиц
можно параметризовать, то pϕ также можно представить через новую параметриза-
цию.
3.2 Новая параметризация
В однородном поле радиальное расстояние r0 было вполне удобным параметром,
так как характеризовало целый класс траекторий частиц, в пределах периода враще-
ния. В этот класс входили траектории частиц не выходящие за диапазон [r0 −ρ; r0 +ρ]
(рис. 4). Для неоднородного поля параметризация через ларморовский центр окруж-
ности r0 невозможна, так как траектории - не круговые (рис. 7). Однако такой пара-
метр траектории не был единственным, к примеру, мы могли бы взять за параметр
одну из точек, где угловая скорость частицы равнялась нулю. Но параметризация
траектории ларморовским центром выбиралась из естественности и простоты. Для
неоднородного же поля такими же интуитивно понятными параметрами могут быть
точки радиальной остановки частицы. В качестве необходимой замены для парамет-
ризации r0 выберем r+ - максимальное удаление частицы на траектории от центра
шнура плазмы. Также, r+ - одна из точек, где зануляется радиальная скорость, а вто-
рая такая точка соответствует r− - минимальному отклонению траектории от центра
установки. Радиальное расстояние r+ параметризует целый класс траекторий, лежа-
щих в диапазоне по радиусу [r− ; r+ ] с произвольным азимутальным углом.
Запишем как выражаются r+ и r− через выражения для скорости, полученные
из уравнений Лагранжа:
pϕ e pϕ r e
vr = 0 ⇔ vϕ = −
v⊥ = A(r± ) = − A(r± ) (3.2.1)
mr± mc mr r± mc
В последнем выражении при поперечной скорости выбран знак , чтобы в точке r+
угловая скорость частицы была направлена против часовой стрелки (система коор-
динат аналогична той, что показана на рис. 2). Таким образом, выражение (3.2.1)
позволяет нам, наконец, выразить vϕ и vr через новую параметризацию r+ :
pϕ e r+ e e
vϕ (r) = − A(r) = (−v⊥ + A(r+ )) − A(r).
mr mc r mc mc
2 2 2 r+ e e 2 e
vr (r) = v⊥ − vϕ = v⊥ − (−v⊥ + A(r+ )) − A(r) = η= =
r mc mc mcv⊥
r+ 2
= v⊥ 1− (−1 + ηA(r+ )) − ηA(r)
r

13. 3 Аксиально-симметричное неоднородное магнитное поле 13
В последнем выражении мы ввели параметр, обезразмеривающий векторный потен-
1 1
циал - η. Он имеет размерность в единицах СГС η = = . Согласно
[A] Gauss · cm
(3.1.1), необходимо также переписать и частоту Ω через новую параметризацию r+ :
2π 2π π π
Ω= = T
= r+ = r+ = Ω(r+ ).
T dr dr
dt
0 r− vr r− r+ 2
v⊥ 1− (ηA(r+ ) − 1) − ηA(r)
r
(3.2.2)
Последнее означает, что в неоднородном поле частота зависит от траектории. В пре-
деле постоянного поля она стремится к ларморовской (далее проверим в параграфе
3.3). Заметим, что в последнем выражении присутствует параметризованная ради-
альная скорость, только в данном случае интегрирование ведется по r между точка-
ми радиальной остановки. Это придает Ω смысл усредненной частоты радиальных
колебаний частицы на траектории с данным r+ . Осталось лишь переписать выраже-
ние F (Ψ0 )dΨ0 в терминах r+ , но мы сделаем это подробно в следующем параграфе.
3.3 Предел постоянного поля
Чтобы удостовериться в правильности текущих формул и при необходимости под-
корректировать их, требуется упростить выражения для радиальной скорости vr (r+ ),
угловой vϕ (r+ ) и частоты Ω(r+ ) и свести их к аналогам в постоянном магнитном поле.
Сделаем это поэтапно:
rB
Во-первых, если B = const, то угловой векторный потенциал A(r) = , согласно
2
r+ B
уравнению (3.1.2), и конечно A(r+ ) = . Во-вторых, упростим радиальную ско-
2
рость vr (r+ ), учитывая простую связь между двумя параметризациями в однородном
поле - r+ = r0 + ρ:
vr (r) =
2 2
r+ e r+ B e rB r+ r+ r
= v⊥ 1− −1 + − = v⊥ 1− −1 − =
r mcv⊥ 2 mcv⊥ 2 r 2ρ 2ρ
2 2 2 2
r+ − 2r+ ρ − r2 r2 − r0 + ρ2
= v⊥ 1− = v⊥ 1− =
2ρr 2ρr
4 2 2 2
(r4 + r0 + ρ4 − 2r2 r0 + 2r2 ρ2 − 2r0 ρ2 ) + 2r2 ρ2 − 2r2 ρ2 r0
= v⊥ 1− · 2
=
4ρ2 r2 r0
4 2 2 2 2
r0 (r4 + r0 + ρ4 − 2r2 r0 − 2r0 ρ2 − 2r2 ρ2 ) − 2r0 ρ2 + 2r0 ρ2
= v⊥ − 2
=
r 4ρ2 r0
2
r0 4 2 2
r4 + r0 + ρ4 − 2r2 r0 + 2r0 ρ2 − 2r2 ρ2 r0 r2 − r0 − ρ2
2
= v⊥ 1− 2
= v⊥ 1−
r 4ρ2 r0 r 2r0 ρ

14. 3 Аксиально-симметричное неоднородное магнитное поле 14
Последнее выражение точно совпадает с (2.5.5). В ходе преобразований мы уже по-
лучили вид угловой скорости, которая с точностью до знака совпадает с (2.5.3):
r2 − r0 + ρ2
2
|vϕ | = v⊥
2ρr
В-третьих, убедимся, что частота частицы на траектории, параметризованной с по-
мощью r+ , переходит в постоянную величину, используя уже доказанный переход
радиальной скорости:
π
Ω(r+ ) → Ω(r0 ) = r0 +ρ =
dr
2
r0 −ρ r0 r 2 − r0 − ρ 2
2
v⊥ 1−
r 2r0 ρ
π
= =
r2 r 2 + ρ2
r0 +ρ d − 0
ρ 2r0 ρ 2r0 ρ
v⊥ r0 −ρ r2 r 2 + ρ2
2
1− − 0
2r0 ρ 2r0 ρ
π
= =
ρ (r0 + ρ)2 r0 + ρ2
2
(r0 − ρ)2 r0 + ρ2
2
arcsin − − arcsin −
v⊥ 2r0 ρ 2r0 ρ 2r0 ρ 2r0 ρ
π
= = Ω = const
1
arcsin(1) − arcsin(−1)
Ω
Наконец, осталось лишь потребовать, чтобы интегральный вес вместе с дифферен-
циалом переходили в их аналог переходили в аналог из постоянного поля:
F (Ψ0 )dΨ0 → 2πr0 F (r0 )dr0
Такое требование можно удовлетворить следующим образом:
2π(r+ − ρ)F (r+ )dr+
Собственно, такая запись обеспечивает точный переход при стремлении поля в посто-
янное. Однако нам пришлось добавить ρ в последнее выражение, которое отвечает
круговым траекториям в неоднородном поле. И, вообще говоря, на данный момент
мы не имеем возможности его знать. Так что пока ρ - это неизвестная величина, но
дальнейшее исследование области определения интегрального оператора позволит
нам разрешить этот конфликт.
3.4 Пределы интегрирования n(r) и j(r)
По аналогии с однородным магнитным полем, потребуем от знаменателя инте-
грального ядра неотрицательности и, разумеется, это условие равносильно vr ≤ v⊥ ,

15. 3 Аксиально-симметричное неоднородное магнитное поле 15
поскольку в знаменателе стоит именно радиальная скорость, как мы обнаружили в
(3.1.1):
r+ 2
1≥ (ηA(r+ ) − 1) − ηA(r)
r (3.4.0)
⇓
r+ (ηA(r+ ) − 1) = r(ηA(r) ± 1)
(3.4.1)
r+ ≤ R
Как и при постоянном поле, неравенство (3.4.0) описывает некоторую замкнутую
область. Однако теперь, в общем случае аналитически ее не определить, так как
это равносильно решению неявных уравнений границ области (3.4.1) с произвольной
функцией A(r). Также, у уравнения (3.4.1) есть и одно очевидное решение: r+ = r,
но оно не единственное. К тому же,0000 наличие лимитера приводит к тому, что
траектории с максимальным удалением от центра, превышающим радиус лимитера
R, не учитываются. Таким образом, мы неизбежно подходим к численным методам
решения уравнений, которые будут описаны в следующей главе.

16. 4 Численное моделирование 16
4 Численное моделирование
4.1 Область интегрирования для n(r) и j(r)
В параграфе 3.4 отмечена необходимость введения численных методов для реше-
ния неявных уравнений границ области (3.4.1) ввиду их математической сложности.
Для этого предлагается аппроксимировать изначально сеточно заданное магнитное
M +1
поле в среде с помощью полиномиального ряда по степеням r: B = Bi rM +1−i ,
i=1
где M - максимальная степень полинома B. Такой подход позволит весьма ощути-
мо увеличить точность последующих вычислений сложных интегралов в параграфе
4.3. Угловой векторный потенциал, согласно (3.1.2), можно переписать следующим
образом:
r r M +1 M +1 M +1
1 1 M +2−i Bi
A(r) = B(a)ada = Bi a da = rM +2−i = Ai rM +2−i
r 0 r 0 i=1 i=1
M +3−i i=1
Последнее выражение дополним уравнением AM +2 = 0, так как ряд векторного по-
тенциала не может содержать постоянного члена. Чтобы решить полиномиальные
уравнения (3.4.1) для области определения интегрального оператора, нам понадобит-
ся магнитное поле, из которого будет найден векторный потенциал, а затем решения
уравнений границ области. В качестве такого модельного магнитного поля возьмем
r 2 r 4 r 6 r 8
B(r) = αBvac + (1 − α)Bvac · H + (6 − 3H) − (8 − 3H) + (3 − H) ,
R R R R
(4.1.1)
где H - число, регулирующее скорость квадратичного роста в модельном поле или,
что то же самое, ширину ямы, а α - постоянная, введенная для упрощенной записи,
√
связанная с β следующим образом: α = 1 − β. Такое B(r) отвечает следующим
условиям: 
 B(0) = αBvac


 B(R) = Bvac



B (0) = 0 (4.1.2)

 B (R) = 0




B (R) = 0

Так, для последующих вычислений примем H = 3.8, Bvac = 3[kGs], β = 0.6 и радиус
лимитера R = 14[cm], тогда магнитное поле принимает вид (рисунок 4.1):

17. 4 Численное моделирование 17
Рис. 8: Модельное магнитное поле
По формуле (3.1.2) вычислен угловой векторный потенциал A(r):
Рис. 9: Модельный угловой векторный потенциал
Перед тем, как приступить непосредственно уравнений границ, мы сделаем пе-
реход к безразмерной координате, магнитному полю и векторному потенциалу. Так,
r
безразмерная координата x = . Безразмерное магнитное поле выразим следующим
R
образом:
ˆ e B1kGs B(r) R
B(x) = ηB(r) · R = ·R· = ·
mcv⊥ B1kGs B1kGs ρ1kGs
Здесь мы ввели ρ1kGs - ларморовский радиус частицы при магнитном поле в 1kGs.

18. 4 Численное моделирование 18
Согласно [6], ρ1kGs [cm] = 6.388 · ˆ
ε[keV ]. А векторный потенциал при таком B(x) не
изменит своего алгебраического вида:
ˆ 1 x ˆ
A(x) = x B(x )dx = ηA(r)
x 0
Мы не приводим графики обезразмеренных магнитного поля и векторного потен-
циала, так как они не несут за собой физического смысла, однако являются очень
удобными для алгебраической записи.
Теперь приведем уравнения (3.4.1) к полиномиальному виду, предварительно вве-
r+ ˆ
дя обозначение C0 (x+ ) = (ηA(r+ ) − 1) = x+ (A(x+ ) − 1):
R
ˆ
x(A(x) + 1) = C0 (x+ ) ˆ
x(A(x) − 1) = C0 (x+ )
M +1 M +1 (4.1.3)
x M +3−i ˆ
Ai + x − C0 (x+ ) = 0 x M +3−i ˆ
Ai − x − C0 (x+ ) = 0
i=1 i=1
Переписав уравнения границ области определения интегрального оператора в поли-
номиальном виде, мы можем воспользоваться функцией roots математического па-
кета Matlab. Эта функция предназначена для решения полиномиальных уравнений
md+1
конечной целочисленной степени вида Ci xmd+1−i = 0, где С - массив, содержа-
i=1
щий коэффициенты полиномиального разложения уравнения, а md - максимальная
степень полинома. Подробная документация по функции roots может быть найдена в
[8]. Таким образом, для каждого x+ ∈ [0, 1] мы можем найти соответствующие корни
полиномиальных уравнений границ области интегрального оператора:
Рис. 10: Область определения интегрального ядра G(x+ , x)
На рисунке 10 изображена область определения G(x+ , x) в координатах (x, x+ ).
Прямая x+ = xR = 1, соответствующая r+ = R, описывает физическое ограничение

19. 4 Численное моделирование 19
лимитера, описанное еще в параграфе 3.4. Прямая x+ = x и есть очевидное решение
уравнения (3.4.1). Зеленым цветом помечена кривая x− - минимальное расстояние в
безразмерных координатах, на которое частица способна отдаляться от центра си-
стемы. Отметим, что кривая x− в пределе постоянного поля обращается в ломанную,
и, переходя в формализм r0 , мы можем получить область определения интеграль-
ного оператора G(r, r0 ), изображенного на рисунке 4, простым смещением области,
согласно правилу r+ = r0 + ρ. Таким образом, наглядно вырисовываются пределы
интегрирования для частоты радиальных колебаний Ω(x+ ) ([x− ; x+ ]) и для n(x), j(x)
([x1 ; x2 ]) в формализме r+ . Заметим, что на графике существует точка, где x+ = x− ,
что соответствует единственной круговой траектории в системе. В конце параграфа
3.3 мы обсуждали, что именно радиус круговой траектории в неоднородном поле сле-
дует принять за xρ . Тогда, формулы для концентрации и для распределения тока в
неоднородном поле смогут однозначно перейти в аналоги из однородного магнитного
поля.
4.2 Обезразмеривание
В предыдущем параграфе мы уже ввели обезразмеривание для радиальной коор-
динаты, магнитного поля и векторного потенциала, и уже стали использовать обо-
значения часто используемых величин через новые координаты. В данном коротком
параграфе мы приведем подробный вид расчетных формул через этот новый фор-
мализм. Начнем с формулы для частоты радиальных колебаний частицы на траек-
r+
тории, параметризованной через x+ = :
R
πv⊥ 1
Ω(x+ ) = x+ (4.2.1)
R dx
x− x+ ˆ ˆ
2
1− (A(x+ ) − 1) − A(x)
x
Ранее мы выделяли функцию распределения F (r+ ), как некую неизвестную функ-
цию, описывающую населенность траекториями в классе r+ траекторий частиц. Но
Ω(r+ ) также характеризует траектории частиц в этом же классе, поэтому мы изме-
ˆ
ним определение F (x+ ) и будем называть F (x+ ) = F (x+ )·Ω(x+ ). Теперь размерность
ˆ rad
[F (x+ )] = . С учетом последнего, преобразуем формулу для концентрации
cm2 · sec
следующим образом:
R x2 ˆ
F (x+ )(x+ − xρ )dx+
n(x) = , (4.2.2)
2πv⊥ x1 x+ ˆ 2
x 1− ˆ
(A(x+ ) − 1) − A(x)
x

20. 4 Численное моделирование 20
и диамагнитного тока и его связи с магнитным полем:

ˆ x+ ˆ ˆ
e · R x2 F (x+ )(x+ − xρ ) x (A(x+ ) − 1) − A(x) dx+



 j(x) =


 2π x1 x+ ˆ 2
x 1− ˆ
(A(x+ ) − 1) − A(x) (4.2.3)

 x
ˆ

 j(x) = − c ∂B(r) = − c · B1kGs · ρ1kGs ∂ B(x)



4π ∂r 4πR2 ∂x
Также условимся называть интегральным ядром выражение следующей структуры:
v⊥
G(x, x+ ) = (4.2.4)
vr (x, x+ )
4.3 Частота радиальных колебаний в зависимости от x+
В предыдущем параграфе мы отметили возможность избежать вычисление Ω(x+ )
ˆ
с помощью F (x+ ). Однако здесь, мы все же приведем численные методы по расчету
Ω(x+ ), так как они практически не отличаются от методов интегрирования для n(x)
и j(x), и обсудим результаты. Прежде всего, стоит понять, как выглядит подынте-
гральная функция:
Рис. 11: Сечение G(x+ = 0.246, x)
Как и в случае однородного магнитного поля, ядро на границе области определе-
ния обращается в ∞, но в рисунке 11 для наглядности поведения функции вручную
задан верхний предел за 100. Подынтегральная функция имеет две особенности -
точки радиальной остановки x+ и x− .
Интеграл (4.2.1) относится к классу несобственных интегралов второго рода c
двумя особыми точками. Такие интегралы вычисляются полуаналитически. То есть,
x− +δl x+ −δr
его необходимо разбить на три интеграла I1 (δl ) = , I2 (δl , δr ) = и
x− x− +δl

21. 4 Численное моделирование 21
Рис. 12: δ-отступ от особой точки
x+
I3 (δr ) = . Около особой точки подынтегральную функцию раскладывают до
x+ −δr
n-ого члена в ряд Тэйлора и, предполагая сходимость ряда в δ-окрестности особой
точки, аналитически считают вклад интеграла на δ-окрестности. Вполне очевидно,
что коэффициенты при больших n будут содержать высшие порядки производных
ˆ
B(x). Поэтому обычно берут столько членов ряда, сколько позволяет гладкость вхо-
дящих в интеграл функций или столько, если это возможно, чтобы обеспечить необ-
ходимую точность. Для интеграла I2 можно применять любые численные методы,
не выходящие в зону интегрирования аналитических продолжений, к примеру, это
может быть метод трапеций.
Для дальнейшего изложения введем функцию χ(r+ , r), которая связана с инте-
1
гральным ядром следующим образом: G(x, x+ ) = .
χ(x, x+ )
В первую очередь обсудим правую особую точку для Ω(x+ ) - x+ . Разложим функ-
цию χ(x, x+ ) в ряд Тэйлора второго порядка:
(x+ − x)2
χ(x → x+ ) χ −χ (x+ − x) + χ
x=x+ x=x+ x=x+ 2
2
В последнем выражении χ = 0, так как χ ∼ vr , а x+ - точка, где радиальная
x=x+
скорость равна нулю. Далее, предполагая, что этот ряд сходится и в точке x+ − δ,
перепишем вклад интеграла на отрезке [x+ − δ; x+ ]:
x+
x+ dx
I3 (δ) = x+ −δ
G(x, x+ )dx = =
2
x+ −δ (x+ − x)
−χ (x+ − x) + χ
x=x+ x=x+ 2
x+
1 dx χ (x+ − x)
= √ · 1+ =
x+ −δ x+ − x χ x=x+ 4
−χ
x=x+
3
x+
1 √ χ (x+ − x) 2
= −2 x+ − x − =
χ x=x+ 6 x+ −δ
−χ
x=x+

22. 4 Численное моделирование 22
3
1 √ χ δ2
= 2 δ+ (4.3.1)
χ x=x+ 6
−χ
x=x+
В последнем выражении представлены первые члены ряда по степеням δ. Ясно, что
и для левой особой точки x− получится аналогичное выражение. Выбор δ очень
трудоемкий вопрос. Его значение не должно быть слишком маленьким, так как, в
таком случае, мы уменьшаем скорость сходимости ряда по δ и должны учитывать
высшие порядки разложения. Также, δ не может быть слишком большим, так как, в
таком случае, мы должны быть уверенными в сходимости ряда на больших удалени-
ях от точки разложения. Но, вообще говоря, выбирать δ стоит, исходя из следующего
условия:
3
χ δ2 h
≤ , (4.3.2)
χ x=x+ 6 2
h
где отводится в качестве допустимого уровня погрешности для I2 и обычно это мак-
2
симальная погрешность метода интегрирования I2 . Заметим, что разложение (4.3.1)
может быть произведено только при условии χ → 0. Однако, среди всех до-
x=x∗
±
пустимых x+ находится область, где это условие нарушается. Также, существует
единственная точка, где χ = 0 в точности. Эта точка x+ . Она соответству-
ρ
x=x∗
±
ет круговой траектории в неоднородном аксиально-симметричном магнитном поле
с центром в центре системы, потому что именно на такой траектории отсутству-
ет радиальная скорость в любой момент времени, тогда как угловая имеет полную
поперечную скорость. Таким образом, уравнение χ = 0 отвечает круговой тра-
x=x∗
+
ектории. Преобразуем его:
ˆ
x+ A(x+ ) − 1 1
χ = −2 − ˆ
− A (x) = −2 ˆ
− B(xρ ) (4.3.3)
x=xρ x2 xρ
x=xρ
Так, последнее выражение и есть уравнение на радиус круговой траектории в без-
размерных единицах. Здесь нельзя не отметить преимущество полиномиального раз-
ˆ ˆ
ложения обезразмеренного магнитного поля B(x) и векторного потенциала A(x): мы
еще ни разу не сталкивались и не встретимся с проблемами, связанными с привяз-
кой к сеточным функциям. Действительно, все входящие в I1 (δl ) и I3 (δr ) функции, в
данном подходе, гладкие, и нет необходимости в использовании сеточных методов по
подсчету n-ых порядков производных, если мы захотим их привести для увеличения
точности. Так, δl и δr могут найдены исходя из (4.3.2), и их не придется вписывать
в сетку(сужать или растягивать).
Далее, воспользуемся функцией quadgk пакета Mathlab для вычисления инте-
грала Ω(x+ ). Эта функция использует аналогичные методы, описанные в данном
параграфе, но интеграл I2 вычисляется с помощью метода Гаусса для численного
интегрирования. Метод Гаусса-Кронрода, который реализует функция quadgk, от-
личается наличием дополнительной формулы для погрешности метода. Подробная

23. 4 Численное моделирование 23
документация по функции quadgk может быть найдена в [7]. Итак, результат вычис-
ления изображен на рисунке 13:
Рис. 13: Ω(x+ ) и Ω+ (x+ )
На этом рисунке изображена частота радиальных колебаний частицы в неоднород-
ном аксиально-симметричном магнитном поле с данным x+ . Также, черным цветом
нарисована локальная частота Ω+ (x+ ) фиктивных круговых траекторий частиц с
осью в центре установки и удалением от центра, равным x+ . При монотонно на-
растающем поле локальная частота вычислена по максимальному магнитному по-
ˆ
лю (B(x+ )). Таким образом, казалось бы, всюду должно выполняться неравенство:
Ω+ (x+ ) ≥ Ω(x+ ), однако, как видно на этом рисунке, неравенство нарушается. Объ-
яснение этого факта можно представить с помощью следующего рисунка:
Рис. 14: Неоднородное выраженное магнитное поле и постоянное поле

24. 4 Численное моделирование 24
На рисунке 14 изображены две траектории частицы с начальным радиальным
расстоянием - x+ . Первая круговая траектория отвечает случаю однородного маг-
нитного поля во всем пространстве. Вторая же частица летит в вырожденном неод-
нородном магнитном поле; внутри заштрихованной области магнитного поля нет во-
обще, а вне этой области магнитное поле ровно такое же, как для первой траектории.
То есть, частица на второй траектории до пересечения со штрихованной областью
летит также, как и частица на первой траектории. А далее, частица на первой траек-
тории под влиянием магнитного поля продолжает лететь по круговой траектории и
доходит до точки x− , а частица на второй траектории не чувствует никакого воздей-
ствия внутри штрихованной области и летит прямолинейно. А следовательно, она
может, как показано на рисунке, достичь минимального радиального отклонения от
центра x− раньше, чем это успевает сделать другая. Таким образом, такое схематич-
¯
ное объяснение показывает возможность нарушения неравенства Ω+ (x+ ) ≥ Ω(x+ )
для траекторий, охватывающих центр системы.
4.4 Восстановление n(r)
В предыдущем параграфе мы обсудили численные методы интегрирования несоб-
ственных интегралов второго рода. К этому же классу интегральных уравнений от-
носятся концентрация n(x) и распределение тока j(x). Однако, верно это с тем ис-
ключением, что на открытом интервале (F ; 1) (рис. 10) интегральное ядро обоих
интегральных выражений конечно. А значит, в этой области n(x) и j(x) представля-
ют собой интегралы Вольтерра второго рода, с одной особой точкой x+ = x1 . Те же
методы интегрирования, что и в параграфе 4.3, будут применены и вычислении n(x)
и j(x).
В текущем параграфе мы подробно рассмотрим задачу о восстановлении концен-
трации по нескольким точкам распределения диамагнитного тока с помощью разло-
ˆ
жения функции F (x+ ) через базисные полиномы.
Так, пусть распределение тока известно лишь в N точках x1 . . . xN и некую точку
из этого набора будем называть xk . Тогда верно следующее равенство:
ˆ x+ ˆ ˆ
e·R x2 (xk ) F (x+ )(x+ − xρ ) (A(x+ ) − 1) − A(x) dx+
j(xk ) = x , (4.4.1)
2π x1 (xk ) x+ ˆ 2
x 1− ˆ
(A(x+ ) − 1) − A(x)
x
где j(xk ) - экспериментально измеренное значение диамагнитного тока. Однако на
данном этапе, в отсутствии экспериментальных точек, мы воспользуемся модельным
магнитным полем (4.1.1) и формулой (4.2.3) для определения значений распреде-
ˆ
ления тока j(xk ). Так, поскольку B(x) содержит только четные степени по x, то
диамагнитный ток представляется в виде полиномиального ряда по нечетным сте-
пеням x. Причем, благодаря условиям, которые мы наложили на магнитное поле(
условия(4.1.2)), распределение j(x) будет зануляться на границах его области опре-

25. 4 Численное моделирование 25
ˆ
деления ([0, 1]). Распределение F (x+ ), определенное на отрезке [xρ ; 1], можно разло-
жить по некоторому базису функций:
P
ˆ
F (x+ ) = Ci Fi (x+ ),
i=1
где Fi (x+ ) - базисные функции, а Ci - неизвестные коэффициенты. Мы выбрали поли-
ˆ
номы Лежандра Pi (x+ ) в качестве набора базисных функций для разложения F (x+ ),
однако полиномы Лежандра определены на отрезке [−1; 1], что не совпадает с требу-
емой областью определения. Мы воспользуемся тем обстоятельством, что полиномы
Лежандра составляют полный базис и на отрезке [0, 1]. Данную область в необхо-
димую можно перевести посредством линейного преобразования, чтобы получить
ˆ x+ − xρ
базисный набор Pi (x+ ) = Pi ( ):
1 − xρ
ˆ
Рис. 15: Первые шесть базисных полиномов P (x+ )
ˆ
Подставив разложение функции F (x+ ) в (4.4.1), мы можем записать матричное
уравнение:
     
j1 (x1 ) j2 (x1 ) ··· jP (x1 ) C1 j(x1 )
     
 j1 (x2 ) j2 (x2 ) · · · jP (x2 )   C2   j(x2 ) 
·
  ···  =  ···
   , (4.4.2)
 ............................ 
     
j1 (xN ) j2 (xN ) · · · jP (xN ) CP j(xN )
ˆ
где jm (xk ) - распределение тока, соответствующее радиальной точке xk и F (x+ ) =
ˆ
Pm (x+ ) соответствующее m-ому полиному Лежандра. Таким образом, нам необхо-
димо наилучшим способом решить линейную систему уравнений, чтобы найти C.
Реализовано это с помощью функции linsolve пакета Mathlab. Данная функция ре-

26. 4 Численное моделирование 26
ализует метод QR факторизации (разбивает матрицу J на произведение верхнетре-
угольной R и ортогональной матрицы Q). Подробная документация для функции
linsolve может быть найдена в [9]. Введем следующее обозначение:
ˆ x+ ˆ ˆ
P
e·R x2 (xk ) Pi (x+ )(x+ − xρ ) (A(x+ ) − 1) − A(x) dx+
˜
j(x) = Ci · x ,
2π x1 (xk ) x+ ˆ 2
i=1 x 1− ˆ
(A(x+ ) − 1) − A(x)
x
то есть ˜ ˆ
j(x) - распределение тока, построенное по вычисленному F (x+ ). Причем, если
количество полиномов совпадает с количеством известных точек или больше него
(P ≥ N ), то кривая ˜
j(x) пройдет через точки x1 . . . xN . В противном случае, такое
условие может и не выполняться. В любом случае, главным критерием хорошего
разложения по базисным полиномам станет следующее условие:
1
2
j(x) − ˜
j(x) dx → 0. (4.4.3)
0
Причем это условие выполняется и при P < N , потому как функция linsolve среди
всех допустимых значений Ci находит наилучшие, соответствующие условию (4.4.3)
при данных P и N . Таким образом, задача о восстановлении n(x) непосредственно
сводится к численным экспериментам с вариацией значений P и N . Найдя наилуч-
шее ˜ ˆ
j(x) при данной энергии частиц ε, мы можем подставить разложение F (x+ )
через найденные коэффициенты Ci в выражение для концентрации. Для быстрой
оценки концентрации мы можем воспользоваться вторым по значимости критерием
проверки сходимости ˜
j(x) к j(x), то есть визуальное сравнение двух кривых. Это
менее точный способ, однако в отличии от первого, он способен отсеивать ˜
j(x) из-за
изломов, разрывов и подобных причин.