1. Лекция 2
Предельные циклы
Малышев А.И.
Физический факультет ННГУ им. Н.И.Лобачевского

2. От положений равновесия динамических систем на плоскости
перейдем к изучению автоколебаний – строго периодических
колебаний в системах с нелинейной силой трения.
В линейных системах строго периодическое движение возможно
 в отсутствие диссипации;
 при наличии периодической внешней силы.
В нелинейных системах такой режим возможен даже
 в диссипативном режиме,
 в отсутствие внешнего периодического воздействия,
благодаря внутренним ресурсам самой системы.
Бытовой пример автоколебаний – строго периодическое
движение маятника механических часов вследствие
поступательного движения гирьки или распрямления
пружины.
2

3. Продемонстрируем возникновение предельного цикла на примере
хорошо известного в теории колебаний уравнения Ван-дер-Поля:
 x2 
x  2x  2  1   2 x  0.
  
a 
Здесь  – собственная частота колебаний гармонического
осциллятора, а сила вязкого трения, пропорциональная скорости,
является еще и функцией координаты,  и а – постоянные.
Будем считать трение слабым ( <<  ) и запишем решение
уравнения в виде
x t    cost      cos ,
где  и  – медленно меняющиеся функции времени (в пределе
 = 0 они обращаются в постоянные).
3

4. Подставляя это решение в уравнение Ван-дер-Поля и пренебрегая
производными выше первого порядка от медленных функций  и ,
получим следующее уравнение:
 2 
 sin    cos    sin   2 cos   1  0.
  a 
 
Усредним это уравнение по быстрой фазе , домножив его сначала на
cos, а потом на sin. При вычислении интегралов по  медленные
функции ,  и их производные будем считать постоянными.
В результате получим следующую систему:
  0


    1   4a 
2 2

Таким образом, фаза  остается постоянной, а амплитуда колебаний
изменяется, причем скорость ее изменения определяется малой
величиной .
4

5. Одно из возможных решений этой системы уравнений:  = 0,  = 2a,
откуда x = 2a cos (t + 0) – чисто периодическое решение задачи,
т.е. автоколебания.
В фазовой плоскости автоколебание отображается предельным
циклом:
2 2
 x   x 

     1.
 2a   2a 
d
При   2a  0    0,
dt
d
при   2a  0    0.
dt
Траектории «наматываются» на
предельный цикл с обеих
сторон.
Такой предельный цикл
является устойчивым.
5

6. Если поменять знак , тогда траектории будут «сматываться» с
предельного цикла. Такой предельный цикл неустойчивый.
6

7. Рассмотрим другой пример системы, имеющей автоколебательные
решения. Исследуем фазовую плоскость в зависимости от величин
параметров μ и ν:
 dx1
 dt   x2  f  2 2
 
x1  x2  x1    2 x1  x2  x1  x2 ,
2 2 2 2

 dx
 2   x1  f
 dt
 x1  x2
2 2
  x    2
2 x1  x2  x1
2 2 2
x 
2
2
где f(t) – произвольная функция своего аргумента t.
В полярных координатах x1=ρ cosφ, x2=ρ sinφ, снова получим:
  f  ,


      2       .
2

Исследуем второе уравнение на предмет проявления в системе
предельного цикла.
7

8. Исследуем функцию Φ(ρ). Когда она обращается в нуль?
Есть решение (положение равновесия) ρ = 0 – устойчивый (μ < 0) или
неустойчивый (μ > 0) фокус.
Решение уравнения μ – 2νρ + ρ2 = 0 требует рассмотрения четырех
областей параметров.
1. ν < 0, μ > 0
→ Φ(ρ) > 0 при ρ ≠ 0, т.е. кроме положения
равновесия ρ = 0 (неустойчивого фокуса) в фазовой плоскости нет
ничего интересного .
8

9. 2. ν > 0, μ < 0
Существует дополнительное решение      2   , отвечающее
неустойчивому предельному циклу.
Изменение параметра μ от 0 до −∞ качественно картину не меняет:
предельный цикл существует при любых значениях μ, изменяя лишь
свое положение на фазовой плоскости.
В фазовой плоскости таким образом существует устойчивый фокус в
начале координат и неустойчивый предельный цикл.
9

10. 3. ν < 0, μ < 0
Существует дополнительное решение      2   , отвечающее
неустойчивому предельному циклу.
Но при μ → 0 радиус предельного цикла также стремится к нулю:
   2
Предельный цикл рождается из
неустойчивого положения
равновесия при изменении μ от нуля
до сколь угодно малого
отрицательного значения.
«Мягкое» рождение предельного
цикла – из положения равновесия
при переходе через некоторое
критическое значение параметра μ.
10

11. 4. ν > 0, μ > 0
Возможно существование двух решений        , отвечающих
2
предельным циклам.
Рассмотрим три ситуации:
 μ > ν2 – предельных циклов нет;
 μ = ν2 – один полуустойчивый
предельный цикл;
 μ < ν2 – два предельных цикла –
устойчивый (с меньшим
радиусом) и неустойчивый.
11

12. Траектории в плоскости (x1, x2)
μ = ν2 + 0 μ < ν2
Из сгущения траекторий на левом рисунке рождается предельный
цикл – «жесткий» режим рождения. На правом – два предельных
цикла: меньшего радиуса – устойчивый, большего – неустойчивый
(показан пунктиром).
12

13. Задания по теме
1. Шарик массы m движется между двумя стенками, находящимися
на расстоянии L друг от друга. Соударение со стенками
абсолютно упругое. При движении слева направо на шарик
действует постоянная сила F, ускоряющая его. При движении
справа налево – действует сила вязкого трения f x  x ,

замедляющая движение. Существует ли в такой системе
предельный цикл? Устойчив ли он?
2. Существует ли в системе

x  x

1  x 2  y 2   x 2  y 2
y

 y  y 1  x 2  y 2   2
x


 x  y2
предельный цикл? Является ли он устойчивым? Построить
фазовый портрет системы.
13