Ringkasan dari dokumen tersebut adalah sebagai berikut: 1. Transformasi Wavelet Kontinu (CWT) digunakan untuk mengukur kesamaan antara sinyal dan fungsi analisis wavelet dengan membandingkan sinyal terhadap versi yang digeser dan distretched/dikompresi dari wavelet. 2. CWT dapat beroperasi pada setiap skala dan mendeteksi perubahan yang mendadak serta fitur halus pada sinyal. 3. CWT memiliki a

1. ANALISIS SINYAL GEOFISIKA

2. Continuous Wavelet
Transform
0 Mengukur kesamaan antara sinyal dan fungsi analisis
(wavelet, ψ).
0 Membandingkan sinyal terhadap versi shifted dan
stretched/compressed (scaling) dari wavelet.
0 Untuk parameter skala, a>0, dan posisi b, CWT adalah
∞
1
𝐶 𝑎, 𝑏; 𝑓 𝑡 , 𝜓 𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝜓 ∗ (𝑡−𝑏) 𝑑𝑡
𝑎
𝑎
−∞

3. Continuous Wavelet
Transform
0 Dengan mengalikan tiap koefisien dengan wavelet yang
diskalakan dan digeser dengan tepat menghasilkan
komponen wavelet dari sinyal aslinya.
0 CWT dapat beroperasi pada setiap skala.
0 Selama perhitungan CWT, wavelet yang dianalisis digeser
secara halus diatas domain fungsi analisis secara penuh
(continuous).

4. Skala dan frekuensi
0 Skala kecil = wavelet terkompresi = perubahan secara cepat
= frekuensi tinggi .
0 Skala tinggi = wavelet melebar = perubahan secara lambat =
frekuensi rendah.

5. CWT Sebagai teknik filtering
0 Dengan merumuskan kembali CWT sebagai
inversi transformasi Fourier :
∞
1
𝐶 𝑎, 𝑏; 𝑓 𝑡 , 𝜓 𝑡 = 𝑓 𝑤 𝑎 𝜓 𝑎𝜔 ∗ 𝑒 𝑗𝜔𝑏 𝑑𝜔
2𝜋
−∞
0 Dimana 𝑓 𝑤 dan 𝜓 adalah transformasi Fourier
dari sinyal dan wavelet.
0 Koefisien CWT pada skala yang lebih rendah
mewakili energi dalam sinyal masukan pada
frekuensi yang lebih tinggi, dan sebaliknya.

6. CWT berbasis DFT
1
0 Apabila kita definisikan 𝜓 𝑎 𝑡 = 𝜓 ∗ (−𝑡/𝑎) , maka transformasi
𝑎
wavelet akan menjadi
∞
𝑓 ∗ 𝜓𝑎 𝑏 = 𝑓 𝑡 𝜓 𝑎 𝑏 − 𝑡 𝑑𝑡
−∞
0 Dengan versi diskrit :
𝑁−1
𝑊𝑎 (𝑏) = 𝑥 𝑛 𝜓 𝑎 [𝑏 − 𝑛]
𝑛=0
0 Maka CWT dengan DFT :
𝑁−1
1 2𝜋𝑎
𝑊𝑎 𝑏 = Χ (2𝜋𝑘/𝑁Δ𝑡) 𝜓 ∗ (𝑎2𝜋𝑘/𝑁Δ𝑡)𝑒 𝑗2𝜋𝑘𝑏/𝑁
𝑁 Δ𝑡
𝑘=0

7. Algoritma CWT
1. Ambil sebuah wavelet dan bandingkan dengan bagian awal
pada sinyal asli.
2. Hitung sebuah bilangan, c (koefisien CWT), yang mewakili
bagaimana dekatnya korelasi wavelet tersebut dengan
bagiannya pada sinyal.

8. Algoritma CWT
3. Geser wavelet ke arah kanan dan ulangi langkah 1 dan 2 sampai
menjangkau sinyal tersebut.
4. Skalakan (tarik) wavelet dan ulangi langkah 1 sampai 3.
5. Ulangi langkah 1 sampai 4 untuk semua skala.

9. Implementasi MATLAB untuk
analisis CWT

10. Hasil dan Analisis CWT
1. Membuat sinyal dan memunculkan impuls pada data ke 300
dan 500.
2. Digunakan wavelet morlet. Kita dapat mencoba-coba berbagai
wavelet, namun perlu diperhatikan prosedur pemanggilannya
dengan wavefun.
morlet wavelet
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

11. Hasil dan Analisis CWT
3. Menghitung koefisien CWT pada skala 1 sampai 128 lalu melakukan
plotting Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...
127
120
113
106 200
99
92
85
78 150
scales a
71
64
57
100
50
43
36
29
50
22
15
8
1
200 400 600 800 1000
time (or space) b
Daerah tersebut yang berbentuk cone biasa disebut cone of influence yang
menunjukkan koefisien CWT yang dipengaruhi nilai sinyal pada titik
tersebut.

12. Hasil dan Analisis CWT
4. Plot koefisien CWT untuk beberapa skala yang dipilih (20 dan
80) 0.25
Scale 20
0.15
Scale 80
0.2
0.1
0.15
0.05
0.1
0.05
0
0
-0.05
-0.05
-0.1
-0.1
-0.15
-0.15
-0.2
-0.25 -0.2
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Koefisien CWT menjadi bernilai besar di sekitar perubahan
sinyal yang mendadak. Salah satu keunggulan transformasi
wavelet adalah untuk mendeteksi diskontinuitas akibat
perubahan sinyal yang tiba-tiba.

13. Hasil dan Analisis CWT
5. Konstruksi gelombang sinusoidal 45 Hz lalu menghitung koefisien
CWT nya Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 1 2 3 4 5 ...
61
57
53 200
49
45
41 150
37
scales a
33
29
100
25
21
17
13 50
9
5
1
200 400 600 800 1000
time (or space) b
Dari gambar diatas kita dapat melihat bahwa koefisien CWT
bernilai besar pada skala 11 sampai 24.

14. Hasil dan Analisis CWT
6. Dari skala yang menghasilkan koefisien CWT yang besar ini, kita
dapat menghitung pseudofrekuensi untuk tahapan selanjutnya.
7.
6
4
2
0
-2
-4
1000
-6
80 500
60
40
20 0
0
koefisien CWT bernilai besar pada skala dekat frekuensi
gelombang sinusoidal.

15. Hasil dan Analisis CWT
8. Konstruksi sinyal yang terdiri dari perubahan yang tiba-tiba
dan osilasi halus pada sinyal 5 Hz dengan dua nilai
diskontinuitas (t=0,2 dan t=0.82).
6
4
2
0
x
-2
-4
-6
-8
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
t

16. Hasil dan Analisis CWT
9. Menghitung koefisien CWT dari sinyal dengan wavelet Morlet
180
20
160
18
140 16
120 14
12
100
Scales
10
80
8
60
6
40
4
20 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Dari model diatas kita dapat menemukan perubahan yang
t
tiba-tiba dan osilasi halus pada t=0.2 dan t=0.82 sesuai
dengan forward modeling yang dilakukan di poin (8).

17. Aspek interpretasi CWT
0 Cone of Influence :Bergantung pada skala, koefisien
CWT pada titik tertentu dapat dipengaruhi oleh nilai
sinyal pada titik yang jauh.
0 Mendeteksi perubahan mendadak : Perubahan
mendadak dalam sinyal menghasilkan koefisien wavelet
yang relatif besar (dalam nilai absolut) dengan berpusat
di sekitar diskontinuitas pada semua skala.
0 Mendeteksi fitur sinyal yang halus : Fitur sinyal yang
halus menghasilkan koefisien wavelet yang relatif besar
pada skala dimana osilasi dalam wavelet berkorelasi
paling baik dengan fitur sinyal.

18. Aplikasi dalam data seismik
0 Untuk mengkarakterisasi struktur singularity lokal dan global
dari rekaman sedimen dan data seismik (Herrmann and Stark,
2001).

19. Aplikasi dalam data seismik
0 Memetakan endapan channel dan deteksi gas (Li et al.,
2005; Kazemeini et al., 2008). Dimana resolusi
frekuensi akan terlihat baik pada frekuensi rendah.
0 Mengestimasi atenuasi
0 Menentukan arah diskontinuitas serta deteksi sesar
lebih akurat (Wang et al., 2009).

21. Referensi
0 Daubechies, I. 1992. Ten Lectures on Wavelets.
Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied
Mathematics (SIAM).
0 Farge, M. 1992. Wavelet Transforms and Their Application
to Turbulence. Ann. Rev. Fluid. Mech., 1992, 24, 395–457.
0 Herrmann, F. J., Stark C. P. 2001. Seismic Facies
Characterization by Monoscale Analysis. Geoph. Res. Lett
0 Kazemeini S. H., et al. 2008. Application of the continuous
wavelet transform on seismic data for mapping of channel
deposits and gas detection at the CO2SINK site, Ketzin,
Germany. - Geophysical Prospecting, 57, 1, 111-123

22. 0 Li, H., et al. 2005. Measures of scale based on the
wavelet scalogram and its applications to gas detection.
SEG/Houston 2005 Annual Meeting: 1405-1408.
0 Mallat, S. 1998. A Wavelet Tour of Signal Processing.
San Diego, CA: Academic Press,
0 Partyka et al (1999). Interpretational applications of
spectral decomposition in reservoir characterization.
The Leading Edge.
0 Wang, X., et al. 2009. 2D seismic attributes extraction
based on two-dimensional continuous wavelet
transform. SEG Houston 2009 International
Exposition and Annual Meeting: 3650-3654.

23. TERIMA KASIH