ชุดเสริมทักษะกระบวนการคณิตศาสตร์ สาหรับการเรียนรู้แบบร่วมมือและเทคนิค KWDL เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม

1. สำหรับกำรเรียนรู้แบบร่วมมือและเทคนิค KWDL
นำงกำญจนำ ภุมรำ
ครูชำนำญกำรพิเศษ
โรงเรียนช่องแมววิทยำคม อำเภอลำทะเมนชัย

2. โรงเรียนช่องแมววิทยำคม อำเภอลำทะเมนชัย

3. 1
คานา
ชุดเสริมทักษะกระบวนการคณิตศาสตร์ สาหรับการเรียนรู้แบบร่วมมือและเทคนิค KWDL
เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ค31101 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4
เล่มนี้ จัดทาขึ้นโดยมีวัตถุประสงค์ใช้เป็นกระบวนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ รายวิชาคณิตศาสตร์
พื้นฐาน เพื่อให้นักเรียนมีทักษะทางคณิตศาสตร์ การแก้ปัญหา การให้เหตุผล การเชื่อมโยง การ
สื่อสาร การสื่อความหมายและการนาเสนอ รวมถึงทักษะการทางานกลุ่ม ตามขั้นตอนการเรียนรู้
แบบร่วมมือกัน ที่เน้นความแตกต่างระหว่างบุคคล และการช่วยเหลือซึ่งกันละกัน
ชุดเสริมทักษะกระบวนการคณิตศาสตร์ สาหรับการเรียนรู้แบบร่วมมือและเทคนิค KWDL
แต่ละชุด มีส่วนประกอบภายในชุด 2 ส่วนได้แก่ 1) คู่มือครู 2) คู่มือนักเรียน ผู้วิจัยได้สร้างชุดเสริม
ทักษะกระบวนการคณิตศาสตร์ สาหรับการเรียนรู้แบบร่วมมือและเทคนิค KWDL ทั้งหมด 7 ชุด
สาหรับชุดเสริมทักษะกระบวนการคณิตศาสตร์ ชุดนี้ คือ
ชุดที่ 3 การแยกตัวประกอบของพหุนาม
ข้าพเจ้าหวังว่าชุดเสริมทักษะกระบวนการคณิตศาสตร์ สาหรับการเรียนรู้แบบร่วมมือและ
เทคนิค KWDL นี้ จะเป็นประโยชน์ แก่นักเรียนและผู้อ่านเป็นอย่างมาก และขอขอบคุณ
นายทวนทอง ชูละออง ผู้อานวยการสถานศึกษาโรงเรียนช่องแมววิทยาคม ที่สนับสนุนและส่งเสริม
ในการจัดทาชุดเสริมทักษะกระบวนการคณิตศาสตร์ นี้ ขอขอบคุณคณะครูทุกท่านที่ให้คาชี้แนะ และ
กาลังใจ รวมทั้งนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ทุกคนที่สะท้อนความคิดเห็นต่อชุดเสริมทักษะ
กระบวนการคณิตศาสตร์ นี้จนทาให้ได้เอกสารที่มีประสิทธิภาพ เป็นประโยชน์ต่อการจัดการเรียนรู้
ได้ดียิ่งขึ้น
กาญจนา ภุมรา

4. 2
สารบัญ
เรื่อง หน้า
คานา....................................................................................................................................................................... ก
สารบัญ......................................................................................................................................................................... ข
ชุดเสริมทักษะกระบวนการทางณิตศาสตร์................................................................................................... 3
คู่มือครู.......................................................................................................................................................... 4
คู่มือนักเรียน................................................................................................................................................. 5
ชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน
ค31101 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4...................................................................................................................... 6
ใบความรู้ที่ 1 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม........................................................................ 8
กิจกรรมที่ 1 เรื่อง ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมาย และนาเสนอ................................................................ 13
กิจกรรมที่ 2 เรื่อง ทักษะการเชื่อมโยง........................................................................................................... 14
กิจกรรมที่ 3 เรื่อง ทักษะการแก้ปัญหา......................................................................................................... 15
กิจกรรมที่ 4 เรื่อง ทักษะการให้เหตุผล......................................................................................................... 17
แบบทดสอบ เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม............................................................................ 18
บรรณานุกรม................................................................................................................................................................. 20
ภาคผนวก...................................................................................................................................................................... 21
เฉลยกิจกรรมที่ 1 เรื่อง ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมาย และนาเสนอ........................................................ 22
เฉลยกิจกรรมที่ 2 เรื่อง ทักษะการเชื่อมโยง.................................................................................................. 23
เฉลยกิจกรรมที่ 3 เรื่อง ทักษะการแก้ปัญหา................................................................................................. 24
เฉลยกิจกรรมที่ 4 เรื่อง ทักษะการให้เหตุผล................................................................................................. 26
เฉลยแบบทดสอบ เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม................................................................... 27

5. 3
ชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์
ชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ สาหรับการเรียนรู้แบบร่วมมือและเทคนิค
KWDL เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ค31101 ชั้นมัธยมศึกษา
ปีที่ 4 มีส่วนประกอบ 2 ส่วน คือ ส่วนที่ 1 คู่มือครู และส่วนที่ 2 คู่มือนักเรียน ดังแผนผัง
ส่วนประกอบของชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ดังนี้
แผนผังส่วนประกอบของชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์
ชุดเสริมทักษะกระบวนการคณิตศาสตร์
คู่มือครู
บทบาทของครู
แผนการจัดการ
เรียนรู้
คู่มือนักเรียน
บทบาทของนักเรียน
แบบฝึกทักษะ

6. 4
บทบาทของครูผู้สอนมีดังนี้
1.1 ตรวจสอบองค์ประกอบภายในชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ที่ครู
จะต้องตรวจให้ครบถ้วนดังนี้
1.1.1 คู่มือครู
1) บทบาทของครูผู้สอน
2) แผนการจัดการเรียนรู้
1.1.2 คู่มือนักเรียน
1) บทบาทของนักเรียน
2) แบบฝึกทักษะ
- ใบความรู้
- กิจกรรม
- แบบทดสอบ
1.2 ศึกษาคู่มือครู ได้แก่ บทบาทของครู และแผนการจัดการเรียนรู้ จากชุดเสริม
ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ให้เข้าใจ
1.3 จัดเตรียมสื่อและเครื่องมือที่ใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้ ได้แก่ ใบความรู้
แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ และแบบทดสอบให้พร้อม
1.4 ศึกษาบทบาทของนักเรียน และชี้แจงให้นักเรียนรู้บทบาทของตนเอง ในการ
เรียนรู้โดยใช้ ชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์
1.5 จัดกิจกรรมการเรียนการสอนให้เป็นไปตามขั้นตอนของแผนการจัดการเรียนรู้ที่
เน้นวิธีสอนแบบร่วมมือและเทคนิคการสอน KWDL
1.6 ให้คาแนะนาและเป็นที่ปรึกษาแก่นักเรียนในขณะทากิจกรรม
1.7 ประเมินและวิเคราะห์ข้อมูล
1. บทบาทของครูผู้สอน
คู่มือครู

7. 5
1.1.1 ก่อนเรียนชุดที่ 1 นี้ นักเรียนต้องศึกษาบทบาทของนักเรียนให้เข้าใจ
1.1.2 นักเรียนต้องศึกษาคาชี้แจง จากใบความรู้ ใบกิจกรรม ตามลาดับ หากมีข้อ
สงสัยให้ถามครู
1.1.3 เมื่อเรียนจบชุดที่ 3 นี้แล้ว นักเรียนจะต้องทาแบบทดสอบ เรื่อง การแยกตัว
ประกอบของพหุนาม
1.2.1 วัดจาการทาแบบทดสอบ และประเมินผ่านตั้งแต่ร้อยละ 80 ของคะแนนสอบ
แบบทดสอบ
1.2.2 วัดจาการตอบคาถามของกิจกรรมในชุดเสริมทักษะกระบวนการทาง
คณิตศาสตร์ และประเมินผ่านตั้งแต่ร้อยละ 80
1.2.3 วัดพฤติกรรมการทากิจกรรมกลุ่ม โดยครูผู้สอน และประเมินผ่านตั้งแต่ระดับ
คุณภาพ 2 ขึ้นไป คิดจากเกณฑ์ของแบบสังเกตพฤติกรรมการทากิจกรรมกลุ่ม
ส่วนประกอบในชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ มีดังนี้
2.1 คาแนะนาการใช้ชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์
2.1.1 คาแนะนาสาหรับครู
2.1.2 คาแนะนาสาหรับนักเรียน
2.2 ตัวชี้วัด / สาระสาคัญ / จุดประสงค์การเรียนรู้
2.3 ใบความรู้
2.4 กิจกรรม
2.5 แบบทดสอบ
2.6 บรรณานุกรม
2.7 ภาคผนวก
2.7.1 เฉลยกิจกรรม
2.7.2 เฉลยแบบทดสอบ
คู่มือนักเรียน
1. บทบาทของนักเรียน
1.1 กิจกรรมที่นักเรียนต้องปฏิบัติ
2. แบบฝึกเสริมทักษะกระบวนการทาง
คณิตศาสตร์
1.2 การวัดและประเมินผล

8. 6
1.1 ครูควรเตรียมชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ให้เพียงพอกับนักเรียน
1.2 แนะนาวิธีการใช้แบบฝึกนี้ร่วมกับการเรียนแบบร่วมมือให้นักเรียนเข้าใจ
1.3 แจกแบบชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ให้นักเรียนและกาชับให้อ่านคาสั่งให้เข้าใจ
จะได้ปฏิบัติได้ถูกต้อง
1.4 หากมีนักเรียนบางคนเรียนไม่ทัน ครูควรให้คาแนะนาเป็นพิเศษ หลังจากนักเรียนทากิจกรรมตรม
ขั้นตอนเสร็จเรียบร้อยแล้ว
1.5 ให้นักเรียนทาแบบทดสอบ แล้วส่งตรวจ ครูบันทึกคะแนนของนักเรียนเพื่อประเมินความก้าวหน้าของ
นักเรียน
2.1 .ให้นักเรียนศึกษาจุดประสงค์การเรียนรู้ และอ่านคาชี้แจงในแต่ละกิจกรรมให้เข้าใจ
2.2 ให้นักเรียนศึกษาแนวทางการทาจากตัวอย่างที่กาหนดให้เข้าใจแล้วจึงลงมือทากิจกรรมในแบบฝึก
ทักษะ
2.3 ขณะทากิจกรรมเมื่อพบข้อสงสัย ให้ร่วมกันคิดวิเคราะห์ เพื่อข้อสรุปที่ถูกต้อง หรือนาข้อสงสัยนั้น
ปรึกษากับครูผู้สอน
2.4 เมื่อนักเรียนทากิจกรรมเสร็จ สมาชิกในกลุ่มนากิจกรรมที่ทา ส่งตรวจเพื่อบันทึกคะแนน
2.5 ให้นักเรียนทากิจกรรมในแบบฝึกทักษะ ด้วยความตั้งใจ ตามความสามารถของตนเอง
2.6 หลังเรียนจบชุดนี้ แล้ว ให้นักเรียนทาแบบทดสอบ จานวน 10 ข้อ ใช้เวลา 15 นาที
ชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์
รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ค31101 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4
ชุดที่ 3 เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม
คาแนะนาการใช้ชุดเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์
1. คาแนะนาสาหรับครู
2. คาแนะนาสาหรับนักเรียน

9. 7
มาตรฐาน ค 1.4 เข้าใจระบบจานวนและนาสมบัติของจานวนไปใช้ได้
ตัวชี้วัด ม.4 – 6 /1 เข้าใจสมบัติของจานวนจริงเกี่ยวกับ การบวก การคูณ การเท่ากัน และ
การไม่เท่ากัน และนาไปใช้ได้
การแยกตัวประกอบพหุนาม
2
x bx c  เมื่อ b และ c เป็นค่าคงตัวที่ c 0 ทา
ได้โดยการหาจานวน d และ e ที่ de = c และ d + e = b ที่ทาให้
2
x bx c  = ( x + d)(x + c)
1. ด้านความรู้
1.1 นักเรียนสามารถบอกสิ่งที่โจทย์กาหนดให้ และหาค่าสิ่งที่โจทย์ต้องการได้
1.2 นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบพหุนามที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์ได้
1.3 นักเรียนสามารถแยกตัวประกอบโดยทาให้เป็นกาลังสองสมบูรณ์ได้
2. ด้านทักษะกระบวนการ
2.1 การแก้ปัญหา
2.2 การให้เหตุผล
2.3 การสื่อความหมาย
2.4 การเชื่อมโยงความรู้ทางคณิตศาสตร์
3. คุณลักษณะอันพึงประสงค์
3.1 นักเรียนมีความร่วมมือ ความรับผิดชอบ แสดงความคิดเห็น ยอมรับความคิด
และตรงต่อเวลา
ตัวชี้วัด / สาระสาคัญ / จุดประสงค์การเรียนรู้
ตัวชี้วัด
สาระสาคัญ
จุดประสงค์การเรียนรู้

10. 8
ขั้นตอน K และ W นี้ พวกเราต้องฝึกเพื่อเราจะได้รู้ว่า เรามี
ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมาย และนาเสนอได้หรือไม่
ขั้นตอน D ทาอย่างไรนั้นจะเน้น
1.ฝึกทักษะการเชื่อมโยงความรู้
ระหว่างข้อมูล ในขั้น K และ W
2. ฝึกทักษะการแก้ปัญหา โดย
นาสมบัติการ บวก การคูณ การ
แจกแจง มาใช้
การพิจารณาหาคาตอบจาการแยกตัวประกอบที่เป็นกาลังสองสมบรณ์ มีวิธีการดังนี้
1. เขียนสิ่งที่โจทย์กาหนดให้ (โจทย์ถาม) , K (Know)
2. เขียนสิ่งที่โจทย์ต้องการทราบ , W (Want)
3. เชื่อมโยงระหว่างสิ่งที่โจทย์กาหนดให้กับสิ่งที่โจทย์ต้องการทราบ , D (Do)
4. สรุปสิ่งที่ได้จากการเรียนรู้ , L(Learned)
จากการคิด วิเคราะห์ ด้วยเทคนิค KWDL
ตัวอย่างที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 2
x 7x 10 
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการเรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 7x 10 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 1
สัมประสิทธิ์ของ x1
= 7
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของ x0
= 10
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสอง
จานวนซึ่งคูณกันได้ 10
และบวกกันได้ 7
2. หา de = 10
และ d + e = 7
ซึ่งในที่นี้ คือ 2 และ 5
3. นา (2)(5) = 10
2 + 5 = 7
4.ให้ d = 2
และ e = 5
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบ
ของ
2
x 7x 10  คือ
(x + 2)(x + 5)
ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 7x 10  เท่ากับ
(x + 2)(x + 5)
จะได้ (x + 2)(x + 5)
= x(x+5) + 2(x+5)
= x2
+ 5x + 2x + 10
= x2
+ 7x + 10
ใบความรู้
เรื่อง การแยกตัวประกอบของพหุนาม)
การแยกตัวประกอบ ของพหุนามที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์
ขั้นตอน L ขั้นตอนนี้
สามารถแสดงเหตุผลได้ว่า
คาตอบนี้ถูกต้อง

11. 9
ขั้นตอน K และ W นี้ พวกเราต้องฝึกเพื่อเราจะได้รู้ว่า เรามี
ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมาย และนาเสนอได้หรือไม่
ขั้นตอน D ทาอย่างไรนั้นจะเน้น
1.ฝึกทักษะการเชื่อมโยงความรู้
ระหว่างข้อมูล ในขั้น K และ W
2. ฝึกทักษะการแก้ปัญหา โดย
นาสมบัติการ บวก การคูณ การ
แจกแจง มาใช้
ตัวอย่างที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 2
x x 6 
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการเรียนรู้
จากพหุนาม
2
x x 6 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 1
สัมประสิทธิ์ของ x1
= 1
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของ x0
= - 6
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสอง
จานวนซึ่งคูณกันได้ - 6
และบวกกันได้ 1
2. หา de = - 6
และ d + e = 1
ซึ่งในที่นี้ คือ - 2และ 3
3. นา (- 2)(3) = - 6
- 2 + 3 = 1
4.ให้ d = - 2
และ e = 3
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบ
ของ
2
x x 6  คือ
(x – 2)(x + 3)
ตอบ ตัวประกอบของ
2
x x 6  เท่ากับ
(x – 2)(x + 3)
จะได้ (x – 2)(x + 3)
= x(x+3) – 2(x+3)
= x2
+ 3x – 2x – 6
= x2
+ x – 6
หนูๆ จะต้องจาให้ขึ้นใจว่า
1. เรารู้อะไรจากโจทย์ (K)
2. โจทย์ต้องการทราบอะไร(W)
3. เราจะทาอย่างไร (D)
4. สรุปสิ่งที่เราเรียนรู้ (L)

12. 10
ตัวอย่างที่ 3 จงแยกตัวประกอบของ 2
x 5x 6 
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการเรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 5x 6 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 1
สัมประสิทธิ์ของ x1
= - 5
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของ x0
= 6
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสอง
จานวนซึ่งคูณกันได้ 6
และบวกกันได้ - 5
2. หา de = 6
และ d + e = - 5
ซึ่งในที่นี้ คือ
- 2 และ -3
3. นา (- 2)(-3) = 6
- 2 + -3 = - 5
4. ให้ d = - 2
และ e = - 3
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบ
ของ
2
x 5x 6  คือ
(x – 2)(x – 3)
ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 5x 6  เท่ากับ
(x – 2)(x – 3)
จะได้ (x – 2)(x – 3)
= x(x – 3) – 2(x – 3)
= x2
– 3x – 2x + 6
= 2
x 5x 6 
หนูๆ จะต้องจาให้ขึ้นใจว่า
1. เรารู้อะไรจากโจทย์ (K)
2. โจทย์ต้องการทราบอะไร(W)
3. เราจะทาอย่างไร (D)
4. สรุปสิ่งที่เราเรียนรู้ (L)
ขั้นตอน K และ W ขั้นตอนทั้งสองนี้ตรวจสอบ
ว่า เรามีทักษะการสื่อสาร สื่อความหมายและ
นาเสนอ ได้หรือไม่
เมื่ออ่านโจทย์จะพบว่า
1. พจน์กลาง คือสัมประสิทฺธิ์
ของ x เป็นลบ และ พจน์หลัง
คือสัมประสิทธิ์ ของ x
0
เป็น
บวก
2. จานวนที่นามาคูณกันได้
บวก แต่บวกกันแล้วได้
เครื่องหมายลบ ก็คือ จานวนที่
มีเครื่องหมายเหมือนกันคือ
จานวนที่มีเครื่องหมายเป็นลบ
ทั้งคู่

13. 11
ตัวอย่างที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ 2
x 16
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการเรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 16
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 1
สัมประสิทธิ์ของ x1
= 0
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
= -16
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1. หาจานวนสอง
จานวนซึ่งคูณกันได้-16
และบวกกันได้ 0
2. หา de = -16
และ d + e = 0
ซึ่งในที่นี้ คือ
4 และ - 4
3. นา (4)(- 4) = - 16
4 + (- 4) = 0
4. ให้ d = 4
และ e = - 4
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบ
ของ
2
x 16 คือ
(x + 4)(x – 4)
ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 16
เท่ากับ
(x + 4)(x – 4)
จะได้ (x + 4)(x – 4)
= x(x – 4) + 4(x – 4)
= x2
– 4x + 4x + 16
= 2
x 16
0x
หนูๆ จะต้องจาให้ขึ้นใจว่า
1. เรารู้อะไรจากโจทย์ (K)
2. โจทย์ต้องการทราบอะไร(W)
3. เราจะทาอย่างไร (D)
4. สรุปสิ่งที่เราเรียนรู้ (L)
ขั้นตอน K และ W ขั้นตอนทั้งสองนี้ตรวจสอบ
ว่า เรามีทักษะการสื่อสาร สื่อความหมายและ
นาเสนอ ได้หรือไม่
เมื่ออ่านโจทย์จะพบว่า
1. พจน์กลาง ไม่มี นั่นคือ
สัมประสิทธิ์ของ x เป็น 0 และ
พจน์หลัง คือสัมประสิทธิ์ ของ
x
0
เป็นลบ
2. จานวนที่นามาคูณกันได้
จานวน ลบ แต่บวกกันแล้วได้
จานวน 0 ก็คือ จานวนที่มี
เครื่องหมายต่างกันและเป็น
จานวนเดียวกัน คือจานวนที่มี
เครื่องหมายเป็นบวกและเป็น
ลบ
ในกรณีที่ทั่วไป
เมื่อ
a เป็นค่าคงตัวที่ไม่เท่ากับ 0

14. 12
ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของ 2
2x 9x 81 
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการ
เรียนรู้
จากพหุนาม
2
2x 9x 81 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 2
สัมประสิทธิ์ของ x1
= +9
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
=- 81
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(px + d)(qx + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ พจน์หน้า
และพจน์หลัง
2. เขียนในรูป
(px + d)(qx + e)
3. หา p, q , d และ e
ที่ทาให้
pq = สัมประสิทธิ์ของ
พจน์หน้า
de = สัมประสิทธิ์ของ
พจน์หลัง
pe + de = สัมประสิทธิ์
ของพจน์กลาง
4.ดังนั้น
pq = (2)(1) = 2
de = (-9)(9) = - 81
pq + de =18 + (-9) =9
5. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
2x 9x 81  คือ
(2x - 9)(x + 9)
ตอบ ตัวประกอบของ
2
2x 9x 81  เท่ากับ
(2x – 9)(x + 9)
จะได้ (2x – 9)(x + 9)
= 2x(x +9) - 9(x + 9)
= 2x2
+18x - 9x - 81
= 2
2x 9x 81 
หนูๆ จะต้องจาให้ขึ้นใจว่า
1. เรารู้อะไรจากโจทย์ (K)
2. โจทย์ต้องการทราบอะไร(W)
3. เราจะทาอย่างไร (D)
4. สรุปสิ่งที่เราเรียนรู้ (L)
ขั้นตอน K และ W ขั้นตอนทั้งสองนี้ตรวจสอบ
ว่า เรามีทักษะการสื่อสาร สื่อความหมายและ
นาเสนอ ได้หรือไม่
ขั้นตอน D เมื่ออ่านโจทย์จะ
พบว่า
1. สัมประสิทธิ์ ของ x
2
ไม่
เท่ากับ 1 เหมือนตัวอย่างที่เคย
ทามา
2. เราจะต้องหาจานวนที่คูณ
กันแล้วได้พจน์หน้า และ
จานวนที่นามาคูณกันแล้วได้
พจน์หลัง เช่น กาหนด
pq = พจน์หน้า และ
de = พจน์หลัง
3. และเช็คพจน์กลางด้วยการ
คูณไขว้ โดยนา pe + dq
ไม่ยากนะจ๊ะ
ฝึกการเชื่อมโยง
จ้า

15. 13
ให้นักเรียนเติมคาลงในช่องว่างให้ถูกต้อง (10 คะแนน)
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการ
เรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 10x 21 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= …..
สัมประสิทธิ์ของ x1
= …..
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
=…….
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ 21 และบวก
กันได้ 10
2. หา de = 21
และ d + e = 10
ซึ่งในที่นี้ คือ
........... และ ............
3. นา (......)(……) = 21
……..+ ……. = 10
4. ได้ d = ......
และ e = ......
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
x 10x 21  คือ
(x + .......)(x + ..........)
1.ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 10x 21  เท่ากับ
(...........)(............)
2.ตรวจคาตอบ
จะได้ (x + ......)(x + ......)
= x(x+…..) +….(x+…..)
= x2
+ ……x +…..x +21
= 2
x 10x 21 
2 คะแนน - 5 คะแนน 3 คะแนน
ชื่อ........................................................................................ คะแนนที่ได้...............
ชั้น......................เลขที่ ....................................................... คะแนนเต็ม 10
กิจกรรมที่ 1
เรื่อง ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมาย และนาเสนอ
คาชี้แจง
โจทย์ จงแยกตัวประกอบของพหุนาม

16. 14
ให้นักเรียนเติมคาลงในช่องว่างให้ถูกต้อง (10 คะแนน)
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการ
เรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 8x 20 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= …..
สัมประสิทธิ์ของ x1
= …..
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
=…….
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ - 20 และ
บวกกันได้ 8
2. หา de = - 20
และ d + e = 8
ซึ่งในที่นี้ คือ
........... และ ............
3. นา (......)(……) = - 20
……..+ ……. = 8
4. ได้ d = ......
และ e = ......
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
x 8x 20  คือ
(x .......)(x ..........)
1.ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 8x 20  เท่ากับ
(...........)(............)
2.ตรวจคาตอบ
จะได้ (x + ......)(x + ......)
= x(x+…..) +….(x+…..)
= x2
+ .…x +…..x – 20
= 2
x 8x 20 
2 คะแนน - 5 คะแนน 3 คะแนน
ชื่อ........................................................................................ คะแนนที่ได้...............
ชั้น......................เลขที่ ....................................................... คะแนนเต็ม 10
กิจกรรมที่ 2
เรื่อง ทักษะการเชื่อมโยง
คาชี้แจง
โจทย์ จงแยกตัวประกอบของพหุนาม

17. 15
ให้นักเรียนเติมคาลงในช่องว่างให้ถูกต้อง (10 คะแนน)
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการ
เรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 10x 21 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= …..
สัมประสิทธิ์ของ x1
= …..
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
=…….
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ - 21 และ
บวกกันได้ -10
2. หา de = - 21
และ d + e = - 10
ซึ่งในที่นี้ คือ
........... และ ............
3. นา (......)(……) = - 21
……..+ ……. = - 10
4. ได้ d = ......
และ e = ......
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
x 10x 21  คือ
(x .......)(x ..........)
1.ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 10x 21  เท่ากับ
(...........)(............)
2.ตรวจคาตอบ
จะได้ (x + ......)(x + ......)
= x(x+…..) +….(x+…..)
= x2
+ .…x +…..x – 21
= 2
x 10x 21 
2 คะแนน - 5 คะแนน 3 คะแนน
ชื่อ........................................................................................ คะแนนที่ได้...............
ชั้น......................เลขที่ ....................................................... คะแนนเต็ม 10
กิจกรรมที่ 3
เรื่อง ทักษะการแก้ปัญหา
คาชี้แจง
1. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม

18. 16
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการ
เรียนรู้
จากพหุนาม
2
6x 7x 2 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 6
สัมประสิทธิ์ของ x1
= 7
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
= 2
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(px + d)(qx + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ พจน์หน้า
และพจน์หลัง
2. เขียนในรูป
(px + d)(qx + e)
3. หา p =……..
q =………
d = ……..
e = ………
ที่ทาให้
pq = สัมประสิทธิ์พจน์
หน้า
de = สัมประสิทธิ์พจน์
หลัง
pe + de = สัมประสิทธิ์
พจน์กลาง
4.ดังนั้น
pq = (......)(......) = 6
de = (…....)(……) = 2
pe + dq=……+….. = 7
5. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
6x 7x 2  คือ
(……………)(…………….)
1.ตอบ ตัวประกอบของ
2
6x 7x 2  เท่ากับ
(……………)(…………….)
2.ตรวจคาตอบ
จะได้ (…………)(….…….)
= ……………………………
= …………………………..
= 2
6x 7x 2 
- - 5 คะแนน 5 คะแนน
ชื่อ........................................................................................ คะแนนที่ได้...............
ชั้น......................เลขที่ ....................................................... คะแนนเต็ม 10
2. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม

19. 17
ให้นักเรียนเติมคาลงในช่องว่างให้ถูกต้อง (10 คะแนน)
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการ
เรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 10x 11 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 1
สัมประสิทธิ์ของ x1
=-10
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
=-11
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ - 11 และ
บวกกันได้ -10
2. หา de = - 11
และ d + e = - 10
ซึ่งในที่นี้ คือ
1 และ - 11
3. นา (…….)(-11)= - 11
…… + (-11) = - 10
4. ได้ d = ………
และ e = ………
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
x 10x 11  คือ
(x ……… )(x ……..)
1.ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 10x 11  เท่ากับ
(x + 1)(x - 11)
2.ตรวจคาตอบ
……………………………..
……………………………..
……………………………..
……………………………..
……………………………..
2 คะแนน - 4 คะแนน 6 คะแนน
ชื่อ........................................................................................ คะแนนที่ได้...............
ชั้น......................เลขที่ ....................................................... คะแนนเต็ม 10
กิจกรรมที่ 4
เรื่อง การให้เหตุผล
คาชี้แจง
3. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม

20. 18
ให้นักเรียนทาเครื่องหมาย X ทับอักษร ก ข ค หรือ ง ที่เป็นคาตอบที่
ถูกต้องที่สุด เพียงคาตอบเดียวเท่านั้น
1. ตัวประกอบของพหุนาม 2
x 4x 3  ตรงกับข้อใด?
ก.   x 3 x 1  ข.   x 3 x 1 
ค.   x 2 x 2  ง.   x 3 x 1 
2. ตัวประกอบของพหุนาม 2
x 5x 6  ตรงกับข้อใด?
ก.   x 3 x 2  ข.   x 3 x 2 
ค.   x 6 x 1  ง.   x 6 x 1 
3. ตัวประกอบของพหุนาม 2
x x 30  ตรงกับข้อใด?
ก.   x 6 x 5  ข.   x 3 x 10 
ค.   x 6 x 5  ง.   x 15 x 2 
4. ตัวประกอบของพหุนาม 2
x 6x 8  ตรงกับข้อใด?
ก.   x 4 x 2  ข.   x 8 x 1 
ค.   x 4 x 2  ง.   x 4 x 2 
5. ตัวประกอบของพหุนาม 2
x 10x 25  ตรงกับข้อใด?
ก.   x 25 x 1  ข.   x 5 x 5 
ค.   x 5 x 5  ง.   x 5 x 5 
6. ตัวประกอบของพหุนาม 2
x 12x 13  ตรงกับข้อใด?
ก.   x 9 x 1  ข.   x 13 x 1 
ค.   x 1 x 13  ง.   x 13 x 1 
7. ตัวประกอบของพหุนาม 2
x 9 ตรงกับข้อใด?
ก.   x 9 x 1  ข.   x 3 x 3 
ค.   x 3 x 3  ง.   x 3 x 3 
แบบทดสอบ
เรื่อง การนาสมบัติของจานวนจริงไปใช้ในการแก้สมการกาลังสอง
(การแยกตัวประกอบของพหุนาม)
คาชี้แจง

21. 19
8. ตัวประกอบของพหุนาม 2
3x 5x 2  ตรงกับข้อใด?
ก.   3x 2 x 1  ข.   3x 1 x 2 
ค.   x 2 3x 1  ง.   3x 2 x 1 
9. ตัวประกอบของพหุนาม 2
6x 13x 6  ตรงกับข้อใด?
ก.   3x 2 2x 3  ข.   3x 3 2x 2 
ค.   6x 3 x 2  ง.   3x 3 2x 2 
10. ตัวประกอบของพหุนาม 2
2x 7x 5  ตรงกับข้อใด?
ก.   x 5 2x 1  ข.   2x 5 x 1 
ค.   2x 5 x 1  ง.   2x 1 x 5 
++++++++++++++

22. 20
บรรณานุกรม
กระทรวงศึกษาธิการ. (2551). หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช
2551. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ชุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย.
________. (2551). ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ชุมนุมสหกรณ์การเกษตรแห่งประเทศไทย.
ชนันทิตา ฉัตรทอง. (ม.ป.ป). คู่มือแผนการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐาน
คณิตศาสตร์ ม.2. กรุงเทพฯ : อักษรเจริฯทัศน์
ทรงวิทย์ สุวรรณธาด. (2555). หนังสือเรียนเสริมคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.5 ภาคเรียนที่1
พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ. : แม็ค
ศาสตราจารย์กิตติคุณ ยุพิน พิพิธกุล และรองศาสตราจารย์ ดร.สิริพร ทิพย์คง. (2553).
พจนานุกรมคณิตศาสตร์. พิมพ์ครั้งที่ 5 กรุงเทพฯ : ปาเจรา.
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2559). หนังสือเรียนรายวิชา
เพิ่มเติม คณิตศาสตร์ เล่ม 3 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 – 6 . พิมพ์ครั้งที่ 9
กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว
ส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน. (2551). ทักษะกระบวนการทาง
คณิตศาสตร์ . พิมพ์ครั้งที่ 2 กรุงเทพมหานคร : หจก. ส เจริญการพิมพ์.

23. 21
ภาคผนวก

24. 22
กิจกรรมที่ 1
เรื่อง ทักษะการสื่อสาร สื่อความหมาย และนาเสนอ
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการ
เรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 10x 21 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 1
สัมประสิทธิ์ของ x1
= 10
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
= 21
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ 21 และบวก
กันได้ 10
2. หา de = 21
และ d + e = 10
ซึ่งในที่นี้ คือ
7 และ 3
3. นา ( 7 )( 3 ) = 21
7 + 3 = 10
4. ได้ d = 7
และ e = 3
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
x 10x 21  คือ
(x + 7)(x + 3)
1.ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 10x 21  เท่ากับ
(x + 7)(x + 3)
2.ตรวจคาตอบ
จะได้ (x + 7)(x + 3)
= x(x + 3) +7(x + 3)
= x2
+ 3x +7x +21
= 2
x 10x 21 
2 คะแนน - 5 คะแนน 3 คะแนน
โจทย์ จงแยกตัวประกอบของพหุนาม

25. 23
กิจกรรมที่ 2
เรื่อง ทักษะการเชื่อมโยง
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการ
เรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 8x 20 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= -2
สัมประสิทธิ์ของ x1
= 10
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
= -20
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ - 20 และ
บวกกันได้ 8
2. หา de = - 20
และ d + e = 8
ซึ่งในที่นี้ คือ
-2 และ 10
3. นา (-2)(10) = - 20
-2 + 10 = 8
4. ได้ d = -2
และ e = 10
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
x 8x 20  คือ
(x - 2)(x +10)
1.ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 8x 20  เท่ากับ
(x – 2 )(x + 10)
2.ตรวจคาตอบ
จะได้ (x – 2)(x +10)
= x(x+10) – 2(x+10)
= x2
+ 10x - 2x – 20
= 2
x 8x 20 
2 คะแนน - 5 คะแนน 3 คะแนน
โจทย์ จงแยกตัวประกอบของพหุนาม

26. 24
กิจกรรมที่ 3
เรื่อง ทักษะการแก้ปัญหา
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการ
เรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 10x 21 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 1
สัมประสิทธิ์ของ x1
= -10
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
= -21
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ - 21 และ
บวกกันได้ -10
2. หา de = - 21
และ d + e = - 10
ซึ่งในที่นี้ คือ
3 และ -7
3. นา (3)(-7) = - 21
3 + (-7) = - 10
4. ได้ d = 3
และ e = -7
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
x 10x 21  คือ
(x + 3)(x – 7)
1.ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 10x 21  เท่ากับ
(x + 3)(x – 7)
2.ตรวจคาตอบ
จะได้ (x + 3)(x – 7)
= x(x – 7) +3(x – 7)
= x2
– 7x + 3x – 21
= 2
x 10x 21 
2 คะแนน - 5 คะแนน 3 คะแนน
1.จงแยกตัวประกอบของพหุนาม

27. 25
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการเรียนรู้
จากพหุนาม
2
6x 7x 2 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 6
สัมประสิทธิ์ของ x1
= 7
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
= 2
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(px + d)(qx + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ พจน์หน้า
และพจน์หลัง
2. เขียนในรูป
(px + d)(qx + e)
3. หา p = 3 หรือ 2
q = 2 หรือ 3
d = 2 หรือ 1
e = 1 หรือ 2
ที่ทาให้
pq = สัมประสิทธิ์พจน์
หน้า
de = สัมประสิทธิ์พจน์
หลัง
pe + dq = สัมประสิทธิ์
พจน์กลาง
4.ดังนั้น
pq = (3)(2) = 6
de = (2)(1) = 2
pe + dq = 3 + 4 = 7
5. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
6x 7x 2  คือ
(3x + 2)(2x + 1)
1.ตอบ ตัวประกอบของ
2
6x 7x 2  เท่ากับ
(3x + 2)(2x + 1)
2.ตรวจคาตอบ
จะได้ (3x + 2)(2x + 1)
= 3x(2x + 1)+2(2x + 1)
= 6x2
+3x + 4x + 2
= 2
6x 7x 2 
- - 5 คะแนน 5 คะแนน
2. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม

28. 26
กิจกรรมที่ 4
เรื่อง การให้เหตุผล
(K) รู้อะไรจากโจทย์ (W) โจทย์ต้องการ
ทราบอะไร
(D) ทาอย่างไร (L) ได้อะไรจากการ
เรียนรู้
จากพหุนาม
2
x 10x 11 
สัมประสิทธิ์ของ x2
= 1
สัมประสิทธิ์ของ x1
=-10
แทนด้วย b
สัมประสิทธิ์ของx0
=-11
แทนด้วย c
แยกตัวประกอบ
พหุนาม ในรูป
(x + d)(x + e)
1.หาจานวนสองจานวน
ซึ่งคูณกันได้ - 11 และ
บวกกันได้ -10
2. หา de = - 11
และ d + e = - 10
ซึ่งในที่นี้ คือ
1 และ - 11
3. นา (1)(-11)= - 11
1 + (-11) = - 10
4. ได้ d = 1
และ e = -11
5. เขียนในรูป
(x + d)(x + e)
6. ดังนั้น ตัวประกอบของ
2
x 10x 11  คือ
(x + 1)(x – 11)
1.ตอบ ตัวประกอบของ
2
x 10x 11  เท่ากับ
(x + 1)(x - 11)
2.ตรวจคาตอบ
(x + 1)(x - 11)
x(x – 11) + 1(x – 11)
x2
– 11x + x – 11
x2
- 10x – 11
2 คะแนน - 4 คะแนน 6 คะแนน
1. จงแยกตัวประกอบของพหุนาม

29. 27
เฉลยแบบทดสอบ
เรื่อง การนาสมบัติของจานวนจริงไปใช้ในการแก้สมการกาลังสอง
(การแยกตัวประกอบของพหุนาม)
เฉลยแบบทดสอบหลังเรียน
ข้อ คาตอบ
1. ข
2. ง
3. ค
4. ก
5. ข
6. ค
7. ง
8. ข
9. ก
10. ค