2. Matricat
A =
a11 a12 a13 …a1n
a21 a22
a23
…a2n
am1 am2 am3 …amn
a23
Tregon rreshtin
Tregon kolonën
A
B
X
…
K
J
I
H
G
F
E
D
C
Y
Z
Rreshtat e matricës
Kolonat e matricës
Matrica është një bashkësi e elementeve
të renditura në rreshta dhe shtylla
(kolona)
3. Mbledhja e dy matricave
A=
2 -1
3 4
B=
-3 -2
3 0
2 -1
3 4
-3 -2
3 0
A + B= =
=
-1 -3
6 4
+
2+(-3) -1+(-2)
3+3 4+0
Kujdes! –Mund ti
mbledhim vetëm
matricat e rendit të
njëjtë!
I mbledhim numrat me
ngjyrë të njejtë!
4. Zbritja e dy matricave
A=
2 -1
3 4
B=
-3 -2
3 0
A - B=
2 -1
3 4
-
-3 -2
3 0
=
2-(-3) -1-(-2)
3-3 4-0
=
5 1
0 4
=
Kujdes! –Mund ti
zbresim vetëm
matricat e rendit të
njëjtë!
I zbresim numrat me
ngjyrë të njëjtë
5. Trego se cilat shumëzime janë
të mundshme
1 3 4
1 5 6
*
1 -4 12
2 7 4
3 0 -5
=
A mund të shumëzohen
këto dy matrica? Le ti
analizojmë!
Nëse elementet e një
rreshti nga matrica e parë
janë të barabarta me me numrin e
elementeve të
një kolone nga
matrica e dytë!
Numrojmë sa elemente i
ka marica e parë në
rresht.
Numrojmë sa elemente
i ka matrica e dytë ne
kolonë.
Mund ti shumëzojmë
ato dy matrica!
6. Trego se cilat shumëzime janë
të mundshme
1 3 4
1 5 6
*
1 -4 12
2 7 4
=
A mund të shumëzohen
këto dy matrica? Le ti
analizojmë!
Nëse numri i elementeve të
një rreshti nga matrica e
parë janë të ndryshëm me me numrin e
elementeve të
një kolone nga
matrica e dytë!
Numrojmë sa elemente i
ka marica e parë në
rresht.
Numrojmë sa elemente
i ka matrica e dytë ne
kolonë.
S’mund ti
shumëzojmë ato dy
matrica!
8. Shumëzimi i matricës me një
skalar
A=
2 -1
3 4
Si skalar le të jetë numri 5
5*A=
2 -1
3 4
=
5* =
10 -5
15 20
5*(-1)
5*2
5*3 5*4
A* 5=
Është njësoj!
D.m.th., numri 5 i
shumzëzon të gjithë
anëtarët e matricës!
9. Plotësimi i matricës me anëtarë
A=
a21=
a12=
a13=
a11=
a22=
a23=
a31=
a32=
a33=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
A=
6 3 0
1 8 -2
-1 10 2
Nga ne kërkohet që ti plotësojmë me
numra hapësirat e zbrazta, të
ngjyrosura me të verdhë!
Forma e përgjithshme e
matricës së rendit të tretë!
Shembull:
12. Gjeni të panjohurat!
Duke u nisur nga kushti që dy matricat e
mëposhtme të jenë të barabarta, të gjenden të
panjohurat x dhe a.
x -2
-1 2a
=
3 -2
-1 2
Për të qenë matricat e barabarta
duhet që numrat me ngjyra të
njëjta të jenë të barabartë
x=3
2a=2 a=2/2 a=1
2=2
-1=-1
13. Definimi i përcaktorëve
2 -1 3
5 6 11
A=
Matrica s’është katrore.
S’ka përcaktor.
2 -1 3
5 6 11
-3 7 1
A=
Matrica është katrore.
Mund t’ia gjejmë përcaktorin.
|A| =
2 -1 3
5 6 11
-3 7 1
=
Dmth. Ekziston një
numër që e përcakton
tërë matricën katrore.
|A| Ose detA
Janë dy mënyrat e shënimit të
përcaktorit/determinantës
2X3
3X3
14. Përcaktorët e rendit të dytë
|A|=
- 2 1
0 - 3
+
-
= -2*(-3) - 0*1 = 6- 0 = 6
Ky është numri që e përcakton apo
determinon matricën katrore
|B|=
x a
2 - 3
+
-
= x*(-3) - 2*a = -3x- 2a
15. Përcaktorët e rendit të tretë
|A|= =
Duke zbatuar metodën e plotësve algjerbrik dhe sipas reshtit të
dytë të zgjidhet përcaktori
- 2*
0 -1
5 2
a21
Meqë 2+1=3 dmth numër
tek atëherë para 2 e kemi
– (minus)
+(-1)*
1 -1
7 2
+0*
1 -1
7 2
=
=
a22 a23
-2*(0+5) -1*(2-7) +0 = -10+5=-5
1 0 -1
2 -1 0
7 5 2
16. Metoda e Sarusit dhe e trekëndëshit
A=
2 3 0
3 -1 7
0 1 4
2 3
3 -1
0 1
=
+
-
17. x1+ x2- 2x3+ x4= 2
3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3
3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0
2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5
-3x1 - 3x2 +6x3 -3x4= -6
+
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
5x3 - 6x4 = 6
I/(-3)
3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3
x2 + 7x3 - x4 = -3
-2x1 - 2x2 + 4x3 - 2x4= -4
2x1 - x2+ 5x3 - 3x4 = 5
I/(-2)
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
-3x1 - 3x2 +6x3 -3x4= -6
I/(-3)
3x1 +3x2 - x3 - 3x4 = 0
5x3 - 6x4 = 6
Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një
numër në mënyrë që kur ta mbledhim me
ekuacionin e dytë mu eliminu variabla x1
Ekuacionin e parë e
përshkruajmë
Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një
numër në mënyrë që kur ta mbledhim me
ekuacionin e tretë mu eliminu variabla x1
Ekuacionin e parë e shumëzojmë me një
numër në mënyrë që kur ta mbledhim me
ekuacionin e katërtë mu eliminu variabla x1
I
II
III
IV
Metoda e Gaussit
18. 3x2 +21x3 - 3x4 = -9
II/ 3
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
30x3 - 8x4 = -8
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3
3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0
2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
5x3 - 6x4 = 6
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
30x3 -8x4 = -8
Ekuacionin e parë e
përshkruajmë
Ekuacionin e dytë e
përshkruajmë
Ekuacionin e dytë e shumëzojmë me një
numër në mënyrë që kur ta mbledhim me
ekuacionin e tretë mu eliminu variabla x2
Ekuacionin e katërtë nuk ka
fare variabël x2 prandaj veç e
përshkruajmë
5x3 - 6x4 = 6
19. x1+ x2- 2x3+ x4= 2
3x1+ 4x2+ x3+2x4 = 3
3x1 +3x2 - x3 -3x4 = 0
2x1 - x2+ 5x3 -3x4 = 5
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
-3x2 +9x3 - 5x4 = 1
5x3 - 6x4 = 6
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
30x3 -8x4 = -8
5x3 - 6x4 = 6 Ekuacionin e parë e
përshkruajmë
Ekuacionin e dytë e
përshkruajmë
Ekuacionin e tretë e
përshkruajmë
Ekuacionin e tretë ose të katërtë e
shumëzojmë me një numër në mënyrë që
kur ti mbledhim në mes vete mu eliminu
variabla x3
30x3 - 8x4 = -8
-30x3 +36x4 = 36
IV/(- 6)
28x4 = 28
x1+ x2- 2x3+ x4= 2
x2 +7x3 - x4 = -3
30x3 -8x4 = -8
28x4 = 28
21. Sistemet homogjene
Të zgjidhet sistemi homogjen
x + 2y + z = 0
3x - 5y + 3z = 0
2x + 7y – z = 0
Meqë të gjitha kufizat e lira të sistemit (dmth,
pjesa pas barazimit) janë të barabarta me 0
(zero), për këtë arsye sistemi quhet homogjen!
Rasti kur D ≠ 0
D=
1 2 1
3 -5 3
2 7 -1
1 2
3 -5
2 7
=
+
-
5+12+21+10-21+6= 33
D = 33 ≠ 0
Meqë
Sistemi ka vetëm zgjidhje triviale x=0, y=0 dhe z=0.
22. Rasti kur D = 0
3x + y + 2z = 0
x + 2y + 3z = 0
4x + 3y + 5z = 0
D=
3 1 2
1 2 3
4 3 5
3 1
1 2
4 3
=
+
-
30+12+6-16-27-5=0
D = 0
Meqë
Sistemi ka edhe zgjidhje tjera përveç zgjidhjes
triviale x=0, y=0 dhe z=0.
x + 2y = - 3z
3x + y = - 2z
D=
3 1
1 2
= 5 Dx=
-2z 1
-3z 2
= -z
Dy=
3 -2z
1 -3z
= -7z
X=
Dx
D
-z
5
= Y=
Dy
D
-7z
5
=
E gjejmë determinanten e
sistemit dhe e shqyrtojmë
se me sa është baraz!
24. Të zgjidhet ekuacioni matricor
x² -2 2
1 -1 1
4 2 1
= 2
x² -2 2
1 -1 1
4 2 1
=
x² -2
1 -1
4 2
2
Përcaktorin e zgjedhim duke përdorur
metodën e Sarusit ( duke i shtuar dy
kolonat e para
- x² - 8 + 4 + 8- 2x²+ 2 = 2
-3x²+ 6 = 2
-3x² = 2 - 6
- 3x² = - 3
x² = 1
x = ±√ 1
x = ± 1
Katrori kur të del në anën tjetër të barazimit
bëhet rrënjë katrore!
25.
26. Në qoftë se f(x)= 2x - 3
4 + x
të njehsohet f(-2), f(0) dhe f(3).
f(-2)= 2(-2) - 3
4 + (-2) =
- 4 - 3
4 - 2 =
-7
2
f(0)= 2*0 - 3
4 + 0 =
0 - 3
4 + 0 =
-3
4
f(3)= 2*3 - 3
4 + 3 =
6 - 3
4 + 3 =
3
7
Zgjidhje: 2x - 3
4 + x
f(x)=
Ku kemi x
zëvendësojmë -2
Ku kemi x
zëvendësojmë 0
Ku kemi x
zëvendësojmë 3
27. Funksionet
Te paraqitet grafikisht funksionit linear: f(x)=
2x+3
Si ta gjej grafikun e
këtij funksioni se?
E kam një ide!
Së pari e bëjmë
paraqitjen tabelare
x - 2 -1 0 1 2
y
f(-2)= 2(-2) +3 = -4+3= -1
f(x)= 2x+3
-1
f(-1)= 2(-1) +3 = -2+3= 1 1
Vlerat e x-it i marrim të
çfarëdoshme!
f(0)= 2(0) +3 = 0+3= 33
f(1)= 2 *1 +3 = 2+3= 55
f(2)= 2*2 +3 = 4+3= 77
Ehh, tash e bëjmë
paraqitjen grafike
28. Funksionet
Te paraqitet grafikisht funksioni: f(x)= 2x+3
Ehh, tash e bëjmë
paraqitjen grafike
x - 2 -1 0 1 2
y -1 1 3 5 7
I bashkojmë pikat e gjetura në
tabelë dhe lakorja qe i lidhë ato
pika është grafiku i funksionit
Funksioni linear e
ka grafikun drejtëz!
29. Të konstruktohet grafiku i funksionit kuadratik:
Vëmendje! Së pari i gjejmë zerot e funksionit
kuadratik e pastaj edhe pikën e kulmit.
Zgjidhje:
Zerot e funksion-it janë pikat ku
lakorja e prek boshtin x. I gjejmë me
anë të formulës x1/2
x =
-b
2a Me anë të kësaj e gjejmë pikën
e kulmit të funksionit!
=
-(-3)
2*1
=
3
2
Tash e gjejmë sa është vlera e
funksionit në x=3/2
Prej nga e formojmë tabelën:
x 2 1 3/2
y 0 0 -1/4
Janë zerot e
funksionit!
Është kulmi
i lakores
Tash e vizatojmë lakoren e funksionit kuadratik
e cila është parabolë
0
2
3
2
x
x
a
ac
b
b
x
2
4
2
2
/
1
1
2
2
1
4
)
3
(
)
3
( 2
2
/
1
x
2
1
3
2
1
3
2
8
9
3
2
/
1
x
2
2
4
2
1
3
2
/
1
x
1
2
2
2
1
3
2
/
1
x
2
2
3
3
2
3
)
(
2
x
f
4
1
4
8
18
9
2
2
9
4
9
)
(
x
f
2
3
)
( 2
x
x
x
f
30. x 2 1 3/2
y 0 0 -1/4
Ja se si duket grafiku i funksionit kuadratik
3/2
-1/4
“Kulmi” i
parabolës
Vlerat nga tabela i paraqesim
me radhë në sistem
koordinativ!
2
3
)
( 2
x
x
x
f
31. Diçka për funksionin kuadratik…
• Kur a>0 funksioni ka formën:
• Kur a<0 funksioni ka formën:
• Kur x1 dhe x2 janë vlera reale atëherë funksioni ka zero (d.m.th. grafiku e prekë
boshtin x)
• Kur x1 dhe x2 janë vlera komplekse, funksioni s’ka zero (d.m.th. grafiku se prekë
boshtin x)
• Kur x1 dhe x2 janë të barabarta atëherë grafiku e prek boshtin x në një pikë dhe
poashtu ka kulm në po atë pikë!
Grafiku i funksionit kuadratik
gjithmonë është parabolë
32. Të gjendet zona e përkufizimit të funksionit:
Zgjidhje:
Duhet ti gjejmë vlerat e x-it për të
cilat vlera, emruesi i thysës bëhet
zero!
Pra,
0 1 2 3
-1
-2
x=0
Për x=0 funksioni s’ka kuptim!
Prej nga; zona e përkufizimit të funksionit është:
- ∞ + ∞
Dmth pika 0 nuk përfshihet!
x
x
x
f
2
3
)
(
)
0
,
(
x )
,
0
(
0
2
x
0
2
0
x
33.
34. Të njehsohet limiti i funksionit )
5
7
3
(
lim 2
2
x
x
x
Zgjidhje:
)
5
7
3
(
lim 2
2
x
x
x
Ku kemi x
zëvendësojmë 2
5
2
7
2
3 2
3
5
14
12
Pra, 3 është limiti i
funksionit në pikën x=2
Të njehsohet limiti i funksionit
2
5
7
lim 2
3
1
x
x
x
x
Zgjidhje:
2
5
7
lim 2
3
1
x
x
x
x
2
1
5
1
7
1
2
3
3
1
Ku kemi x
zëvendësojmë 1
Pra, -1/3 është limiti i
funksionit në pikën x=1
35. Të gjenden asimptotat e funksionit:
2
)
(
2
x
x
x
f
Zgjidhje:
Asimptota horizonatale:
L
x
f
x
)
(
lim
2
lim
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x 2
lim
2
x
x
x 2
1
lim
1
0
1 Meqë limiti është ∞, kjo do
të thotë se funksioni nuk
ka asimptotë horizontale!
Asimptota vertikale:
)
(
lim
0
x
f
x
x
2
lim
2
0 x
x
x
x
2
lim
2
2 x
x
x
0
4
2
2
22
Meqë limiti është ∞, kjo do të
thotë se funksioni ka
asimptotë vertikale në pikën
x=2
L është numër!
Pjestojmë me fuqinë më të
madhe të x-it në emërues
X0 është pika ku funksioni
s’është i përkufizuar!
Ku kemi x zëvendësojmë 2
=0
36. Asimptota e pjerrët:
l
kx
y
x
x
f
k
x
)
(
lim
kx
x
f
l
x
)
(
lim
x
x
x
k
x
2
lim
2
x
x
x
x 2
lim 2
2
2
2
2
2
2
2
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x 2
1
1
lim 1
1
1
k=1
]
1
2
[
lim
2
x
x
x
l
x
2
2
lim
2
2
x
x
x
x
x
2
2
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x 2
2
lim 2
1
2
l=2
l
kx
y
2
x
Pjesëtojmë me fuqinë më të
madhe të x-it në emërues
=0
Pjesëtojmë me fuqinë më të
madhe të x-it në emërues
=0
Është asimptotë e pjerrtë
Paraqitja grafike e asimptotave:
37.
Njehsoni asimptotat e grafikut të funksionit:
4
1
)
(
x
x
f
Asimptota horizonatale:
Asimptota vertikale:
L
x
f
x
)
(
lim
)
(
lim
0
x
f
x
x
4
1
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x 4
1
lim
4
1
lim 0
1
0
4
1
1
lim
x
x
x
0
x
0
x është pika ku funksioni s’është i përkufizuar
Konkretisht:
4
0
x
0
4
0
x
4
1
lim
4
x
x
0
1
4
4
1
d.m.th., y=0
është asimptotë
horizontale
Pra, vërtetuam se
drejtëza x=4 është
asimptotë vertikale
Asimptota e pjerrët: Nuk ka asimptotë të
pjerrët meqë ka
asimptotë horizontale!
39. Njehsoni derivatin e funksionit 3
2
5
7
)
( 2
3
x
x
x
x
f
)
(x
f
3
2
2
5
3
7 1
1
1
2
1
3
x
x
x
)
3
2
5
7
( 2
3
x
x
x
0
2
10
21 2
x
x
Gjithmonë fuqinë për 1 e
zbresim!
Derivati shënohet me presje (‘)
2
10
21 2
x
x
X në fuqinë 0
është =1
Derivati i çdo
numri është 0
=0
40. Njehsoni derivatin e funksionit )
5
7
)(
3
2
(
)
( 2
x
x
x
f
v
u
v
u
v
u
Kur kemi shumëzim të dy funksioneve,
derivatin e njehsojmë me anë të kësaj formule
)
(x
f )
3
2
[(
x )
3
2
(
x
)
5
7
( 2
x )
5
7
( 2
x
)
3
2
(
x
x
x
x 14
)
3
2
(
)
5
7
(
2 2
x
x
x 42
28
10
14 2
2
10
42
42 2
x
x
]
)
5
7
( 2
x
=0 =0
41. 2
v
v
u
v
u
v
u
Njehsoni derivatin e funksionit
4
3
3
2
)
(
x
x
x
f
2
)
4
2
(
)
4
3
)(
3
2
(
)
4
3
(
3
2
x
x
x
x
x
4
3
3
2
)
(
x
x
x
f
2
)
4
2
(
3
)
3
2
(
)
4
3
(
2
x
x
x
2
)
4
2
(
9
6
8
6
x
x
x
2
)
4
2
(
17
x
=0 =0
42. Të gjenden intervalet e monotonisë së funksionit
x
x
y
1
2
Së pari gjejmë derivatin e parë
x
x
y
1
2
2
2
2
1
1
x
x
x
x
x
2
2
1
2
x
x
x
x
2
2
2
1
2
x
x
x
2
2
1
x
x
Gjejmë zerot e derivatit të parë
0
y
0
1
2
2
x
x
0
1
2
x
1
2
x
1
x
u’ v u v’
-
v²
=0
=1
Kur vetëm A=0!
0
B
A
43. Formojmë tabelën me zero të f’(x) dhe pika ku
s’është i përkufizuar funksioni
x
f’(x)
f(x)
+
4
3
4
1
4
)
2
(
1
)
2
(
)
2
( 2
2
f
-
-3
1
3
4
1
4
4
1
4
1
1
4
1
)
2
1
(
1
)
2
1
(
)
2
1
(
2
2
f
3
1
3
4
1
4
4
1
4
1
1
4
1
)
2
1
(
1
)
2
1
(
)
2
1
(
2
2
f
4
3
4
1
4
)
2
(
1
)
2
(
)
2
( 2
2
f +
E shqyrtojmë shenjën e derivatit të parë!
0
)
(
x
f
0
)
(
x
f
0
)
(
x
f
2
1
2
1
1
1
1
1
)
1
(
)
1
(
2
f
2
1
2
1
1
1
1
1
1
)
1
(
2
f
-2
2
Funksioni s’është i
përkufizuar për x=0
(-∞, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞)
Funksioni është
rritës
Funksioni është
zvogëlues
Funksioni është
konstant
0 0
x= -1 është zero e f’(x)
x=1 është zero e f’(x)
44. Pikat ekstreme të funksionit
x (-∞, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞)
f’(x) + 0 - - 0 +
f(x) -2 2
Janë pikat ekstreme të funksionit!
Max (-1, -2) Min (1, 2)
Le ti paraqesim grafikisht!
Max
Min
x=0 dhe y=x
janë asimptota!
