makalah nasab

1. MAKALAH
PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE
ditujukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Nilai Batas dan Syarat Awal
Dosen Pengampu :
Nita Hidayati, M.Pd
Disusun oleh :
Fitria 1510631050054
Friska Tika Ningrum 1510631050056
Indah Ramadhani Putri 1510631050066
Khairani Ulfa 1510631050073
Meidarosa 1510631050080
6C
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SINGAPERBANGSA KARAWANG
2018

2. PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE
Dalam Persamaan Diferensial Biasa (Ordinary Differential Equation), terdapat
banyak bentuk persamaan, seperti homogen, non homogen, linear, maupun non linear. Untuk
persamaan diferensial biasa khususnya bentuk homogen dan non linear, terdapat salah satu
bentuk persamaan diferensial yang sering digunakan yang dinamakan dengan Persamaan
Diferensial Legendre. Persamaan Diferensial Legendre sering ditemukan dalam fenomena
mekanika kuantum, persamaan diferensial koordinat bola, medan elektromegnetik, dan lain
sebagainya.
Persamaan Diferensial Legendre memiliki bentuk :
(1)
Parameter 𝑛 pada (1) adalah bilangan rill yang diberikan. Setiap penyelesaian dari (1)
dinamakan fungsi Legendre.
Dengan membagi (1) dengan 1 − 𝑥2
, maka diperoleh bentuk standar (8), Pasal 4.2 yaitu
𝑦′′
+ 𝑝( 𝑥) 𝑦′
+ 𝑞( 𝑥) 𝑦 = 𝑟(𝑥) dengan 𝑝( 𝑥)=
2𝑥
(1−𝑥2 )
: 𝑞( 𝑥)=
𝑛(𝑛+1)
(1−𝑥2)
dan 𝑟(𝑥) = 0.
Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada 𝑥=0. Jadi dapat kita
gunakan metode deret pangkat.
Substitusikan 𝑦 dan turunan-turunannya ke dalam (1) dan nyatakan konstanta 𝑛(𝑛+1) dengan
𝑘, maka kita memperoleh
Dengan menuliskan pernyataan pertama sebagai dua deret yang terpisah, maka kita
memperoleh persamaan
(1 − 𝑥2) 𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ + 𝑛( 𝑛 + 1) 𝑦 = 0

3. Yang jabarannya dituliskan
Karena ini harus merupakan suatu identitas dalam 𝑥 apabila (2) merupakan penyelesaian dari
(1), maka jumlah koefisien-koefisien dari setiap pangkat 𝑥 haruslah nol ; karena 𝑘=𝑛(𝑛+1),
ini memberikan
Dan umumnya, jika 𝑠=2,3,… ,
Sekarang pernyataan dalam kurung [ ... ] dapat dituliskan menjadi
Sehingga dapat dituliskan menjadi
Jadi dari (3) diperoleh
Ini disebut hubungan rekursi (recurtion relation) atau rumus rekursi (recurtion formula).
Rumus ini memberikan untuk setiap koefisien dinyatakan dalam koefisien kedua yang
mendahuluinya, kecuali 𝑎0 dan 𝑎1 yang merupakan konstanta sebarang. Kita peroleh secara
berurutan.

4. dan seterusnya. Dengan memasukkan nilai-nilai ini ke dalam koefisien-koefisen pada (2), kita
memperoleh
Atau dapat dituliskan sebagai
Dimana
Dan
Deret ini konvergen untuk | 𝑥| <1. Karena (6) memuat hanya pangkat-pangkat genap dari 𝑥
sedangkan (7) hanya memuat pengkat-pangkat ganjil dari 𝑥, maka hasil bagi
𝑦1
𝑦2
bukan suatu
konstanta, sehingga 𝑦1 dan 𝑦2 tidak sebanding, jadi merupakan penyelesaian bebas linear.
Sehingga (5) merupakan penyelesaian umum (1) pada selang −1<𝑥<1
Polinom Legendre
Dalam banyak penerapan, parameter 𝑛 dalam persamaaan Legendre merupakan bilangan
bulat tak negatif. Maka ruas kanan (4) adalah nol jika 𝑠=𝑛, sehingga 𝑎𝑛+2=0,𝑎𝑛+6=0,…

5. Jadi bilangan 𝑛 genap, 𝑦1(𝑥) disederhanakan menjadi suatu polinom berderajat 𝑛. Bila 𝑛
bilangan ganjil, diperoleh hasil yang sama untuk 𝑦2(𝑥). Polinom-polinom ini, dikalikan
dengan suatu konstanta, disebut polinom Legendre. Karena polinom-polinom itu dalam
praktek, kita akan membahasnya lebih terinci. Untuk keperluan ini, kita selesaikan (4) untuk
𝑎𝑠, diperoleh
Kita dapat menyatakan semua koefisien-koefisien yang tak-dihilangkan dalam koefisien 𝑎𝑛
dari pangkat 𝑥 yang paling tinggi pada polinom. Koefisien 𝑎𝑛 mula-mula masih sebarang.
Biasanya kita mengambil 𝑎𝑛=1 jika 𝑛=0 dan
Pengambilan 𝑎𝑛 ini dilakukan agar semua polinom ini mempunyai nilai 1 jika 𝑥=1.
Dengan cara yang sama,
Yaitu
Dengan cara yang sama pula

6. Yaitu
dan seterusnya. Umumnya jika 𝑛−2𝑚>0,
Penyelesaian persamaan diferensial Legendre (1) yang dihasilkan disebut polinom Legendre
berderajat 𝑛 dan dinyatakan oleh 𝑃𝑛(𝑥). Dan (10) diperoleh
dimana 𝑀=
𝑛
2
𝑎𝑡𝑎𝑢
( 𝑛−1)
2
, yang merupakan suatu bilangan bulat.
Khususnya (Gambar 83).
Dan seterusnya.

7. Ini disebut ortogonalitas polinom-polinom Legendre.
Contoh Soal:
Dengan menggunakan (11‟), akan dibuktikan dengan substitusi bahwa 𝑃0,…,𝑃5 memenuhi
persamaan Legendre

9.  (1 − 𝑥2) 𝑦" − 2𝑥𝑦′ + 𝑛(𝑛 + 1)𝑦 = 0
Penyelesaian Diferensial Legendre, polinom legendre berderajat 𝑛.
𝑃𝑛( 𝑥) = ∑ (−1) 𝑚
𝑀
𝑚=0
(2𝑛 − 2𝑚)!
2 𝑛 𝑚! ( 𝑛 − 𝑚)! ( 𝑛 − 2𝑚)!
𝑥 𝑛−2𝑚
Dimana:
𝑀 =
𝑛
2
untuk n genap, dan
𝑀 =
(𝑛−1)
2
untuk n ganjil
1. 𝑃0(0) = 1
Penyelesaian:
Untuk 𝑃0  𝑛 = 0, maka 𝑀 =
0
2
= 0
𝑃0( 𝑥) = ∑ (−1) 𝑚𝑀
𝑚=0
(2𝑛−2𝑚)!
2 𝑛 𝑚!( 𝑛−𝑚)!( 𝑛−2𝑚)!
𝑥 𝑛−2𝑚
= ∑ (−1)0𝑀
𝑚 =0
(2.0−2.0)!
20 .0!(0−0)!(0−2.0)!
𝑥0−2.0
= 1.
1
1.1.1.1
𝑥0
= 1
2. 𝑃1( 𝑥) = 𝑥
Penyelesaian:
Untuk 𝑃1  n=1, maka 𝑀 =
(𝑛−1)
2
=
(1−1)
2
= 0
𝑃1( 𝑥) = ∑ (−1) 𝑚𝑀
𝑚=0
(2𝑛−2𝑚)!
2 𝑛 𝑚!( 𝑛−𝑚)!( 𝑛−2𝑚)!
𝑥 𝑛−2𝑚
= ∑ (−1)0𝑀
𝑚 =0
(2.1−2.0)!
21 .0!(1−0)!(1−2.0)!
𝑥1−2.0
= 1.
2
2.1.1.1
𝑥1
= 𝑥
3. 𝑃2( 𝑥) =
1
2
(3𝑥2
− 1)
Penyelesaian:
Untuk 𝑃2  n=2, maka 𝑀 =
𝑛
2
=
2
2
= 1

10. 𝑃2( 𝑥) = ∑ (−1) 𝑚𝑀
𝑚=0
(2𝑛−2𝑚)!
2 𝑛 𝑚!( 𝑛−𝑚)!( 𝑛−2𝑚)!
𝑥 𝑛−2𝑚
= ∑ (−1)01
𝑚 =0
(2.2−2.0)!
22 .0!(2−0)!(2−2.0)!
𝑥2−2.0
+ (−1)1 (2.2−2.1)!
22.1!(2−1)!(2−2.1)!
𝑥2−2.1
= 1.
4!
4.1.2! .2!
𝑥2
−
2!
4.1.1! .0!
𝑥0
=
3
2
𝑥2
−
1
2
=
1
2
(3𝑥2
− 1)