análisis numérico Hernan alvarez

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Educación Superior
Universidad Fermín Toro
Cabudare, Edo-Lara
Facultad de Ingeniería
Interpolación
Integrantes:
Hernán Álvarez
C.I: 17.306.522
Cabudare, septiembre 2015

2. 1. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de
Lagrange con la siguiente tabla de valores, e interpolar en el punto x = 1.
xi -4 -3 2 -6
yi -16 -5 -
10
-50
𝑙 𝑖( 𝑥) =
Π
𝑖 ≠ 𝑗
𝑥 − 𝑥 𝑖
𝑥𝑗 − 𝑥 𝑖
𝑝( 𝑥) = ∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑗=0
∙ 𝑙 𝑖( 𝑥)
𝑙0( 𝑥) =
( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2)( 𝑥 − 𝑥3)
( 𝑥0 − 𝑥1)( 𝑥0 − 𝑥2)( 𝑥0 − 𝑥3)
=
( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 6)
(−4 + 3)(−4 − 2)(−4 + 6)
𝑙0( 𝑥) =
1
12
𝑥3
+
7
12
𝑥2
− 3
𝑙1( 𝑥) =
( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥2)( 𝑥 − 𝑥3)
( 𝑥1 − 𝑥0)( 𝑥1 − 𝑥2)( 𝑥1 − 𝑥3)
=
( 𝑥 + 4)( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 6)
(−3 + 4)(−3− 2)(−3+ 6)
𝑙1( 𝑥) = −
1
15
𝑥3
−
8
15
𝑥2
−
4
15
𝑥 +
16
5
𝑙2( 𝑥) =
( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥3)
( 𝑥2 − 𝑥0)( 𝑥2 − 𝑥1)( 𝑥2 − 𝑥3)
=
( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 3)( 𝑥 + 6)
(2 + 4)(2 + 3)(2 + 6)
𝑙2( 𝑥) =
1
240
𝑥3
+
13
240
𝑥2
+
9
40
𝑥 +
3
10
𝑙3( 𝑥) =
( 𝑥 − 𝑥0)( 𝑥 − 𝑥1)( 𝑥 − 𝑥2)
( 𝑥3 − 𝑥0)( 𝑥3 − 𝑥1)( 𝑥3 − 𝑥2)
=
( 𝑥 + 4)( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 2)
(−6 + 4)(−6 + 3)(−6 − 2)
𝑙3( 𝑥) = −
1
48
𝑥3
−
5
48
𝑥2
+
1
24
𝑥 +
1
2
𝑝( 𝑥) = 𝑦0 𝑙0( 𝑥) + 𝑦1 𝑙1( 𝑥)+ 𝑦2 𝑙2( 𝑥) + 𝑦3 𝑙3( 𝑥)

3. Sustituyendo:
𝑝( 𝑥) = −16 ∙ (
1
12
𝑥3
+
7
12
𝑥2
− 3) − 5 ∙ (−
1
15
𝑥3
−
8
15
𝑥2
−
4
15
𝑥 +
16
5
) − 10
∙ (
1
240
𝑥3
+
13
240
𝑥2
+
9
40
𝑥 +
3
10
) − 50 ∙ (−
1
48
𝑥3
−
5
48
𝑥2
+
1
24
𝑥 +
1
2
)
𝑝( 𝑥) = −2𝑥2
− 3𝑥 + 4
2. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación de
Newton en diferencias divididas con los datos de la tabla que aparece a
continuación, e interpolar en el punto x= 3 (DIFERENCIAS DIVIDIDAS)
xi -4 6 2
yi -20 -30 -
2
Por diferencias divididas:
xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2]
-4 -20
-1
6 -30 -1
-7
2 -2
Luego:
𝑃2( 𝑥) = 𝑓[ 𝑥0] + 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) ∙ ( 𝑥 − 𝑥1)
𝑃2( 𝑥) = −20 − 1 ∙ ( 𝑥 + 4) − 1 ∙ ( 𝑥 + 4) ∙ ( 𝑥 − 6)
𝑃2( 𝑥) = 𝑥 − 𝑥2
3. Se quiere aproximar la función f(x) = −seno( 6 x ) en el intervalo [−1,1]
utilizando interpolación polinómica con 5 puntos dados por el vector x=[ .8,.5, .3,
.9, -.9]. ¿Cuál es el error máximo teórico que se cometería en el punto −0.5? ¿Y
cuál el error real?
Por diferencias divididas:

4. x 𝑓[𝑥0]
f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, xi+1, xi+2,
xi+]
f[xi, xi+1, xi+2, xi+3,
xi+4]
0,8 0,99616461
3,79094872
0,5
-
0,14112001 18,9547436
-
5,68642308 -56,6951974
0,3 0,99616461 13,2852239 -39,3631516
-
0,37233354 10,2221604
0,9 0,77276449
-
1,02580062
0,85862721
-
0,9
-
0,77276449
Luego:
𝑃4( 𝑥) = 𝑓[ 𝑥0]+ 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1]∙ ( 𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) ∙ ( 𝑥 − 𝑥1)
+ 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3] ∙ ( 𝑥 − 𝑥0) ∙ ( 𝑥 − 𝑥1)∙ ( 𝑥 − 𝑥2)+ 𝑓[ 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4]
∙ ( 𝑥 − 𝑥0)∙ ( 𝑥 − 𝑥1)∙ ( 𝑥 − 𝑥2) ∙ ( 𝑥 − 𝑥3)
𝑃4( 𝑥) = 0,99616461+ 3,79094872∙ ( 𝑥 − 0,8) + 18,9547436 ∙ ( 𝑥 − 0,8) ∙ ( 𝑥 − 0,5)
− 56,6951974 ∙ ( 𝑥 − 0,8) ∙ ( 𝑥 − 0,5) ∙ ( 𝑥 − 0,3) − 39,3631516
∙ ( 𝑥 − 0,8) ∙ ( 𝑥 − 0,5) ∙ ( 𝑥 − 0,3) ∙ ( 𝑥 − 0,9)
Para x = - 0,5
𝑃4( − 0,5) = 0,99616461 + 3,79094872 ∙ ( − 0,5− 0,8) + 18,9547436∙ ( − 0,5 − 0,8)
∙ ( − 0,5 − 0,5) − 56,6951974 ∙ ( − 0,5− 0,8) ∙ ( − 0,5 − 0,5)
∙ ( − 0,5 − 0,3) − 39,3631516 ∙ ( − 0,5− 0,8) ∙ ( − 0,5 − 0,5)
∙ ( − 0,5 − 0,3) ∙ ( − 0,5− 0,9)
𝑃4( − 0,5) = 22,35935452
𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = |
𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙 + 𝑉𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑉𝑟𝑒𝑎𝑙
|
𝑒 𝑟 = |
𝑠𝑒𝑛(−0.5 ∙ 6) + 22,35935452
𝑠𝑒𝑛(−0.5)
|
𝑒 𝑟 = 46,932156