Ketiga hukum Kepler menjelaskan gerak planet di sekitar Matahari. Pertama, orbit planet berbentuk elips dengan Matahari di salah satu fokus. Kedua, garis yang menghubungkan planet dan Matahari menyapu luas yang sama dalam waktu yang sama. Ketiga, kuadrat periode planet berbanding lurus dengan kubik jari-jari orbitnya.
Hukum gravitasi Newton menyatakan bahwa setiap benda di alam semesta saling menarik satu sama lain dengan gaya yang besarnya berbanding lurus dengan massa masing-masing benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya. Hukum ini digunakan untuk menjelaskan gerak benda-benda di angkasa seperti planet dan satelit.
Dokumen tersebut menjelaskan penemuan dan rumusan Hukum Gravitasi Universal oleh Isaac Newton pada abad ke-17, yang menyatakan bahwa semua benda di alam semesta saling tarik menarik dengan gaya yang sebanding dengan perkalian massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara benda-benda tersebut. Dokumen tersebut juga menjelaskan eksperimen Henry Cavendish pada abad ke-18 untuk mengukur konstanta gravitasi universal.
Dokumen tersebut membahas tentang hukum gravitasi Newton yang menyatakan bahwa setiap massa menarik massa lain dengan gaya yang besarnya berbanding lurus dengan perkalian kedua massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya, serta penerapannya dalam menghitung gaya gravitasi, percepatan gravitasi, energi potensial gravitasi, dan gerak satelit.
Dokumen tersebut membahas tentang hukum-hukum Newton dan Kepler yang menjelaskan gerak planet di Tata Surya. Hukum-hukum tersebut menyatakan bahwa planet bergerak dalam lintasan elips dengan Matahari di salah satu fokus, luas vektor planet-Matahari tetap sama dalam waktu yang sama, dan hubungan antara periode revolusi planet dengan jaraknya dari Matahari.
1. Newton menemukan bahwa gaya gravitasi antara dua benda berbanding lurus dengan massa kedua benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua benda.
2. Dengan menggunakan hukum gravitasi Newton dan mengetahui percepatan gravitasi bumi, jari-jari bumi, dan konstanta gravitasi, massa bumi dapat dihitung sebesar 5,972 x 1024 kg.
3. Massa bumi sebenarnya berubah sedikit karena pengaruh meteor ke
Hukum gravitasi Newton menyatakan bahwa setiap benda di alam semesta saling menarik satu sama lain dengan gaya yang besarnya berbanding lurus dengan massa masing-masing benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya. Hukum ini digunakan untuk menjelaskan gerak benda-benda di angkasa seperti planet dan satelit.
Dokumen tersebut menjelaskan penemuan dan rumusan Hukum Gravitasi Universal oleh Isaac Newton pada abad ke-17, yang menyatakan bahwa semua benda di alam semesta saling tarik menarik dengan gaya yang sebanding dengan perkalian massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara benda-benda tersebut. Dokumen tersebut juga menjelaskan eksperimen Henry Cavendish pada abad ke-18 untuk mengukur konstanta gravitasi universal.
Dokumen tersebut membahas tentang hukum gravitasi Newton yang menyatakan bahwa setiap massa menarik massa lain dengan gaya yang besarnya berbanding lurus dengan perkalian kedua massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara keduanya, serta penerapannya dalam menghitung gaya gravitasi, percepatan gravitasi, energi potensial gravitasi, dan gerak satelit.
Dokumen tersebut membahas tentang hukum-hukum Newton dan Kepler yang menjelaskan gerak planet di Tata Surya. Hukum-hukum tersebut menyatakan bahwa planet bergerak dalam lintasan elips dengan Matahari di salah satu fokus, luas vektor planet-Matahari tetap sama dalam waktu yang sama, dan hubungan antara periode revolusi planet dengan jaraknya dari Matahari.
1. Newton menemukan bahwa gaya gravitasi antara dua benda berbanding lurus dengan massa kedua benda dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua benda.
2. Dengan menggunakan hukum gravitasi Newton dan mengetahui percepatan gravitasi bumi, jari-jari bumi, dan konstanta gravitasi, massa bumi dapat dihitung sebesar 5,972 x 1024 kg.
3. Massa bumi sebenarnya berubah sedikit karena pengaruh meteor ke
Dokumen tersebut membahas tentang hukum gravitasi Newton dan hukum Kepler. Terdapat penjelasan tentang percepatan gravitasi bumi, contoh soal perhitungan percepatan gravitasi di planet-planet lain, dan perbandingan percepatan gravitasi antara bumi dengan planet lain.
Dokumen tersebut membahas tentang hukum gravitasi Newton dan konsep-konsep terkait seperti medan gravitasi, energi potensial gravitasi, dan hukum Kepler mengenai gerak planet.
Dokumen tersebut membahas tentang hukum gravitasi Newton, gaya gravitasi, percepatan gravitasi, dan contoh soal terkait gravitasi. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan bahwa setiap massa saling tarik menurut hukum gravitasi Newton, dan besar gaya gravitasi berbanding lurus dengan perkalian massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak.
anda penasaran dengan "hukum gravitasi" ???,kali ini saya akan membahas tentang hukum gravitasi... alhamdulilllah.,sekian dibuat semudah mungkin,,,ini adalah slideshare pertama saya,semoga bermanfaat bagi kita semua,amiin..,wasalamualaikum wr.wb
*like&share jika menurut anda artikel ini bermanfaat,terimakasih :)
Dokumen tersebut membahas tentang gravitasi, hukum gravitasi Newton, percepatan gravitasi, kecepatan lepas, dan hukum-hukum Kepler. Di antaranya adalah hubungan antara gaya gravitasi dengan massa dan jarak benda, serta perbandingan berat benda di permukaan bumi dan di ketinggian tertentu.
Dokumen tersebut membahas simulasi gerak planet dalam tata surya berdasarkan Hukum III Kepler. Eksperimen menunjukkan bahwa semakin jauh jarak rata-rata planet dari matahari, maka periode orbitnya akan semakin lama. Hubungan antara kuadrat periode planet dan pangkat tiga jarak rata-ratanya dari matahari terbukti berupa grafik linear.
Aplikasi hukum gravitasi ~ SMA kelas XISMA 2 KUDUS
Dokumen tersebut membahas empat aplikasi hukum gravitasi Newton, yaitu perhitungan massa Matahari, perhitungan massa Bumi, perhitungan kecepatan satelit, dan kecepatan lepas. Metode perhitungan meliputi penggunaan rumus gaya gravitasi, gaya sentripetal, dan hukum kekekalan energi mekanik. Contoh soal dan pembahasannya juga disertakan untuk masing-masing aplikasi.
1. Hukum gravitasi Newton menyatakan bahwa setiap partikel di alam tarik menarik dengan gaya yang besarnya berbanding langsung dengan hasil kali massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua massa.
2. Rumus dasar gravitasi digunakan untuk menghitung massa matahari dan kecepatan bumi mengelilinginya.
3. Untuk menghitung resultan gaya gravitasi yang mempengaruhi suatu benda oleh dua massa,
MATERI PRESENTASI FISIKA UNTUK ANAK SMA KELAS XI PADA SEMESTER GANJIL. SUDAH SAYA SUSUN DENGAN RINCI, MENARIK DAN DETAIL, SEHINGGA MEMUDAHKAN ANDA UNTUK MEMPELAJARINYA. Kunjungi saya di http://aguspurnomosite.blogspot.com
Tiga benda berbeda massa diletakkan terpisah pada jarak tertentu. Kuat medan gravitasi akan sama dengan nol jika titik P ditempatkan pada jarak tertentu dari salah satu benda.
Dokumen tersebut membahas analisis vektor pada gerak benda dan gerak parabola. Pada bagian pertama dibahas konsep vektor posisi, vektor perpindahan, vektor kecepatan, vektor percepatan, dan soal latihan yang terkait. Bagian kedua membahas persamaan gerak parabola.
Dokumen tersebut membahas tentang tiga hukum Kepler mengenai gerakan planet di sekitar matahari. Hukum pertama menyatakan bahwa orbit planet berbentuk elips dengan matahari berada di salah satu fokus. Hukum kedua menyatakan bahwa vektor radius planet akan menempuh luas areal yang sama dalam waktu yang sama. Hukum ketiga menyatakan bahwa pangkat tiga sumbu semi mayor orbit sebanding dengan kuadrat periode revol
Dokumen ini membahas tiga hukum Kepler tentang gerakan planet-planet di tata surya. Hukum pertama menyatakan bahwa orbit planet berbentuk elips dengan Matahari berada di salah satu fokus. Hukum kedua menyatakan bahwa luas area yang disapu garis dari Matahari ke planet sama dalam waktu yang sama. Hukum ketiga menyatakan bahwa kuadrat periode planet sebanding dengan kubik jarak rata-rata planet dari Matah
Dokumen tersebut membahas tentang hukum gravitasi Newton dan hukum Kepler. Terdapat penjelasan tentang percepatan gravitasi bumi, contoh soal perhitungan percepatan gravitasi di planet-planet lain, dan perbandingan percepatan gravitasi antara bumi dengan planet lain.
Dokumen tersebut membahas tentang hukum gravitasi Newton dan konsep-konsep terkait seperti medan gravitasi, energi potensial gravitasi, dan hukum Kepler mengenai gerak planet.
Dokumen tersebut membahas tentang hukum gravitasi Newton, gaya gravitasi, percepatan gravitasi, dan contoh soal terkait gravitasi. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan bahwa setiap massa saling tarik menurut hukum gravitasi Newton, dan besar gaya gravitasi berbanding lurus dengan perkalian massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak.
anda penasaran dengan "hukum gravitasi" ???,kali ini saya akan membahas tentang hukum gravitasi... alhamdulilllah.,sekian dibuat semudah mungkin,,,ini adalah slideshare pertama saya,semoga bermanfaat bagi kita semua,amiin..,wasalamualaikum wr.wb
*like&share jika menurut anda artikel ini bermanfaat,terimakasih :)
Dokumen tersebut membahas tentang gravitasi, hukum gravitasi Newton, percepatan gravitasi, kecepatan lepas, dan hukum-hukum Kepler. Di antaranya adalah hubungan antara gaya gravitasi dengan massa dan jarak benda, serta perbandingan berat benda di permukaan bumi dan di ketinggian tertentu.
Dokumen tersebut membahas simulasi gerak planet dalam tata surya berdasarkan Hukum III Kepler. Eksperimen menunjukkan bahwa semakin jauh jarak rata-rata planet dari matahari, maka periode orbitnya akan semakin lama. Hubungan antara kuadrat periode planet dan pangkat tiga jarak rata-ratanya dari matahari terbukti berupa grafik linear.
Aplikasi hukum gravitasi ~ SMA kelas XISMA 2 KUDUS
Dokumen tersebut membahas empat aplikasi hukum gravitasi Newton, yaitu perhitungan massa Matahari, perhitungan massa Bumi, perhitungan kecepatan satelit, dan kecepatan lepas. Metode perhitungan meliputi penggunaan rumus gaya gravitasi, gaya sentripetal, dan hukum kekekalan energi mekanik. Contoh soal dan pembahasannya juga disertakan untuk masing-masing aplikasi.
1. Hukum gravitasi Newton menyatakan bahwa setiap partikel di alam tarik menarik dengan gaya yang besarnya berbanding langsung dengan hasil kali massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua massa.
2. Rumus dasar gravitasi digunakan untuk menghitung massa matahari dan kecepatan bumi mengelilinginya.
3. Untuk menghitung resultan gaya gravitasi yang mempengaruhi suatu benda oleh dua massa,
MATERI PRESENTASI FISIKA UNTUK ANAK SMA KELAS XI PADA SEMESTER GANJIL. SUDAH SAYA SUSUN DENGAN RINCI, MENARIK DAN DETAIL, SEHINGGA MEMUDAHKAN ANDA UNTUK MEMPELAJARINYA. Kunjungi saya di http://aguspurnomosite.blogspot.com
Tiga benda berbeda massa diletakkan terpisah pada jarak tertentu. Kuat medan gravitasi akan sama dengan nol jika titik P ditempatkan pada jarak tertentu dari salah satu benda.
Dokumen tersebut membahas analisis vektor pada gerak benda dan gerak parabola. Pada bagian pertama dibahas konsep vektor posisi, vektor perpindahan, vektor kecepatan, vektor percepatan, dan soal latihan yang terkait. Bagian kedua membahas persamaan gerak parabola.
Dokumen tersebut membahas tentang tiga hukum Kepler mengenai gerakan planet di sekitar matahari. Hukum pertama menyatakan bahwa orbit planet berbentuk elips dengan matahari berada di salah satu fokus. Hukum kedua menyatakan bahwa vektor radius planet akan menempuh luas areal yang sama dalam waktu yang sama. Hukum ketiga menyatakan bahwa pangkat tiga sumbu semi mayor orbit sebanding dengan kuadrat periode revol
Dokumen ini membahas tiga hukum Kepler tentang gerakan planet-planet di tata surya. Hukum pertama menyatakan bahwa orbit planet berbentuk elips dengan Matahari berada di salah satu fokus. Hukum kedua menyatakan bahwa luas area yang disapu garis dari Matahari ke planet sama dalam waktu yang sama. Hukum ketiga menyatakan bahwa kuadrat periode planet sebanding dengan kubik jarak rata-rata planet dari Matah
Dokumen tersebut membahas tentang hukum-hukum gerakan planet yang dirumuskan oleh astronom Johannes Kepler berdasarkan pengamatan Tycho Brahe. Hukum pertama menyatakan bahwa lintasan planet berbentuk elips dengan matahari berada di salah satu fokus. Hukum kedua menyatakan bahwa planet membutuhkan waktu yang sama untuk menempuh daerah yang luasnya sama. Hukum ketiga menyatakan bahwa kuadrat periode planet sebanding
Tata surya terdiri atas Matahari dan objek-objek lain seperti planet, planet kerdil, komet, dan asteroid yang mengorbitinya. Hukum Kepler menjelaskan karakteristik orbit planet di sekitar Matahari. Hukum Pertama menyatakan bahwa orbit planet berbentuk elips dengan Matahari berada di salah satu fokus. Hukum Kedua menyatakan bahwa garis antara Matahari dan planet akan menyapu luas yang sama dalam wak
1. Dokumen tersebut membahas tentang pengertian, asas, bentuk dan isi dari putusan di Pengadilan Agama. Putusan adalah hasil akhir dari pemeriksaan perkara oleh hakim untuk menyelesaikan sengketa. Putusan harus memenuhi asas-asas tertentu dan terdiri dari beberapa bagian seperti identitas pihak, pertimbangan hukum, dan putusan akhir.
Dokumen tersebut membahas hukum gravitasi Newton, termasuk percepatan gravitasi dan hukum-hukum Kepler yang menjelaskan gerakan planet-planet di tata surya. Diberikan pula contoh soal dan penyelesaiannya untuk memahami konsep-konsep tersebut.
Matematika awal abad modern berkembang pesat pada abad ke-17 karena kemajuan politik, sosial, dan ekonomi. Beberapa penemu penting pada masa ini adalah Napier, Harriot, Oughtred, Galileo, Kepler, Desargues, dan Pascal.
Dokumen tersebut membahas tentang hukum Kepler dan bukti-bukti bahwa bumi berbentuk bulat, di antaranya gerhana bulan, pergeseran bintang di langit saat berpindah belahan bumi, dan ketinggian matahari di langit yang berubah saat menjauhi garis khatulistiwa. Juga dibahas percobaan Alfred Russel Wallace untuk membuktikan bahwa bumi tidak datar.
Dokumen tersebut membahas hukum-hukum gerakan planet dan satelit menurut Newton dan Kepler, termasuk hukum-hukum Kepler tentang orbit planet dan hubungan antara periode orbit dengan jaraknya dari matahari."
Dokumen tersebut menjelaskan tentang tiga hukum Kepler mengenai gerak planet yang dicetuskan oleh Kepler setengah abad sebelum Newton mengajukan hukum gravitasi universal dan geraknya. Hukum-hukum Kepler ini kemudian dapat diturunkan secara matematis dari hukum gravitasi dan gerak Newton, yaitu bahwa orbit planet berbentuk elips dengan matahari di salah satu fokusnya, luas daerah yang disapu planet dalam waktu yang sama
Dokumen tersebut membahas tentang dinamika partikel dan hukum-hukum gerak Newton. Secara singkat, dibahas mengenai konsep dinamika partikel yang mempelajari penyebab gerak suatu benda akibat gaya, serta ketiga hukum gerak Newton tentang gaya, massa, dan momentum. Dijelaskan pula konsep inersia, gaya gravitasi, gesekan, dan dinamika gerak melingkar.
Tiga hukum Newton menjelaskan tentang gerak benda. Hukum pertama menyatakan bahwa benda akan tetap bergerak atau diam jika tidak ada gaya yang bekerja padanya. Hukum kedua menjelaskan hubungan antara gaya dan percepatan. Hukum ketiga menyatakan bahwa setiap aksi memiliki reaksi yang sama besar dan berlawanan arah.
1. Dokumen tersebut membahas tentang mekanika medan gravitasi, termasuk rumus-rumus yang berkaitan dengan gravitasi di planet dan satelit.
2. Terdapat soal-soal ujian masuk perguruan tinggi yang membahas tentang berat benda di planet lain, periode planet mengitari matahari, kelajuan satelit, dan lainnya.
3. Rumus-rumus yang disebutkan antara lain rumus periode planet dan satelit mengitari benda induk berdasarkan h
1. Gerak benda di antara tumbukan mengikuti parabola. Rumus waktu, jarak horizontal dan kecepatan setelah tumbukan berubah dengan faktor e untuk setiap tumbukan berikutnya.
2. Hubungan panjang tali, massa, gravitasi dan pegas menentukan panjang setimbang dan maksimum tali.
3. Kecepatan sudut yoyo konstan sehingga daya motor berkurang secara linier terhadap waktu.
Persamaan Schrodinger digunakan untuk menemukan fungsi gelombang partikel. Persamaan ini harus memenuhi tiga kriteria: konsisten dengan hukum kekekalan energi, konsisten dengan persamaan de Broglie, dan berharga tunggal. Untuk partikel bebas dalam satu dimensi, fungsi gelombang berbentuk sinusoidal yang bergantung pada momentum dan energi partikel. Dalam tiga dimensi, persamaan Schrodinger meliputi ketiga arah dimensi terse
1. Satelit geostasioner berada pada ketinggian sekitar 35.786 km di atas permukaan bumi dan bergerak pada kecepatan 3,1 km/s.
2. Percepatan gravitasi akan berkurang 1% pada ketinggian 32 km di atas permukaan bumi.
3. Untuk mengurangi percepatan gravitasi menjadi setengahnya, ketinggiannya harus 2.650 km di atas permukaan bumi.
Dokumen tersebut berisi soal-soal fisika tentang berbagai konsep seperti gravitasi, mekanika, optika, dan elektromagnetisme. Soal-soal tersebut didahului petunjuk-petunjuk untuk menjawab beberapa kelompok soal.
(1) Dokumen tersebut membahas soal-soal mekanika tentang sistem tata surya dan gerak benda di sekitar bumi dan matahari, termasuk periode planet, jarak antar bintang kembar, momentum sudut planet, energi mekanik planet, dan lainnya.
(2) Dijelaskan rumus-rumus fisika yang terkait seperti hukum Kepler, kekekalan momentum sudut dan energi, serta dipakai untuk menghitung variabel-variabel seperti periode, jar
Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep dasar mekanika kinematika gerak seperti gerak melingkar beraturan, gerak vertikal, gerak lurus beraturan, dan gerak parabola. Terdapat soal-soal tes yang menguji pemahaman konsep-konsep tersebut.
Teks tersebut membahas tentang teori dasar metode gayaberat, yang meliputi hukum Newton tentang gaya tarik gravitasi, teori medan potensial, dan potensial gravitasi. Juga dibahas mengenai pengukuran gayaberat, yang dapat dilakukan secara absolut, relatif, dan di lapangan menggunakan alat seperti pendulum dan gravimeter. Terakhir dibahas mengenai koreksi data gayaberat untuk menghilangkan pengaruh faktor seperti pasang
1. Teori relativitas menyatakan bahwa massa suatu benda berkaitan dengan energinya, dan energi total suatu benda bergerak lebih besar dibandingkan benda diam.
2. Dilatasi waktu dan kontraksi panjang terjadi pada benda bergerak relatif terhadap pengamat. Semakin besar kecepatannya, semakin besar pula efek relativitas.
3. Energi, momentum, dan massa suatu benda berkaitan dengan kecepatannya relatif terhadap pen
Dokumen tersebut membahas tentang jenis-jenis koperasi dan tahapan pembentukan koperasi. Ada 5 jenis koperasi yaitu koperasi simpan pinjam, konsumen, produsen, pemasaran, dan jasa. Pembentukan koperasi memerlukan persyaratan tertentu seperti minimal 20 anggota, berkedudukan di Indonesia, dan membuat akta pendirian yang berisi anggaran dasar. Proses pembentukannya meliputi persiapan, rapat pembent
2. Kepler lahir 27 -12 - 1571 di Weil der Stadt, Wurttemberg
Meninggal 15 - 11 - 1630 di Regensburg. Beberapa hasil karya:
Penemuan supernova: 1604
Pembuatan teropong kepler: 1611
Ketiga hukum kepler: 1609, 1619
Pembuatan tabel logaritmik 8 digit u/ tabel astronomi
Rudolphine: 1626, lih: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history /Mathema
ticians/Kepler.html
3. Ketiga hukum Kepler akan diturunkan
secara umum melalui hukum gravitasi
Newton. Dari penurunan tersebut
disadari bahwa ketiga hukum kepler
adalah manifestasi pergerakan dua
benda di bawah gaya sentral ~ 1/r2
,
dengan r adalah jarak antara kedua
benda yang menghubungkan kedua
pusat massa benda yang berupa bola.
Anggapan tersebut memenuhi untuk
planet-planet di tatasurya.
4. I. Hukum Gerak Dua Benda (Two Body Problem)
Y
Z
X
•(X1,Y1,Z1)
m1
•(X2,Y2,Z2)
m2r
Pada benda 1 bekerja gaya tarik gravitasi
sebesar
m
d r
d t
G
m m
r
r
r1
2
2
1 2
2
= − (I.1)
Gaya diurai dalam komponen X, Y, Z
m
d X
d t
G m m
X X
r
m
d Y
d t
G m m
Y Y
r
m
d Z
d t
G m m
Z Z
r
1
2
1
2 1 2
1 2
3
1
2
1
2 1 2
1 2
3
1
2
1
2 1 2
1 2
3
= −
−
= −
−
= −
−
(I.2a)
(I.2b)
(I.2c)
r X X i Y Y j Z Z k= − + − + −( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2
Dengan cara sama pada benda 2 bekerja gaya tarik
gravitasi sebesar
m
d X
d t
G m m
X X
r
m
d Y
d t
G m m
Y Y
r
m
d Z
d t
G m m
Z Z
r
2
2
2
2 1 2
2 1
3
2
2
2
2 1 2
2 1
3
2
2
2
2 1 2
2 1
3
= −
−
= −
−
= −
−
(I.3a)
(I.3b)
(I.3c)
Koordinat Cartesian
5. Enam pers. diferensial gerak (1.2a s/d 1.3c) orde 2, dan bila dapat diselesaikan
menghasilkan
koordinat (X1 ,Y1 ,Z1) dan (X2 ,Y2 ,Z2) sebagai fungsi waktu t.
Artinya Letak kedua benda setiap saat dapat diketahui atau ditentukan,
d.l.p. Lintasan atau Orbit kedua benda didapat eksak.
Enam p.d. orde ke-2 itu mempunyai 12 tetapan integrasi. Harga ke-12 tetapan
integrasi dapat ditentukan dari keadaan awal kedua benda, y.i. Enam koordinat
kedudukan awal (tiga koordinat X,Y,Z untuk masing-masing benda), dan enam
komponen kecepatan awal (tiga komponen kecepatan awal vX ,vY ,vZ untuk
masing-masing benda)
Tinjau dalam hal benda yang satu
dianggap diam dan merupakan pusat
koordinat (seperti gerak planet terhadap
matahari) – gerak semacam ini disebut
gerak bendayang satu relatif terhadap
bendayang lain
Maka kita hanya perlu 6
tetapan: tiga koordinat
kedudukan awal dan tiga
komponen kecepatan awal
benda yang bergerak
6. Tulis X = X2 – X1 ; Y = Y2 – Y1 ; Z = Z2 – Z1
dan M = m1 + m2
Diperoleh dari (I.3a, b, c)
d X
d t
G M
X
r
2
2 3= −
d Y
d t
G M
Y
r
2
2 3= −
d Z
d t
G M
Z
r
2
2 3= −
(I.4a,b,c)
(I.5)
(I.6a,b,c)
Jadi bendakeduabergerak seperti di tempat
bendapertama, adamassayang besarnyasama
dengan jumlah massakeduabenda
Kalikan (1.6b) dengan X dan (1.6a) dengan Y, perkurangkan dan integrasikan
Kalikan (1.6c) dengan Y dan (1.6b) dengan Z, perkurangkan dan integrasikan
Kalikan (1.6a) dengan Z dan (1.6c) dengan X, perkurangkan dan integrasikan
X
d Y
d t
Y
d X
d t
2
2
2
2 0− = Y
d Z
d t
Z
d Y
d t
2
2
2
2 0− = Z
d X
d t
X
d Z
d t
2
2
2
2 0− =
X
d Y
d t
Y
d X
d t
a− = 1 Y
d Z
d t
Z
d Y
d t
a− = 2
Z
d X
d t
X
d Z
d t
a− = 3 (I.9a,b,c)
7. Kalikan (I.9a,b,c) masing-masing dengan Z, X dan Y dan dijumlahkan
a1Z + a2X + a3Y = 0 (I.10)
Persamaan bidang datar, orbit benda berada pada bidang
datar tetap
Kalikan (1.6a) dengan 2(dX/dt) dan (1.6b) dengan 2(dY/dt) dan (1.6c) dengan
2(dZ/dt) dan ketiganya dijumlahkan
d
d t
d X
d t
d Y
d t
d Z
d t
G M
r
X
d X
d t
Y
d Y
d t
Z
d Z
d t
+
+
= − + +
2 2 2
3
1
2 (I.12)
v
d X
d t
d Y
d t
d Z
d t
2
2 2 2
=
+
+
r X Y Z2 2 2 2
= + +
Jarak antara kedua benda r dan kecepatan benda v nyatakan dengan
(I.13)
(I.14)
Dari (I.12), (I.13) dan (I.14) diperoleh
d v
d t
G M
r
d r
d t
2
22= − (I.15)
8. Integrasikan persamaan dan hasilnya adalah
dengan h tetapan integrasi (I.16)
Definisikan energi potensial gravitasi benda 2
V = - G m2M / r (I.17)
Definisikan energi kinetik benda 2
T = ½ m2v2
(I.18)
Persamaan (I.16), (I.17), (I.18) menghasilkan
T +V = h’ (I.19)
Artinya, energi total benda tetap selama gerak dalam orbitnya
v
G M
r
h2
2= − +
Akan dicari apa makna matematis dari ketiga Hukum Pergerakan Kepler
Hk. Kepler I Orbit planet berupa elips dengan matahari di tiik fokus elips
Hk. Kepler II Garis hubung matahari planet dalam selang waktu sama
menyapu luas daerah yang sama
Hk. Kepler III Kuadrat waktu edar planet mengitari matahari sebanding
dengan pangkat tiga setengah sumbu panjang elips
9. Pilih bidang orbit sebagai bidang (X,Y). Jadi gerak benda hanya ditentukan
oleh persamaan yang mengandung variabel X dan Y saja. Jadi hanya
persamaan (I.9a) dan (I.16) yang relevan.
dengan h tetapan integrasi (I.16)v
G M
r
h2
2= − +X
d Y
d t
Y
d X
d t
a− = 1
d X
d t
d Y
d t
G M
r
h
+
+ =
2 2
2
Kita beralih ke tata koordinat Cartesian ke tata koordinat Kutub dengan cara
(I.20)X
d Y
d t
Y
d X
d t
c− =(I.21)
X = r cos θ ; Y = r sin θ
(I.21) dan (I.20) menjadi d r
d t
r
d
d t r
h
+
= +
2
2
2
2
θ µ
r
d
d t
c2 θ
= µ = G M
(I.26)(I.24)(I.25)
Dari (I.24) dan (I.25) diperoleh
1 1 2
04
2
2 2 2
r
d r
d r c r
h
cθ
µ
+ − − = (I.27)
Nyatakan u
r c
= −
1
2
µ d u
d
u H
θ
+ =
2
2 2
(I.28)
H
c
h
c
2
2
4 2= +
µ
(I.29)
10. Pemecahan persamaan differensial (I.28) adalah
dengan ω tetapan integrasi dan nyatakan
(I.30) dalam variabel lama
u H= −c o s ( )θ ω (I.30)
u
r c
= −
1
2
µ
Diperoleh
r
p
e
p
c
e
h c
=
+
=
= +
= −
1
1
2
2
2
1
2
c o s
( )
ν
µ
µ
ν θ ω
(I.31)
(I.33)
(I.32)
(I.34)
Persamaan (I.31) adalah persamaan irisan kerucut. Irisan kerucut dapat: lingkaran, elips,
parabola atau hiperbola.
Elips adalah sebuah irisan kerucut jadi membuktikan Hk. Kepler I
p = parameter kerucut, e = eksentrisitas, ν = anomali benar (lihat gambar)
11. Dalam hal benda pusat; matahari, perifokus (B) menjadi perhelion dan apofokus (A)
menjadi apohelion
Dalam hal bintang ganda, benda pusat adalah bintang, kedua titik menjadi periastron dan
apoastron
Setengah jarak AB: setengah sumbu besar dan ditulis a yang harganya p = a(1-e2
) (I.35)
Titik perifokus dicapai bila ν = 00
atau r=a(1-e), sedang apofokus bila ν = 1800
atau
r=a(1+e)
Catat: benda pusat m1 di titik fokus orbit
Sudut ω kedudukan perifokus terhadap garis acuan tertentu: garis potong bidang orbit dan
bidang langit (bidang tegaklurus garis pandang).
Bila h < 0 dan e < 1 , orbit berupa elips,
h = 0 dan e = 1, orbit berupa parabola,
h > 0 dan e > 1, orbit berupa hiperbola.
Dari persamaan (I.19) bahwa harga h ditentukan energi total orbit.
Perhatikan dari persamaan (I.25) dapat ditulis
½ r2
dθ= ½ c dt (I.36)
Ruas kiri adalah luas segitiga yang disapu vektor radius dalam waktu dt. Untuk selang
waktu tetap atau sama, ruas kanan akan tetap pula. Ini adalah Hk. Kepler II
12. Akibat hukum itu. Bila benda berada di dekat perifokus akan bergerak cepat, sedang
di sekitar apofokus kecepatannya rendah. Integrasi persamaan (I.36)
luas Elips A = 1/2 c Periode P
A = π ab = π a2
(1 – e2
)1/2
Jadi cP = 2 π a2
(1 – e2
)1/2
, diperoleh harga c
Dengan (I.32), (I.35) dan (I.39) didapat
a3
/P2
= µ/4π2
atau (I.26)
a3
/P2
= G (m1 + m2) / 4π2
Dalam hal planet mengitari matahari m1 = M0 massa matahari dan m2 massa
planet, karena m2 << M0 maka a3
/P2
= GM0 / 4π2
= Konstan
Ini membuktikansemua planet harga a3
/P2
merupakan perbandingan yang tetap.
Hk. Kepler III
Dalam hal orbit lingkaran dengan jari-jari a, maka e = 0, maka v = 2πa/P
didapat v2
= GM0 /a
(I.37)
(I.38)
(I.39)
Latihan: Perlihatkan dengan menuliskan (I.32), (I.33) dan (I.35)
diperoleh (I.16);
v G M
r a
2 2 1
= − −( )
13. Dari (I.32): p
c
=
2
µ
Dan (I.33): e
h c
= +( )1
2
2
1
2
µ
Dan (I.35): p = a(1-e2
)
Didapat a = -µ/h, atau h = -µ/a, maka dari (I.16):
v
G M
r
h2
2= − +
v G M
r a
2 2 1
= − −( )
Kecepatan di dalam Orbit Elips
Kepler menemukan orbit planet mengitari matahari. Tetapi tidak bisa
menjelaskan mengapa planet-planet bisa tetap di dalam orbit.
Jawab ada dua faktor yang menyebabkan planet-planet tetap di
dalam orbit yakni Inersia dan gravitasi
Inersia : kecendrungan obyek tetap bergerak dalam garis lurus atau
diam
Gravitasi : berupaya menarik agar obyek jatuh bebas ke benda yang
menarik.