APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA CARRERA DE BIOTECNOLOGÍA

1. APLICACIÓN DE ESPACIOS Y
SUBESPACION VECTORIALES EN LA
CARRERA DE BIOTECNOLOGIA

2. INTRODUCICIÓN
 Teniendo en cuenta estos conceptos debemos saber que la importancia del
Algebra Lineal en el desarrollo científico de la humanidad está determinada
por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos y sociales ya sea de la
ciencia o de la técnica las cuales puede ayudar mucho en la aplicación de la
carrera de Biotecnología.
 Ayuda a la creación de métodos que ayudan a la clasificación de ciertas
enfermedades, especies de animales, tipos de plantas, entre otros. Que con
la actualidad son muy difíciles de distribuir sus cambios y la evolución que
sufren a lo largo de los días.
 De esta manera la facilidad humana se ha visto beneficiada ya que varios
ejemplos claros de esta aplicación y podemos observar en el presente son las
prótesis; en otro ámbito tenemos la creación de aplicaciones para la
clasificación de especies tanto de animales como plantas.

3. OBJETIVOS
 OBJETIVOS GENERAL
o Conocer las propiedades de uno de los sistemas algebraicos como los espacios y
subespacios vectoriales como objeto fundamental de estudio del álgebra Lineal aplicando en el
área de la Ingeniería de Biotecnología.
 OBJETIVOS ESPECIFICOS
o Observar que la definición de espacio vectorial establece un objeto compuesto de R, de un
conjunto de vectores y de dos operaciones.
o Entender de los conceptos básicos en el espacio vectorial: los Subespacios.
o Entender la definición algebraica de dimensión un espacio vectorial, esto mediante el concepto
de base.

4. FUNDAMENTACIÓN TEORICA
El estudio de dichos temas pretende ayudar a manejar aquellas herramientas matemáticas de
especial utilidad para los estudiantes, como las que le pueden llevar a desarrollar modelos
matemáticos de aplicación en el campo de la Biotecnología. Para ello es necesario conocer
definiciones y conceptos relacionados a lo que es espacios y subespacios vectoriales.
Algunas definiciones idóneas de la suma vectorial y la multiplicación escalar revelan que muchas
otras cantidades matemáticas (como las matrices, los polinomios y funciones) también
comparten estás 10 propiedades. Cualquier conjunto que satisface esas propiedades (o axiomas)
se denomina espacios vectoriales y los elementos del conjunto se denominan vectores.
Es importante comprender que la siguiente definición de espacio vectorial es precisamente eso
una definición. No se necesita demostrar nada, ya que simplemente se enlistan los axiomas
necesarios de los espacios vectoriales. Este tipo es una definición se denomina abstracción
debido a que se abstrae una colección de propiedades en un espacio n-dimensional ℝ𝑛
específico
para formar los axiomas de un espacio vectorial más general.

5. ESPACIOS VECTORIAL:
Sea V un conjunto no vacío de vectores sobre él están definidas dos operaciones (la suma vectorial y la
multiplicación escalar). Si los siguientes axiomas se cumplen para todo u, v y w en V y todos escalar
(número real) c y d, entonces V se denomina espacio vectorial.

6. Ejemplos de espacios vectoriales:
1.- El espacio ℜn, formado por los vectores de n componentes (x1, . . ., xn) es un espacio vectorial real, en el que
se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.
Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0, . .
.,0).
No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el
resultado no se mantendrá dentro de ℜn).
2.- Consideremos el conjunto ℙ2
de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:
ℙ2 = {ax2 + bx + c: a, b, c ∈ ℜ}
Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de ℙ2 y obtenemos otro elemento de ℙ2;
también podemos multiplicar un elemento de ℙ 2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de ℙ2.
Veámoslo:
-Suma: ( ax2 + bx + c ) + ( a’x2 + b’x + c’ ) = (a+a’) x2 + (b+b’) x + (c+c’) que pertenece a ℙ2.
-Producto por un escalar real: λ∈ℜ , λ(ax + bx + c) = λax2 + λbx + λc que pertenece a ℙ2.
Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0
No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un
polinomio complejo que no pertenece a ℙ2.

7. SUBESPACIOS VECTORIAL:
Un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial se denomina subespacio de V si W es un espacio vectorial bajo las
operaciones de suma y multiplicación escalar definidas en V.
Ya no hace falta comprobar que se cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, etc. puesto que sabemos que se
cumplen en V, y por tanto también en W (se dice que W “hereda” las propiedades de las operaciones en V). Por supuesto si
para V utilizamos escalares reales, también para W; si para V utilizamos complejos, también para W.
Ejemplos de subespacios vectoriales:
1.- La recta x=y es un subespacio de ℜ2. Está formado por los vectores de la forma (a,a). Contiene al vector (0,0).
Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:
-Suma: (a, a) + (b, b) = (a+b, a+b) que también es un elemento de la recta.
-Producto por un escalar: λ∈ℜ, λ(a, a) = (λa, λa) que también es un elemento de la recta.
2.- El plano XY es un subespacio de ℜ3. Está formado por los vectores de la forma (x, y,0). Contiene al vector (0,0,0).
Además, es cerrado para la suma y producto por escalar:
-Suma: (x, y,0) + (x’,y’,0) = (x+x’, y+y’, 0) que también es un elemento del plano.
-Producto por un escalar: λ∈ℜ, λ(x,y,0)=(λx, λy, 0) que también es un elemento del plano.
Podemos decir que este plano “es como ℜ2” pero incluido en ℜ3.

8. APLICACIONES
 La definición anterior puede modificarse ligeramente sustituyendo los números reales por
los complejos, lo que daría lugar al concepto de “espacio vectorial complejo”. También
podrían ocupar ese lugar los números racionales o algunos de otro tipo. Nosotros hemos
utilizado los espacios vectoriales reales porque tienen dos virtudes son los más usuales (al
menos, en este nivel de estudios) y la familiaridad con los números reales.
 En base a los conceptos y teniendo en cuenta lo que son espacios y subespacios vectoriales;
además de comprender sus axiomas. Hemos aplicado algunas funciones como ejemplos para
demostrar dichos conceptos planteados. Lo cual sirven para la aplicación en la Ingeniería en
Biotecnología lo cual facilita el estudio y desarrollo de la misma con la capacidad de crear e
innovar diversas tecnologías que los seres humanos aprovechemos como tipos de
programación de siembra y riego que ayuden a que los productos sean de mejor calidad. Y
considerando que el Algebra lineal es una ciencia exacta que aplicamos en la a la vida
cotidiana, misma que nos permite optimizar, mejorar y posibilitar procesos que de otra
forma serían muy complicados, tediosos o difíciles de construir.

9. DESAROLLO
Función 1. Tres polinómicas y determinar si son l.i y l.d con el teorema del Wronskiano
𝑦1 = 𝑥; 𝑦2 = 𝑥2 + 5𝑥 ; 𝑦3 = 4𝑥 − 3𝑥2
Remplazando valores en
𝑊(𝑓1,𝑓2,𝑓3)
𝑓1 𝑓2 𝑓3
𝑓′1 𝑓2 𝑓3
𝑓´´1 𝑓2 𝑓3
Se tiene
𝑊(𝑦1,𝑦2,𝑦3)
𝑥 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2
1 2𝑥 4 − 6𝑥
0 2 −6
Resolviendo con teorema de Wronskiano
𝑊(𝑦1,𝑦2,𝑦3)
𝑥 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2
1 2𝑥 4 − 6𝑥
0 2 −6
𝑥 𝑥2
1 2𝑥
0 2

10. 𝑊(𝑦1,𝑦2,𝑦3)
𝑥 𝑥2 4𝑥 − 3𝑥2
1 2𝑥 4 − 6𝑥
0 2 −6
𝑥 𝑥2
1 2𝑥
0 2
𝑊 𝑦1,𝑦2,𝑦3 = −12𝑥2 + 0 + 8𝑥 − 6𝑥2 − (0 + 8𝑥 − 12𝑥2 − 6𝑥2)
𝑊 𝑦1,𝑦2,𝑦3 = −12𝑥2 + 0 + 8𝑥 − 6𝑥2 − 8𝑥 + 12𝑥2 + 6𝑥2 = 0
Como 𝑤 𝑦1,𝑦2,𝑦3 = 0 entonces, las funciones son linealmente
dependientes .L.D

11. Función 2. Dos funciones compuestas, producto, división, trigonométricas,
exponenciales, hiperbólicas, polinómicas y determinar si son l.d o l.d con el teorema
Wronskiano.
𝑦1 = 𝑥2
+ 5𝑥 𝑦2
= 3𝑥2
− 𝑥
𝑦′1 = 2𝑥 + 5 𝑦′2=6𝑥 − 1
W (𝑦1𝑦2) = 𝑥2 + 5𝑥 3𝑥2 − 𝑥
2𝑥 + 5 6𝑥 − 1
= (𝑥2 + 5𝑥) 6𝑥 − 1 − (3𝑥2 − 𝑥)(2𝑥 + 5)
6𝑥3
− 𝑥2
+ 30𝑥2
− 5𝑥 − 6𝑥3
− 15𝑥2
+ 2𝑥2
+ 5𝑥
16𝑥2 ≠ 0
la función es linealmente independiente L.I

12. CONCLUSIONES
 Poder identificar varios de los conceptos aplicados y lograr platear
funciones aplicando conceptos básicos.
 Tener en cuenta que un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto
básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal.
 La aplicación de suma y multiplicación de vectores lo cual comprenden
tipos de axiomas que generalizan las propiedades comunes de los
números reales, así como de los vectores en espacio y subespacios
vectorial.
 Poder aplicar estos conceptos que nos facilitan la implementación de
herramientas en el área de la biotecnología y forma diversas técnicas de
programaciones

13. BIBLIOGRAFÍA
o Campos, N. (s.f.). ÁLGEBRA LINEAL. Obtenido de ÁLGEBRA LINEAL:
https://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales1.pdf
o Mat.caminos. (s.f.). Obtenido de Mat.caminos:
http://mat.caminos.upm.es/~dionisio/Algebra%20L/Cap%C3%ADtulo%201.pdf
o RON, L. (2016). Fundamento de Algebra Lineal. Santa Fe: CENGAGE-Learning.
o Strang., G. (1980). Linear algebra and its applications. New York-London:
Academic Press. Recuperado de :
o http://verso.mat.uam.es/~eugenio.hernandez/14-15-Matematicas-
Quimicas/Resumen05-Espacios%20vectoriales-aplicaciones-lineales.pdf