APLICACIONES DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA CARRERA DE TELECOMUNICACIONES

1. UNIVERSIDAD DE LAS FUREZAS
ARMADAS – ESPE
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE ESPACIOS Y
SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA
CARRERA DE TELECOMUNICACIONES
Nombres:
1. Lenin Xavier Llamuca Naranjo
2. Mauricio Cristobal Rivera Cabezas
3. Ronny AlexanderDiaz Lema
NRC:4264
Fecha: Viernes 12 de febrero 2021
Período:Noviembre 2020 _Abril 2021
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ADMINISTRATIVAS
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE

2. 2
Índice
Índice................................................................................................................2
Introducción......................................................................................................3
Objetivos...........................................................................................................3
Objetivo general .............................................................................................3
Objetivos específicos ......................................................................................3
Fundamentación teórica .....................................................................................4
Desarrollo .........................................................................................................6
Conclusiones ...................................................................................................15
Enlace a slideshare...........................................................................................15
Bibliografía

3. 3
TEMA: APLICACIONESDE ESPACIOS Y
SUBESPACIOSVECTORIALES EN LA
CARRERADE TELECOMUNICACIONES
Introducción
Por lo general, el álgebra trata sobre números, matrices, vectores, sistemas de
ecuaciones, operaciones entre los elementos de conjuntos y sus aplicaciones.
Desde una noción algo anticuada, la matemática es la ciencia de los números y
de la cantidad. Desde este punto de vista se divide en varias ramas que estudia
diversos ámbitos. Sin embargo, a lo largo de los años se ha demostrado quecada
una de estas ramas de la matemática complementa otras, ayudando así a crear
un sistema para llegar a diversas soluciones a problemas matemáticos
cotidianos, conocido como álgebra.
Podríadecirseque los números forman un conjunto de elementos que pertenecen
a una categoría bien definida, los cuales sonconocidos como números reales. Es
decir, es necesario dar a los conjuntos con una estructura definida para así crear
grupos, cuerpos e incluso espacios vectoriales. Estos espacios vectoriales
permiten agrupar a conjuntos de elementos de una naturaleza muy distinta, pero
que tienen propiedades comunes y relaciones entre sí, tomando en cuenta que
no son decisivos los elementos con los que se opera sino las relaciones entre
ellos.
Objetivos
Objetivo general
Este trabajo de investigación tiene como objetivo indagar sobrelas aplicaciones
y usos que tiene los espacios y subespacios vectoriales en la carrera de
telecomunicaciones. El conocer las propiedades de uno de los sistemas
algebraicos: el Espacio Vectorial como objeto fundamental de estudio del
algebra Lineal.
Objetivos específicos
 Investigar la influencia que tienen los espacios y subespacios vectoriales
en la carrera de Telecomunicaciones
 Entender los conceptos básicos de espacio y subespacio vectorial y las
aplicaciones que se les da en Ingeniería.

4. 4
Fundamentaciónteórica
La aplicación de los espacios y subespacios vectoriales en la carrera de
Telecomunicación es muy amplia pero aunque esta carrera se centra más en lo
que es lo informático y programación, no se debe dejar de lado el ámbito
estructural que aunque ya exista la Carrera en Ingeniería Estructural, los
ingenieros en Telecomunicaciones tenemos que tener este aspecto también en
cuenta cundo se tenga que hacer las instalaciones de antenas.
En las estructuras de las antenas se modeliza la tensión en el seno del material
de las cuales estén hechas las antenas, y para poder modelizar la tensión se lo
hace por medio de espacios vectoriales, como el tensor de deformaciones o el
tensor de tensiones y como ingenieros en Telecomunicaciones se utiliza
programas informáticos actuales, los cuales entregan una representación muy
precisa por medio de campos conformados por vectores (Morales, 2015).
También en el campo de Telecomunicaciones así como se utiliza una amplia
variedad de programas informáticos los cuales nos ayudan hacer más fácil la
reparación o la creación de circuitos y ahí es donde también se emplea los
espacios vectoriales pero para ello primero se hablara que al descomponer un
espacio vectorial en subespacios esto nos permite centrar en conjuntos más
simples de elementos, en lugar deen todo el espacio. Sepuede encontrar que los
elementos básicos del espacio vectorial son los que dan lugar por combinación
lineal a cualquier otro (Morales, 2015).
Dada la explicación de la descomposición de subespacios es ahí en donde se
aplica esta teoría a la creación y reparación de circuitos, se usa para posicionar
en el espacio las piezas porparte de un circuito. Las deformaciones de un sólido
también se describen por medio de un espacio vectorial, como combinación de
distintas “bases” de deformaciones (Morales, 2015).
Dado a que se trabaja con programas informáticos, esta misma es utiliza para el
desarrollo, análisis, estudio, de un amplio conjunto de sistemas en donde cada
una de las variables es colocada en un elemento de una matriz, la cual dicha
matriz también puede ser expresada como un conjunto de vectores estando en
un espacio vectorial, así haciendo más fácil la resolución de las variables (Pérez,
2017).
Persigue contribuir a la formación de la concepción científica del mundo
mediante la comprensión de las relaciones entre los modelos matemáticos, los
conceptos yresultados de la ciencia matemática y la realidad material existente.
Los temas que se despliegan en el Software educativo:
Elementos de geometría: Tomando como base el trabajo vectorial se obtienen
las ecuaciones y relaciones de rectas y planos, según el espacio cartesiano, entes
fundamentales en la visión geométrica del Algebra Lineal particularmente en los
espacios vectoriales. (Mendez, 2013)

5. 5
Linealidad de un sistema de vectores: Se mostrará la dependencia lineal de un
sistema de vectores de R2 o de R3 y consecuencia gráfica de este hecho, la
independencia lineal de un sistema de vectores de R2 o de R3 y consecuencia
gráfica de este hecho, el conjunto de los vectores generado por un sistema de
vectores de R2 o de R3 y su tipicidad según la cantidad de vectores en su baseo
su dimensión. (Mendez, 2013)
Subespacio vectorial. Operaciones con subespacios: Se mostrarán los
subespacios vectoriales de R3 consu tipicidad según la dimensión del mismo y
sus representaciones geométricas, la intersección de dos subespacio vectoriales
de R2 o de R3 y su sentido geométrico, suma de dos subespacios vectoriales de
R2 o de R3 y su sentido geométrico, el subespacio complemento de un
subespacio dado de R2 o de R3 y su sentido geométrico. (Mendez, 2013)
Aplicaciones lineales: Se mostrarán casos particulares de aplicación lineal
como la proyección ortogonal sobre un subespacio de R2 o de R3 y su sentido
geométrico, el caso particular de la rotación de vectores como aplicación lineal,
algunos subespacios invariantes por una aplicación lineal apoyado en su
representación geométrica, la consecuencia geométrica de la representación
diagonal de un endomorfismo diagonalización. (Mendez, 2013)
El saber que al es un espacio vectorial permite saber que reglas cumple sus
elementos y como serelaciona entre sí. Porejemplo, sabes quesisumas vectores
saldrá otro vector, otro elemento, que también cumple las mismas reglas que los
originales. O puedes descomponer una onda de “elementos” que son a su vez
ondas (Moreira, 2000).
Descomponer un espacio vectorial en subespacios permite centrarte en
conjuntos más simples de elementos, en lugar de en todo el espacio. Puedes
encontrar que elementos básicos del espacio vectorial son los que dan lugar por
combinación lineal a cualquier otro elemento. (Moreira, 2000).
Por ejemplo, las vibraciones de un edificio, pueden descomponeren “modos de
vibración”, que no dejan de ser las bases del espacio vectorial de todas la
posibles vibraciones las vibraciones se suman linealmente. Los movimientos en
el espacio n-dimensional pueden descomponerse en una serie de operaciones
básicas dilataciones, rotaciones, etc. Cada una correspondiente a un subespacio
del espacio vectorial n-dimensional. Esto se usa por ejemplo para posicionar en
el espacio las piezas por partes (Moreira, 2000).

6. 6
Desarrollo
a) Crear dos funciones
* Funciones 1. Tres polinómicas y determinar si son li o ld con el teorema del Wronskiano
𝐹 = {8𝑥 + 2,8𝑥 + 2}
|8𝑥 + 2 8𝑥 + 2
8 8
|
= (8𝑥 + 2)(8) − [(8𝑥 + 2)(8)]
= 0 = 0 𝐹 𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
𝐹 = {𝑥2
− 5𝑥, 𝑥2
+ 2𝑥 − 5, 𝑥 + 7}
𝑥2
− 5𝑥 𝑥2
+ 2𝑥 − 5 𝑥 + 7
2𝑥 − 5 2𝑥 + 2 1
2 2 0
= 0 + 2(2𝑥 − 5)(𝑥 + 7) + 2(𝑥2
+ 2𝑥 − 5) − 2(2𝑥 + 2)(𝑥 + 7) − 2(𝑥2
− 5𝑥) − 0
= 2(2𝑥2
+ 9𝑥 − 35) + 2𝑥2
+ 4𝑥 − 10 − 4𝑥2
− 32𝑥 − 28 − 2𝑥2
+ 10𝑥
= 4𝑥2
+ 18𝑥 − 70 − 18𝑥 − 10 − 4𝑥2
− 28
= −70 − 10 − 28
= −108 ≠ 0 𝐹 𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
𝐹 = {𝑥3
− 5𝑥, 𝑥2
+ 2𝑥 − 5, 𝑥 + 7, −2𝑥 + 8}

7. 7
= 𝑥3 − 5𝑥
2𝑥 + 2 1 −2
2 0 0
0 0 0
− (𝑥2 + 2𝑥 − 5)
3𝑥2 − 5 1 −2
6𝑥 0 0
6 0 0
+ 𝑥 + 7
3𝑥2 − 5 2𝑥 + 2 −2
6𝑥 2 0
6 0 0
−(−2𝑥 + 8)
3𝑥2 − 5 2𝑥 + 2 1
6𝑥 2 0
6 0 0
= 𝑥3
− 5𝑥[0]− (𝑥2
+ 2𝑥 − 5)[0] + 𝑥 + 7[24] + 2𝑥 − 8[−12]
= 0 − 0 + 24𝑥 + 168 − 24𝑥 + 96
= 264 ≠ 0 𝐹 𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
* Funciones 2. Dos funciones compuestas, producto, división, trigonométricas, exponenciales,
hiperbólicas, polinómicas y determinar si son li o ld con el teorema del Wronskiano
 Funciones compuestas
𝑺𝒊 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐
𝒚 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟓
𝒇(𝒈(𝒙)) = (𝒙 − 𝟓)𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓
𝒈(𝒇(𝒙)) = 𝒙𝟐
− 𝟓
𝑺 = {𝒇(𝒈(𝒙)), 𝒈(𝒇(𝒙))}
𝑺 = {𝒙𝟐
− 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓,𝒙𝟐
− 𝟓}
|𝒙𝟐
− 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 𝒙𝟐
− 𝟓
𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 𝟐𝒙
|
= (𝒙𝟐
− 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓)(𝟐𝒙) − (𝟐𝒙 − 𝟏𝟎)(𝒙𝟐
− 𝟓)
= −𝟏𝟎𝒙𝟐
+ 𝟔𝟎𝒙 − 𝟓𝟎
−𝟏𝟎𝒙𝟐
+ 𝟔𝟎𝒙 − 𝟓𝟎 = 𝟎 𝒙𝟏 = 𝟏 ; 𝒙𝟐 = 𝟓
𝑆𝑖 𝒙𝟏 = 𝟏 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟓 ≫ |𝑆| = 0 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

8. 8
𝑺𝒊 𝒇(𝒙) = √𝒙 𝒚 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟔
𝒇(𝒈(𝒙)) = √𝒙 + 𝟔 𝒈(𝒇(𝒙)) = √𝒙 + 𝟔
𝑺 = {𝒇(𝒈(𝒙)), 𝒈(𝒇(𝒙))}
𝑺 = {√𝒙 + 𝟔,√𝒙 + 𝟔}
|
√𝒙 + 𝟔 √𝒙 + 𝟔
𝟏
𝟐√𝒙 + 𝟔
𝟏
𝟐√𝒙
|
= √𝒙 + 𝟔(
𝟏
𝟐√𝒙
) − (√𝒙 + 𝟔) (
𝟏
𝟐√𝒙 + 𝟔
)
=
√𝒙 + 𝟔
𝟐√𝒙
−
√𝒙 + 𝟔
𝟐√𝒙 + 𝟔
=
𝟑(−√𝒙 + 𝟏)
√𝒙√𝒙 + 𝟔
Ya que √𝒙√𝒙 + 𝟔 jamás será cero.
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝟑(−√𝒙 + 𝟏) = 𝟎 𝒙 =
𝟏
𝟗
𝑠𝑖 𝑥 =
1
9
≫ |𝑆| = 0 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
 Funciones producto
𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏) 𝒈(𝒙) = (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟓)
𝑺{𝒇(𝒙),𝒈(𝒙)}
𝑺 {(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏), (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟓)}
𝑺 {𝒙𝟐
− 𝒙 − 𝟐, 𝟔𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟓}
|𝒙𝟐
− 𝒙 − 𝟐 𝟔𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟓
𝟐𝒙 − 𝟏 𝟏𝟐𝒙 + 𝟕
|
= (𝒙𝟐
− 𝒙 − 𝟐)(𝟏𝟐𝒙 + 𝟕) − (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟔𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟓)
= 𝟏𝟐𝒙𝟑
− 𝟓𝒙𝟐
− 𝟑𝟏𝒙 − 𝟏𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟑
− 𝟖𝒙𝟐
+ 𝟏𝟕𝒙 − 𝟓
= −𝟏𝟑𝒙𝟐
− 𝟏𝟒𝒙 − 𝟏𝟗
𝑆𝑖 𝒙𝟏 = −
𝟕
𝟏𝟑
−
𝟑√𝟐𝟐
𝟏𝟑
𝒊 𝒚 𝒙𝟐 = −
𝟕
𝟏𝟑
+
𝟑√𝟐𝟐
𝟏𝟑
𝒊 ≫ |𝑆| = 0 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

9. 9
𝒇(𝒙) = (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏) 𝒈(𝒙) = (𝟑𝒙)(𝒙 − 𝟏)
𝑺{𝒇(𝒙),𝒈(𝒙)}
𝑺 {(𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟏), (𝟑𝒙)(𝒙 − 𝟏)}
𝑺 {𝒙𝟐
− 𝟏,𝟑𝒙𝟐
− 𝟑𝒙}
|𝒙𝟐
− 𝟏 𝟑𝒙𝟐
− 𝟑𝒙
𝟐𝒙 𝟔𝒙 − 𝟑
|
= (𝒙𝟐
− 𝟏)(𝟔𝒙 − 𝟑) − (𝟐𝒙)(𝟑𝒙𝟐
− 𝟑𝒙)
= 𝟔𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟑 − 𝟔𝒙𝟑
+ 𝟔𝒙𝟐
= 𝟑𝒙𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟑 ≫ 𝟑(𝒙𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟏) ≫ 𝟑(𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎
𝑆𝑖 𝒙 = 𝟏 ≫ |𝑆| = 0 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
 Funciones división
𝒇(𝒙) = 𝒙 𝒈(𝒙) = 𝟓𝒙 + 𝟐
𝑺 {
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
,
𝒈(𝒙)
𝒇(𝒙)
}
𝑺 {
𝒙
𝟓𝒙 + 𝟐
,
𝟓𝒙 + 𝟐
𝒙
}
|
|
𝒙
𝟓𝒙 + 𝟐
𝟓𝒙 + 𝟐
𝒙
𝟐
(𝟓𝒙 + 𝟐)𝟐
−
𝟐
𝒙𝟐
|
|
=
𝒙
𝟓𝒙 + 𝟐
(−
𝟐
𝒙𝟐
) − (
𝟓𝒙 + 𝟐
𝒙
) (
𝟐
(𝟓𝒙 + 𝟐)𝟐
)
= −
𝟐
𝒙(𝟓𝒙 + 𝟐)
−
𝟐
𝟓(𝟓𝒙 + 𝟐)
=
−𝟒
𝒙(𝟓𝒙 + 𝟐)
Ya que 𝑥(5𝑥 + 2) jamás será cero.
= −𝟒 ≠ 𝟎 𝐹 𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

10. 10
𝒇(𝒙) = 𝒙 𝒈(𝒙) = 𝒙 − 𝟑 𝒘(𝒙) = 𝒙
𝑺 {
𝒈(𝒙)
𝒇(𝒙)
,
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
,
𝒘(𝒙)
𝒇(𝒙)
}
𝑺 {
𝒙 − 𝟑
𝒙
,
𝒙
𝒙 − 𝟑
,
𝒙
𝒙
}
𝒙 − 𝟑
𝒙
𝒙
𝒙 − 𝟑
𝒙
𝒙
𝟑
𝒙𝟐
−
𝟑
(𝒙 − 𝟑)𝟐
𝟎
−
𝟔
𝒙𝟑
𝟔
(𝒙 − 𝟑)𝟑
𝟎
|
|
𝟑
𝒙𝟐
−
𝟑
(𝒙 − 𝟑)𝟐
−
𝟔
𝒙𝟑
𝟔
(𝒙 − 𝟑)𝟑
|
|
=
𝟑
𝒙𝟐
(
𝟔
(𝒙 − 𝟑)𝟑
) − (
𝟑
(𝒙 − 𝟑)𝟐
)(
𝟔
𝒙𝟑
)
=
𝟏𝟖
𝒙𝟐(𝒙 − 𝟑)𝟑
−
𝟏𝟖
𝒙𝟑(𝒙 − 𝟑)𝟐
=
𝟏𝟖𝒙 − 𝟏𝟖(𝒙 − 𝟑)
𝒙𝟑(𝒙 − 𝟑)𝟑
=
𝟓𝟒
𝒙𝟑(𝒙 − 𝟑)𝟑
Ya que 𝒙𝟑(𝒙 − 𝟑)𝟑
jamás será cero.
= 54 ≠ 0 𝐹 𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

11. 11
 Funciones trigonométricas
𝑭 = {𝒄𝒐𝒔𝟐
𝒙 − 𝟏,𝒔𝒆𝒄𝟐
𝒙}
|
𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
−𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥
|
= (𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 1)(2𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥) − 𝑠𝑒𝑐2
𝑥(−𝑠𝑒𝑛(2𝑥))
= 2𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 2𝑠𝑒𝑐2
𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑠𝑒𝑐2
𝑥
= 𝑠𝑒𝑐2
𝑥(2𝑡𝑎𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥)
= 2𝑠𝑒𝑐2
𝑥 (4𝑠𝑒𝑛𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
)
= 2
𝑠𝑒𝑐2
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
(4𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥) Ya que 2
𝑠𝑒𝑐2
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
jamás será cero.
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (4𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥) = 0
2𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 − 1) = 0
2𝑠𝑒𝑛𝑥(√2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1)(√2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1) = 0
𝒙 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏(𝟎) ; 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏
(−
√𝟐
𝟐
) ; 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏
(
√𝟐
𝟐
)
𝑺𝒊 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏(𝟎) ; 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏
(−
√𝟐
𝟐
) ; 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔−𝟏
(
√𝟐
𝟐
) ≫ |𝑭| = 𝟎 𝑬𝒔 𝑳𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑫𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝐹 = {𝑠𝑒𝑛2
𝑥, 1 − cos(2𝑥), 𝑐𝑜𝑠2
𝑥}
𝑠𝑒𝑛2
𝑥 1 − cos(2𝑥) 𝑐𝑜𝑠2
𝑥
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) −𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2cos(2𝑥) 4cos(2𝑥) −2cos(2𝑥)
= 𝑠𝑒𝑛2𝑥|
2𝑠𝑒𝑛2𝑥 −𝑠𝑒𝑛2𝑥
4cos2𝑥 −2cos2𝑥
| − (1 − cos(2𝑥))|
𝑠𝑒𝑛2𝑥 −𝑠𝑒𝑛2𝑥
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 −2𝑐𝑜𝑠2𝑥
| + 𝑐𝑜𝑠2𝑥|
𝑠𝑒𝑛2𝑥 2𝑠𝑒𝑛2𝑥
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 4𝑐𝑜𝑠2𝑥
|
= 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 [−4𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) + 4𝑠𝑒𝑛(2𝑥)cos(2𝑥)] − (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)[−2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) + 2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥)]
+ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥[4𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥) − 4𝑠𝑒𝑛(2𝑥) cos(2𝑥)]
= 𝑠𝑒𝑛2
𝑥[0] − (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥)[0] + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥[0]
= 0 − 0 + 0
= 0 |𝐹| = 0 𝐹 𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

12. 12
 Funciones exponenciales
𝐹 = {−1,3𝑒𝑎𝑥
, 6𝑥2
𝑒𝑎𝑥
}
−1 3𝑒𝑎𝑥
6𝑥2
𝑒𝑎𝑥
0 3𝑒𝑎𝑥
𝑎 12𝑥𝑒𝑎𝑥
+ 6𝑥2
𝑒𝑎𝑥
𝑎
0 3𝑒𝑎𝑥
𝑎2
6𝑎2
𝑒𝑎𝑥
𝑥2
+ 24𝑎𝑒𝑎𝑥
𝑥 + 2𝑒𝑎𝑥
= -
3𝑒𝑎𝑥
𝑎 𝑒𝑎𝑥
(12𝑥 + 6𝑥2
𝑎)
3𝑒𝑎𝑥
𝑎2
𝑒𝑎𝑥
(6𝑎2
𝑥2
+ 24𝑎𝑥 + 2)
= -3𝑒2𝑎𝑥
𝑎
1 12𝑥 + 6𝑥2
𝑎
𝑎 6𝑎2
𝑥2
+ 24𝑎𝑥 + 2
= −3𝑒2𝑎𝑥
𝑎 [ 6𝑎2
𝑥2
+ 24𝑎𝑥 + 2 − 12𝑎𝑥 − 6𝑥2
𝑎2
]
= −3𝑒2𝑎𝑥
𝑎 [ 12𝑎𝑥 + 2] Ya que 3𝑒2𝑎𝑥
𝑎 jamás será cero.
Entonces 12𝑎𝑥 + 2 = 0 𝑥 = −
1
6𝑎
𝑠𝑖 𝑥 = −
1
6𝑎
≫ |𝐹| = 0 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐹 = {𝑒𝑥
, 32𝑥
, 2𝑥𝑒−𝑥
}
𝑒𝑥
32𝑥
2𝑥𝑒−𝑥
𝑒𝑥
2𝑙𝑛(3)9𝑥
2(𝑒−𝑥
− 𝑒−𝑥
𝑥)
𝑒𝑥
4𝑙𝑛2
(3)9𝑥
2(𝑒−𝑥
𝑥 − 2𝑒−𝑥
)
= 𝒆𝒙 |
2𝑙𝑛(3)9𝑥 2(𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥𝑥)
4𝑙𝑛2(3)9𝑥 2(𝑒−𝑥𝑥− 2𝑒−𝑥)
|− 32𝑥 |
𝑒𝑥 2(𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥𝑥)
𝑒𝑥 2(𝑒−𝑥𝑥 − 2𝑒−𝑥)
|+ 2𝑥𝑒−𝑥 |
𝑒𝑥 2𝑙𝑛(3)9𝑥
𝑒𝑥 4𝑙𝑛2(3)9𝑥
|
= 𝑒𝑥
[2𝑙𝑛(3)9𝑥
(2(𝑒−𝑥
𝑥 − 2𝑒−𝑥)) − (2(𝑒−𝑥
− 𝑒−𝑥
𝑥))4𝑙𝑛2(3)9𝑥
] − 32𝑥
[𝑒𝑥
(2(𝑒−𝑥
𝑥 − 2𝑒−𝑥)) − 𝑒𝑥
(2(𝑒−𝑥
− 𝑒−𝑥
𝑥))]
+ +2𝑥𝑒−𝑥
[𝑒𝑥(4𝑙𝑛2(3)9𝑥) − 𝑒𝑥
2𝑙𝑛(3)9𝑥
]
= 𝑒𝑥[4𝑙𝑛(3)9𝑥(𝑒−𝑥
𝑥 − 2𝑒−𝑥) − 8𝑙𝑛2(3)9𝑥(𝑒−𝑥
− 𝑒−𝑥
𝑥)] − 32𝑥
[4𝑥− 6] + 2𝑥𝑒−𝑥[𝑒𝑥4𝑙𝑛2
(3)9𝑥
− 2𝑙𝑛(3)9𝑥
𝑒𝑥]
= 16𝑙𝑛2(3)9𝑥𝑥 − (4)9𝑥 − 8𝑙𝑛2(3)9𝑥 − 8𝑙𝑛(3)9𝑥 + (2)32𝑥+1
= 2(8𝑙𝑛2(3)9𝑥𝑥 − (2)9𝑥 − 4𝑙𝑛2(3)9𝑥 − 4𝑙𝑛(3)9𝑥 + 32𝑥+1) Ya que 2 jamás será cero.
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (8𝑙𝑛2(3)9𝑥𝑥− (2)9𝑥 − 4𝑙𝑛2(3)9𝑥 − 4𝑙𝑛(3)9𝑥 + 32𝑥+1) = 0
𝑥 =
4𝑙𝑛
2
(3)+ 4𝑙𝑛(3) − 3
2(−1 + 4𝑙𝑛2(3))
𝑠𝑖 𝑥 =
4𝑙𝑛
2
(3)+ 4𝑙𝑛(3) − 3
2(−1 + 4𝑙𝑛2(3))
≫ |𝐹| = 0 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

13. 13
 Funciones hiperbólicas
𝑭{𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐
𝒙− 𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐
𝒙,𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙,𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙}
𝑐𝑜𝑠ℎ2
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2
𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
0 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
0 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
= 1 |
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥
|
= 1[𝑐𝑜𝑠ℎ2
𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ2
𝑥]
= 1[1] |𝐹| ≠ 0 𝐹 𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑭{𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙,𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙,𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙}
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥 𝑠𝑒𝑐ℎ𝑥
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑠𝑒𝑐ℎ2
𝑥 −𝑠𝑒𝑐ℎ𝑥𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥
𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 −2𝑠𝑒𝑐ℎ2
𝑥𝑡𝑎𝑛ℎ𝑥 𝑡𝑎𝑛ℎ2
𝑥𝑠𝑒𝑐ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑐ℎ3
𝑥
= 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 | 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐
𝒙 −𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙
−𝟐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐
𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒉𝟐
𝒙𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟑
𝒙
| − 𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙 |𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 −𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒉𝟐
𝒙𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟑
𝒙
|
+ 𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙 |𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐
𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 −𝟐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐
𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙
|
= 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙[𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐
𝒙(𝒕𝒂𝒏𝒉𝟐
𝒙𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙−𝒔𝒆𝒄𝒉𝟑
𝒙)− (−𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙)(−𝟐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐
𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙)]− 𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙[𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙(𝒕𝒂𝒏𝒉𝟐
𝒙𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙−𝒔𝒆𝒄𝒉𝟑
𝒙)− 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙(−𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙)]
+𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙[𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙(−𝟐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐
𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙)− 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙(𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐
𝒙)]
= 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙[−𝒔𝒆𝒄𝒉𝟑
𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝟐
𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟓
𝒙] − 𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙[𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙(𝒕𝒂𝒏𝒉𝟐
𝒙𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟑
𝒙) + 𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙]
+ 𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙[−𝟐𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐
𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝒉𝟐
𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙]
= −𝒔𝒆𝒄𝒉
𝟑
𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉
𝟐
𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝒉
𝟓
𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 − 𝒕𝒂𝒏𝒉
𝟑
𝒙𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙− 𝒔𝒆𝒄𝒉
𝟑
𝒙𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙
− 𝒕𝒂𝒏𝒉
𝟐
𝒙𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 − 𝒔𝒆𝒄𝒉
𝟑
𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙
𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒉𝒊𝒑𝒆𝒓𝒃ó𝒍𝒊𝒄𝒂𝒔
𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙 =
𝒆𝒙
− 𝒆−𝒙
𝟐
; 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙 =
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
𝟐
; 𝒕𝒂𝒏𝒉𝒙 =
𝒆𝒙
− 𝒆−𝒙
𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙
; 𝒔𝒆𝒄𝒉𝒙 =
𝟐
𝒆𝒙 + 𝒆−𝒙
= − (
𝟐
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
)
𝟑
𝒆𝒙
− 𝒆−𝒙
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙 − (
𝟐
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
)
𝟓
𝒆𝒙
− 𝒆−𝒙
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙 − (
𝒆𝒙
− 𝒆−𝒙
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
)
𝟐
𝟐
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
𝒆𝒙
− 𝒆−𝒙
𝟐
− (
𝒆𝒙
− 𝒆−𝒙
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
)
𝟐
(
𝟐
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
)
𝟑
𝒆𝒙
− 𝒆−𝒙
𝟐
− (
𝒆𝒙
− 𝒆−𝒙
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
)
𝟑
𝟐
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
𝟐
− (
𝟐
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
)
𝟑
𝒆𝒙
− 𝒆−𝒙
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
𝒆𝒙
+ 𝒆−𝒙
𝟐
𝑬𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒙 = 𝟎 𝑠𝑖 𝑥 =0 ≫ |𝐹| = 0 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

14. 14
 Funciones polinómicas
𝐹 = {𝑥2
− 8𝑥, 𝑥2
+ 𝑥 − 1, −𝑥 − 8}
𝑥2
− 8𝑥 𝑥2
+ 𝑥 − 1 −𝑥 − 8
2𝑥 − 8 2𝑥 + 1 −1
2 2 0
= 0 + 2𝑥 − 8(2)(−𝑥 − 8) + 2(−1)(𝑥2
+ 𝑥 − 1) − 2(2𝑥 + 1)(−𝑥 − 8) + 2(𝑥2
− 8𝑥) + 0
= −4𝑥2
− 16𝑥 + 128 − 2𝑥2
− 2𝑥 + 2 + 4𝑥2
+ 34𝑥 + 16 + 2𝑥2
− 16𝑥
= 128 + 2 + 16
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 146 ≠ 0 |𝐹| ≠ 0 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐹 = {𝑥3
+ 7𝑥, 𝑥2
, −𝑥2
+ 𝑥}
𝑥3
+ 7𝑥 𝑥2
−𝑥2
+ 𝑥
3𝑥2
+ 7 2𝑥 −2𝑥 + 1
6𝑥 2 −2
= 𝑥3
+ 7𝑥(2𝑥)(−2)+ (3𝑥2
+ 7)(2)(−𝑥2
+ 𝑥) + 6𝑥(𝑥2
)(−2𝑥 + 1)
− (12𝑥2
)(−𝑥2
+ 𝑥) − 2(−2𝑥 + 1)(𝑥3
+ 7𝑥) + 2(𝑥2
)(3𝑥2
+ 7)
= −4𝑥4
− 28𝑥2
− 6𝑥4
+ 6𝑥3
− 14𝑥2
+ 14𝑥 − 12𝑥4
+ 6𝑥3
+ 12𝑥4
− 12𝑥3
+ 4𝑥4
+ 28𝑥2
− 2𝑥3
− 14𝑥 + 6𝑥4
+ 14𝑥2
= −2𝑥3
𝑺𝒊 𝒙 = 𝟎 ≫ |𝐹| = 0 𝐸𝑠 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐷𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒

15. 15
Conclusiones
Gracias a la investigación realiza se pudo concluir, aunque era más que evidente
que los espacios y subespacios vectoriales están presentes y con una fuerte
influencia en la Carrera de Telecomunicaciones, los cuales nos facilita una
mayor parte para la utilización de las herramientas que utilizamos al momento
de la programación.
Ya que gracias a los espacios ysubespacios vectoriales nos muestra una variedad
de caminos para llegar a una respuesta al momento de realizar un programa,
haciendo así más fácil la resolución del problema mostrándonos varios métodos
y prácticas que se puede utilizar ya es una vida profesional como lo es el tema
de las Telecomunicaciones hoy en día.
Enlace a slideshare
Bibliografía
Morales, U. (2021, 29 enero). Aplicación de espacios vectoriales en la
ingeniería. Blogspot.
https://geronimomoraleshhcc.blogspot.com/2015/03/aplicacion-de-espacios-
vectoriales-en.html
ESPACIO VECTORIAL EN LA INGENIERÍA DE SISTEMAS. (2017, 1
febrero). Blogspot. http://tareas149.blogspot.com/2017/02/espacio-vectorial-
en-la-ingenieria-de.html
Como Se Aplican Los Espacios Vectoriales En Ingeniería
https://www.clubensayos.com/Temas-Variados/Como-Se-Aplican-Los-
Espacios-Vectoriales-En-Ingenier%C3%ADa/915414.html
MULTIMEDIA PARA EL APRENDIZAJE DEL TEMA ESPACIOS
VECTORIALES CON ALTA COMPONENTE GEOMÉTRICA
http://funes.uniandes.edu.co/4801/1/CarballosaMultimedia

16. 16