Se da a conocer un poco sobre los espacios y subespacios vectoriales, además de distintas aplicaciones de los mismos en la mecatrónica y distintos ejercicios aplicando el método Wronskiano para determinar la linealidad de un conjunto de funciones.
2. Introducción
Los espacios y sub espacios vectoriales son temas esenciales dentro del Algebra Lineal. Sin embargo, se
desconoce casi por completo la aplicación de estos dentro del ámbito profesional y pre profesional, de allí que
el interés en estos tópicos resulte relativamente nulo, pero los espacios y subespacios vectoriales son de suma
importancia dentro de la Mecatrónica. Esto se evidencia cuando se estudia temas como la vibración que
soporta una máquina para no desmantelarse, o en la creación de robots. El estudio de este tema facilita a los
estudiantes de esta carrera a comprender de una manera metódica varios conceptos y argumentos de espacios
y subespacios vectoriales, siendo este un pilar fundamental para la formación del estudiante de manera pre
profesional.
Es vital entender e indagar las asignaturas que la carrera mencionada tendrá en su malla curricular, ya que las
asignaturas como Algebra Lineal se enlazan de manera concatenada a materias de niveles superior, siendo esta
una de las asignaturas más importantes para carreras ingenieriles.
3. Objetivos
Estudiar los espacios y subespacios vectoriales, comprendiendo la aplicación en el
ámbito profesional y preprofesional de la carrera de ingeniería en Mecatrónica a través
de conceptos y definiciones bibliográficas.
Aplicar el método Wronskiano en distintos tipos de funciones, con la finalidad de
determinar la dependencia o independencia lineal de las mismas.
5. Espacio vectorial
Es un conjunto no vacío de V objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos
operaciones: la suma y el producto por un escalar.
Propiedades de la adición
1) Conmutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
2) Asociativa: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤
3) Modulativa: 𝑢 + 0 = 𝑢
4) Opuesto Aditivo: 𝑢 + −𝑢 = 0
Propiedades del producto escalar
1) Distributiva para suma de vectores: 𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣
2) Distributiva para suma de escalares: 𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢
3) Asociativa: 𝛼 𝛽𝑢 = 𝛼𝛽 𝑢
4) Modulativa: 1 ∗ 𝑢 = 𝑢
Ejemplo:
Los vectores de Rn= {(x1, x2, …, xn), con xi ∈ R}
6. Subespacio vectorial
Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V.
W es un subespacio vectorial de V si W es en si mismo un espacio vectorial con
las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas
en V.
8. El saber que algo es un espacio vectorial permite saber qué reglas cumplen sus
elementos, y cómo se relacionan entre sí. Por ejemplo, sabes que si sumas
vectores saldrá otro vector, otro elemento, que también cumple las mismas
reglas que los originales. O puedes descomponer una onda en "elementos" que
son a su vez ondas.
El descomponer un espacio vectorial en subespacios permite centrarte en
conjuntos más simples de elementos, en lugar de en todo el espacio. Puedes
encontrar qué elementos básicos del espacio vectorial son los que dan lugar por
combinación lineal a cualquier otro elemento.
9. Vibraciones Mecánicas
Las vibraciones que soporta una máquina, pueden descomponerse en "modos
de vibración", que no dejan de ser las bases del espacio vectorial de todas las
posibles vibraciones (las vibraciones se suman linealmente). Los movimientos
en el espacio n-dimensional pueden descomponerse en una serie de
operaciones básicas (dilataciones, rotaciones,), cada una correspondiente a
un subespacio del espacio n-dimensional.
10. Robots
Para posicionar en el espacio las piezas por parte de un robot. Las
deformaciones de un sólido también se describen mediante un espacio
vectorial, como combinación de distintas "bases" de deformaciones.
11. Mecánica de fluidos
La mecánica de fluidos es una asignatura perteneciente a la carrera de
Ingeniería en Mecatrónica, esta asignatura es una rama de la Física que
estudia los fluidos, aplicando los principios de la mecánica clásica; los fluidos
que son parte del estudio, en ciertas condiciones, se los puede modelizar
como un medio continuo, este medio también se lo puede realizar en estudio
de suelos y estructuras, de esta manera se pueden definir magnitudes cuyas
identidades son precisamente campos vectoriales, de esta manera el
ingeniero mecatrónico debe tener conocimientos básicos de algebra lineal y
en especial de espacios vectoriales para poder manejar este tipo de fluidos a
lo largo de su carrera
12. Mecánica Estructural
Otro ejemplo de aplicación de espacios vectoriales en la carrera de
Mecatrónica es el estudio de estructuras (Mecánica Estructural), el propósito
de este estudio es modelizar tensiones en el seno de materiales como
espacios vectoriales, los cuales se los puede clasificar como el tensor de
tensiones o el tensor de deformaciones. El tensor de Green Laplace es un
ejemplo apropiado de tensor de deformaciones y la aplicación de espacios
vectoriales, ya que permite caracterizar las deformaciones de un sólido,
basándose en ecuaciones vectoriales y sus propiedades.
14. Funciones Polinómicas
Ejercicio 1
Considere: f {𝑚3 + 2, 4𝑚2 + 4𝑚 + 1, 6𝑚3 + 6𝑚 + 2, 4}
En primer lugar, se determina a que espacio vectorial pertenecen las funciones, en este caso
en ℝ3 (polinomios de grado menor o igual a 3)
Para resolver por el método del Wronskiano, debemos derivar las funciones hasta 𝑓𝑛−1
términos, se obtiene:
𝑊 =
𝑚3
+ 2 4𝑚2
+ 4𝑚 + 1
3𝑚2 8𝑚 + 4
6𝑚3
+ 6𝑚 + 2 4
18𝑚2 + 6 0
6𝑚 8
6 0
36𝑚 0
36 0
20. Conclusiones
El algebra lineal aporta la capacidad para resolver una infinidad de
problemáticas, otorgando al ingeniero herramientas lógicas y matemáticas
necesarias, para desarrollar muchos de los retos dentro de su actividad
profesional, como es el caso del estudio de las vibraciones que soportan las
máquinas en la Mecatrónica.
Lograr la determinación de la dependencia o la independencia lineal en un
intervalo a partir de vectores en el espacio definido podría resultar un
verdadero desafío si no existiera el proceso de la determinante Wronskiana.
Su implementación es relativamente fácil. Teniendo en cuenta que su
aplicación está definida en funciones analíticas inherentes a la materia de
estudio.
21. Bibliografía
Aplicación de espacios vectoriales en la ingeniería. (2021, 12 febrero). Gerónimo.
http://geronimomoraleshhcc.blogspot.com/2015/03/aplicacion-de-espacios-
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F. P. I. Y. (2017, 8 noviembre). Espacios y subespacios vectoriales - Definición,
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https://aga.frba.utn.edu.ar/blog/2016/09/22/espacios-y-subespacios-vectoriales/
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Politécnicas.
