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1. Elaborato di Matematica e Fisica Esame di Stato 2019/2020
Alunno: Fiucci Giorgia Classe: 5F, Liceo Scientifico Corradino d’Ascanio
UNA DELLE PIU’ FAMOSE APPLICAZIONI DELLA QUANTIZZAZIONE DELLE ORBITE :
IL MODELLO ATOMICO DI BOHR COME BASE DELLA MECCANICA QUANTISTICA
IL MODELLO PLANETARIO ED I SUOI LIMITI
La moderna teoria atomica è il risultato di un susseguirsi di importanti scoperte scientifiche che permisero
di capire, tramite la progressiva evoluzione dei modelli atomici proposti, la struttura dell’atomo. All’inizio
del XX secolo i punti fermi riguardo la struttura atomica erano principalmente due :
- ogni atomo, essendo elettricamente neutro, deve possedere una carica positiva che bilanci quella negativa
dei suoi elettroni;
- poiché la massa dell’atomo e’ molto più grande di quella dell’elettrone, la carica positiva deve essere associata
alla quasi totalità della materia atomica.
Nel 1913 il fisico neozelandese Ernest Rutherford interpretò i risultati di un suo importante esperimento e
propose un nuovo modello di atomo, simile al sistema solare: un piccolo nucleo denso, in cui era presente
la maggior parte della massa e della carica positiva, attorno al quale ruotano, come i pianeti intorno al Sole,
gli elettroni, carichi negativamente e localizzati nella regione esterna al nucleo, in uno spazio 10000 volte
più grande di esso. Tuttavia questo modello atomico presentava diversi limiti. In primo luogo era impossibile
giustificare la stabilità dell’edificio atomico. In base alle leggi dell’elettrodinamica classica ogni carica che si
muove in moto accelerato irradia onde elettromagnetiche a spese della propria energia di moto. Gli elettroni,
essendo cariche elettriche in movimento, avrebbero dovuto emettere una radiazione elettromagnetica e perdere
progressivamente energia, precipitando infine sul nucleo, eventualità che nella realtà non si verifica. Inoltre lo
spettro continuo della radiazione prevista per questo processo di caduta a spirale sul nucleo è in completo
disaccordo con lo spettro discreto che osserviamo essere emesso dagli atomi.
IL MODELLO ATOMICO DI BOHR : LE ORBITE QUANTIZZATE
Dopo la scoperta di Rutherford, gran parte dei fisici di tutto il pianeta si interessarono a scoprire le
conseguenze sia sperimentali che teoriche dell’esistenza di un nucleo atomico. Fra questi ci fu anche il
danese Niels Bohr, che a distanza di pochi anni propose un modello in cui faceva ancora uso della fisica
classica, ma dove era presente anche l’idea di quantizzazione già usata da Planck e da Einstein in altri campi.
Nel 1922 Bohr ricevette il Premio Nobel per la fisica "per i suoi servizi nell'indagine sulla struttura degli
atomi e della radiazione che emana da essi". I primi studi di Bohr riguardanti un elettrone in rotazione
intorno ad una carica positiva si basano principalmente sui seguenti postulati :
-L’elettrone in un atomo ruota attorno al nucleo, per effetto della forza di Coulomb, compiendo orbite
circolari e seguendo le leggi della meccanica classica. Esso, però, può percorrere solo un numero di orbite
permesse, dette stati stazionari;
-Nel momento in cui l’elettrone percorre un orbita stazionaria, non emette radiazione elettromagnetica;
l’irraggiamento e la conseguente formazione di una riga spettrale si ottiene solo nel momento in cui
l’elettrone passa da uno stato stazionario ad energia maggiore ad uno ad energia minore.
A ogni orbita stazionaria corrisponde un livello di energia. Nel corso
del tempo l'elettrone eccitato elimina l’energia in eccesso mediante
l’emissione di un fotone e, a causa della forza di attrazione del
nucleo atomico, si sposta nuovamente su un livello energetico più
interno (salto energetico verso l'interno). Durante questa transizione,
nel caso in cui l’elettrone effettua un salto da un orbita stazionaria
a energia E3 a un orbita stazionaria a energia E2 (con E3>E2) verrà
emesso un fotone di energia:
Al contrario, l’atomo può assorbire un fotone avente energia uguale

2. alla differenza fra i due livelli energetici delle orbite e saltare da un valore energetico più alto ad uno più
basso.
Nel modello nucleare dell’atomo di idrogeno l’elettrone percorre
intorno al nucleo un orbita circolare con velocità v costante ed e’ soggetto
alla forza attrattiva di Coulomb , dove r rappresenta la distanza
dell’elettrone dal nucleo. Secondo la meccanica classica la forza di Coulomb
è pari alla forza centripeta a cui e’ soggetto l’elettone, per cui si ha:
L’energia totale dell’elettrone sulla sua orbita e’ data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia
potenziale : .
Considerato che e ,
sostituendo si ottiene :
Quando Bohr espose la sua teoria era ben conscio del fatto che fosse priva di una reale dimostrazione e proprio
per questo lui stesso la definì “provvisoria”. Ma nonostante ciò, grazie a questa teoria in cui coesistevano fisica
classica e quantizzazione, Bohr ottenne importanti risultati. I primi, in questo senso, derivarono direttamente
dalla quantizzazione del momento angolare che con qualche rielaborazione, usando i concetti del moto
circolare e dell’elettromagnetismo classico, restituirono delle formule per il calcolo del raggio dell’orbita
elettronica stazionaria e del corrispondente livello di energia. Egli impose che le uniche orbite permesse sono
quelle per cui il momento angolare totale è un multiplo intero della costante di Planck divisa per 2π:
Nella meccanica newtoniana il momento angolare L rispetto a un polo O di un punto materiale è definito
come il prodotto vettoriale tra il vettore che esprime la posizione r del punto rispetto a O e il vettore quantità
di moto p : . A questo punto si determina la seguente uguaglianza :
Ricavata la velocità v da questa equazione ( ) per poi uguagliarla alla velocità ricavata dal modello
nucleare dell’atomo di idrogeno si ottiene il raggio dell’n-esima orbita permessa che dipende dal numero
quantico n:
Ad ogni orbita corrisponde un definito valore dell’energia dell’elettrone che la percorre, anch’essa quantizzata.
Sostituendo al raggio dell’orbita n-esima il valore dell’energia precedentemente determinato si ottengono i livelli
energetici permessi per l’elettrone:
DIMOSTRAZIONE SPERIMENTALE DELLE IPOTESI DI BOHR
Il modello atomico di Bohr permise di giustificare la legge sperimentale di Ryberg: . Essa fu
formulata per generalizzare la formula di Balmer che permette di trovare empiricamente le lunghezze
d'onda delle righe spettrali dell'idrogeno. Durante la transizione dell’elettrone da un orbita di energia Ei ad
un orbita Ef l’atomo genera un fotone la cui energia e’ pari a quella ipotizzata da Planck . La
frequenza f della radiazione emessa si ricava dalla seguente relazione:

3. Indicando rispettivamente con n ed n’ i numeri quantici degli stati iniziale e finale e sostituendo le rispettive
energie si ottiene :
Ponendo si determina questo valore, il quale coincide proprio con la costante di Rydemberg
( ). In questo modo il fattore R introdotto da Balmer come coefficiente empirico può
essere espresso in funzione di costanti fondamentali.
A confermare l’ipotesi di Bohr fu il fisico Louis De Broglie. Egli affermò che, analogamente alle radiazioni
luminose alle quali vengono conferite talvolta proprietà corpuscolari, alle particelle sono associate le
proprietà fisiche tipiche delle onde. Inoltre, riprendendo l’ipotesi di Bohr, ipotizzò che non tutte le orbite
sono permesse all’elettrone-onda ma solamente quelle che contengono un numero intero di lunghezze
d’onda , cioe’ tali che sia:
Sussiste inoltre il principio di corrispondenza, ovvero il risultato di una teoria quantistica si avvicina tanto
più al risultato classico nel limite di n→∞, essendo n il numero quantico che descrive lo stato del sistema
quantistico. Questo principio venne introdotto da Bohr nel 1923.
ESEMPIO QUANTITATIVO
Nello spettro di emissione dell’atomo di idrogeno c’é una riga di frequenza . Sapendo
che l’energia dell’elettrone nello stato fondamentale é , si determini l’energia e il raggio
dell’orbita dell’elettrone nello stato iniziale. Qual è l’energia di ionizzazione dell’atomo di idrogeno?
Volendo fornire tale energia per irraggiamento elettromagnetico, qual è la lunghezza d’onda massima della
radiazione da utilizzare?
RISOLUZIONE
Secondo il modello di Bohr, l’energia dello stato fondamentale e’ l’energia dello stato quantico in cui
l’elettrone percorre intorno al nucleo l’orbita stazionaria di raggio minimo, uguale al raggio di Bohr.
L’n-esimo livello energetico dell’atomo di idrogeno è legato al livello fondamentale dalla seguente
relazione:
Durante la transizione dell’elettrone da un’orbita più esterna ad un’orbita più interna l’energia hf del fotone
emesso e’ data dalla differenza fra l’energia dello stato iniziale eccitato e l’energia dello stato finale:
L’energia dello stato finale corrisponde a quella nello stato fondamentale, per cui . Inoltre la riga di
frequenza presa in esame è denominata luce ultravioletta ( ) e appartiene alla serie di Balmer.
Sostituendo i valori si ottiene:
L’energia e il raggio dell’orbita nello stato iniziale saranno:
L’energia di ionizzazione dell’atomo di idrogeno
e’ l'energia minima richiesta per allontanare un
elettrone e portarlo dallo stato fondamentale ad
una distanza infinita in cui e’ talmente lontano dal
nucleo dell’atomo da non interagire più con esso
e in condizioni di energia nulla ( ).
Nel caso dell’idrogeno essa coincide con il suo

4. livello energetico fondamentale:
La radiazione capace di ionizzare l’atomo ha frequenza
minima , cioè lunghezza d’onda massima:
APPLICAZIONE TECNOLOGICA : IL MICROSCOPIO ELETTRONICO
Parallelamente all’ottica geometrica abbiamo assistito allo
sviluppo di una nuova branca dell’ottica denominata ottica
elettronica e che prende fondamento dalla teoria del fisico
Louis De Broglie. Il microscopio elettronico è un apparecchio
che utilizza un fascio di elettroni per permettere l’osservazione
di campioni di grandezze infinitesimali, proprio grazie alle
proprietà ondulatorie delle particelle materiali ipotizzate da
De Broglie. Il principale vantaggio di questo strumento è
associato ad un notevole potere di risoluzione rispetto al
microscopio ottico poiché sfrutta il fatto che il potere di
risoluzione è inversamente proporzionale alla lunghezza d’onda della radiazione utilizzata : mentre la luce visibile
ha una lunghezza d’onda il cui valore si aggira mediamente intorno ai 5000 A, un fascio di elettroni accelerati a
circa 100 kV può vantare una lunghezza d’onda di circa 0.05 A. Questo vuol dire che si ottiene una risoluzione
più grande, rispetto la luce, di circa 100 000 volte.
FUNZIONAMENTO E TIPOLOGIE
In un microscopio elettronico la sorgente degli elettroni è rappresentata da un filamento di tungsteno molto
sottile a forma di “V”, la cui differenza di potenziale negativa viene mantenuta tra 30 e 100 kV. Gli elettroni
poi, attraverso un foro, passano nel condensatore che regola l’intensità stessa della convergenza del fascio di
elettroni. Il fascio elettronico va poi a colpire il campione da osservare, su cui subisce la diffrazione. Le parti
del campione che provocano una maggiore deviazione della radiazione sono quelle più spesse e più dense, che
risulteranno quindi più scure nell’immagine risultante. Le tipologie di microscopio sono principalmente due:
il Microscopio Elettronico a Trasmissione (TEM Transmission Electron Microscope) e il Microscopio
elettronico a Scansione (SEM Scanning Electron Micrograph). Nel primo caso gli elettroni del fascio
attraversano una sezione dove è stato creato precedentemente il vuoto ed in seguito passano attraverso il
campione. Nel secondo caso invece, gli elettroni, quando colpiscono il campione, emettono una serie di
particelle per ogni punto colpito che in seguito vengono convertite in impulsi elettrici. La loro intensità viene
utilizzata per produrre un’immagine ingrandita del campione, visibile su un monitor. In questa tipologia di
strumento il fascio di elettroni non è fisso ma a scansione: passa, cioè, sul campione da esaminare riga dopo
riga, in una sequenza di zone rettangolari. I risultati di un microscopio elettronico sono sorprendenti soprattutto
per quel che riguarda gli studi in biologia, nel campo della medicina. In particolare ha identificato
l’agente di importanti processi virali, come la malattia di Ebola
o la sindrome respiratoria coronavirus che al momento risulta
essere un emergenza sanitaria mondiale. L'immagine riportata
e’ stata pubblicata dai Centers for Disease Control and Prevention
Usa e mostra la morfologia ultrastrutturale del coronavirus visibile
al microscopio elettronico. I chiodini rossi che circondano la
superficie esterna del virus gli conferiscono l'aspetto di una corona.

5. ANALISI DEL FEMOMENO IN AMBITO MATEMATICO
Riprendendo la formula dell’energia quantizzata, si nota come per n=1 (stato fondamentale) l'elettrone possiede
la minima energia possibile. Esaminando la sua formula, Bohr notò che, al crescere di n, la differenza fra livelli
consecutivi di energia diventa sempre più piccola; precisamente, man mano che n cresce i livelli si addensano
verso lo zero fino al limite E = 0 per n ∞, quando l’elettrone non è più legato al nucleo (l’atomo si ionizza).
DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO PER X CHE TENDE AD UN VALORE INFINITO
Si dice che il numero reale l e’ il limite della funzione y = f(x) per x che tende a +∞(-∞) se e solo se comunque
si fissi un numero reale , in corrispondenza di esso esiste un tale che per ogni risulti
In simboli :
TEOREMA DI UNICITA’ DEL LIMITE
Se una funzione ammette limite l per x che tende al punto di accumulazione , con tale
limite e’ unico.
Per le funzioni che ammettono limite l per x che tende al punto di accumulazione sussiste poi il successivo
teorema illustrato, che permette di stabilire il segno della funzione in un intorno di .
TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
Se una funzione ammette limite finito , per x che tende a allora esiste un intorno di
tale che per ogni x di tale intorno escluso al più , la funzione assume valori concordi con il limite .
Il teorema non e’ invertibile.
TEOREMA DEL CONFRONTO (anche detto TEOREMA DEI CARABINIERI)
Siano h(x), f(x), g(x) tre funzioni definite in un intorno di , escluso
al più , che soddisfano le seguenti proprietà:
1. h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)
2.
Allora esiste e risulta
SITOGRAFIA E BIBLIOGRAFIA
https://www.guidaconsumatore.com/elettronica/il-microscopio-elettronico.html
https://www.aquila.infn.it/lozzi/teaching/Appunti%20Fisica%20della%20Materia/Elementi-quantistica_2016.pdf
http://tesi.cab.unipd.it/61484/1/Vatri_Michele_tesi.pdf
CAFORIO A, FERILLI A, FISICA! Pensare l’Universo 5, Le Monnier Scuola, Mondadori Education, 2019