1. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor
diferenţiale ordinare cu condiţii iniţiale
CAPITOLUL 6
.052

2. Ecuaţii diferenţiale ordinare cu condiţii iniţiale
 se prezintă sub forma ecuaţiei diferenţiale
propriu-zise
dy/dx=f(x, y)
 şi a unei soluţii iniţiale y0 pentru locaţia x0.
y(x0) = y0

3. Ecuaţii diferenţiale ordinare cu condiţii iniţiale
 dy/dx=f(x, y);
 y(x0) = y0;
y=y(x) ?
x x0 x1 x2 ... xm
y y0 ? ? ... ?

4. Ecuaţii diferenţiale ordinare cu condiţii iniţiale
 Orice metodă numerică pentru rezolvarea problemei
Cauchy se bazează pe partiţionarea intervalului [a, b]
prin intervalul unei diviziuni
a=x0< x1< x2< ...< xm<... < xM=b.
 Metodele se împart în
– Metode directe (pas cu pas) furnizează soluţia de la un pas
xm, numai pe baza informaţiilor din nodul anterior, xm-1
– Metode indirecte (multipas) furnizează soluţia de la un pas xm,
pe baza informaţiilor de la mai mulţi paşi anteriori ... x m-2, xm-1.

5. Metoda dezvoltării în serie Taylor
 Permite, teoretic, găsirea soluţiei oricărei e.d.o.
 Totuşi, din punct de vedere practic, metoda este
ineficientă.
 Se presupune că
y( x ) = y( x 0 ) +
x − x0
y′( x 0 ) +
( x − x 0 ) 2 y′′( x ) + ...
0
1! 2!
 Soluţia pentru x = x1 va fi
′ + 0,5 h 2 y ′′ + ...
y 1 = y 0 + hy 0 0

6. Metoda dezvoltării în serie Taylor
′ + 0.5 h 2 y ′′ + ...
y1 = y 0 + hy 0 0
 unde
h = x1 - x0
 şi
( j) ( j)
y0 =y (x 0 )
 cu j = 0, 1, 2,…

7. Metoda dezvoltării în serie Taylor
 Pentru obţinerea soluţiei ecuaţiei, corespunzătoare unui set de
date x0, x1, …, xm, xm+1, … , se va considera următoarea relaţie
y m +1 = y m + hy ′ + 0.5h 2 y ′′ + ...
m m
cu
h = xm+1 - xm şi
y ( j) = y ( j) ( x m )
m
unde j = 0, 1, 2,…

8. Metoda dezvoltării în serie Taylor
 Evaluarea derivatelor y ′m , y ′m ,
′ …
– y′m = f(xm, ym)
Prin
derivare în
raport cu x
 ∂f ∂f ∂y   ∂f ∂f 
– y ′m =  +
′  =  +f 
 ∂x ∂y ∂x  x m , y m  ∂x ∂y  x , y
m m

9. Metoda Euler
 Se obţine prin reţinerea numai a primilor doi termeni
din dezvoltarea în serieTaylor
y m +1 = y m + hf ( x m , y m ), m = 0,1, 2,...

10. y
Familia de
solutii
y = y (x)
Solutia exacta
Solutia numerica
y0 y1 y2 yM
x0 x1 x2 . . . xM x
Din punct de vedere geometric, metoda Euler revine la
înlocuirea curbei y=y(x) cu o linie poligonală prin punctele
(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), ...

11. Metoda Euler
 Aplicaţie
Ecuaţia vitezei de ridicare v[m/s] a unei rachete este
dv 5000 − 0,1v 2
= −g
dt 300 − 10t
Condiţiile iniţiale sunt v=0 la t=0.
Utilizându-se intervale de timp de câte 2s, să se rezolve
ecuaţia diferenţială de mai sus cu ajutorul metodei Euler,
obţinându-se un tabel de valori (t,v) până la t=18s.

12. Metoda Euler
 We will consider the function
5000 − 0,1v 2
f ( t , v) = −g
300 − 10 t
 The relation to compute the velocity will be
v m +1 = v m + hf ( t m , v m ), m = 0,1, 2,...,8

13. Metoda Euler
Nr. iteraţie t [s] f (t, v) v [m/s]
1 2 6,856667 13,71333
2 4 7,979980 29,67329
3 6 9,082114 47,83752
4 8 10,06982 67,97716
5 10 10,81687 89,6109
6 12 11,17494 111,9608
7 14 11,00377 133,9683
8 16 10,22281 154,4139
9 18 8,873098 172,1601

14. Metoda Euler
 Precizia metodei poate fi îmbunătăţită, prin utilizarea
algoritmului predictor –corector
– Etapa de predicţie
y p +1 = y m + hf ( x m , y m ), m = 0, 1, 2,...
m
– Etapa de corecţie
h
y c +1
m = ym + [f ( x m , y m ) + f ( x m +1 , y p +1 )
m
2

15. Metoda Euler – algoritmul predictor corector

16. Metodele Runge-Kutta
 Constituie o clasă de metode numerice destinate
rezolvării edo cu condiţii iniţiale.
 Soluţia furnizată de metoda RK de ordinul p coinicide
cu dezvoltarea în serie Taylor până la termenul hp.
 Necesită evaluarea numai a funcţiei f(x, y), nu şi a
derivatelor sale. p
y m +1 = y m + ∑ w i k i
i =1

17. Metodele Runge-Kutta
 Fie ecuaţia diferenţială
y’=f(x, y)
 Conform metodelor RK, soluţia ym+1 va fi căutată sub
forma unei combinaţii liniare
p
y m +1 = y m + ∑ w i k i
i =1
p reprezintă ordinul metodei RK

18. Metodele Runge-Kutta
p
y m +1 = y m + ∑ w i k i
i =1
în care
ki = hf(ξi, ηi),
ξi = xm+αih,
i −1
η i = y m + ∑ β ij k j
j=1

19. Metodele Runge-Kutta
 Constantele αi, βij şi wi sunt alese astfel încât să apară
coincidenţa corespunzătoare cu dezvoltarea în serie
Taylor .
 Ordinul metodei Runge-Kutta, p, reprezintă puterea
termenului hp a dezvoltării în serie Taylor până la care
cele două relaţii coincid.

20. Metodele Runge-Kutta
 În toate cazurile se consideră că
α1 = 0, β11 = 0,
ξ1 = xm, η1 = ym,
 Ca urmare, parametrii ki se pot scrie
k1 = hf(xm, ym),
k2 = hf(xm + α2h, ym + β21k1),
k3 = hf(xm + α3h, ym + β31k1 + β32k2),
.........................................................

21. Metodele Runge-Kutta
de ordinul 1
 Pentru p = 1
y m +1 = y m + hf ( x m , y m )
Coincide cu
metoda Euler

22. Metodele Runge-Kutta
de ordinul 2
 Pentru p=2
ym+1 = ym +w1k1 + w2k2
cu
k1 = hf(xm, ym),
k2 = hf(xm + α2h, ym + β21k1),
 Se determină
α2 = β21 = 1; Coincide cu algoritmul
predictor-corector Euler
w1 = w 2 = 1 / 2

23. Metodele Runge-Kutta
de ordinul 3 (Metoda Kutta)
Pentru p=3
ym+1 = ym +1/6(k1 + 4k2 +k3)
cu
k1 = hf(xm, ym),
k2 = hf(xm + h/2, ym + k1/2),
k3 = hf(xm + h, ym - k1 + 2k2).

24. Metodele Runge-Kutta
de ordinul 4 (Metoda Runge-Kutta clasică )
 pentru p=4
ym+1 = ym +1/6(k1 + 2k2 + 2k3 +k4), m = 0, 1, 2,...
în care,
k1 = hf(xm, ym),
k2 = hf(xm + h/2, ym + k1/2),
k3 = hf(xm + h/2, ym + k2/2),
k4 = hf(xm + h, ym + k3).

25. Metodele Runge-Kutta
 Aplicaţie
comportarea unui dispozitiv de control este descris de
următoarea edo:
dy
=x−y
dx
Condiţiile iniţiale sunt:
x0 = 0 şi y0 = 0.

26. Metodele Runge-Kutta
Răspunsul sistemului este
−x
y = x+e −1

27. O.D.E.- COMPARISON
Solution (y)
x analitică metoda Euler met. pred.- met. Runge-
corect Euler Kutta clasică
0,4 0,070320 0,000000 0,080000 0,070400
0,8 0,249329 0,160000 0,262400 0,249436
1,2 0,501194 0,416000 0,514432 501302
1,6 0,801897 0,729600 0,813814 0,801993
2,0 1,135335 1,077760 1,145393 1,135416
2,4 1,490718 1,446656 1,498867 1,490783
2,8 1,860810 1,827994 1,867230 1,860861
3,2 2,240762 2,216796 2,245716 2,24801
3,6 2,627324 2,610078 2,631087 2,627353
4,0 3,018316 3,006047 3,021139 3,018337