Funzioni di ammettenza aerodinamica degli edifici tramite integrazione quasi Monte Carlo

Funzioni di
ammettenza
aerodinamica degli
edifici tramite
integrazione quasi
Monte Carlo
Proposta di un nuovo modello
matematico per le AAFs
Francesco Parisi
124 Maggio 2011

24 Maggio 2011Francesco Parisi 2
L'AAF è una grandezza adimensionale, funzione della frequenza che agisce
come un modulo di trasferimento che converte le velocità del vento in carichi
per la struttura → dalle fluttuazioni turbolente alle forze aerodinamiche.
Modello di Davenport
Definizione di ammettenza aerodinamica
D͠(t)
(carico
per la str)
u͠(t)
(turbolenza)
χ2(f)
(ammettenza
aerodinamica)
|H(f)|2
(ammettenza
meccanica)
x͠(t)
(risposta
della str)

𝜒 𝑆
2
𝜑 =
1
𝑈𝑟𝑒𝑓
2
𝐵2 𝐻2
𝑈 𝑧1 𝑈 𝑧2
𝐻
0
𝐶 𝑝 𝑦1, 𝑧1 𝐶 𝑝 𝑦2, 𝑧2
𝐵
0
× 𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2
𝐵
0
𝑑𝑧1 𝑑𝑧2
𝐻
0
Calcolo delle AAFs
Profilodellevelocitàmedie
𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 = 𝑒
−2𝜑
𝐶 𝑦
2× 𝑦1−𝑦2
2+𝐶 𝑧
2× 𝑧1−𝑧2
2
𝑈 𝑧1 +𝑈 𝑧2
Correlazione spaziale della turbolenza (cioè coerenza)
La turbolenza è omogenea ma anisotropa
Dimensioni della facciata su cui
incide il vento e coefficienti di
pressione
𝑈 𝑧1 =
𝑢∗
𝜅
𝑙𝑛
𝑧1
𝑧0
𝑈 𝑧2 =
𝑢∗
𝜅
𝑙𝑛
𝑧2
𝑧0
𝐶 𝑦 = 16, 𝐶𝑧 = 10
(Simiu & Scanlan 1996)

Presentazione generale del metodo Monte Carlo #1/2
Perché usare un metodo statistico?
𝑓 𝒙
0,1 𝑑
𝑑𝒙 ≈
1
𝑛 𝑑
… 𝑓 𝑥𝑖1
, … , 𝑥𝑖 𝑑
=
𝑛
𝑖 𝑑=1
𝑛
𝑖1=1
𝑆 𝑛 𝑓
𝑓 ∶ 𝐼 ⊆ 𝑅 𝑛
→ 𝑅 𝑛
Ǝ𝐾 ∈ 𝑅: 𝑓 𝒙1 − 𝑓 𝒙2 ≤ 𝐾 𝒙1 − 𝒙2 ∀ 𝒙1, 𝒙2 ∈ 𝐼
𝜖 = 𝑓 𝒙
0,1 𝑑
𝑑𝒙 − 𝑆 𝑛 𝑓 ≈
𝐾
𝑛𝑑
d K ε n
1 1 0,01 100
2 1 0,01 1002=104
4 1 0,01 1004=108
d K n ε
1 1 106 10-6
2 1 106 10-6/2=10-3
4 1 106 10-6/4≈0,032
Fissando l’errore ε=0,01
all’aumentare delle
dimensioni il numero dei
punti necessario a riempire
l’ipercubo cresce
esponenzialmente
Fissando il numero dei
punti ad n=106
all’aumentare delle
dimensioni l’errore
commesso cresce
esponenzialmente
Curse of dimensionality (Bellman, 1957). Come alternativa,
l’integrale può essere stimato tramite il valore atteso della
funzione f valutato considerando la variabile indipendente
x come una variabile aleatoria X=(X1,…,Xd):
𝑓 𝒙
0,1 𝑑
𝑑𝑥 = 𝐸 𝑓 𝑿 ≈
1
𝑛
𝑓 𝑿𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑐𝑜𝑛 𝑛 → ∞
Perché la precisione dei metodi deterministici degrada esponenzialmente all’aumentare delle
dimensioni del problema
𝑓 𝒙
0,1 𝑑
𝑑 𝒙 −
1
𝑛
𝑓 𝑿𝑖
𝑛
𝑖=1
≈
𝐶
𝑛
dove C è una variabile aleatoria gaussiana avente media
nulla e varianza pari a:

2
= 𝐸 𝑓 𝑿 − 𝐸 𝑓 𝑿
2

Presentazione generale del metodo Monte Carlo #2/2
Quali numeri casuali?
I generatori di numeri pseudo casuali devono simulare efficacemente un processo aleatorio. Per questa ragione la
bontà dei PRNGs è assicurata dal superamento di una serie di test statistici di aleatorietà.
Lo scopo delle sequenze di numeri quasi - casuali non è approssimare la reale aleatorietà. L'obbiettivo delle sequenze
quasi - aleatorie consiste nel riempire nel modo più uniforme possibile lo spazio di un ipercubo unitario.
Ecco una «buona»
distribuzione,
uniforme e con
pochi vuoti
Ecco una
distribuzione meno
buona, i punti sono
distribuiti in modo
poco omogeneo e ci
sono parecchi vuoti
Mersenne Twister
PRNG
Sobol set
QRNG

Primi test
E’ stato effettuato un confronto operativo fra i vari metodi di integrazione, i migliori risultati sono stati
ottenuti applicando il metodo Quasi Monte Carlo, cioè con il generatore di numeri quasi random
Halton set. Il test è stato effettuato per B=60 mt, H=120 mt, z0=0,05 m, U10=9,063 m/s.
𝑈 𝑧 =
𝑢∗
𝜅
𝑙𝑛
𝑧
𝑧0
𝑈 𝑧 = 𝑈 𝑧 𝑟𝑒𝑓 ×
𝑧
𝑧 𝑟𝑒𝑓
𝛼

Presentazione del modello matematico #1/9 - Il fattore di scala K
𝜒 𝜑 =
𝑝1 𝜑 + 𝑝2
𝜑2 + 𝑞1 𝜑 + 𝑞2
𝐾 =
𝑈𝑟𝑒𝑓
𝐵𝐻
, 𝐾 = 𝑇−1
→ 𝜒 𝜑 =
𝑎𝐾𝜑 + 𝑏𝐾2
𝜑2 + 𝑐𝐾𝜑 + 𝑑𝐾2
=
𝑇−2
𝑇−2
= 1
Modello matematico dell’AAF.
Variabili esogene – dati da fornire in
INPUT al modello – velocità del vento in
testa all’edificio Uref e dimensioni della
facciata rettangolare su cui incide il
vento B ed H, fattore di scala K.
Variabili endogene – dati
forniti in OUTPUT dal
modello – fattori di
forma: a, b, c e d, valori
di χ(φ).
𝜒 𝜑 =
𝜑2+ 𝑐𝐾𝜑 +𝑑𝐾2 =
𝐾2 𝑎𝜑
𝐾
+ 𝑏
𝐾2(
𝜑2
𝐾2+
𝑐𝜑
𝐾
+𝑑)
=
𝑎Φ + 𝑏
Φ2+𝑐Φ +𝑑
Φ =
𝜑
𝐾
=
𝜑 × 𝐵𝐻
𝑈𝑟𝑒𝑓
⇒
Φ =
[𝐿]
𝑇
×
𝑇
𝐿
= 1

Presentazione del modello matematico #2/9 – fattori di forma
Questo approccio aveva senza dubbio un certo fascino, si sono infatti proiettati i piani a=f(z0,√(BH)) sul piano √(BH) – a ottenendo, delle
proiezioni che somigliano a delle rette, si è allora seguita la seguente logica:
“se i piani a=f(z0,√(BH)) formano effettivamente un fascio proprio nello spazio a- z0 - √(BH), le loro proiezioni su z0 – a sono delle rette tutte
convergenti in un punto e formano un fascio di rette”.
𝛽 =
1
12
1
6
1
5
1
4
1
3
2
5
4
5
1
2
2
3
1
14
10
17
10
2 → 𝑁𝛽 = 13;
per le altezze H delle facciate si è imposta
una discretizzazione a 5 mt: 𝑁 𝐻 =
200 − 10
5
+ 1 = 39
Per la velocità del vento, si sono usati NU10=3 valori: 𝑈10 = [10 20 30]; le altezze di rugosità z0 sono Nz0=5:
𝑧0 = [0,01 0,05 0,3 0,7 1].
𝑇𝑜𝑡 𝐴𝐴𝐹 = 𝑁𝛽 × 𝑁 𝐻 × 𝑁 𝑈10
× 𝑁𝑧0
= 13 × 39 × 3 × 5 = 7605
considerando però: B ≥ 5mt ∧ H ≥ zmin,: 𝑇𝑜𝑡 𝐴𝐴𝐹 = 7159 ≡ 119,37ℎ𝑟 ⇒
119,317
13
≈ 9,18ℎ𝑟!
𝑎 = 𝑓 𝑧0, 𝐵𝐻 ; 𝑏 = 𝑓 𝑧0, 𝐵𝐻 ; 𝑐 = 𝑓 𝑧0, 𝐵𝐻 ; 𝑑 = 𝑓 𝑧0, 𝐵𝐻
Tali funzioni sono state ricavate interpolando punti di coordinate (fatt. forma ,z0, √(BH)), a tal fine è stata effettuata una ricerca
sistematica ove:

Presentazione del modello matematico #3/9
Data la situazione si è deciso di concentrare l’attenzione sui coefficienti p,
q, s e t dell’equazione del piano:
𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 + 𝑠𝑧 + 𝑡 = 0
che nella fattispecie assume la seguente forma:
𝑎(𝑧0, 𝐵𝐻) = 𝑝 × 𝑧0 + 𝑞 × 𝐵𝐻 + 𝑡
𝑏(𝑧0, 𝐵𝐻) = 𝑝 × 𝑧0 + 𝑞 × 𝐵𝐻 + 𝑡
𝑐(𝑧0, 𝐵𝐻) = 𝑝 × 𝑧0 + 𝑞 × 𝐵𝐻 + 𝑡
𝑑(𝑧0, 𝐵𝐻) = 𝑝 × 𝑧0 + 𝑞 × 𝐵𝐻 + 𝑡
a questo punto è legittimo chiedersi: ”esiste una relazione che lega i
coefficienti del piano a(z0,√(BH)) a β?” la risposta a questa domanda è si.

Presentazione del modello matematico #4/9 - implementazione
Per rendere più chiari i passaggi si riporta di seguito un
Flowchart che è peraltro la versione completa del precedente
Flowchart riportato alla #1/9.
Validazione del modello e stress test
Ogni modello matematico dopo essere stato definito e valutato
deve essere sottoposto a verifica ed a validazione. La
validazione, in generale, deve essere condotta confrontando le
previsioni del modello con una serie di risultati sperimentali,
se tali risultati sono in accordo con le previsioni il modello va
bene, altrimenti deve essere modificato.
Nella fattispecie, non avendo a disposizione una galleria del
vento, si è pensato di confrontare le previsioni del modello
matematico dell’AAF del BSM, con la relazione empirica
proposta in (Vickery, 1966). Tale relazione è infatti basata sul
fitting di dati sperimentali, il modello matematico qui proposto si
basa sul fitting di migliaia di curve AAF ottenute tramite
integrazioni QMC-HS.
Quindi se i due modelli, basati su presupposti molto diversi,
forniscono previsioni molto simili gli obbiettivi di questa tesi possono
considerarsi raggiunti.

Presentazione del modello matematico #5/9 - AAF del taglio alla base (Vickery, 1966)
𝜒 𝜑 =
1
1 +
2𝜑 𝐴
𝑈𝑟𝑒𝑓
4
3
Esiste in letteratura una relazione empirica basata su risultati sperimentali ottenuti da Vickery e Davenport
su oggetti aventi le seguenti caratteristiche:
• 7 piastre quadrate o rettangolari ove β=B/H=*1/4 1/3 1/2 2/3 1];
• 2 prismi a base quadrata 8’’×8’’×2’’ (β=1/4) e 8’’×8’’×4’’ (β=1/2);
• 1 disco circolare avente diametro D=12’’.
Come si può notare le geometrie utilizzate non sono particolarmente snelle, sono inoltre presenti le curve teoriche ottenute da
Davenport per piastre con β=1 e β=1/4, la maggior parte dei punti si riferisce comunque a geometrie ove β=1. Altre
espressioni.

Presentazione del modello matematico #6/9 – le previsioni corrispondenti
β=1, B=H=120 mt, U10=20 m/s, z0=0,7mt, u*=2,81 m/s, Ur=36,21 m/s;
β=0,9, B=135 mt, H=150 mt, U10=16 m/s, z0=0,3 mt, u*=1,82 m/s, Ur=28,36 m/s; β=2/5=0,4, B=40 mt, H=100 mt, U10=18 m/s, z0=0,7 mt, u*=2,53 m/s, Ur=31,43 m/s;
Per valori di β=1 e β=1/2 (e per valori prossimi ad 1 e ad ½) le differenze fra i modelli
sono esigue, le differenze maggiori sono comunque dell’ordine di 10-2 ÷10-3.
β=1/2, B=60 mt, H=120 mt, U10=18 m/s, z0=0,05 mt, u*=1,36 s/s, Ur=26,44 m/s:

Presentazione del modello matematico #7/9 – gli andamenti differenti
β=1/4, B=25 mt, H=100 mt, U10=25 m/s, z0=0.3 mt, u*=2,85 m/s,
Ur=41,42 m/s;
β=1/3, B=30 mt, H=90 mt, U10=25 m/s, z0=0,7 mt, u*=3,52 m/s,
Ur=42,73 m/s;
β=1/6, B=20 mt, H=120 mt, U10=28 m/s, z0=0,7 mt, u*=3,94 m/s,
Ur=50,7 m/s;
β=1, B=H=200 mt, U10=30 m/s, z0=1mt, u*=4,33 m/s, Ur=57,33 m/s;

Presentazione del modello matematico #8/9 – le altre AAFs
Per ciò che concerne le AAFs del momento ribaltante alla base, del momento torcente alla base e delle forze modali si era pensato di
elaborare dei modelli matematici in modo analogo a quanto fatto per l’AAF del taglio alla base, non disponendo però di dati o modelli
sperimentali con cui poter effettuare una validazione/comparazione si è preferito non approfondire la questione. Quel che ad oggi
comunque si può dire è che per quanto riguarda l’AAF del momento ribaltante alla base e delle forze modali un modello basato su
un’interpolante di questo tipo:
𝜒 𝜑 =
sarebbe adatto a descrivere gli andamenti delle corrispondenti curve ricavate col QMC-HS, mentre per l’AAF del momento torcente alla
base sarebbe necessario usare un’interpolante di complessità appena superiore:
𝜒 𝜑 =
𝑎𝜑2
+ 𝑏𝐾𝜑 + 𝑐𝐾2
𝜑2 + 𝑑𝐾𝜑 + 𝑒𝐾2
B=30 mt, H=120 mt, U10=11,75 m/s, z0=0,3 mt, u*=1,34 m/s, Ur=20,07 m/s

Presentazione del modello matematico #9/9 – Conclusioni
Conclusioni e possibili miglioramenti del BSM
La proprietà dei piani che esprimono i fattori di forma a disporsi su un
fascio deve essere meglio indagata.
E cioè piani relativi a valori di β prossimi fra loro formano effettivamente un
fascio di piani?
7159 AAFs sono numero veramente elevato di curve, ciononostante per
rispondere a questa domanda, questo numero dovrebbe essere
incrementato. Al fine di aumentare in modo significativo il numero
delle osservazioni:
• incrementare il numero dei parametri β da impiegare nella ricerca
sistematica specialmente per valori superiori all’unità;
• infittire la discretizzazione delle altezze H passando da 5 mt ad 1mt;
• prestare particolare attenzione a quei valori di β (1/12, 2/3 e 4/5) ove è
stato necessario usare equazioni non lineari per esprimere i fattori
forma.
Per fare tutto ciò in tempi ragionevoli ritengo che si dovrebbe ricorrere
al calcolo parallelo.

Applicazione del modello ad un caso di progettazione – Volete che ve ne parli?

Progettazione di un edificio in acciaio con controventi eccentrici (EBF) #1/9
I modi di vibrazione degli edifici alti hanno frequenze tali che essi temono molto di più l’eccitazione dinamica dovuta al vento che quella dovuta
al sisma, per esempio un edificio molto rigido con un modo di vibrazione avente un periodo pari a T=0,5 s (φ=2Hz) sarà solo leggermente
influenzato dal carico da vento, ma l’effetto di un terremoto su un edificio di questo genere può essere molto significativo. D’altra parte, un
edificio alto e flessibile, con un modo di vibrazione avente un periodo pari a T=5 s (φ=0,2Hz), non dovrebbe avere particolari problemi nel
sostenere l’azione trasmessa dai terremoti di moderata intensità, gli effetti più significativi sono legati, in questo caso, all’azione da vento.
I pesi propri sono il carico più importante per un
edificio. Tuttavia, se si considera un edificio alto,
esso deve avere un’adeguata resistenza e
rigidezza per resistere ai carichi verticali dovuti
all’azione del vento ed ai terremoti moderati. Più
l’altezza di un edificio è elevata maggiore sarà la
richiesta di rigidezza (e non di resistenza delle
singole membrature) per controllare la
deflessione.
Edifici con più di 10 piani, progettati per resistere
ai carichi dovuti alla gravità, possono resistere ai
carichi laterali senza alcun incremento di
dimensione delle membrature. Oltre i 10 piani, la
quantità di materiale addizionale richiesta per
resistere ai carichi laterali cresce non linearmente.
Telai controventati eccentricamente (EBF)
In un telaio controventato eccentricamente, l’asse del controvento è
eccentrico rispetto al collegamento tra le colonne. Il segmento corto di
trave tra i collegamenti trave-controvento o tra i collegamenti trave-
colonna è chiamato active link. La forza assiale nel controvento è
trasmessa alla colonna attraverso il taglio e la flessione nel link.
Durante terremoti di intensità severa questo link si snerva a taglio per
dissipare energia e prevenire l’instabilità del controvento. Per cui per i
sistemi EBF, ogni controvento è connesso all’altro almeno tramite un
link che serve a prevenire grandi spostamenti e l’instabilità del
controvento. Un ulteriore vantaggio rispetto agli altri sistemi
controventati consiste inoltre nel fatto che gli EBF possono accogliere
finestre e porte con minori interferenze.

La struttura oggetto del presente studio, è un edificio a di 30 piani destinato ad uffici, localizzato presso il Comune di Nola (NA) alle
coordinate φ = 40° 56' 39.985'' e λ = 14°29' 04.665'' secondo il sistema di coordinate geografico WGS 84 e ad un'altezza s.l.m. pari ad h = 28 mt.
La pianta dell'edificio è costituita da due elementi rettangolari B1 = 40 mt, D1 = 30 mt, B2 = 20 mt , D2=10 mt, l'altezza complessiva dell'edificio
è pari ad H = 120 mt. L'altezza del piano tipo è pari a 4 mt, la copertura è piana ed è praticabile.

Modi di vibrazione della struttura
Con grande soddisfazione di chi scrive, la modellazione della struttura effettuata con il software FEM Straus7 è stata così realistica da
riuscire a rispecchiare i primi due modi di vibrazione proposti dalla norma con un'approssimazione di qualche centesimo o addirittura
millesimo di Hz, e gli ultimi due modi con un'approssimazione di qualche decimo di Hz. Il modello FEM è stato inoltre in grado di cogliere
il modo di vibrazione torsionale φm proposto dalla norme con un approssimazione di qualche millesimo. Infatti il CNR DT 207/2008,
propongono alcune formule per calcolare le frequenze di oscillazione degli edifici in acciaio, ad esempio la frequenza naturale del primo
modo flessionale diminuisce all'aumentare dell'altezza H dell'edificio e può essere approssimata con la seguente relazione valida per edifici
in acciaio.
𝜑1 =
1
0,024𝐻
; 𝜑2 = 3,05 × 𝜑1; 𝜑3 = 5,46 × 𝜑1; 𝜑4 = 7,69 × 𝜑1; 𝜑 𝑚 = 1,35 × 𝜑1
Mode Frequency Modal Mass PF-X PF-Z PF-Y
(Hz) (Engineering) (%) (%) (%)
→ 1 0,334945768 1768000 0,209 0 57,539
→ 2 0,366655851 1635000 57,82 0 0,219
→ 3 0,524900237 610200 0,484 0 0,018
→ 4 1,09266198 2220000 0,001 0 25,275
→ 5 1,17792935 2332000 24,777 0 0
6 1,64596065 814800 0,156 0 0,058
→ 7 2,17222123 2281000 0,006 0 8,465
→ 8 2,33190941 2580000 8,27 0 0,009
9 3,24671058 799300 0,034 0 0,003
→ 10 3,3857816 1866000 0,008 0 3,204
→ 11 3,6393636 2659000 3,096 0 0,006
12 4,59724372 3082000 0,003 0 1,676
13 4,96324219 3242000 1,615 0 0,011
14 5,04630595 953800 0,087 0 0,047
15 5,71854778 3181000 0,003 0,001 0,986
TOTAL MASS PARTICIPATION FACTORS 96,57 0,001 97,52
Modo Frequenza
1 0,347222
2 1,05903
3 1,89583
4 2,67014
m (tors) 0,46875

Previsione delle velocità del vento di progetto
Stabilire delle velocità del vento appropriate, sia per quanto riguarda l'intensità che la direzione, è il primo, fondamentale, passo per determinare i
carichi da vento di progetto per la struttura ed è, probabilmente la parte più aleatoria ed incerta dell'intero processo di progetto.
A tale scopo sono necessarie analisi statistiche sulle serie storiche delle registrazioni delle velocità del vento, in altre parole è necessario che in
prossimità del luogo in cui si intende edificare siano presenti delle stazioni anemometriche che abbiano registrato le velocità del vento per un certo
numero di anni.

Le velocità di progetto nelle quattro direzioni principali (N, S, E ed O) sono state stimate tramite un’analisi statistica con il metodo di Gumbel, con il
metodo POT (Peaks over a threshold) e con l’approccio spettrale alle velocità massime ove le velocità medie si considerano distribuite con una
funzione densità di probabilità di Weibull (c è il fattore di scala e k è il fattore di forma).
y = 0,1955x - 3,9064
R² = 0,8305
y = 0,2566x - 5,2122
R² = 0,8222
0
20
40
60
80
100
120
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
15 20 25 30
T[anni]
-ln{ln[1/f.c.(Q)]}
V [m/s]
Valori degli estremi di velocità geostrofica per il
primo settore nominale
Gumbel con
Weibull
Gumbel con
Gringorten
V - T
y = -0,206x + 2,9721
R² = 0,9334
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 2 4 6 8 10
Serie1
Lineare (Serie1)
𝑃𝑉 𝑈 =
𝑘
𝑐 𝑘
× 𝑈 𝑘−1
× 𝑒
−
𝑈
𝑐
𝑘

Il confronto fra i tre metodi ha mostrato che le previsioni sono poco discoste fra loro, per andare a vantaggio di sicurezza si sono utilizzati macro-
settori nominali (caratterizzati in termini di rugosità z0) da 90°.
Secondo l'approccio Gumbel si hanno i seguenti valori
macro settori da 90° U(10mt;0,05mt) TR=50 anni
0° 90° 180° 270°
Acerra 13,59294 8,796472 7,707263 11,97228
Marigliano 7,116125 5,60413 5,93665 6,472445
Santa Maria a Vico 8,70273 6,58775 5,863825 7,676702
Media 10,19757 7,160139 6,685568 9,062685

I carichi aerodinamici e la risposta della struttura
Una volta determinati i modi di vibrazione della struttura e le velocità del vento di progetto nelle quattro direzioni fondamentali, sia per
quanto riguarda le componenti medie che le componenti turbolente, è stato possibile applicare tutte le procedure per determinare gli spettri
di carico aerodinamico ed i carichi aerodinamici di picco.

Coefficienti di pressione e distribuzione delle pressioni in altezza
Dopo aver effettuato una mappatura delle pressioni in pianta si è proceduto con la mappatura delle pressioni in elevazione, tal proposito si
sono applicate le prescrizioni presenti nel (Eurocodice 1 parte 4, 2005) al § 7.2.2 ottenendo le mappe di pressione di seguito riportate:

Diapositive di scorta, ovvero un’appendice di diapositive utile per rispondere alle domande
del contro-relatore

𝜒 𝑆
2
𝜑 =
1
𝑈𝑟𝑒𝑓
2
𝐵2 𝐻2
𝐻
0
𝐶 𝑝 𝑦1, 𝑧1 𝐶 𝑝 𝑦2, 𝑧2
𝐵
0
× 𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2
𝐵
0
𝑑𝑧1 𝑑𝑧2
𝐻
0
Espressioni delle AAFs
𝜒 𝑀
2
𝜑 =
1
𝑈𝑟𝑒𝑓
2
𝐵2 𝐻4
𝑧1 𝑈 𝑧1 𝑧2 𝑈 𝑧2
𝐻
0
𝐶 𝑝 𝑦1, 𝑧1 𝐶 𝑝 𝑦2, 𝑧2
𝐵
0
× 𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2
𝐵
0
𝑑𝑧1 𝑑𝑧2
𝐻
0
𝜒 𝑇
2
𝜑 =
1
𝑈𝑟𝑒𝑓
2
𝐵4 𝐻2
𝐻
0
𝑦1 𝑦2 𝐶 𝑝 𝑦1, 𝑧1 𝐶 𝑝 𝑦2, 𝑧2
𝐵/2
−𝐵/2
× 𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2
𝐵/2
−𝐵/2
𝑑𝑧1 𝑑𝑧2
𝐻
0
𝜒 𝜇
2
𝜑 =
1
𝑈𝑟𝑒𝑓
2
𝐵2 𝐻2
𝐻
0
𝜇(𝑦1, 𝑧1) 𝜇(𝑦2, 𝑧2)𝐶 𝑝 𝑦1, 𝑧1 𝐶 𝑝 𝑦2, 𝑧2
𝐵
0
× 𝛾 𝑦1, 𝑦2, 𝑧1, 𝑧2, 𝜑 𝑑𝑦1 𝑑𝑦2
𝐵
0
𝑑𝑧1 𝑑𝑧2
𝐻
0
AAF del taglio alla base:
AAF del momento ribaltante alla base:
AAF del momento torcente alla base:
AAF delle forze modali:

Il profilo delle velocità medie
In letteratura esistono tre espressioni matematiche del profilo delle velocità medie:
𝑈 𝑧 =
𝑢∗
𝜅
𝑙𝑛
𝑧
𝑧0
𝑈 𝑧 =
𝑢∗
𝜅
𝑙𝑛
𝑧
𝑧0
+ 5,75
𝑧
𝑧 𝑔
− 1,88
𝑧
𝑧 𝑔
2
− 1,33
𝑧
𝑧 𝑔
3
+ 0,25
𝑧
𝑧 𝑔
4
𝑈 𝑧 = 𝑈 𝑧 𝑟𝑒𝑓 ×
𝑧
𝑧 𝑟𝑒𝑓
𝛼
Profilo logaritmico, adottato in Europa, valido fino a 200 mt di quota dal piano di campagna:
Profilo logaritmico corretto, adottato nel Regno Unito, in Australia ed in Nuova Zelanda, valido fino a quota geostrofica:
Profilo di potenza, adottato negli Stati uniti, in Canada ed in Giappone, espressione puramente empirica proposta da
Hellman nel 1916, esso è un buon modello per quote z∈[30, 300], alle basse quote è poco accurato (Cook, 1997):
𝑧 𝑔 = 𝑐
𝑢∗
𝑓
zg è la quota geostrofica, u* è la velocità di attrito, c=1/6 ed f=2Ωsen(φ) è il coefficiente di Coriolis

In particolare il profilo logaritmico è stato adottato dall’Eurocodice con la seguente formulazione:
𝑈 𝑧 = 𝑈𝑟𝑒𝑓 𝑘 𝑇 𝑙𝑛
𝑧
𝑧0
𝑠𝑒 zmin ≤ 𝑧 ≤ 200 𝑚
𝑈 𝑧 = 𝑈 zmin 𝑠𝑒 𝑧 < zmin
Categoria del terreno kT z0 [m] zmin [m] α
I Fascia costiera 0,17 0,01 2 0,12
II
Aperta campagna con rari ostacoli
isolati
0,19 0,05 4 0,16
III Zona suburbana 0,22 0,3 8 0,22
IV Area urbana 0,24 1 16 0,3

24 Maggio 2011
Francesco Parisi
30
È opportuno precisare che la lunghezza di rugosità z0 non è "la rugosità" del terreno in senso stretto, essa è piuttosto la
dimensione media dei vortici che si formano a causa dell'attrito fra l'aria e la superficie del terreno, si tratta quindi di un
parametro fluido-dinamico e non geometrico.
𝑧0 =
0,5ℎ𝐴 𝑟
𝐴 𝑡
Dove h è l’altezza dell’elemento di rugosità, Ar è l’area
dell’elemento normale alla direzione del vento, ed At è
l’area di terreno per elemento di rugosità.

La superficie terrestre esercita sull’aria in movimento prossima ad essa una forza d’attrito che ne
ritarda il flusso. In particolare, la velocità delle particelle fluide al suolo è praticamente nulla, mentre
lontano dalla superficie terrestre la velocità delle masse d’aria tende a quella della corrente
indisturbata. La regione dell’atmosfera in cui il vento risente di questi fenomeni prende il nome di
strato limite atmosferico, lo spessore di tale regione si estende per un’altezza che varia da poche centinaia metri a
qualche chilometro, in base all’intensità del vento, alla rugosità del terreno, e all’angolo di latitudine.
L’altezza di gradiente, detta anche quota geostrofica zg si definisce come la distanza fra il suolo ed il
punto dove la velocità del vento raggiunge il 99% di quella del flusso indisturbata. La quota geostrofica
assume valori pari ad alcune centinaia di metri.
Differenza fra spessore dell’ABL e quota geostrofica

Il vento, in quanto turbolento, può essere inteso come un processo stocastico in cui ciascun vortice contribuisce a caratterizzarne l’energia (densità
spettrale), in base alle proprie dimensioni e al proprio periodo (o alla propria frequenza). Generalmente, nei vortici più grandi prevalgono le forze
fluide inerziali, mentre quelli più piccoli sono caratterizzati dalle forze fluide viscose. Quest’ultimi tendono a dissipare maggiore energia, che
viene di volta in volta rifornita dai vortici più grandi. In definitiva, nel vento turbolento vi è un continuo trasferimento di energia dai vortici più
grandi a quelli più piccoli. La valutazione della risposta strutturale diviene così molto complessa, tuttavia alcune evidenze sperimentali
permettono di semplificare in parte il problema. Un grafico che riassume i vari fenomeni coinvolti nella circolazione atmosferica è dato dallo
spettro di Van der Hoven:
Nella zona caratterizzata dalle basse frequenze, si hanno i fenomeni macro meteorologici. Tale regione dello spettro presenta due picchi, uno
corrispondente alla periodicità del vento giornaliera (brezze di periodo pari a 12 ore), l´altro relativo al normale periodo di sviluppo di una
burrasca o tempesta, ossia circa 4 giorni (100 ore). Alle alte frequenze è possibile osservare un ulteriore picco intorno a fenomeni della durata di 1-
2 minuti e da attribuire alla turbolenza atmosferica. Quest’ultima non influenza la circolazione atmosferica ma invece è importante nelle pratiche
progettuali. Lo spettro è una misura della varianza statistica del vento longitudinale inteso come un processo stocastico.
Nella zona centrale del grafico di varianza risulta minima e pressoché costante in un periodo di tempo compreso tra 10 minuti ed un’ora. Tale
periodo di tempo prende il nome di gap spettrale e fornisce un’utile informazione per la valutazione della velocità di riferimento di un determinato
sito. Poiché la velocità media è stazionaria all’interno del gap spettrale, è possibile considerare la componente fluttuante longitudinale del vento
come somma del valor medio ottenuto su un periodo di 10-60 minuti e della componente fluttuante di origine turbolenta. Quindi il gap spettrale
garantisce la stazionarietà del valor medio della velocità eolica su un periodo di tempo compreso tra dieci minuti ed un’ora. È dunque possibile
trattare separatamente la componente fluttuante turbolenta del vento e quella media che induce una risposta strutturale di tipo statico.
Componente media e turbolenta della velocità del vento

Componente media e turbolenta della velocità del vento
Riassumendo, il vento atmosferico può essere inteso come un processo
Gaussiano (bastano i primi due momenti a caratterizzarlo
completamente) stazionario, ergodico (media e varianza sono
stazionari rispetto al tempo) a media nulla.
𝑈 𝑧, 𝑡
= 𝑈 𝑧 𝒊 + 𝑢(𝑧, 𝑡)𝒊 + 𝑣 𝑧, 𝑡 𝒋 + 𝑤 𝑧, 𝑡 𝒌
Tralasciando la componente media, una completa descrizione fisica del
fenomeno è data dalla caratterizzazione dell’intensità di turbolenza,
delle scale integrali della componente fluttuante della velocità del
vento, dalla densità spettrale di potenza e dalla coerenza che ne
identifica la correlazione spaziale. I vortici generati dall’azione del vento
che soffia sopra gli ostacoli causa la turbolenza. In generale, la velocità
del vento può essere rappresentata in forma vettoriale come:
𝑝 𝑥 =
1
𝜍 2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
𝐼 𝑢 𝑧 =
𝜍 𝑢
𝑈 𝑧
𝐿 𝑢
𝑥
= 𝐶𝑧 𝑚
𝐿 𝑢
𝑦
≈ 0,3𝐿 𝑢 𝑥 𝐿 𝑢
𝑧
≈ 0,2𝐿 𝑢
𝑥
∨ 𝐿 𝑢 𝑧 = 6 𝑧

Spettri di turbolenza della velocità del vento
La turbolenza può essere intesa come la sovrapposizione di vortici
caratterizzati da un periodo e da una frequenza angolare ω = 2πφ.
L’energia totale del processo è quindi la somma dei vari contribuiti
energetici associati ad ogni singolo vortice. Dall’equazione di moto del
flusso turbolento si evince che i termini inerziali sono associati ad un
trasferimento di energia dai vortici più grandi a quelli più piccoli,
mentre i termini viscosi si riferiscono ad una dissipazione di energia che
interessa principalmente i vortici più piccoli. A causa dei questa
dissipazione, la turbolenza tenderebbe ad estinguersi, tuttavia la
corrente viene rifornita di energia dai vortici maggiori. Il flusso
turbolento è dunque garantito da un equilibrio energetico tra l’energia
introdotta nella corrente dai vortici più grandi, e l’energia dissipata da
quelli più piccoli.
Prima ipotesi di Kolmogorov
Il moto dei vortici minori è governato dalla quantità di energia fornita (e
quindi dissipata per l’equilibrio), e dalla viscosità. Da tale ipotesi, deriva
che i piccoli vortici sono indipendenti dalle condizioni al contorno, a tal
punto che questi non hanno una direzione preferenziale, ossia loro
flusso è un flusso isotropo.
Seconda ipotesi di Kolmogorov
I vortici maggiormente responsabili della dissipazione energetica sono i
vortici molto piccoli aventi cioè delle lunghezze d’onda molto piccole.
Conseguenza di quest’ipotesi è che i vortici più grandi aventi,
lunghezze d’onda maggiori, si muovono indipendentemente dalla
viscosità, e pertanto il loro moto è determinato soltanto dalla quantità di
energia fornita che per l’equilibrio sarà uguale a quella dissipata. La
seconda ipotesi di Kolmogorov è valida nel cosiddetto sotto-intervallo
inerziale e fornisce l’espressione generale della componente
longitudinale della velocità del vento:
𝑆 𝑢 𝐾 = 𝐸 𝐾 = 𝑐 × 𝜀
2
3 × 𝐾−
5
3
Si trovato sperimentalmente che c≈1/2, ε è la quantità di energia
trasferita (o dissipata) e K=2×π/λ è il numero d'onda con λ lunghezza
d'onda, E(K) è l'energia associata ai vortici. L’intertial sub-range è un
intervallo intermedio di lunghezze d’onda (o scale di turbolenza) più
piccolo dell’intervallo contenente i vortici maggiori (che forniscono energia)
ma più grande di quello contenete i vortici minori viscosi (che dissipano
energia).
In questo sotto-intervallo il bilancio energetico è in equilibrio. Per
questa ragione la pendenza del dello spettro di turbolenza rimane
costante. Kolmogorov ha dimostrato che tale pendenza è pari a
−5/3.Le dimensioni fisiche dello spettro (che è l'ordinata) possono
essere desunte da un'analisi dimensionale, le dimensioni del
numero d'onda sono [L-1], la varianza del processo è l'area sottesa
alla curva ed è una velocità al quadrato: Area =[L2 × T-2]= [S × L-1]
→ [S]= [L3 × T -2]e quindi per la seconda ipotesi di Kolmogorov si
può scrivere F[S(K),K,ε]=0 → *ε+ =[L2 × T -3].
𝜑𝑆 𝑢 𝜑
𝑢∗
2
= 4 ×
1200𝜑
𝑈10
2
×
1
1 +
1200𝜑
𝑈10
2
4
3

24 Maggio 2011
Francesco Parisi
35
Cos’è un coefficiente di pressione
Premessa:
In un corpo tozzo con spigoli pronunciati (o in un corpo aerodinamico per valori alti della velocità del
fluido incidente o dell’angolo di attacco) il flusso tende a staccarsi dal contorno del corpo, creando zone
con flusso separato (scie vorticose). L’aria è un fluido viscoso per cui il distacco dei vortici dipende dal
valore del numero di Reynolds:
𝑅 𝑒 =
𝜌𝑈𝐷
𝜇
=
𝑈𝐷
𝜈
Nei fluidi viscosi gli effetti della viscosità si limitano ad uno strato fluido, in genere molto sottile, intorno
alla superficie, detto strato limite. L’equazione di Bernoulli è applicabile in assenza di viscosità e di moto
irrotazionale, oppure all’esterno dello strato limite:
𝑝 +
1
2
𝜌 𝑎 𝑉2
= 𝑝0 +
1
2
𝜌 𝑎 𝑉0
2
→
p0 e v0 sono pressione e
velocità al di fuori della
zona influenzata dalla
presenza del corpo.
nel punto di stagnazione (linea di
simmetria del corpo) V=0 e tutta
la pressione cinetica si trasforma
in sovrappressione sul corpo.
𝑝 − 𝑝0 =
1
2
𝜌 𝑎 𝑉0
2
il valore della pressione in termini adimensionali può essere espresso introducendo il concetto di
coefficiente di pressione:
𝑐 𝑝 =
𝑝 − 𝑝0
1
2
𝜌 𝑎 𝑉0
2
=
1
2
𝜌 𝑎 𝑉0
2
− 𝑉2
1
2
𝜌 𝑎 𝑉0
2
= 1 −
𝑉2
𝑉0
2
nel punto di stagnazione (linea di
simmetria del corpo) V=0 e cp=1.
nella zona in cui il flusso accelera la
pressione si riduce V>V0 e cp<0.

Coefficienti di pressione, l’approccio sperimentale e quello
dell’EC1
Zona A B C D E
h/d Cpe,10 Cpe,1 Cpe,10 Cpe,1 Cpe,10 Cpe,1 Cpe,10 Cpe,1 Cpe,10 Cpe,1
5 -1,2 -1,4 -0,8 -1,1 -0,5 0,8 1 -0,7
1 -1,2 -1,4 -0,8 -1,1 -0,5 0,8 1 -0,5
≤ 0,25 -1,2 -1,4 -0,8 -1,1 -0,5 0,7 1 -0,3
Suddivisione delle pareti verticali di edifici a pianta rettangolare in zone di
egual pressione, pianta (sinistra) e prospetto (destra).
(a) distribuzione di pressione su un cubo in un
campo di velocità costante;
(b) distribuzione di pressione su un cubo in un
campo di velocità turbolento;
(c) distribuzione di pressione su un prisma alto in
un campo di velocità turbolento.
(a) (b)
(c)

Letteratura e normative a confronto #1/2
AAF delle forze modali (Dyrbye & Hansen, 1996)
Questo modello si basa sull’ipotesi di turbolenza omogenea
ed isotropa, infatti la funzione di coerenza, valida per
facciate di modeste dimensioni vale:
𝜓 𝑃 𝜙, 𝑟, 𝑈 = 𝑒−𝐶 𝑟×
𝜑𝑟
𝑈
Cr=4,5. Assumendo che lo spettro del carico da vento non
dipenda dalle coordinate (z1,z2), l’AAF può essere calcolata
così:
𝜒2
𝜙1, 𝜙2 =
1
𝑙1
1
𝑙2
𝑘 𝑟1, 𝑟2 𝜓 𝑃 𝑟1, 𝑟2, 𝑛, 𝑈 𝑑𝑟2 𝑑𝑟1
𝑙2
0
𝑙1
0
1
𝑙1
1
𝑙2
𝐼 𝑅 𝑧1, 𝑧2 𝑑𝑧2 𝑑𝑧1
𝑙2
0
𝑙1
0
2
la funzione di co-influenza normalizzata k(r1,r2) è data da:
𝑘 𝑟1, 𝑟2 =
2
𝑙1 𝑙2
𝐼 𝑧1, 𝑧2, 𝑟1, 𝑟2 𝑑𝑧2 𝑑𝑧1
𝑙2−𝑟2
0
𝑙1−𝑟1
0
𝐼 𝑧1, 𝑧2, 𝑟1, 𝑟2 = 𝐼 𝑅 𝑧1, 𝑧2 𝐼 𝑅 𝑧1+𝑟1, 𝑧2 +𝑟2 +
𝐼 𝑅 𝑧1, 𝑧2 + 𝑟2 𝐼 𝑅 𝑧1+𝑟1, 𝑧2
𝜙1 =
𝐶 𝑃 𝑛𝑙1
𝑈
, 𝜙2 =
𝐶 𝑃 𝑛𝑙2
𝑈
Funzioni di risposta-influenza IR Funzioni di co-influenza k(r)
Uniforme: 𝐼R 𝑧 = 1 2(1 − 𝑟)
Lineare: 𝐼R 𝑧 = 𝑧
1
3
(2 − 3𝑟 + 𝑟3)
Mensola: 𝐼R 𝑧 = 2𝑧 − 1
2
3
(2 − 3𝑟 + 𝑟3)
Sinusoidale: 𝐼R 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑧) 1 − 𝑟 cos 𝜋𝑟 +
1
𝜋
𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑟)
𝜒2
𝜙1, 𝜙2 =
1
1 + 𝐺1 𝜙1
2 + 𝐺2 𝜙2
2 +
2
𝜋
𝐺1 𝜙1 𝐺2 𝜙2
2
L’AAF può essere approssimata tramite la seguente espressione:
molte normative adottano una formulazione simile ad essa, se la
funzione di risposta-influenza è uniforme, entrambe le costanti G1
e G2 sono pari ad ½. In alternativa si può usare un filtro
interpolante basato sulla media mobile (Lawson, 1980) ove
CT=1,5(=Cr/3):
𝜒 𝑇
2
𝑛, 𝑇𝑙 =
𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑛𝑇𝑙
𝜋𝑛𝑇𝑙
2
, 𝑇𝑙 =
𝐶 𝑇 × 𝑙
𝑈
Tutto ciò premesso la risposta alla azione del vento R(t)
all’istante t è data da:
𝑅 𝑡 = 𝐼 𝑅 𝑧1, 𝑧2 𝐹 𝑧1, 𝑧2, 𝑡 𝑑𝑧2 𝑑𝑧1
𝑙2
0
𝑙1
0

Letteratura e normative a confronto #2/2
ASCE 7-98
(USA)
𝑓 = 𝑅 𝐻 𝑅 𝐵 0,53 + 0,47𝑅 𝐷
𝑅𝑖 =
1
𝜂𝑖
−
1
2𝜂𝑖
2
× 1 − 𝑒−2𝜂 𝑖
, 𝑅𝑖 = 1 𝑝𝑒𝑟 𝜂𝑖
= 0; 𝑖 = ℎ, 𝑏, 𝑑
𝜂 𝑕 =
4,6 × 𝑓 × 𝐻
𝑈 𝑧
, 𝜂 𝑏 =
4,6 × 𝑓 × 𝐵
𝑈 𝑧
, 𝜂 𝑑
=
15,4 × 𝑓 × 𝐷
𝑈 𝑧
AS1170.2
(Australia)
𝜒 𝑓 =
1
1 +
3,5𝑓𝐻
𝑈 𝑧
× 1 +
4𝑓𝐵
𝑈 𝑧
NRCC
(Canada)
𝜒 𝑓 =
1
1 +
8𝑓𝐻
3𝑈 𝑧
× 1 +
10𝑓𝐵
𝑈 𝑧
RLB-AIJ
(Giappone)
𝜒 𝑓 =
0,84
1 +
2,1𝑓𝐻
𝑈 𝑧
× 1 +
2,1𝑓𝐵
𝑈 𝑧
Eurocode 𝜒 𝑓 = 𝑅 𝐻 𝑅 𝐵
B=60 mt, H=120 mt e D=30mt; si ha inoltre: z0=0,05 mt e Ur=13,31 m/s

I risultati ottenuti con Mathematica7 sono del tutto confrontabili con quelli
ottenuti eseguendo degli script realizzati in proprio da chi scrive, il che,
ovviamente, non può che confermare il lavoro sinora svolto.
Mathematica7 è certamente un software di calcolo valido, ma si è
preferito continuare a lavorare con Matlab per una serie di ragioni che non
è banale elencare in questa sede:
• non è possibile conoscere quale è il generatore di numeri pseudo
random o quasi random che il software adotta per effettuare i calcoli,
mentre invece con Matlab ciò è possibile e, cosa ancora più importante,
è possibile trovare dei riscontri in letteratura in modo da orientare le
proprie scelte in modo consapevole;
• le funzioni utilizzate da Mathematica7 sono criptate, in Matlab esse
sono in chiaro e possono essere studiate oltre che semplicemente usate;
Alcune considerazioni sui test
Si vogliono fare infine alcune considerazioni, la prima considerazione riguarda l’hardware. Si è riscontrato che i tempi di calcolo dipendono
dall’hardware con cui gli script vengono eseguiti, infatti i tempi di calcolo precedentemente indicati sono stati ottenuti eseguendo il Codice su un PC con
CPU Intel Quad Core Q8300 @ 2.5 GHz ed 8 Gb di memoria RAM, eseguendo gli stessi script su un PC Intel Mobile Pentium IV @ 2,4 GHz ed 1 Gb di
RAM, si è riscontrato che i tempi di calcolo risultano quasi triplicati.
La seconda considerazione concerne il software. Si è voluto riscontrare il lavoro svolto con MATLAB R2010b della Mathworks utilizzando un altro
software di calcolo, specificamente si è utilizzato Mathematica 7 della Wolfram per calcolare l’AAF del taglio alla base per la seguente geometria: B=60 m;
H=120 m; z0=0,05 m; Cy=16 e Cz=10; U10=9,063 m/s.
• non è possibile sapere per quanti punti sia stata effettivamente svolta
l’integrazione, ad esempio indicando 105 o 108 punti di integrazione i
tempi di calcolo restano praticamente invariati, il che lascia supporre che
l’uso di una regola adattiva, giochi un ruolo importante. Una volta che il
software raggiunge la convergenza, l’esecuzione dello lo script termina e
vengono restituiti dei risultati, ma non si può sapere esattamente con
quanti punti sia stata raggiunta la convergenza;
• anche per ciò che concerne la regola adattiva, non è possibile sapere di
cosa effettivamente si tratti, essa è presumibilmente l’applicazione di una o
più tecniche di riduzione della varianza dei numeri pseudo random, ma
non lo si può stabilire con certezza.
Mathematica7 è sostanzialmente una “scatola nera”, che fornisce dei risultati
in base agli input che gli vengono forniti, sui passaggi intermedi (dagli input
agli output) nulla si può dire.

Un caso in cui i dati sperimentali sono stati comparati con Vickery 1966
Nel 2007 il Midwest Transportation Consortium ha pubblicato un report riguarda la crisi per fatica dovuta alle azioni da vento di aste per segnali
ed illuminazioni stradali ed auto stradali. Si sono strumentate con anemometri e strain gauges due aste lunghe circa 45 mt a pianta
dodecagonale, in modo da ottenere misurazioni in scala reale, dopodiché sono stati effettuati opportuni test in galleria del vento:
𝑘 =
𝜑𝜋𝑙
𝑈
Come si può notare, dopo aver ottenuto un’espressione sperimentale dell’AAF,
il confronto è stato effettuato con l’espressione empirica di Vickery, sebbene le
due espressioni fossero state calibrate con corpi aventi geometrie
completamente diverse.
𝐾 =
2𝜋𝜑 𝐴
𝑈

Funzioni di ammettenza aerodinamica degli edifici tramite integrazione quasi Monte Carlo

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