Teks tersebut membahas tentang Metode Batu Loncatan (Stepping Stone Method) sebagai salah satu metode transportasi untuk mendapatkan solusi optimal dari masalah transportasi dengan biaya minimum. Metode ini menggunakan pendekatan trial and error untuk merubah alokasi produk hingga mendapatkan alokasi yang optimal dengan mempertimbangkan pengurangan biaya per unit yang lebih besar dari penambahan biayanya."

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Riset operasi merupakan ilmu yang mempelajari operasi dari suatu sistem
dengan tujuan untuk dapat mengendalikan, meramalkan hasil, dan menilai
hasil dari suatu operasi. Pengambilan keputusan yang melibatkan operasi dari
suatu sistem organisasi memerlukan pendekatan-pendekatan yang
menggunakan pendekatan operasional.(Rangkuti, 2002)
Pendekatan khusus ini bertujuan membentuk suatu model ilmiah dari
sistem menggabungkan ukuran-ukuran faktor-faktor seperti kesempatan dan
risiko, untuk meramalkan dan membandingkan hasil-hasil dari beberapa
keputusan, strategi atau pengawasan. Tujuannya adalah membantu pengambil
keputusan menentukan kebijasanaan dan tindakannya secara ilmiah
(Operational Research Society of Great Britain)
Metode ini didasarkan pada teori aplikatif yang terkait dengan metode
matematis, memberi gambaran pemodelan matematis, karakteristik persoalan
linear, pemecahan masalah program liniear secara grafis, serta masalah
transportasi (metode sudut barat laut), metode stepping stone, metode
pestubasi, metode least cost, metode danzing, dan metode vogel). Secara
sepintas dijelaskan bahawa kompleksitas suatu sistem nyata muncul sebagai
akibat banyaknya elemen atau variabel yang mempengaruhi atau
menegndalikannya, sehingga metode yang dapat digunakan untuk
memecahkan persoalan yang muncul pada suatu organisasi bertujuan untuk
memperoleh solusi yang optimal dengan mempertimbangkan berbagai
kendala yang ada.(Rangkuti, 2002)
Metode transportasi merupakan yang digunakan untuk mengatur distribusi
dari sumber-sumber yang menyediakan produk, ke tempat yang
membutuhkan secara optimal. Alokasi produk ini harus diatur sedemikian
rupa, karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber ke suatu

2. 2
tempat tujuan yang berbeda-beda, dan dari beberapa sumber ke suatu tempat
tujuan juga yang berbeda-beda.(Subagyo, 1983)
Di samping itu, metode transportasi juga dapat digunakan untuk
memecahkan masalah-masalah dunia usaha (bisnis) lainnya, seperti masalah-
masalah yang meliputi pengiklanan, pembelanjaan modal (capital financing)
dan alokasi dana untuk investasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan
dan perencanaan serta scheduling produksi. Ada beberapa macam metode
transportasi, yang semuanya terarah pada penyelesaian optimal dari masalah-
masalah transportasi yang terjadi. (Subagyo, 1983)
Salah satu metode transportasi yaitu Metode Batu Loncatan (Stepping
Stone) yang digunakan untuk menghasilkan pemecahan layak bagi masalah
transportasi dengan biaya-biaya operasi (biaya pabrik dan biaya transportasi)
sehingga mendapatkan biaya pengiriman relatif.
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalahnya adalah :
1. Apa pengertian Stepping Stone Method (Metode Batu Loncatan)?
2. Bagaimana langkah-langkah Stepping Stone Method (Metode Batu
Loncatan)?
3. Apa kelebihan dan kekurangan Stepping Stone Method (Metode Batu
Loncatan)?
4. Bagaimana mencari solusi optimal dari biaya minimum transportasi
menggunakan Stepping Stone Method (Metode Batu Loncatan)?
C. Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah yang akan dibahas, maka tujuan dari makalah
ini adalah :
1. Mahasiswa dapat mengetahui pengertian Stepping Stone Method (Metode
Batu Loncatan).
2. Mahasiswa dapat mengetahui langkah-langkah Stepping Stone Method
(Metode Batu Loncatan).

3. 3
3. Mahasiswa dapat mengetahui kelebihan dan kekurangan Stepping Stone
Method (Metode Batu Loncatan).
4. Mahasiswa dapat mencari solusi optimal dari biaya minimum trasportasi
menggunakan Stepping Stone Method (Metode Batu Loncatan).

4. 4
BAB II
PEMBAHASAN
A. Pengertian Stepping Stone Method (Metode Batu Loncatan)
Salah satu metode transportasi yaitu Metode Batu Loncatan (Stepping
Stone Method) yang digunakan untuk menghasilkan pemecahan layak bagi
masalah transportasi dengan biaya-biaya operasi (biaya pabrik dan biaya
transportasi) sehingga mendapatkan biaya pengiriman relatif minimum.
Metode ini dalam merubah alokasi produk untuk mendapatkan alokasi
produksi yang optimal menggunakan cara trial and error atau coba – coba.
Walaupun merubah alokasi dengan cara coba- coba, namun ada syarat yang
harus diperhatikan yaitu dengan melihat pengurangan biaya per unit yang
lebih besar dari pada penambahan biaya per unitnya.
B. Langkah-langkah Stepping Stone Method (Metode Batu Loncatan)
Beberapa hal penting yang perlu diperhatikan dalam penyusunan jalur
stepping stone untuk mencari variable masuk.
1. Arah yang diambil boleh searah atau berlawanan arah jarum jam.
2. Hanya ada satu jalur tertutup untuk setiap kotak kosong.
3. Jalur harus mengikuti kotak terisi, kecuali pada kotak kosong yang sedang
dievaluasi.
4. Baik kotak terisi maupun kotak kosong dapat dilewati dalam penyusunan
jalur tertutup.
5. Suatu jalur dapat melintasi dirinya.
6. Sebuah penambahan dan pengurangan yang sama besar harus kelihatan
pada setiap baris dan kolom pada jalur itu.
Langkah penyelesaian Stepping Stone Method (Metode Batu Loncatan), yaitu :
1. Pemecahan fisibel yang pertama dengan menggunakan Metode Sudut
Barat Laut

5. 5
2. Kotak yang terisi kita sebut kotak basis, nilainya kita beri tanda kurung
buka dan tutup seperti (xij), i melambangkan baris dan j untuk kolom.
3. Kotak yang tidak terisi kita sebut kotak bukan basis (nonbasis cell). Semua
kotak memuat biaya angkut per unit barang sebesar cij dimana 1 unit
barang diangkut dari tempat asal A ke tempat tujuan T.
4. S. = Suplai atau persediaan barang di A.
d = Permintaan barang dari T
Z = ΣCijXij = jumlah biaya angkut yang harus dibuat minimum.
5. Agar label tidak ruwet, nilai yang menunjukkan biaya angkut tidak
dicantumkan dalam tabel.
6. Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non basis dimana loop tersebut
berawal dan berakhir pada variabel non basis, dan setiap titik sudut loop
tersebut harus merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel
basis dalam tabel transportasi.
7. Dihitung Zij-Cij = jumlah Cij pada loop dengan koefisien (+) dan (-)
secara bergantian
8. Menentukan variabel yang masuk menjadi basis (entering variable)
dengan cara memilih nilai Zij-Cij yang terbesar atau Max{ ZijCij}.
9. Menentukan variabel yang keluar dari basis, caranya :
a. Dibuat loop yang memuat Zij-Cij yang terbesar
b. Diadakan pengamatan para Cij dalam loop yang mempunyai koefisien
(+).
c. Variabel Xij yang keluar basis bila dan hanya bila Xij minimum dari
jalur loop
10. Menentukan harga variabel basis (yang berada di dalam loop yang baru) di
mana nilai untuk variabel yang baru masuk basis diambil dari nilai
variabel minimum dalam loop
11. Sedangkan untuk variabel-variabel basis yang lain yang juga berada dalam
loop.
Xaij(baru) = Xij lama - Xminimum
Xij(baru) = Xij lama + Xminimum

6. 6
12. Untuk variabel-variabel basis yang lain di luar loop harganya tetap. Hitung
kembali nilai Zij-Cij untuk variable non basis
13. Diperoleh tabel optimal jika semua Zij – Cij ≤ 0
14. Jika masih ada nilai Zij-Cij > 0, maka dapat ditentukan kembali Entering
Variable dan Leaving (variabel yang masuk dan yang keluar)
C. Kelebihan dan Kekurangan Stepping Stone Method (Metode Batu
Loncatan)
Kelebihan dari penggunaan Stepping Stone Method (Metode Batu
Loncatan) adalah dapat mendapatkan solusi yang optimum untuk
mendapatkan nilai minimum dari masalah trasportasi. Kekurangan dari
penggunaan Stepping Stone Method (Metode Batu Loncatan) adalah harus
memiliki ketelitian yang tinggi untuk mendapatkan nilai yang paling
minimum selain itu diperlukan waktu yang cukup lama.
D. Pencarian Solusi Optimal dari Biaya Minimum Transportasi
Menggunakan Stepping Stone Method (Metode Batu Loncatan).
METODE BATU LONCATAN
SOAL 1
Semen diangkut dari 3 pabrik yang berlokasi di A1,A2 dan A3 ke 4 lokasi
proyek yang memang membutuhkan semen. Pabrik 1, 2, dan 3 masing-
masing menghasilkan semen sebanyak 6 ribu ton, 8 ribu ton, dan 10 ribu ton.
Lokasi proyek 1, 2, 3 dan 4 masing-masing minta semen sebanyak 4 ribu ton,
6 ribu ton, 8 ribu ton, dan 6 ribu ton. Biaya angkut (cost) dalam ratusan ribu
rupiah dapat dilihat dalam tabel berikut:
Tabel 1
Cost Table

7. 7
LANGKAH PENYELESAIAN
Pemecahan fisibel yang pertama dengan menggunakan Metode Sudut Barat
Laut, hasilnya adalah sebagai berikut :
Tabel 2
Permintaan T1 sebesar 4 unit, dipenuhi oleh A1 yang tersedia 6 unit, jadi
masih sisa 2 unit. T1, sudah terpenuhi x11 = (4). Permintaan T2 sebesar 6
unit, dipenuhi sisa dari A1 sebesar 2 unit x12 = (2). Suplai A1 sudah habis.
Permintaan T2, masih kurang 4 diambil dari A2, yang tersedia 8 unit.
Jadi X22 = (4). T2, sudah dipenuhi. Permintaan T3 sebesar 8 unit,
dipenuhi oleh sisa dari A2 sebanyak 4 unit, X23 = (4). Persediaan di A2 sudah
habis. Permintaan di T3 masih kurang 4 unit, dipenuhi dari A3 yang tersedia
10 unit, jadi X33 = (4). T3 sudah dipenuhi.
T
A
T1 T2 T3 T4 Penawaran
A1 1 2 3 4 6
A2 4 3 2 0 8
A3 0 2 2 1 10
Permintaan 4 6 8 6 24

8. 8
Di A3 masih ada sisa sebanyak 6 unit dan ini untuk memenuhi T4, jadi
X34 = 6. Pemecahan fisibel yang pertama sudah diperoleh dengan nilai X11,
= 4, X12 = 2, X22 = 4, X23 = 4, X33 = 4 dan X34 = 6.
Kita dapat melihat bahwa terdapat kotak yang terisi sebanyak
m+n-l = 3+4-1 = 6 kotak
Sehingga jumlah biaya transportasi yang akan dikeluarkan adalah :
426881244
)6(1)4(2)4(2)4(3)2(2)4(1
343433332323222212121111


 xcxcxcxcxcxcZ
Apakah Z1 sudah minimum?
Untuk menjawab ini harus kita hitung semua nilai Zij-Cij sebagai uji
optimalitas untuk cell atau kotak bukan basis, kalau ternyata semua nilai Zij
– Cij ≤ 0, maka pemecahan sudah minimum, kalau tidak maka pemecahan
dilanjutkan sampai semua Zij - Cij ≤ 0.
Nilai Zij - Cij merupakan besarnya penurunan biaya angkut yang
terjadi kalau ada 1 unit barang diangkut dari Ai ke Tj disebut indeks
perbaikan (improvement index). Cara menghitung Zij - Cij kita harus
membuat jalur atau lintasan tertutup (closed loop) mulai dari kotak nonbasis
yang akan dihitung nilai (Zij Cij)-nya.
Penarikan garis lurus bisa menurut baris (horizontal) atau menurut
kolom (vertikal). Menurut baris, bisa bergerak ke kiri atau ke kanan,
sedangkan kalau menurut kolom bisa bergerak ke atas atau ke bawah.
Di dalam proses penarikan garis lurus dilakukan penjumlahan (+)
dan pengurangan (-) biaya dari cell yang dilalui garis lurus, dimulai dengan
(+) diakhiri dengan (-) lihat contoh Z31-C31.
Dari suatu kotak nonbasis (i, j) ditarik garis lurus ke kotak basis
yang terdekat (dari baris atau kolom yang sama), dengan syarat bahwa kotak
yang dihubungi mempunyai pasangan (partner) di kolom (baris) yang sama,
kalau tidak harus dilewati atau diloncati, maksudnya agar garis bisa terus
disambung, kemudian dapat kembali ke tempat asal atau semula dengan

9. 9
meninggalkan cell basis terdekat. Misalnya akan dihitung Z31-C31, lihat
Tabel 3
Dari kotak (3,1), kita menuju ke kotak (3,3), terus ke kotak (2,3),
dalam kolom yang sama, kemudian menuju ke kotak (2,2) dari baris yang
sama, terus menghubungi kotak (1,2), dalam kolom yang sama, melanjutkan
ke kotak (1,1) dan akhirnya kembali ke tempat asal yaitu kotak (3,1).
z31-c31 =c33 - c23 + c22 –c12 + c11 - c31, dimulai dengan tanda (+)
kemudian (-) dan seterusnya berganti-ganti dari (+) ke (-). Kemudian kita
masukkan nilainya.
z31-c31 = 2 - 2 + 3 - 2 + 1 - 0 = 2. Nilai ini kita masukan ke kotak (3,1) lihat
tanda bintang(*) pada Tabel 3. Kalau tadi bergerak ke kanan dalam baris
yang sama, kita juga bisa bergerak ke atas dalam kolom yang sama dan
hasilnya akan sama.
z31-c31 =c11 – c12 + c22 – c23 + c33 -c31 = 1 - 2 + 3 - 2 + 2 – 0 = 2
Dengan jalan yang sama, semua nilai zij - cij. kita hitung, kemudian
nilainya kita masukkan
dalam tabel. ( lihat tabel 3)
Tabel 3
Z21 – C21 = C22 – C12+ C11- C12 = 3 – 2 + 1 – 4 = -2
Z31 – C31 = C33 – C23 + C22-C12 + C11 – C31= 2 – 2 + 3 – 2+ 1 - 0 = 2
Z32 – C32 = C33 – C23 + C22 - C32 = 2 – 2 + 3 – 2 = 1

10. 10
Z13 - C13 = C12 - C22 + C23 - C33 = 2 – 3 + 2 – 3 = -2
Z14 - C14 = C12 - C22 + C23 - C33 + C34 - C14 = 2 – 3 + 2 – 2 + 1 – 4 = -4
Ternyata tidak semua nilai Zij - Cij ≤ 0, masih ada yang positif dan
lebih besar dari nol, jadi pemecahan belum optimum. Nilai Z1 belum
minimum masih bisa diperkecil lagi.
Untuk itu kita harus memilih kotak yang harus masuk basis sehingga
terisi (memuat nilai). Kriterianya sebagai berikut:
1. Kotak dengan nilai Zij - Cij. positif terbesar harus masuk basis.
2. Kalau ada lebih dari satu kotak pilih saja salah satu, sembarangan.
3. Dalam soal ini, kotak (3,1) harus masuk basis sebab Z31 - C31 terbesar dan
positif.
Selain itu, terdapat kotak yang harus keluar atau meninggalkan basis.
Cara menentukan kotak yang harus keluar basis, yaitu :
1. Tulis kembali cara memperoleh nilai Z31 – C31 = C33-C23 + C22 – C12 +
C11-C31
2. Perhatikan biaya dengan tanda plus (+), yaitu C33, C22, C11, dengan
variabel X33, X22 , X11. Dari variabel variabel ini kita cari yang nilainya
terkecil. Kotak dengan nilai variabel terkecil ini yang harus keluar dari
basis. Min (X33, X22 , X11) = min (4, 4, 4). Karena semua nilainya sama,
kita pilih salah satu, misalnya X11 = 4 = minimum. Kotak yang masuk
basis ialah kotak (3, 1), dengan variabel X31. Nilai variabel ini sama
dengan nilai minimum yang baru saja kita pilih, dalam hal ini, X3l = X11 =
4, di mana X3l = nilai X31 yang baru untuk diisikan dalam kotak tabel
berikutnya.
3. Nilai variabel dari cell lainnya yang terlibat dalam pembentukan
jalur/lintas (loop) diperoleh dengan aturan berikut:
a. Jika tanda biaya +, nilai variabel baru = nilai variabel lama - nilai
minimum.
b. Jika tanda biaya -, nilai variabel baru = nilai variabel lama + nilai
minimum.

11. 11
Jadi,
X’33 = X33 – nilai minimum = 4 – 4 = 0
X’23 = X33 + nilai minimum = 4 + 4= 8
X’22 = X22 – nilai minimum = 4 – 4 = 0
X’12 = X12 +nilai minimum = 2 + 4 = 6
X’11 = X11 – nilai minimum = 4 – 4 = 0, keluar basis tidak perlu ditulis
4. Nilai variabel dalam kotak basis di luar lintasan atau yang tidak terlibat
dalam pembentukan lintasan tidak mengalami perubahan misalnya x’34 =
x34 = 6 .
Tabel 4
Catatan:
Angka nol untuk nilai variabel dalam kotak basis harus ditulis.
Selanjutnya adalah mengevaluasi variabel non basis dengan menghitung
nilai Zij-Cij :
4412232
23232
2123220
1434332322121414
132322121313
1112222333311111






cccccccz
cccccz
cccccccz

12. 12
12322
10122
44220
1,2,2,2(
322223333232
2434332321424
212333312121






cccccz
cccccz
kotakkelangsungdiloncatikotakcccccz
Selanjutnya, nilai tersebut dimasukkan ke dalam tabel (lihat tabel 5)
Tabel 5
Catatan:
Angka nol untuk nilai variabel dalam kotak basis harus ditulis.
Dari tabel tersebut di atas, masih ada 2 kotak yang nilainya positif,
yaitu kotak (3,2) dan (2,4) di mana z32 – c32 = z24 - c24 = 1. Maka, kita
kembali memilih salah satu kotak yang harus masuk basis. Kita pilih kotak
(2,4) yang harus masuk basis. Perhatikan bahwa jalur
243433232424 cccccz  dan variabel dari cij positif yang minimum
ditetapkan sebagai kotak yang harus keluar basis. Min (x.23, x34) = min (8, 6)
= 6. Sehingga ditetapkan bahwa kotak (3,4) yang memberikan nilai minimum
dan harus keluar basis kemudian nilainya diisi pada kotak yang masuk
menjadi basis yaitu kotak (2,4)=6

13. 13
Selanjutnya untuk variabel lainnya
x’24 = x34 = 6;
x’23 = x23 – nilai minimum = 8 - 6 = 2
x’33 = x33 + nilai minimum = 0 + 6 = 6 .
Nilai dari kotak lainnya yang tidak terlibat dalam pembentukan jalur,
tetap.(lihat tabel 6)
Tabel 6
Dengan cara yang sama, kita kembali mengevaluasi variabel non basis
dengan menghitung Zij-Cij dan untuk selanjutnya dimasukkan ke dalam tabel
(lihat tabel 7)
44220
54032
23232
2123220
212333312121
143422121414
132322121313
1112222333311111








cccccz
cccccz
cccccz
cccccccz

14. 14
11220
12322
343323243434
322223333232




cccccz
cccccz
Tabel 7
Ternyata masih ada satu kotak dengan nilai zij-cij positif, yaitu kotak
(3,2), z32 – c32 = 1. Kotak ini harus masuk basis. Perhatikan bahwa pada jalur
322223333232 cccccz  . Variabel xij positif dari cij diambil yang paling
minimum untuk basis yang keluar. Min (x33, x22) = min (6,0) = 0, berarti
kotak (2,2) harus keluar basis dan yang harus masuk adalah kotak (3,2) = 0
(diambil dari nilai variabel minimum). Variabel yang lainnya adalah
x’32= x22 = 0
x’33=x33- nilai minimum = x33 =6
x’23= x23+nilai minimum =2

15. 15
Tabel 8
11220
13222
44220
4402222
13222
11220
343323243434
222333322222
212333312121
1424233332121414
133332121313
111232311111






cccccz
cccccz
cccccz
cccccccz
cccccz
cccccz
Tabel 9
Karena semua nilai Zij - Cij < 0, maka pemecahan sudah optimum berarti
jumlah biaya angkutan sudah minimum

16. 16
2812000412
)6(2)0(2)4(0)6(0)2(2)6(2
3333323231312424232312124min


 xcxcxcxcxcxczZ
Jumlah biaya angkutan (transport) yang minimum Rp 28 ratusan ribu rupiah
(= Rp 2.800.000). Suplai A1 sebanyak 6 ribu ton untuk memenuhi T2, suplai
A2 sebanyak 8 ribu ton untuk memenuhi T2, sebanyak 2 ribu ton dan T4
sebanyak 6 ribu ton, suplai A3 sebanyak 10 ton, untuk memenuhi T1 sebanyak
4 ribu ton, T3 sebanyak 6 ribu ton. Nilai nol pada kotak (3,2) hanya
mempunyai nilai matematis teoretis akan tetapi tidak mempunyai arti secara
praktis.
Pemecahan ini memerlukan 3 tabel, berarti ada 4 alternatif pemecahan, akan
tetapi hanya tabel yang ke-4 merupakan pemecahan optimum. Kalau kita
perhatikan setiap tabel memberikan nilai z = fungsi objektif yang semakin
menurun sehingga tercapai nilai z yang minimum
Tabel 2
)1(426881244
)6(1)4(2)4(2)4(3)2(2)4(1
3434333323232222121211111
alternatif
xcxcxcxcxcxcZ



Tabel 5
)2(3460016012
)6(1)0(2)4(0)8(2)0(3)6(2
343433332323222212122
alternatif
xcxcxcxcxcZ



Tabel 7
2800001612
)0(0)0(2)4(0)6(0)8(2)6(2
3333222231312424232312123


 xcxcxcxcxcxcz
Tabel 9

17. 17
2812000412
)6(2)0(2)4(0)6(0)2(2)6(2
3333323231312424232312123


 xcxcxcxcxcxcz
Secara keseluruhan Z1 ≥ Z2 ≥ Z3 ≥ Z4 apabila ada k tabel, maka hasilnya akan
seperti berikut:
Z1 ≥ Z2 ≥ Z3 … Zk, yang terakhir Zk = Z min, nilainya terkecil (minimum).

18. 18
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa :
1.
B. Saran
Sebaiknya dalam menyelesaikan masalah transhipment dapat
menggunakan metode transportasi dengan penyelesaian awal menggunakan
Metode North West Corner (NWC) dilanjutkan dengan metode Stepping Stone
Method (Metode Batu Loncatan) untuk mendapatkan hasil optimum yang
minimal.

19. 19
DAFTAR PUSTAKA
Hamdy A. Taha.1996. Riset Operasi Suatu Pengantar. Edisi Kelima. Jilid I.
Binarupa. Jakarta
Pangestu, Subagyo.dkk.1983. Dasar-Dasar Operation Research. Edisi 2. BPFE-
Yogyakarta
Thierauf, Robert J. An Introductory Approach to Operation Research. John
Wiley and Sons, Inc. New York