Anàlisi 4

Anàlisi (IV) Càlcul integral Segon de batxillerat
Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner

1 Integral indefinida. Primitives
1.1 Definicions

1.1.1 Primitiva d’una funció. Integral indefinida

• Si f i F són dues funcions definides en l’interval (a , b) i es compleix que
F '( x) = f ( x) ∀x ∈ (a , b) , es diu que F és una primitiva de f en (a , b) .
• Si no s’especifica l’interval, se suposarà que ens referim a tot el domini de
f.
• Integrar una funció consisteix a trobar-ne una primitiva: la integració és
l’operació inversa de la derivació.

Exemple: La funció F ( x) = 3 x 4 − sin x és una primitiva de f ( x) = 12 x3 − cos x en
ℝ.

Teorema: Si F 1 i F 2 són dues primitives de f , la diferència F 1− F 2 és
constant.

• Per tant, si F és una primitiva de f , totes les primitives seran de la
forma: F + k , on k representa un nombre real qualsevol (vegeu la figura).

F1 ( x )

F2 ( x )

F3 ( x )
f ( x)

• S’anomena integral indefinida de la funció f el conjunt de les seves
primitives. Es representa: ∫ f ( x) dx
• Si F és una primitiva de f es compleix: ∫ f ( x) dx = F ( x) + C
El nombre C s’anomena constant d’integració.
L’expressió f ( x) dx es diu integrand ; el símbol dx es diu diferencial de
x.
x5
Exemples: ∫ cos x dx = sin x + C ; ∫ x 4 dx = + C
5

Anàlisi de 2n de batxillerat: 4. Càlcul integral Josep M. Lluch_____________2

1.1.2 Taula d’integrals immediates

a) Funcions simples

∫ k dx = k x + C (k ∈ ℝ) ∫ cos x dx = sin x + C
∫ dx = x + C
1
∫ cos x dx = tg x + C
2

x r +1 1
∫ x dx =
r
+C ( r ≠ −1) ∫ sin x dx = − cotg x + C
2
r +1
1 1
∫ x dx = ln x +C ∫ 1+ x 2
dx = arctg x + C

∫ e dx = e +C ∫ tg x dx = − ln cos x + C
x x

∫ a dx =
x ax
+C (a > 0 i a ≠ 1) ∫ cotg x dx = ln sin x + C
ln a

∫ sin x dx = − cos x + C ∫
1
dx = arcsin x + C
1 − x2

b) Funcions compostes

(u ( x))r +1 u '( x)
∫ (u ( x)) u '( x)dx = r + 1 + C
r
( r ≠ −1 ) ∫ cos 2
(u ( x))
dx = tg (u ( x)) + C

u ' ( x) u '( x)
∫ u ( x)
dx = ln u ( x) + C ∫ sin2 (u ( x)) dx = − cotg (u( x)) + C

∫e u ' ( x)dx = e u ( x ) + C u '( x)
∫ 1 + (u ( x))
u ( x)
2
dx = arctg (u ( x)) + C

a u ( x) ∫ tg (u ( x))u '( x)dx = − ln cos (u ( x) ) + C
∫a u ' ( x)dx = +C (a > 0 i a ≠ 1)
u( x)

ln a

∫ sin (u( x)) u '( x)dx = − cos(u( x)) + C ∫ cotg (u( x)) u '( x)dx = ln sin(u ( x)) + C

∫ cos (u( x)) u '( x) dx = sin (u( x)) + C ∫
u '( x)
dx = arcsin (u ( x)) + C
1 − (u ( x)) 2

Exemples:
1 1/ x
1. ∫
x ln x
dx =
ln x ∫
dx = ln(ln( x)) + C (u ( x) = ln x)

1
2. ∫
1
dx = ∫ 2 x 2 dx = arctg ( x)+C (u ( x) = x )
2 x (1 + x) 1+ x ( )
3x 2 3x 2
3. ∫ 1− x 6
dx = ∫
1− (x ) 3 2
dx = arcsin( x3 ) + C (u ( x) = x 3 )

∫ sin 2 x dx = ∫ 2sin x cos x dx = sin x + C (u ( x) = sin x)
2
4.


1.2 Propietats

a) ∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx (No és vàlida amb productes ni amb
quocients)

b) ∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx (només és vàlida si k és un nombre)

c) ∫ f '( x) dx = f ( x) + C (C ∈ ℝ )

1.3 Mètodes d’integració

1.3.1 Descomposició

∫ [k f ( x) + ... + k
1 1 n f n ( x)] dx = k1
∫ f ( x)dx + ... + k ∫ f ( x)dx
1 n n

Exemples:

2x + 7 2x 1
1. ∫ 1+ x 2
dx = ∫
1+ x 2
dx + 7 ∫
1+ x 2
dx = ln(1 + x 2 ) + 7 arctg x + C

1 sin 2 x+ cos 2 x sin 2 x cos 2 x
2. ∫ sin x cos x dx= ∫
sin x cos x
dx= ∫
sin x cos x
dx + ∫
sin x cos x
dx=

sin x
∫ tg x dx + ∫ cotg x dx= − ln cos x + ln sin x +C = ln cos x +C= ln tg x +C

sin 2 x 1 − cos 2 x 1 cos 2 x
3. ∫ tg 2 x dx =
∫ cos 2 x
dx =
∫
cos 2 x
dx =
∫ cos 2 x
dx −
∫
cos 2 x
dx =

1
=
∫ cos 2 x ∫
dx − 1 dx = tg x − x + C

1.3.2 Canvi de variable o substitució

Si F (x) és una primitiva de f (x) llavors:

 u = g ( x) 
∫ f ( g ( x)) g ' ( x) dx =  =
du = g ' ( x)dx  ∫ f (u)du = F (u) + C = F ( g ( x)) + C
Exemples:
1 u = 4 x 2 − 6 x − 2 
∫ 4 x − 6 x − 2 · (4 x − 3) dx = ∫ 4 x − 6 x − 2 ·(8 x − 6) dx =  =
2 2
1.
2  du = (8 x − 6)dx 


1 1/ 2 1 u 3/ 2 u3 (4 x 2 − 6 x − 2)3
2∫u du = ·
2 3/ 2
+C=
3
+C =
3
+C

5 1 5 1 5 2
2. ∫ 2 − 8x 2
dx = 5
∫ 2(1 − 4 x 2 )
dx =
2 ∫ 1 − (2 x) 2
dx =
2 2 ∫ 1 − (2 x) 2
dx =

 u = 2x  5 1 5 arcsin u 5 arcsin(2 x)
= =
du = 2dx  2 2
∫ 1− u 2
du =
2 2
+C=
2 2
+C

 x = sin t 
∫x 1 − x 2 dx= 
dx = cos t dt  ∫
= sin t 1 − sin t cos t dt= ∫ sin t ·cos t ·cos t dt =
2
3.


 u = cos t  u3 cos 3t
= ∫ sin t cos 2t dt =   = − ∫ u 2 du= − +C = − +C=
 du = − sin t dt  3 3

[ cos(arcsin x)]
3
(1 − x 2 )3
− =− +C
3 3

1.3.3 Integració per parts

∫ f ' ( x) g ( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ( x) g ' ( x)dx
Exemples:
 sin 3 x 
 f '(x)= cos 3 x ⇒ f(x)=  4 x sin 3 x 4
1. ∫ 4 x cos 3x dx=  3 =
3
− ∫ sin 3 x dx=
3
 g(x)= 4 x ⇒ g' (x)= 4
 


4 x sin 3 x 4 −cos 3 x 4 x sin 3 x 4cos 3 x
− · +C= + +C
3 3 3 3 9

 1 
ln x  f '( x) = 2 x ⇒ f ( x) = x 
  x
2. ∫ 2 x dx =  = x ln x − ∫
x
dx =
 g ( x) = ln x ⇒ g '( x) = 1 

 x 


1 1
x ln x − ∫ dx = x ln x − 2 ∫ dx = x ln x − 2 x + C
x 2 x


P( x)
1.3.4 Integració de funcions racionals f ( x) =
Q ( x)
Suposarem que grau P ( x) < gra u Q ( x) ; en cas contrari, s’efectua la divisió
de P ( x) per Q ( x) . Si A( x) és el quocient de la divisió i R ( x) el residu, la
integral es descompon en dues:

P( x) R( x)
∫ Q( x)
dx =
∫ A( x) dx +
∫ Q( x)
dx

1.3.4.1 Casos simples

A
a) ∫ x − a dx = A ln x − a + C (a ∈ ℝ A ∈ ℝ)
A −A
b) ∫ ( x − a) dx = (k − 1)( x − a)
k k −1
+C ( si k ≠ 1)

1.3.4.2 Cas en què el denominador només té arrels reals simples

Si Q( x) = ( x − a1 )( x − a 2 )·....·( x − a n ) es descompon la fracció de la forma:

P ( x) A1 A2 An
= + + ... +
Q( x) x − a1 x − a 2 x − an

Les constants dels numeradors es calculen efectuant l'operació del segon
membre i igualant numeradors.

P( x)
Llavors:
∫ Q( x)
dx = A1 ln x − a1 + ... + An ln x − a n + C

Exemple:

10 x 2 − 9 x − 13 10 x 2 − 9 x − 13
∫ x 3 − 2 x 2 − 5x + 6
dx =
∫ ( x − 1)( x + 2)( x − 3)
dx (*)

10 x 2 − 9 x − 13 A B C
= + + ⇔
( x − 1)( x + 2)( x − 3) x − 1 x + 2 x − 3

⇔ 10 x 2 − 9 x − 13 = A( x + 2)( x − 3) + B( x − 1)( x − 3) + C ( x − 1)( x + 2)

Donem valors a x a cada membre:

x =1 ⇒ − 12 = −6 A ⇒ A = 2
x = −2 ⇒ 45 = 15 B ⇒B=3 Per tant:
x=3 ⇒ 50 = 10C ⇒C =5


2 3 5
(*) =
∫ x − 1 dx + ∫ x + 2 dx + ∫ x − 3 dx = 2 ln x − 1 + 3 ln x + 2 + 5 ln x − 3 + C
1.3.4.3 Cas en què el denominador només té una arrel real múltiple

Si Q( x) = ( x − a ) k es descompon la fracció de la forma:

P ( x) A A2 Ak
= 1 + + ... +
Q( x) x − a ( x − a) 2
( x − a) k

Les constants dels numeradors es calculen efectuant les operacions del segon
membre i igualant numeradors.
Llavors:

P( x) A A3 A4 Ak
∫ Q( x)
dx = A1 ln x − a − 2 −
x − a 2( x − a) 2
−
3( x − a ) 3
− ... −
(k − 1)( x − a ) k −1
+C

Exemple:

x 2 − 4x − 2 x 2 − 4x − 2
∫ x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27
dx =
∫ ( x − 3) 3
dx (*)

x 2 − 4x − 2 A B C
= + + ⇔ x 2 − 4 x − 2 = A( x − 3) 2 + B ( x − 3) + C
( x − 3) 3
x − 3 ( x − 3) 2
( x − 3) 3

Donem valors a x a cada membre:

x = 3 ⇒ −5 = C  A =1

x = 0 ⇒ − 2 = 9 A − 3B − 5 ⇒ B=2 Per tant:
x = 1 ⇒ − 5 = 4 A − 2B − 5 C = −5


1 2 5 2 5
(*) =
∫ x−3
dx +
∫ ( x − 3) 2 ∫
dx −
( x − 3) 3
dx = ln x − 3 − +
x − 3 2( x − 3) 2
+C

Si el denominador té arrels simples i múltiples es combinen els dos
procediments anteriors.

1.3.4.4 Cas en què el denominador és un trinomi de segon grau sense
arrels reals.

Exemples:

5 5 5 5/3
1. ∫x 2
+ 4x + 7
dx = ∫ 2
( x + 4 x + 4) + 3
dx = ∫
( x + 2) + 3
2
dx = ∫
 x+2
2
dx =
  +1
 3 


 x+2 
5 3 1/ 3  u= 3  5 3
  1 5 3
= ∫  x + 2 2 dx =  = ∫ u 2 + 1 du = 3 arctg u + C =
3 du = 1 dx  3
  +1 
 3  
 3 

5 3  x+2
arctg  +C
3  3 

x+5 1 2 x + 10 1  2x − 4 14 
2. ∫x 2
− 4x + 5
dx = ∫ 2
2 x − 4x + 5
dx = ∫  2 + 2  dx =
2  x − 4x + 5 x − 4x + 5 

2x − 4
∫ x 2 − 4 x + 5 dx + 2 ∫ x 2 − 4 x + 5 dx = 2 ln ( x − 4 x + 5) + 7∫ ( x 2 − 4 x + 4 ) + 1 dx =
1 1 14 1 1
= 2

2

1
= ln x 2 − 4 x + 5 + 7 ∫ dx = ln x 2 − 4 x + 5 + 7 arctg ( x − 2) + C
( x − 2) + 1
2

2 Integral definida
2.1 Definició
• Suposem que la funció f (x) està definida en un interval tancat [a, b] .
Considerem un conjunt de punts: a = x0 < x1 < x 2 < ... < x n = b (partició de
l'interval).
En cada interval [xi −1 , xi ] ( i = 1,..., n ) prenem un nombre α i i formem la suma:
i =n

S n = f (α 1 )( x1 − x0 ) + ... + f (α n )( x n − x n −1 ) = ∑ f (α )( x − x
i =1
i i i −1 )

Aquesta suma representa la suma d'àrees dels rectangles de base xi − xi −1 i
altura f (α i ) i depèn de l'elecció dels xi i dels α i . Si S n té límit quan n → + ∞ i
xi − xi −1 → 0 (independentment dels xi i dels α i ) , es diu que f ( x) és integrable
en l'interval [a, b]

• El límit de S n s'anomenarà integral definida de f ( x) en l'interval [a, b] i es
b
representa: ∫ a
f ( x) dx (a i b es diuen límits d'integració [inferior i superior
respectivament])

• Si f (x) és positiva la integral definida representa l'àrea del recinte comprès entre
la gràfica de f (x) , l'eix d'abscisses i les rectes x = a i x = b .
b
• Si f (x) és negativa l'àrea del recinte serà: ∫ a
f ( x) dx


f (α n )
f (α 5 )
f (α 4 )
f (α 3 )

f (α 2 )

f (α 1)

a=x 0 x1 x 2 x 3
x 4 x 5 x n −1 x n= b

α1 α2 α3 α4 α5 αn

2.2 Propietats
b b
a) ∫ a
k f ( x) dx = k
∫ a
f ( x) dx ∀k ∈ ℝ (només vàlida si k és un nombre)

∫ a [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ a
b b b
b) f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx (no és vàlida amb productes ni
a

amb quocients)

Si f ( x) ≤ g ( x) ∀x ∈ [a, b] llavors:
b b
c) ∫ a
f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx
a

c b b
d) Si a < c < b llavors:
∫ a
f ( x) dx +
∫ c
f ( x) dx =
∫ a
f ( x) dx

b a a
Si b < a definim ∫ a
f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx
b
També definim: ∫ a
f ( x) = 0

2.3 Teoremes

2.3.1 Si f (x) és contínua en l'interval [a, b] , llavors és integrable en aquest
interval.

2.3.2 Teorema del valor mitjà: Si f (x) és contínua en l'interval [a, b], existeix
un nombre c ∈ [a, b] tal que
b
∫ a
f ( x) dx = f (c)·(b − a ) .


2.3.3 Teorema fonamental del càlcul integral

Sigui f (x) una funció
contínua en l'interval
[a, b] .
Per a cada t ∈ [a, b]
f(x)
definim

t
A(t ) = ∫ f ( x)dx A(t)
a

Llavors A(t ) és
derivable i A ' (t ) = f (t ) a t b

'
 t

∫ cos x dx  = cos t 2
2
Exemple: 
 3 

2.3.4 Regla de Barrow: Si F ( x) és una primitiva de f ( x) es compleix:
b
∫ a
f ( x) dx = F (b) − F (a )

Aquest nombre es representa també així: [F ( x)]a
b

7
7  x3  73 13
∫ x dx =   = − = 114
2
Exemple:
1
 3 1 3 3

2.3.5 Teorema del canvi de variable: Suposem que f (x) , g ( x) , g '( x) i
f ( g ( x)) són contínues en [a, b] i es compleix que g (a ) = α i g (b) = β .
En aquestes condicions es compleix:

b β
∫ a
f ( g ( x))· g '( x) dx = ∫
α
f (u )du

 u ( x) = x 2 
5
  25

∫ 2 x cos ( x ) dx =  du = 2 x dx = ∫ cos u du =
2
Exemple:
2
u (2) = 4, u (5) = 25 4
 

= [ sin u ]4 = sin 25 − sin 4
25

2.3.6 Integració per parts d’una integral definida

f '( x) g ( x) dx = [ f ( x) g ( x) ]a − ∫ f ( x) g '( x) dx
b b
∫
b

a a


 x2 
e  f '( x) = x ⇒ f ( x) = 2 
 
Exemple:
∫ 1
x ln x dx = 
 g ( x) = ln x ⇒ g '( x) =
=
1

 x


e e e
 x 2 ln x  e
x  x 2 ln x   x 2  e2 e 2 1 e 2 + 1
=
 2 1
 − ∫ 1 2
dx =  
 2 1  4 1
−  == − + =
2 4 4 4

2.4 Aplicacions de la integral definida

2.4.1 Càlcul d’àrees de superfícies planes

a) Àrea del recinte limitat per la gràfica d’una funció, l'eix d'abscisses i
dues rectes verticals

De primer cal determinar
les solucions de l'equació f
f ( x) = 0 compreses entre
a i b : x1 , x 2 ,..., x n
a x x b
1 2

Llavors:

x1 x2 b
Àrea = ∫ a
f ( x) dx +
∫ x1
f ( x) dx + ... +
∫ xn
f ( x) dx

Exemple: L'àrea del recinte
limitat per la gràfica de
f ( x) = x 3 , l'eix d'abscisses i
les rectes x = −1 i x = 2 és
f(x)
0 2
A=
∫ −1
x3 dx +
∫ 0
x 3 dx =

0 2
-1 2
 x4   x4  1 16 17
4 +   = + = 0
  −1  4 0 4 4 4


b) Àrea del recinte limitat per dues gràfiques i dues rectes verticals

De primer cal deter-
minar les abscisses dels
punts d'intersecció de
les dues gràfiques
compreses entre a i b : f
x1 , x 2 ,..., x n .

g
Llavors:
a x1 x2 b

x1 x2 b
Àrea = ∫ a
( f ( x) − g ( x)) dx +
∫ x1
( f ( x) − g ( x)) dx + ... +
∫ xn
( f ( x) − g ( x)) dx

Exemple: Àrea del recinte limitat per les gràfiques de f ( x) = x 2 i g ( x) = − x 2 + 2

− 1
f ( x ) = g ( x) ⇔ x 2 = − x 2 + 2 ⇔ 2 x 2 = 2 ⇔ x = 
1

1
Àrea = ∫ −1
 x 2 − (− x 2 + 2)  dx =
 

1 f(x)
1
 2 x3 
=
∫ (2 x − 2) dx =  − 2x =
2

−1  3  −1

2   2  8 g(x) - 1 1
=  − 2  −  − + 2  = u2
3   3  3

2.4.2 Càlcul de volums i superfícies de cossos de revolució

Considerem la gràfica d’una
funció integrable en l’interval f ( x)
[ a , b] i el cos geomètric generat
per la gràfica en girar entorn de
l’eix d’abscisses (cos de revo-
lució) a b


b
Volum del cos: V = π
∫ a
[ f ( x)] 2 dx

b
Àrea de la superfície: A = 2π
∫ a
f ( x)· 1 + [ f '( x)] 2 dx

Exemple: El volum del cos engendrat per la recta d'equació y = 2 x − 6 en girar
entorn de l'eix d'abscisses entre els punts x = 3 i x = 8 és:

f ( x) = 2 x − 6

8
V =π
∫ 3
(2 x − 6) 2 dx =
8
8

∫
3
π (4 x 2 − 24 x + 36) dx =
3

8
 4 x3 
π  − 12 x 2 + 36 x  =
 3 3

 512   500 π 3
π  4· − 768 + 288  − ( 36 − 108 + 108 )  = u
 3   3

L’àrea de la superfície cònica és:

8

∫
8
A = 2π (2 x − 6)· 1 + 4 dx = 2π 5  x 2 − 6 x  = 50 5 π
 3
3

Es pot comprovar que aquests resultats coincideixen amb els obtinguts amb
les fórmules de la geometria elemental:
π r 2h
V= A=π r g (h = altura, r = radi, g = generatriu )
3

2.4.3 Longitud d’un arc

Considerem corba formada per la gràfica d’una funció contínua definida
en l’interval [ a , b] . La longitud de la corba és:

b
L=
∫ a
1 + [ f '( x)] 2 dx


Exemple: La longitud de la gràfica de f ( x) = x3 entre x = 0 i x = 2 és:

( )
2 2
2
 ' 2  3 x2  2
9
L=
∫ 1+   dx = ∫ 1+   dx = ∫ 1+ x dx =
3
x
0   0  2 x3  0 4

 9 
u = 1 + 4 x 
 
4 2
9 9 du = 9 dx  4 11/ 2
4 11/ 2

9 ∫ 0
1 + x · dx = 
4 4  4
=
 9
∫ 1
u du =
9 ∫ 1
u 1/ 2 du =

 x = 0 ⇒ u =1 
 x = 2 ⇒ u = 11/ 2 
 

4 2 3/ 2 11/ 2 8  11  
11/ 2 3/ 2
4  2 u 3/ 2 
  = · u  =
   − 1 ≅ 3,5
9  3 1 9 3 1 27  2 
 


f ( x) = x3

0 2

Anàlisi 4

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Anàlisi 4

Similar to Anàlisi 4 (20)

Anàlisi 4