Exposició de les idees principals de les Meditacions metafísiques de Descartes. Modificació de la presentació realitzada el 2010, afegint les Meditacions V i VI, que enguany entren a Selectivitat.
Exposició de les idees principals de les Meditacions metafísiques de Descartes. Modificació de la presentació realitzada el 2010, afegint les Meditacions V i VI, que enguany entren a Selectivitat.
Introducció a les derivades. S'introdueix el concepte de derivada a partir del pendent de les rectes tangents i des d'aquí es dedueixen els conceptes de creixement, decreixement i màxims i mínims d'una funció.
Continguts explicats amb l'ajuda del GeoGebra.
Taula de derivades i alguna aplicació com ara el Polinomi de Taylor amb l'aproximació de la funció arrel quadrada.
Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i MañéMònica Orpí Mañé
En aquest power point s'expliquen les funcions elementals i els límits a partir de la seva gràfica. Després es calculen els límits de manera analítica i es relaciona amb la gràfica.
S'explica també la resolució analítica de límits, així com la resolució de les indeterminacions.
S'estudia també les diferents discontinuïtats que pot presentar una funció.
S'explica el concepte incial de límit a partir de la paradoxa de Aquiles i la tortuga.
1. Anàlisi (II) Límits i continuïtat Segon de batxillerat
Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner
1 Límits i asímptotes
1.1 Límits laterals i límit en un punt
Definicions prèvies
S'anomena successió de nombres reals un conjunt infinit i ordenat de nombres reals
(anomenats els termes de la successió).
Exemples: 1, 10, 100, 1000, 10 000, ...
1 1 1 1
0, , , , , ...
2 4 8 16
2,9; 2,99 ; 2,999 ...
3,1; 3, 01; 3, 001; 3, 0001 ...
Es diu que una successió tendeix al nombre L (o que té per límit el nombre L ) si els
termes s'aproximen cada vegada més a L , de manera que la diferència amb L en valor
absolut arriba a ser més petita que qualsevol nombre positiu prèviament fixat.
Exemple: 2 ; 2,9; 2,99; 2,999,... , té límit L = 3
Es diu que una successió tendeix a més infinit si fixat un nombre K positiu, per gran que
sigui, els termes de la successió són més grans que K a partir d'un terme determinat.
Exemple: 2, 4, 8, 16, 32,...
Es diu que una successió tendeix a menys infinit si la successió formada pels oposats
dels termes tendeix a més infinit.
Exemple: −10, − 100, − 1000, ...
1.1.1 Límit lateral per l'esquerra
Es diu que el nombre L és el límit lateral per
l'esquerra de la funció f en el punt x = a (o
quan x tendeix a a per l'esquerra) si quan x
L
pren per valor els termes d'una successió de
nombres més petits que a que tendeix a a , les
imatges f ( x) formen una successió que
f(x)
tendeix a L . En aquest cas es representa:
x a
lím− f ( x) = L
x →a
lím f ( x ) = L
x→ a −
2. Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 2
x −4 2
Exemple: Considerem la funció: f ( x) =
x−2
x 1,9 1,99 1,999 .... → 2−
f ( x) 3,9 3,99 3,999 .... → 4
x2 − 4
Per tant: lím− =4
x→2 x−2
1.1.2 Límit lateral per la dreta
Es diu que el nombre L és el límit lateral
per la dreta de la funció f en el punt x = a
(o quan x tendeix a a per la dreta) si quan f(x)
x pren per valor els termes d'una successió
de nombres més grans que a que tendeix a
a , les imatges f ( x) formen una successió L
que tendeix a L . En aquest cas es
representa:
a x
lím+ f ( x) = L lím + f ( x ) = L
x →a
x→ a
x3 − x
Exemple: Considerem la funció: f ( x) =
x −1
x 1,1 1, 01 1, 001 .... → 1+
f ( x) 2,31 2, 0301 2, 003001 .... → 2
x3 − x
Per tant: lím+ =2
x→ 1 x −1
1.1.3 Límit en un punt
f(x)
Si els límits laterals per la dreta i
per l'esquerra en el punt x = a
existeixen i tenen el mateix valor
L , es diu que L és el límit de la L
funció f en el punt x = a (o
quan x tendeix a a ). En aquest
cas es representa:
f(x)
x a x
lím f ( x) = L
x →a lím f ( x ) = L
x→ a
3. Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 3
Observació: Perquè existeixi el límit d'una funció en un punt no cal que estigui definida en
aquest punt.
1.2 Límit infinit en un punt
Es diu que la funció f té límit
més infinit quan x tendeix a a per lím − f ( x ) = + ∞
l'esquerra si quan x pren per valor x→ a
els termes d'una successió de lím + f ( x ) = − ∞
x→ a
nombres més petits que a que
x=a
tendeix a a es compleix que les
imatges f ( x) formen una successió
de límit més infinit.
En aquest cas s'escriu: a
lím f ( x) = + ∞
x→ a −
Es diu que la funció f té límit més infinit quan x tendeix a a per la dreta si quan x pren
per valor els termes d'una successió de nombres més grans que a que tendeix a a es
compleix que les imatges f ( x) formen una successió de límit més infinit.
En aquest cas s'escriu: lím f ( x) = + ∞
x→ a +
Anàlogament es defineix el límit menys infinit per la dreta o per l'esquerra.
2
Exemple: Considerem la funció: f ( x) =
x−3
x 3,1 3, 01 3, 001 .... → 3+
f ( x) 20 200 2000 .... → +∞
2
Per tant: lím + =+ ∞
x→ 3 x −3
x 2,9 2,99 2,999 .... → 3−
f ( x) −20 −200 −2000 .... → −∞
2
Per tant: lím − =− ∞
x→ 3 x −3
4. Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 4
1.3 Límit en l'infinit
Es diu que la funció f té per límit el
nombre real k quan x tendeix a més y=k
infinit si quan x pren per valor els termes
d'una successió de límit més infinit, les
imatges f ( x) formen una successió que k
té per límit el nombre k .
En aquest cas s'escriu :
lím f ( x) = k
x→ + ∞
lím f ( x ) = k
x→ + ∞
Es diu que la funció f té per límit el nombre real k quan x tendeix a menys infinit si quan
x pren per valor els termes d'una successió de límit menys infinit, les imatges f ( x) formen
una successió que té per límit el nombre k .
En aquest cas s'escriu: lím f ( x) = k
x→ − ∞
Propietat : Es compleix: lím f ( x) = lím f (− x)
x→ − ∞ x→ + ∞
2x 2 − 1
Exemple: Considerem la funció: f ( x) =
x2 + 3
x 10 100 1000 .... → +∞
f ( x) 1,932 1,9993 1,999993 .... → 2
2 x2 − 1
Per tant: lím =2
x→ + ∞ x 2 + 3
x −10 −100 −1000 .... → −∞
f ( x) 1,932 1,9993 1,999993 .... → 2
2 x2 − 1
Per tant: lím =2
x→ − ∞ x 2 + 3
1.4 Límit infinit en l’infinit
D’una manera anàloga s’interpreten les frases: “ f té límit més infinit quan x tendeix a més
infinit “, “ f té límit menys infinit quan x tendeix a més infinit “ , etc.
5. Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 5
lím f ( x) = + ∞ lím f ( x) = + ∞
x→−∞ x→+∞
lím f ( x) = − ∞
lím f ( x) = − ∞ x→+∞
x→−∞
1.5 Asímptotes
1.5.1 Asímptota vertical
Es diu que la recta d’equació x = a és una asímptota vertical de la funció f si el límit quan x
tendeix a a és infinit (per la dreta, per l’esquerra o per tots dos costats). (Vegeu la figura de
l’apartat 1.2 )
1.5.2 Asímptota horitzontal
Es diu que la recta d’equació y = k és una asímptota horitzontal per la dreta de la funció
f si lím f ( x) = k . (Vegeu la figura de l’apartat 1.3 )
x→ + ∞
Es diu que la recta d’equació y = k és una asímptota horitzontal per l’esquerra de la
funció f si lím f ( x) = k . (Anomenarem asímptota horitzontal la que ho és per la dreta i
x→ − ∞
per l’esquerra.)
6. Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 6
1.5.3 Asímptota obliqua
y= mx+n
Es diu que la recta d’equació
y = m x + n és una asímptota
obliqua per la dreta de la funció
f si lím f ( x) − (m x + n) = 0 f ( x ) − ( m x + n)
x→ + ∞
Anàlogament es defineix una
asímptota obliqua per l’es-
querra.
x
A l’apartat 3.5 explicarem com es
calculen les asímptotes obliqües. lím
x→ + ∞
f ( x ) − ( m x + n) = 0
2 Funcions contínues
2.1 Continuïtat. Definicions
Es diu que la funció f és contínua en el punt
a ∈ si es compleixen les tres condicions següents:
a) a ∈ Dom f (és a dir: existeix f (a) )
f(a)
b) Existeix lím f ( x)
x→ a
c) Es compleix: lím f ( x) = f (a )
x→ a
a
Si f no és contínua en el punt a es diu que hi és
discontínua o que hi té una discontinuïtat.
Es diu que f és semicontínua per la dreta en el punt a si es compleix:
lím f ( x) = f (a )
x→a +
Es diu que f és semicontínua per l’esquerra en el punt a si es compleix:
lím f ( x) = f (a)
x→a −
Es diu que f és contínua en l’interval obert (a , b) si ho és en tots els seus punts.
Es diu que f és contínua en l’interval tancat [a , b] si ho és en tots els punts de l’interval
obert (a , b) i és semicontínua en a per la dreta i semicontínua en b per l’esquerra.
7. Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 7
2.2 Tipus de discontinuïtats
lím f ( x )
x→a
Es diu que f té una discontinuïtat evitable en el
punt x = a si existeix lím f ( x) però no coincideix
x→ a
amb f (a ) o bé f (a ) no existeix.
a
x2 − 4
Exemple: f ( x) = té una discontinuïtat evitable en x = 2 ja que lím f ( x) = 4
x−2 x→2
però f (2) no existeix.
Es diu que f té una discontinuïtat de salt en el k2
punt x = a si lím f ( x) ≠ lím − f ( x)
x→ a + x→ a
(independentment de si existeix o no f (a ) ) k1
a
⎧3x + 1 si x < 0
Exemple: f ( x) = ⎨ 2 té una discontinuïtat de salt en x = 0 ja que
⎩ x − 1 si x ≥ 0
lím f ( x) = 1 i lím + f ( x) = −1 (límits laterals diferents)
x→0 − x→0
Es diu que f té una discontinuïtat infinita o
asimptòtica en el punt x = a si un dels límts laterals
(o tots dos) en a és + ∞ o − ∞
a
3
Exemple: f ( x) = té una discontinuïtat infinita en x = 2 ja que lím f ( x) = − ∞
x−2 x→2 −
i lím f ( x) = + ∞
x→2 +
8. Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 8
Es diu que f té una discontinuïtat essencial en
el punt x = a si algun dels límts laterals en a no
existeix ni és infinit.
a
⎛1⎞
Exemple: f ( x) = sin ⎜ ⎟ en x = 0
⎝ x⎠
2.3 Propietats de les funcions contínues. Teorema de
Bolzano
2.3.1 Propietats
Si f i g són funcions contínues en el punt x = a també ho són:
f ±g , f ·g , i f (aquesta última si g (a ) ≠ 0 )
g
Si f és contínua en el punt a i g és contínua en el punt f (a ) , llavors g f és contínua
en el punt a .
a f(a) g(f(a))
gof
−1
Si f és contínua i injectiva en el seu domini, la recíproca f també ho és en el seu.
2.3.2 Teorema de Bolzano
Si f és contínua en l’interval tancat [a , b] i f (a ) i
f(b)
f (b) tenen signe diferent, existeix un nombre
c ∈ (a , b) tal que f (c) = 0
a
Aplicació a la resolució d’equacions
c b
Exemple: Calculem la solució de l’equació:
f(a)
ln x = 2 − x
aproximant-la fins a les centèsimes.
9. Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 9
Considerem la funció: f ( x) = ln x − 2 + x
1) f ( x) és contínua en l’interval tancat [1, 2]
2) f (1) = −1 < 0 i f (2) = ln(2) > 0 y = ln x
3) Segons el teorema de Bolzano existeix un
nombre c comprès entre 1 i 2 tal que
f (c) = 0 , és a dir: ln c = 2 − c (solució de
l’equació) c
4) Per un procés de tempteig comprovem:
f (1,55) < 0 i f (1,56) > 0 , per tant:
1,55 < c < 1,56 y = 2− x
2.4 Continuïtat de les funcions elementals
1. Les funcions polinòmiques són contínues en tot el seu domini ; no tenen cap
asímptota (excepte les lineals, que tenen per asímptota la mateixa funció).
Conseqüència: lím k = lím k = k , on k representa un nombre real.
x→a x→±∞
2. Les funcions racionals són contínues en tot el seu domini. En els punts en què el
denominador s’anul·la tenen discontinuïtats evitables o infinites (en aquest últim
cas hi tenen asímptotes verticals).
3. Les funcions exponencials són contínues en tot el seu domini; tenen l’eix
d’abscisses com a asímptota horitzontal.
4. Les funcions logarítmiques són contínues en tot el seu domini; tenen l’eix
d’ordenades com a asímptota vertical.
5. Les funcions trigonomètriques són contínues en tot el seu domini. La funció
f ( x) = tg x té discontinuïtats infinites en els punts en què no existeix.
6. La funció f ( x ) = x és contínua en tot el seu domini.
7. La funció part entera: f ( x) = E ( x) té discontinuïtats de salt en tots els punts
d’abscissa entera.
3 Càlcul de límits
3.1 Infinitèsims
3.1.1 Definicions
Es diu que la funció f és un infinitèsim en el punt x = a si lím f ( x) = 0
x→a
f ( x)
Es diu que els infinitèsims f i g en el punt x = a són equivalents si lím =1
x→a g ( x)
Es representa: f ( x) ≈ g ( x) en x = a
10. Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 10
Propietat: Si f ≈ g en x = a es compleix:
h( x ) h( x )
lím f ( x)· h( x) = lím g ( x)· h( x) i lím = lím
x→a x→a x→a f ( x) x → a g ( x)
3.1.2 Exemples d’infinitèsims equivalents en x = 0
x ≈ sin x x ≈ tg x x ≈ arcsin x x ≈ arctg x
x2
(1 + x) k ≈1 + kx e x − 1 ≈ ln ( x + 1) ≈ x 1 − cos x ≈
2
3.1.3 Exemples d’aplicació al càlcul de límits
sin (2 x) 2x 2
1) lím = lím =
x →0 sin(5 x) x → 0 5 x 5
1 − cosx x2 / 2 x
2) lím = lím = lím = 0
x →0 x x→0 x x→0 2
3.2 Àlgebra de límits
3.2.1 Regles generals (cas en què els límits són finits)
1) lím ⎡ f ( x) ± g ( x)⎤ = x→ a f ( x) ± x→ a g ( x)
x→ a⎣ ⎦
lím lím
2) lím ⎡ f ( x)· g ( x) ⎤ = x→ a f ( x)· x→ a g ( x)
x→ a⎣ ⎦
lím lím
f ( x) x → a f ( x)
lím
3) lím = (sempre que els denominadors no siguin nuls)
x→ a g ( x) x → a g ( x)
lím
lím g ( x )
4) lím f ( x) g ( x) = ⎡ x→ a f ( x)⎤ x→ a
x→ a ⎢ lím ⎥ (sempre que les bases de les potències
⎣ ⎦
siguin positives)
5) lím
x→ a
n f ( x) = n x → a f ( x )
lím (si n és parell, els radicands han de ser no
negatius)
6) Si la funció g és contínua: lím
x→ a (
g ( f ( x)) = g lím f ( x)
x→ a )
Nota: Aquestes regles també són vàlides si x → ± ∞
11. Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 11
3.2.2 Cas en què hi intervenen límits infinits
En les igualtats següents, k representa un límit finit. S’ha d’entendre que les igualtats són
simbòliques.
k + ( + ∞ ) = k − (− ∞ ) = + ∞ ( + ∞ ) + (+ ∞ ) = ( + ∞ ) − (− ∞ ) = + ∞
k + (− ∞) = k − (+ ∞) = − ∞ (− ∞) + (− ∞) = (− ∞) − (+ ∞) = − ∞
k ·(± ∞) = ± ∞ ( si k ≠ 0)
(aplicant la “regla dels signes”)
(± ∞)·(± ∞) = ± ∞
k ±∞
=0 = ±∞ (aplicant la “regla dels signes”)
±∞ k
k ⎧+ ∞ si k > 0 k ⎧− ∞ si k > 0
=⎨ =⎨
0 + ⎩− ∞ si k < 0 0 − ⎩+ ∞ si k < 0
⎧ + ∞ si k > 1 ⎧ 0 si k > 1
k+ ∞ = ⎨ k−∞ = ⎨
⎩0 si 0 ≤ k < 1 ⎩+ ∞ si 0 ≤ k < 1
⎧+ ∞ si k > 0
(+ ∞)k = ⎨ (+ ∞) + ∞ = + ∞ (+ ∞) − ∞ = 0
⎩ 0 si k < 0
n + ∞ =+ ∞ n − ∞ = − ∞ (en aquest segon cas, n ha de ser imparell)
3.2.3 Casos d’indeterminació
S’anomenen casos d’indeterminació aquells en què no es pot dir a priori el resultat del límit i
aquest depèn de les funcions concretes involucrades.
0 ±∞
(+ ∞) + (− ∞) (+ ∞) − (+ ∞) 0·(± ∞) 00 (+ ∞)0 1±∞
0 ±∞
3.3 Alguns límits importants
x f ( x)
⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞
lím ⎜ 1 + ⎟ = e En general: lím ⎜1 + ⎟ =e
x→ ± ∞
⎝ x⎠ f ( x) → ± ∞ f ( x) ⎠
⎝
sin x tg x sin x cos x
lím =1 lím =1 lím =0 lím =0
x→ 0 x x→ 0 x x→ ±∞ x x→ ±∞ x
lím − tg x = + ∞ lím + tg x = − ∞
x→ ⎜ π ⎟ x→ ⎜ π ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
⎝ 2⎟
⎠
⎜
⎝ 2⎟
⎠
12. Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 12
ln x
lím ln x = + ∞ lím+ ln x = − ∞ lím =0 (n natural )
x→ + ∞ x→ 0 x→ + ∞ x n
ex
lím e = + ∞
x
lím e = 0x
lím =+ ∞ (n natural )
x→ + ∞ x→ −∞ x→ + ∞ x n
⎧ + ∞ si n és parell k
lím x n = + ∞ lím x n = ⎨ lím =0
x→ +∞ x→ − ∞
⎩− ∞ si n és imparell x→ ± ∞ x n
k ⎧+ ∞ si k > 0 k ⎧− ∞ si k > 0
lím + =⎨ lím − =⎨
x→ a x − a ⎩ − ∞ si k < 0 x→ a x − a ⎩+ ∞ si k < 0
⎧+ ∞ si an > 0
lím an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = lím an x n = ⎨
x→ + ∞ x→ + ∞
⎩ − ∞ si an < 0
lím an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = lím an x n = lím an ( − x )
n
x→ − ∞ x→ − ∞ x→ + ∞
3.4 Exemples de càlcul de límits
∞
3.4.1 Indeterminacions del tipus
∞
1) Funcions racionals
⎧0 si n < m
⎪ a / b si n = m
⎪ n m
n −1
an x + an −1 x + ... + a1 x + a0
n
an x n
lím = lím = ⎨
x → ± ∞ b x m + b x m −1 + ... + b x + b
⎪ ± ∞ si n > m (el signe depèn
x→ ± ∞ b xm
m m −1 1 0 m
⎪
⎩ de cada cas particular )
Exemples:
2x2 + 5 2x2 2
a) lím = lím = lím =0
x→+∞ 3 x3 + 5 x x → + ∞ 3 x3 x→+∞ 3x
2 x3 + 5 2 x3 2 1
b) lím = lím = lím =
x→−∞ 6 x3 + 5 x x → − ∞ 6 x3 x→−∞ 6 3
2 x5 + 5 2 x5 2x 2
c) lím = lím = lím =+ ∞
x→−∞ 6 x3 + 5 x x → − ∞ 6 x3 x→−∞ 6
2 x6 + 5 2 x6 2 x3
d) lím = lím = lím =− ∞
x→−∞ 6 x3 + 5 x x → − ∞ 6 x3 x→−∞ 6
13. Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 13
2) Funcions irracionals
Exemples:
x2 + 4 ⎡ ∞ ⎤ x2 + 4
a) lím = ⎢ ⎥ = lím = 1 =1
x−5 ⎣∞⎦ x → + ∞ ( x − 5)
x→+∞ 2
( x + 4) = 0 = 0
3
4
x + 4 ⎡∞⎤
b) lím = ⎢ ⎥ = lím 12
x − 5 ⎣ ∞ ⎦ x → + ∞ ( x − 5)
x→+∞ 3 4
x2 −1 ⎡ + ∞ ⎤ (− x)2 − 1 x2 −1 x2 − 1
c) lím =⎢ = lím = lím − = lím − = −1
x→−∞ x ⎣ −∞⎥ x→+∞
⎦ −x x→+∞ x x→+∞ x2
3) Altres funcions
Exemple:
x
5x − 2 x ⎛2⎞
1− ⎜ ⎟
5 −2
x x
⎡∞⎤ 5 x
⎝5⎠ = 1
lím x +1 x = ⎢ ⎥ = lím x +1 x = lím
x→+∞ 5 + 3 ⎣∞⎦ x → + ∞ 5 + 3 x→+∞
⎛3⎞
x
5
x 5+⎜ ⎟
5 ⎝5⎠
0
3.4.2 Indeterminacions del tipus
0
Exemples:
x − 3 ⎡0⎤ 1 1
a) lím = ⎢ ⎥ = lím =
x→3 x − 9 ⎣0⎦
2 x→3 x +3 6
x + 3 ⎡0⎤ 1 ⎧+ ∞ si x → 3 +
b) lím = ⎢ ⎥ = lím =⎨ −
x → 3 x2 − 9
⎣ 0 ⎦ x → 3 x − 3 ⎩ − ∞ si x → 3
c) lím
x + 4 − 3 ⎡0⎤
= ⎢ ⎥ = lím
( x+ 4 −3 )( x+4 +3 ) = lím x+ 4−9
=
x→5 x−5 ⎣0⎦ x →5 ( x − 5) ( x+4 +3 ) x→5
( x − 5) ( x+4 +3 )
x −5 1 1
= lím = lím =
x→5
( x − 5) ( x+4 +3 ) x→5
( x+4 +3 ) 6
3.4.3 Indeterminacions del tipus ∞ − ∞
Exemples:
a) lím
x3 − 3 x 2 − 5
− = [ ∞ − ∞ ] = lím
( x 4 + x3 − 3x − 3) − ( x 4 − 14 x2 + 45) =
x → + ∞ x2 − 9 x +1 x→+∞ x3 + x 2 − 9 x − 9
x 3 + 14 x 2 − 3 x − 48
lím =1
x→+∞ x3 + x 2 − 9 x − 9
14. Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 14
b) lím
x→+∞
( )
2 x 2 − x − 2 x 2 + 3 x = [ (+ ∞ ) − (+ ∞ )] =
= lím
( 2 x 2 − x − 2 x 2 + 3x )( 2 x 2 − x + 2 x 2 + 3x )=
x→+∞
( 2 x 2 − x + 2 x2 + 3x )
= lím
( 2x 2
− x ) − ( 2 x 2 + 3x )
= lím
− 4x
=
x→+∞
( 2 x 2 − x + 2 x 2 + 3x ) x→+∞
( 2 x 2 − x + 2 x 2 + 3x )
− 4x
x −4 −4
= lím = lím = =− 2
x→+∞
2 x 2 − x + 2 x 2 + 3x x → + ∞ 2 x 2 − x 2 x2 + 3x 2 2
+
x x2 x2
⎛ ⎛ 3 ⎞x ⎞
c) lím ( 5 − 3 ) = [ (+ ∞) − (+ ∞) ] = lím 5 ⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟ = (+ ∞ )·1 = + ∞
x x x
x→+∞ x→+∞ ⎜ ⎝5⎠ ⎟
⎝ ⎠
3.4.4 Indeterminacions del tipus 1± ∞
Propietat: Si lím f ( x) = 1 i lím g ( x) = ± ∞ es compleix:
x→a x→a
lím g ( x )· ⎡ f ( x ) −1⎤
lím f ( x) g ( x ) = e
x→a
x→a ⎢ ⎣ ⎥ ⎦
Exemples:
4 x +1 ⎡ 2 x +3 ⎤ ⎡ 2 ⎤
⎛ 2x + 3 ⎞ lím
x→+ ∞
( 4 x +1) · ⎢
⎣ 2 x +1
−1⎥ lím
x→+ ∞
( 4 x +1) · ⎢ ⎥
⎣ 2 x +1 ⎦
a) lím ⎜ = ⎣1 ⎤ = e
⎡ ⎦ ∞ ⎦
=e =e4
x → + ∞ ⎝ 2x +1 ⎟⎠
⎡ ⎤
1 − x2 + x + 2
1 ⎡ x +3 ⎤ lím ⎢ ⎥
⎛ x+3 ⎞ x−2 lím · −1
x → 2 x − 2 ⎢ x 2 +1 ⎥ (
x → 2 ⎢ ( x − 2) x 2 +1 ) ⎥
b) lím = ⎡1∞ ⎤ = e ⎣ ⎦
=e ⎢
⎣ ⎥
⎦
=
x → 2 ⎜ x2 + 1 ⎟
⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎡ ⎤
lím ⎢ − ( x − 2)( x +1) ⎥
x → +2
(
⎢ ( x − 2) x +1 ⎥
2
)
=e ⎢
⎣ ⎥
⎦
= e − 3/ 5
3.4.5 Indeterminacions del tipus 0·(± ∞)
Exemple:
lím
x→+∞
( )
⎛ 3 ⎞
x2 − 1 ⎜ ⎟
⎝ x+5⎠
= [ (+ ∞)·0] = lím
x→+∞
3 x2 −1 ⎡ + ∞ ⎤
x+5
=⎢ ⎥ = lím 3
⎣+ ∞⎦ x →+∞
x2 − 1
( x + 5) 2
= 3·1 = 3
15. Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 15
3.5 Càlcul de les asímptotes obliqües d’una funció
Si la recta y = m x + n és una asímptota obliqua per la dreta de la funció f ( x) , es compleix:
f ( x)
m = lím
x→+ ∞
n = lím
x→+∞
( f ( x) − m x )
x
Les asímptotes per l’esquerra es calculen igual, substituint + ∞ per − ∞
Cas particular: Si la funció f ( x) és racional, només tindrà asímptota obliqua (pels dos
costats) si el grau del numerador és una unitat més gran que el del denominador. En aquest cas,
el quocient entre el numerador i el denominador serà m x + n
4 x3 − 2 x 2 − 5 x
Exemple: f ( x) =
2 x 2 − 3x
4 x 3 − 2 x 2 − 5 x 2 x 2 − 3x
− 4 x3 + 6 x 2 2x + 2
Asímptota obliqua: y = 2x+2
− 4x + 6x
2
x
Observació: Si una funció té una asímptota horitzontal (per la dreta o per l’esquerra) no
pot tenir-ne una d’obliqua pel mateix costat.
4 Estudi de la continuïtat d’una funció
4.1 Funcions racionals
6
Exemple:
x3 − x 2 − 2x
f ( x) =
x 2 − 3x + 2 2
Dom f = x ∈ { }
x 2 − 3x + 2 ≠ 0 = − {1, 2}
Punts de discontinuïtat: x = 1, x = 2
x3 − x 2 − 2 x x( x + 1)( x − 2) x( x + 1)
1. lím = lím = lím =6
x→ 2 x − 3x + 2
2 x → 2 ( x − 1)( x − 2) x→ 2 ( x − 1)
Per tant, hi ha una discontinuïtat evitable en x = 2
x( x + 1)
2. lím = ∞ . Per tant, hi ha una discontinuïtat infinita en x = 1 i una
x→ 1 x − 1
asímptota vertical d'equació: x = 1 .
16. Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 16
4.2 Funcions definides a trossos
Exemples:
a) Estudiem la continuïtat de
⎧x 3
⎪2 + 2 si x < −2
⎪ 2
⎪ x −3 si − 2 ≤ x < 0 1
f ( x) = ⎨
⎪ 2x − 3 si 0 < x ≤ 2
⎪ 6 –2 2
⎪ si x > 2
⎩ x
Per començar estudiem els punts que separen els –3
intervals de definició: x = −2 , x = 0 i x = 2
x
1. lím − f ( x) = lím − + 2 =1
x → −2 x → −2 2
lím f ( x) = lím + x2 − 3 = 1 ⇒ f és contínua en x = − 2
x → −2 + x → −2
f (− 2) = 1
2. lím f ( x) = lím − x 2 − 3 = − 3
x→0 − x→0
lím f ( x) = lím+ 2 x − 3 = − 3 ⇒ f té una discontinuïtat evitable en x = 0
x→0 + x→0
f (0) no existeix
3. lím f ( x) = lím − 2 x − 3 = 1
x→2− x→2
⇒ f té una discontinuïtat de salt en x = 2
6
lím + f ( x) = lím + =3
x→2 x→2 x
En els altres punts del seu domini, la funció f és contínua.
b) Quin ha de ser el valor de m perquè la funció següent sigui contínua en x = 3 ?
⎧ 3x − 2 si x < 3
f ( x) = ⎨
⎩mx − 7 si x ≥ 3
lím f ( x) = lím− 3x − 2 = 7
x→3 − x→3
lím f ( x) = lím+ m x − 7 = 3 m − 7
x→3 + x→3
f (3) = 3 m − 7
S’ha de complir: 3 m − 7 = 7 , és a dir: m = 14 / 3
17. Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 17
OPERACIONS AMB LÍMITS DE FUNCIONS
(quadres sinòptics)
Observació: En els quadres següents, a tant pot ser un nombre real com
+∞ o −∞
A) SUMA : lím f ( x) + g ( x)
x→ a
lím g ( x) =
x→ a
k 2 +∞ −∞
lím f ( x) =
x→ a
k 1 +∞ −∞
k +k1 2
+∞ +∞ +∞ ?
−∞ −∞ ? −∞
B) PRODUCTE: lím f ( x)· g ( x)
x→ a
lím g ( x) =
x→ a
k >02
k <0
2 0 +∞ −∞
lím f ( x) =
x→ a
k >0
1
k ·k1 2 k ·k1 2 0 +∞ −∞
k <0
1
k ·k1 2 k ·k1 2 0 −∞ +∞
0 0 0 0 ? ?
+∞ +∞ −∞ ? +∞ −∞
−∞ −∞ +∞ ? −∞ +∞
18. Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 18
C) QUOCIENT: lím f ( x)
x→ a g ( x)
lím g ( x) =
x→ a
k >0 k <0
2 2 0+ 0− +∞ −∞
lím f ( x) =
x→ a
k >0 k k
1
k
1
2 k
1
2
+∞ −∞ 0+ 0−
k <0 k k
1
k
1
2 k
1
2
−∞ +∞ 0− 0+
0 0 0 ? ? 0 0
+∞ +∞ −∞ +∞ −∞ ? ?
−∞ −∞ +∞ −∞ +∞ ? ?
D) POTÈNCIA: lím f ( x) g ( x)
x→ a
( f ( x) > 0)
lím g ( x) =
x→ a
k >0
2 k <0
2
0 +∞ −∞
lím f ( x) =
x→ a
0+ 0 +∞ ? 0 +∞
0 < k <1 1 kk 1
2 kk 1
2
1 0 +∞
1 1 1 1 ? ?
k >1
1 kk 1
2 kk 1
2
1 +∞ 0
+∞ +∞ 0 ? +∞ 0
QUADRE D'INDETERMINACIONS
(+ ∞) − (+ ∞) 0 ±∞
±∞ 0·(± ∞) 00 (+∞) 0 1±∞
(+ ∞) + (− ∞) 0