Anàlisi 2

Anàlisi (II) Límits i continuïtat Segon de batxillerat
Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner

1 Límits i asímptotes

1.1 Límits laterals i límit en un punt

Definicions prèvies

S'anomena successió de nombres reals un conjunt infinit i ordenat de nombres reals
(anomenats els termes de la successió).

Exemples: 1, 10, 100, 1000, 10 000, ...
1 1 1 1
0, , , , , ...
2 4 8 16
2,9; 2,99 ; 2,999 ...
3,1; 3, 01; 3, 001; 3, 0001 ...

Es diu que una successió tendeix al nombre L (o que té per límit el nombre L ) si els
termes s'aproximen cada vegada més a L , de manera que la diferència amb L en valor
absolut arriba a ser més petita que qualsevol nombre positiu prèviament fixat.

Exemple: 2 ; 2,9; 2,99; 2,999,... , té límit L = 3

Es diu que una successió tendeix a més infinit si fixat un nombre K positiu, per gran que
sigui, els termes de la successió són més grans que K a partir d'un terme determinat.

Exemple: 2, 4, 8, 16, 32,...

Es diu que una successió tendeix a menys infinit si la successió formada pels oposats
dels termes tendeix a més infinit.

Exemple: −10, − 100, − 1000, ...

1.1.1 Límit lateral per l'esquerra

Es diu que el nombre L és el límit lateral per
l'esquerra de la funció f en el punt x = a (o
quan x tendeix a a per l'esquerra) si quan x
L
pren per valor els termes d'una successió de
nombres més petits que a que tendeix a a , les
imatges f ( x) formen una successió que
f(x)
tendeix a L . En aquest cas es representa:
x a
lím− f ( x) = L
x →a
lím f ( x ) = L
x→ a −

Anàlisi de 2n de batxillerat: 2. Límits i continuïtat Josep M. Lluch_______________________ 2
x −4 2
Exemple: Considerem la funció: f ( x) =
x−2

x 1,9 1,99 1,999 .... → 2−
f ( x) 3,9 3,99 3,999 .... → 4

x2 − 4
Per tant: lím− =4
x→2 x−2

1.1.2 Límit lateral per la dreta
Es diu que el nombre L és el límit lateral
per la dreta de la funció f en el punt x = a
(o quan x tendeix a a per la dreta) si quan f(x)
x pren per valor els termes d'una successió
de nombres més grans que a que tendeix a
a , les imatges f ( x) formen una successió L
que tendeix a L . En aquest cas es
representa:
a x
lím+ f ( x) = L lím + f ( x ) = L
x →a
x→ a

x3 − x
x −1

x 1,1 1, 01 1, 001 .... → 1+
f ( x) 2,31 2, 0301 2, 003001 .... → 2

x3 − x
Per tant: lím+ =2
x→ 1 x −1

1.1.3 Límit en un punt
f(x)
Si els límits laterals per la dreta i
per l'esquerra en el punt x = a
existeixen i tenen el mateix valor
L , es diu que L és el límit de la L
funció f en el punt x = a (o
quan x tendeix a a ). En aquest
cas es representa:
f(x)

x a x
lím f ( x) = L
x →a lím f ( x ) = L
x→ a


Observació: Perquè existeixi el límit d'una funció en un punt no cal que estigui definida en
aquest punt.

1.2 Límit infinit en un punt
Es diu que la funció f té límit
més infinit quan x tendeix a a per lím − f ( x ) = + ∞
l'esquerra si quan x pren per valor x→ a

els termes d'una successió de lím + f ( x ) = − ∞
x→ a
nombres més petits que a que
x=a
tendeix a a es compleix que les
imatges f ( x) formen una successió
de límit més infinit.
En aquest cas s'escriu: a

lím f ( x) = + ∞
x→ a −

Es diu que la funció f té límit més infinit quan x tendeix a a per la dreta si quan x pren
per valor els termes d'una successió de nombres més grans que a que tendeix a a es
compleix que les imatges f ( x) formen una successió de límit més infinit.

En aquest cas s'escriu: lím f ( x) = + ∞
x→ a +

Anàlogament es defineix el límit menys infinit per la dreta o per l'esquerra.

2
x−3

x 3,1 3, 01 3, 001 .... → 3+
f ( x) 20 200 2000 .... → +∞

2
Per tant: lím + =+ ∞
x→ 3 x −3

x 2,9 2,99 2,999 .... → 3−
f ( x) −20 −200 −2000 .... → −∞

2
Per tant: lím − =− ∞
x→ 3 x −3

1.3 Límit en l'infinit
Es diu que la funció f té per límit el
nombre real k quan x tendeix a més y=k
infinit si quan x pren per valor els termes
d'una successió de límit més infinit, les
imatges f ( x) formen una successió que k
té per límit el nombre k .
En aquest cas s'escriu :

lím f ( x) = k
x→ + ∞
lím f ( x ) = k
x→ + ∞

Es diu que la funció f té per límit el nombre real k quan x tendeix a menys infinit si quan
x pren per valor els termes d'una successió de límit menys infinit, les imatges f ( x) formen
una successió que té per límit el nombre k .
En aquest cas s'escriu: lím f ( x) = k
x→ − ∞

Propietat : Es compleix: lím f ( x) = lím f (− x)
x→ − ∞ x→ + ∞

2x 2 − 1
x2 + 3

x 10 100 1000 .... → +∞
f ( x) 1,932 1,9993 1,999993 .... → 2

2 x2 − 1
Per tant: lím =2
x→ + ∞ x 2 + 3

x −10 −100 −1000 .... → −∞
f ( x) 1,932 1,9993 1,999993 .... → 2

2 x2 − 1
Per tant: lím =2
x→ − ∞ x 2 + 3

1.4 Límit infinit en l’infinit

D’una manera anàloga s’interpreten les frases: “ f té límit més infinit quan x tendeix a més
infinit “, “ f té límit menys infinit quan x tendeix a més infinit “ , etc.


lím f ( x) = + ∞ lím f ( x) = + ∞
x→−∞ x→+∞

lím f ( x) = − ∞
lím f ( x) = − ∞ x→+∞
x→−∞

1.5 Asímptotes

1.5.1 Asímptota vertical

Es diu que la recta d’equació x = a és una asímptota vertical de la funció f si el límit quan x
tendeix a a és infinit (per la dreta, per l’esquerra o per tots dos costats). (Vegeu la figura de
l’apartat 1.2 )

1.5.2 Asímptota horitzontal

Es diu que la recta d’equació y = k és una asímptota horitzontal per la dreta de la funció
f si lím f ( x) = k . (Vegeu la figura de l’apartat 1.3 )
x→ + ∞
Es diu que la recta d’equació y = k és una asímptota horitzontal per l’esquerra de la
funció f si lím f ( x) = k . (Anomenarem asímptota horitzontal la que ho és per la dreta i
x→ − ∞
per l’esquerra.)


1.5.3 Asímptota obliqua
y= mx+n
Es diu que la recta d’equació
y = m x + n és una asímptota
obliqua per la dreta de la funció
f si lím f ( x) − (m x + n) = 0 f ( x ) − ( m x + n)
x→ + ∞

Anàlogament es defineix una
asímptota obliqua per l’es-
querra.
x
A l’apartat 3.5 explicarem com es
calculen les asímptotes obliqües. lím
x→ + ∞
f ( x ) − ( m x + n) = 0

2 Funcions contínues

2.1 Continuïtat. Definicions

Es diu que la funció f és contínua en el punt
a ∈ si es compleixen les tres condicions següents:

a) a ∈ Dom f (és a dir: existeix f (a) )
f(a)
b) Existeix lím f ( x)
x→ a
c) Es compleix: lím f ( x) = f (a )
x→ a
a
Si f no és contínua en el punt a es diu que hi és
discontínua o que hi té una discontinuïtat.

Es diu que f és semicontínua per la dreta en el punt a si es compleix:
lím f ( x) = f (a )
x→a +
Es diu que f és semicontínua per l’esquerra en el punt a si es compleix:
lím f ( x) = f (a)
x→a −
Es diu que f és contínua en l’interval obert (a , b) si ho és en tots els seus punts.
Es diu que f és contínua en l’interval tancat [a , b] si ho és en tots els punts de l’interval
obert (a , b) i és semicontínua en a per la dreta i semicontínua en b per l’esquerra.


2.2 Tipus de discontinuïtats
lím f ( x )
x→a

Es diu que f té una discontinuïtat evitable en el
punt x = a si existeix lím f ( x) però no coincideix
x→ a
amb f (a ) o bé f (a ) no existeix.
a

x2 − 4
Exemple: f ( x) = té una discontinuïtat evitable en x = 2 ja que lím f ( x) = 4
x−2 x→2
però f (2) no existeix.

Es diu que f té una discontinuïtat de salt en el k2
punt x = a si lím f ( x) ≠ lím − f ( x)
x→ a + x→ a
(independentment de si existeix o no f (a ) ) k1

a

⎧3x + 1 si x < 0
Exemple: f ( x) = ⎨ 2 té una discontinuïtat de salt en x = 0 ja que
⎩ x − 1 si x ≥ 0
lím f ( x) = 1 i lím + f ( x) = −1 (límits laterals diferents)
x→0 − x→0

Es diu que f té una discontinuïtat infinita o
asimptòtica en el punt x = a si un dels límts laterals
(o tots dos) en a és + ∞ o − ∞
a

3
Exemple: f ( x) = té una discontinuïtat infinita en x = 2 ja que lím f ( x) = − ∞
x−2 x→2 −
i lím f ( x) = + ∞
x→2 +


Es diu que f té una discontinuïtat essencial en
el punt x = a si algun dels límts laterals en a no
existeix ni és infinit.

a
⎛1⎞
Exemple: f ( x) = sin ⎜ ⎟ en x = 0
⎝ x⎠

2.3 Propietats de les funcions contínues. Teorema de
Bolzano

2.3.1 Propietats

Si f i g són funcions contínues en el punt x = a també ho són:
f ±g , f ·g , i f (aquesta última si g (a ) ≠ 0 )
g
Si f és contínua en el punt a i g és contínua en el punt f (a ) , llavors g f és contínua
en el punt a .

a f(a) g(f(a))

gof
−1
Si f és contínua i injectiva en el seu domini, la recíproca f també ho és en el seu.

2.3.2 Teorema de Bolzano
Si f és contínua en l’interval tancat [a , b] i f (a ) i
f(b)
f (b) tenen signe diferent, existeix un nombre
c ∈ (a , b) tal que f (c) = 0
a
Aplicació a la resolució d’equacions
c b
Exemple: Calculem la solució de l’equació:
f(a)
ln x = 2 − x

aproximant-la fins a les centèsimes.

Considerem la funció: f ( x) = ln x − 2 + x
1) f ( x) és contínua en l’interval tancat [1, 2]
2) f (1) = −1 < 0 i f (2) = ln(2) > 0 y = ln x
3) Segons el teorema de Bolzano existeix un
nombre c comprès entre 1 i 2 tal que
f (c) = 0 , és a dir: ln c = 2 − c (solució de
l’equació) c
4) Per un procés de tempteig comprovem:
f (1,55) < 0 i f (1,56) > 0 , per tant:

1,55 < c < 1,56 y = 2− x

2.4 Continuïtat de les funcions elementals

1. Les funcions polinòmiques són contínues en tot el seu domini ; no tenen cap
asímptota (excepte les lineals, que tenen per asímptota la mateixa funció).
Conseqüència: lím k = lím k = k , on k representa un nombre real.
x→a x→±∞

2. Les funcions racionals són contínues en tot el seu domini. En els punts en què el
denominador s’anul·la tenen discontinuïtats evitables o infinites (en aquest últim
cas hi tenen asímptotes verticals).
3. Les funcions exponencials són contínues en tot el seu domini; tenen l’eix
d’abscisses com a asímptota horitzontal.
4. Les funcions logarítmiques són contínues en tot el seu domini; tenen l’eix
d’ordenades com a asímptota vertical.
5. Les funcions trigonomètriques són contínues en tot el seu domini. La funció
f ( x) = tg x té discontinuïtats infinites en els punts en què no existeix.
6. La funció f ( x ) = x és contínua en tot el seu domini.
7. La funció part entera: f ( x) = E ( x) té discontinuïtats de salt en tots els punts
d’abscissa entera.

3 Càlcul de límits

3.1 Infinitèsims

3.1.1 Definicions

Es diu que la funció f és un infinitèsim en el punt x = a si lím f ( x) = 0
x→a
f ( x)
Es diu que els infinitèsims f i g en el punt x = a són equivalents si lím =1
x→a g ( x)
Es representa: f ( x) ≈ g ( x) en x = a


Propietat: Si f ≈ g en x = a es compleix:

h( x ) h( x )
lím f ( x)· h( x) = lím g ( x)· h( x) i lím = lím
x→a x→a x→a f ( x) x → a g ( x)

3.1.2 Exemples d’infinitèsims equivalents en x = 0

x ≈ sin x x ≈ tg x x ≈ arcsin x x ≈ arctg x
x2
(1 + x) k ≈1 + kx e x − 1 ≈ ln ( x + 1) ≈ x 1 − cos x ≈
2

3.1.3 Exemples d’aplicació al càlcul de límits

sin (2 x) 2x 2
1) lím = lím =
x →0 sin(5 x) x → 0 5 x 5

1 − cosx x2 / 2 x
2) lím = lím = lím = 0
x →0 x x→0 x x→0 2

3.2 Àlgebra de límits

3.2.1 Regles generals (cas en què els límits són finits)

1) lím ⎡ f ( x) ± g ( x)⎤ = x→ a f ( x) ± x→ a g ( x)
x→ a⎣ ⎦
lím lím

2) lím ⎡ f ( x)· g ( x) ⎤ = x→ a f ( x)· x→ a g ( x)
x→ a⎣ ⎦
lím lím

f ( x) x → a f ( x)
lím
3) lím = (sempre que els denominadors no siguin nuls)
x→ a g ( x) x → a g ( x)
lím

lím g ( x )
4) lím f ( x) g ( x) = ⎡ x→ a f ( x)⎤ x→ a
x→ a ⎢ lím ⎥ (sempre que les bases de les potències
⎣ ⎦
siguin positives)

5) lím
x→ a
n f ( x) = n x → a f ( x )
lím (si n és parell, els radicands han de ser no

negatius)

6) Si la funció g és contínua: lím
x→ a (
g ( f ( x)) = g lím f ( x)
x→ a )
Nota: Aquestes regles també són vàlides si x → ± ∞


3.2.2 Cas en què hi intervenen límits infinits

En les igualtats següents, k representa un límit finit. S’ha d’entendre que les igualtats són
simbòliques.

k + ( + ∞ ) = k − (− ∞ ) = + ∞ ( + ∞ ) + (+ ∞ ) = ( + ∞ ) − (− ∞ ) = + ∞
k + (− ∞) = k − (+ ∞) = − ∞ (− ∞) + (− ∞) = (− ∞) − (+ ∞) = − ∞

k ·(± ∞) = ± ∞ ( si k ≠ 0)
(aplicant la “regla dels signes”)
(± ∞)·(± ∞) = ± ∞

k ±∞
=0 = ±∞ (aplicant la “regla dels signes”)
±∞ k

k ⎧+ ∞ si k > 0 k ⎧− ∞ si k > 0
=⎨ =⎨
0 + ⎩− ∞ si k < 0 0 − ⎩+ ∞ si k < 0

⎧ + ∞ si k > 1 ⎧ 0 si k > 1
k+ ∞ = ⎨ k−∞ = ⎨
⎩0 si 0 ≤ k < 1 ⎩+ ∞ si 0 ≤ k < 1

⎧+ ∞ si k > 0
(+ ∞)k = ⎨ (+ ∞) + ∞ = + ∞ (+ ∞) − ∞ = 0
⎩ 0 si k < 0

n + ∞ =+ ∞ n − ∞ = − ∞ (en aquest segon cas, n ha de ser imparell)

3.2.3 Casos d’indeterminació

S’anomenen casos d’indeterminació aquells en què no es pot dir a priori el resultat del límit i
aquest depèn de les funcions concretes involucrades.

0 ±∞
(+ ∞) + (− ∞) (+ ∞) − (+ ∞) 0·(± ∞) 00 (+ ∞)0 1±∞
0 ±∞

3.3 Alguns límits importants
x f ( x)
⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞
lím ⎜ 1 + ⎟ = e En general: lím ⎜1 + ⎟ =e
x→ ± ∞
⎝ x⎠ f ( x) → ± ∞ f ( x) ⎠
⎝

sin x tg x sin x cos x
lím =1 lím =1 lím =0 lím =0
x→ 0 x x→ 0 x x→ ±∞ x x→ ±∞ x

lím − tg x = + ∞ lím + tg x = − ∞
x→ ⎜ π ⎟ x→ ⎜ π ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜
⎝ 2⎟
⎠
⎜
⎝ 2⎟
⎠

Anàlisi de 2n de batxillerat: Límits i continuïtat Josep M. Lluch ________________________ 12

ln x
lím ln x = + ∞ lím+ ln x = − ∞ lím =0 (n natural )
x→ + ∞ x→ 0 x→ + ∞ x n

ex
lím e = + ∞
x
lím e = 0x
lím =+ ∞ (n natural )
x→ + ∞ x→ −∞ x→ + ∞ x n

⎧ + ∞ si n és parell k
lím x n = + ∞ lím x n = ⎨ lím =0
x→ +∞ x→ − ∞
⎩− ∞ si n és imparell x→ ± ∞ x n

k ⎧+ ∞ si k > 0 k ⎧− ∞ si k > 0
lím + =⎨ lím − =⎨
x→ a x − a ⎩ − ∞ si k < 0 x→ a x − a ⎩+ ∞ si k < 0

⎧+ ∞ si an > 0
lím an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = lím an x n = ⎨
x→ + ∞ x→ + ∞
⎩ − ∞ si an < 0

lím an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = lím an x n = lím an ( − x )
n

x→ − ∞ x→ − ∞ x→ + ∞

3.4 Exemples de càlcul de límits

∞
3.4.1 Indeterminacions del tipus
∞

1) Funcions racionals

⎧0 si n < m
⎪ a / b si n = m
⎪ n m
n −1
an x + an −1 x + ... + a1 x + a0
n
an x n

lím = lím = ⎨
x → ± ∞ b x m + b x m −1 + ... + b x + b
⎪ ± ∞ si n > m (el signe depèn
x→ ± ∞ b xm
m m −1 1 0 m

⎪
⎩ de cada cas particular )

Exemples:

2x2 + 5 2x2 2
a) lím = lím = lím =0
x→+∞ 3 x3 + 5 x x → + ∞ 3 x3 x→+∞ 3x
2 x3 + 5 2 x3 2 1
b) lím = lím = lím =
x→−∞ 6 x3 + 5 x x → − ∞ 6 x3 x→−∞ 6 3
2 x5 + 5 2 x5 2x 2
c) lím = lím = lím =+ ∞
x→−∞ 6 x3 + 5 x x → − ∞ 6 x3 x→−∞ 6
2 x6 + 5 2 x6 2 x3
d) lím = lím = lím =− ∞
x→−∞ 6 x3 + 5 x x → − ∞ 6 x3 x→−∞ 6

2) Funcions irracionals

Exemples:

x2 + 4 ⎡ ∞ ⎤ x2 + 4
a) lím = ⎢ ⎥ = lím = 1 =1
x−5 ⎣∞⎦ x → + ∞ ( x − 5)
x→+∞ 2

( x + 4) = 0 = 0
3
4
x + 4 ⎡∞⎤
b) lím = ⎢ ⎥ = lím 12
x − 5 ⎣ ∞ ⎦ x → + ∞ ( x − 5)
x→+∞ 3 4

x2 −1 ⎡ + ∞ ⎤ (− x)2 − 1 x2 −1 x2 − 1
c) lím =⎢ = lím = lím − = lím − = −1
x→−∞ x ⎣ −∞⎥ x→+∞
⎦ −x x→+∞ x x→+∞ x2

3) Altres funcions

Exemple:
x
5x − 2 x ⎛2⎞
1− ⎜ ⎟
5 −2
x x
⎡∞⎤ 5 x
⎝5⎠ = 1
lím x +1 x = ⎢ ⎥ = lím x +1 x = lím
x→+∞ 5 + 3 ⎣∞⎦ x → + ∞ 5 + 3 x→+∞
⎛3⎞
x
5
x 5+⎜ ⎟
5 ⎝5⎠
0
3.4.2 Indeterminacions del tipus
0
Exemples:

x − 3 ⎡0⎤ 1 1
a) lím = ⎢ ⎥ = lím =
x→3 x − 9 ⎣0⎦
2 x→3 x +3 6

x + 3 ⎡0⎤ 1 ⎧+ ∞ si x → 3 +
b) lím = ⎢ ⎥ = lím =⎨ −
x → 3 x2 − 9
⎣ 0 ⎦ x → 3 x − 3 ⎩ − ∞ si x → 3

c) lím
x + 4 − 3 ⎡0⎤
= ⎢ ⎥ = lím
( x+ 4 −3 )( x+4 +3 ) = lím x+ 4−9
=
x→5 x−5 ⎣0⎦ x →5 ( x − 5) ( x+4 +3 ) x→5
( x − 5) ( x+4 +3 )
x −5 1 1
= lím = lím =
x→5
( x − 5) ( x+4 +3 ) x→5
( x+4 +3 ) 6

3.4.3 Indeterminacions del tipus ∞ − ∞

Exemples:

a) lím
x3 − 3 x 2 − 5
− = [ ∞ − ∞ ] = lím
( x 4 + x3 − 3x − 3) − ( x 4 − 14 x2 + 45) =
x → + ∞ x2 − 9 x +1 x→+∞ x3 + x 2 − 9 x − 9

x 3 + 14 x 2 − 3 x − 48
lím =1
x→+∞ x3 + x 2 − 9 x − 9


b) lím
x→+∞
( )
2 x 2 − x − 2 x 2 + 3 x = [ (+ ∞ ) − (+ ∞ )] =

= lím
( 2 x 2 − x − 2 x 2 + 3x )( 2 x 2 − x + 2 x 2 + 3x )=
x→+∞
( 2 x 2 − x + 2 x2 + 3x )
= lím
( 2x 2
− x ) − ( 2 x 2 + 3x )
= lím
− 4x
=
x→+∞
( 2 x 2 − x + 2 x 2 + 3x ) x→+∞
( 2 x 2 − x + 2 x 2 + 3x )
− 4x
x −4 −4
= lím = lím = =− 2
x→+∞
2 x 2 − x + 2 x 2 + 3x x → + ∞ 2 x 2 − x 2 x2 + 3x 2 2
+
x x2 x2

⎛ ⎛ 3 ⎞x ⎞
c) lím ( 5 − 3 ) = [ (+ ∞) − (+ ∞) ] = lím 5 ⎜ 1 − ⎜ ⎟ ⎟ = (+ ∞ )·1 = + ∞
x x x
x→+∞ x→+∞ ⎜ ⎝5⎠ ⎟
⎝ ⎠

3.4.4 Indeterminacions del tipus 1± ∞

Propietat: Si lím f ( x) = 1 i lím g ( x) = ± ∞ es compleix:
x→a x→a

lím g ( x )· ⎡ f ( x ) −1⎤
lím f ( x) g ( x ) = e
x→a
x→a ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

Exemples:

4 x +1 ⎡ 2 x +3 ⎤ ⎡ 2 ⎤
⎛ 2x + 3 ⎞ lím
x→+ ∞
( 4 x +1) · ⎢
⎣ 2 x +1
−1⎥ lím
x→+ ∞
( 4 x +1) · ⎢ ⎥
⎣ 2 x +1 ⎦
a) lím ⎜ = ⎣1 ⎤ = e
⎡ ⎦ ∞ ⎦
=e =e4
x → + ∞ ⎝ 2x +1 ⎟⎠
⎡ ⎤
1 − x2 + x + 2
1 ⎡ x +3 ⎤ lím ⎢ ⎥
⎛ x+3 ⎞ x−2 lím · −1
x → 2 x − 2 ⎢ x 2 +1 ⎥ (
x → 2 ⎢ ( x − 2) x 2 +1 ) ⎥
b) lím = ⎡1∞ ⎤ = e ⎣ ⎦
=e ⎢
⎣ ⎥
⎦
=
x → 2 ⎜ x2 + 1 ⎟
⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎡ ⎤
lím ⎢ − ( x − 2)( x +1) ⎥
x → +2
(
⎢ ( x − 2) x +1 ⎥
2
)
=e ⎢
⎣ ⎥
⎦
= e − 3/ 5

3.4.5 Indeterminacions del tipus 0·(± ∞)

Exemple:

lím
x→+∞
( )
⎛ 3 ⎞
x2 − 1 ⎜ ⎟
⎝ x+5⎠
= [ (+ ∞)·0] = lím
x→+∞
3 x2 −1 ⎡ + ∞ ⎤
x+5
=⎢ ⎥ = lím 3
⎣+ ∞⎦ x →+∞
x2 − 1
( x + 5) 2
= 3·1 = 3


3.5 Càlcul de les asímptotes obliqües d’una funció
Si la recta y = m x + n és una asímptota obliqua per la dreta de la funció f ( x) , es compleix:

f ( x)
m = lím
x→+ ∞
n = lím
x→+∞
( f ( x) − m x )
x

Les asímptotes per l’esquerra es calculen igual, substituint + ∞ per − ∞

Cas particular: Si la funció f ( x) és racional, només tindrà asímptota obliqua (pels dos
costats) si el grau del numerador és una unitat més gran que el del denominador. En aquest cas,
el quocient entre el numerador i el denominador serà m x + n
4 x3 − 2 x 2 − 5 x
Exemple: f ( x) =
2 x 2 − 3x

4 x 3 − 2 x 2 − 5 x 2 x 2 − 3x
− 4 x3 + 6 x 2 2x + 2
Asímptota obliqua: y = 2x+2
− 4x + 6x
2

x

Observació: Si una funció té una asímptota horitzontal (per la dreta o per l’esquerra) no
pot tenir-ne una d’obliqua pel mateix costat.

4 Estudi de la continuïtat d’una funció

4.1 Funcions racionals
6
Exemple:

x3 − x 2 − 2x
f ( x) =
x 2 − 3x + 2 2

Dom f = x ∈ { }
x 2 − 3x + 2 ≠ 0 = − {1, 2}
Punts de discontinuïtat: x = 1, x = 2

x3 − x 2 − 2 x x( x + 1)( x − 2) x( x + 1)
1. lím = lím = lím =6
x→ 2 x − 3x + 2
2 x → 2 ( x − 1)( x − 2) x→ 2 ( x − 1)

Per tant, hi ha una discontinuïtat evitable en x = 2

x( x + 1)
2. lím = ∞ . Per tant, hi ha una discontinuïtat infinita en x = 1 i una
x→ 1 x − 1
asímptota vertical d'equació: x = 1 .


4.2 Funcions definides a trossos
Exemples:

a) Estudiem la continuïtat de

⎧x 3
⎪2 + 2 si x < −2
⎪ 2
⎪ x −3 si − 2 ≤ x < 0 1
f ( x) = ⎨
⎪ 2x − 3 si 0 < x ≤ 2
⎪ 6 –2 2
⎪ si x > 2
⎩ x

Per començar estudiem els punts que separen els –3
intervals de definició: x = −2 , x = 0 i x = 2

x
1. lím − f ( x) = lím − + 2 =1
x → −2 x → −2 2
lím f ( x) = lím + x2 − 3 = 1 ⇒ f és contínua en x = − 2
x → −2 + x → −2

f (− 2) = 1

2. lím f ( x) = lím − x 2 − 3 = − 3
x→0 − x→0

lím f ( x) = lím+ 2 x − 3 = − 3 ⇒ f té una discontinuïtat evitable en x = 0
x→0 + x→0

f (0) no existeix

3. lím f ( x) = lím − 2 x − 3 = 1
x→2− x→2

⇒ f té una discontinuïtat de salt en x = 2
6
lím + f ( x) = lím + =3
x→2 x→2 x

En els altres punts del seu domini, la funció f és contínua.

b) Quin ha de ser el valor de m perquè la funció següent sigui contínua en x = 3 ?

⎧ 3x − 2 si x < 3
f ( x) = ⎨
⎩mx − 7 si x ≥ 3

lím f ( x) = lím− 3x − 2 = 7
x→3 − x→3

lím f ( x) = lím+ m x − 7 = 3 m − 7
x→3 + x→3

f (3) = 3 m − 7

S’ha de complir: 3 m − 7 = 7 , és a dir: m = 14 / 3


OPERACIONS AMB LÍMITS DE FUNCIONS
(quadres sinòptics)
Observació: En els quadres següents, a tant pot ser un nombre real com
+∞ o −∞

A) SUMA : lím f ( x) + g ( x)
x→ a

lím g ( x) =
x→ a
k 2 +∞ −∞
lím f ( x) =
x→ a

k 1 +∞ −∞
k +k1 2

+∞ +∞ +∞ ?
−∞ −∞ ? −∞

B) PRODUCTE: lím f ( x)· g ( x)
x→ a

lím g ( x) =
x→ a
k >02
k <0
2 0 +∞ −∞
lím f ( x) =
x→ a

k >0
1
k ·k1 2 k ·k1 2 0 +∞ −∞
k <0
1
k ·k1 2 k ·k1 2 0 −∞ +∞
0 0 0 0 ? ?
+∞ +∞ −∞ ? +∞ −∞
−∞ −∞ +∞ ? −∞ +∞


C) QUOCIENT: lím f ( x)
x→ a g ( x)

lím g ( x) =
x→ a
k >0 k <0
2 2 0+ 0− +∞ −∞
lím f ( x) =
x→ a

k >0 k k
1

k
1

2 k
1

2
+∞ −∞ 0+ 0−
k <0 k k
1

k
1

2 k
1

2
−∞ +∞ 0− 0+
0 0 0 ? ? 0 0
+∞ +∞ −∞ +∞ −∞ ? ?
−∞ −∞ +∞ −∞ +∞ ? ?

D) POTÈNCIA: lím f ( x) g ( x)
x→ a
( f ( x) > 0)

lím g ( x) =
x→ a

k >0
2 k <0
2
0 +∞ −∞
lím f ( x) =
x→ a

0+ 0 +∞ ? 0 +∞
0 < k <1 1 kk 1
2 kk 1
2
1 0 +∞
1 1 1 1 ? ?
k >1
1 kk 1
2 kk 1
2
1 +∞ 0
+∞ +∞ 0 ? +∞ 0

QUADRE D'INDETERMINACIONS

(+ ∞) − (+ ∞) 0 ±∞
±∞ 0·(± ∞) 00 (+∞) 0 1±∞
(+ ∞) + (− ∞) 0

Anàlisi 2

More Related Content

What's hot

Similar to Anàlisi 2

Anàlisi 2