Twitter, profile picture
Uploaded byTwitter
PPT, PDF1,497 views

Aljabar

Dokumen ini adalah panduan untuk siswa dalam mempelajari matematika, khususnya aljabar, dengan penjelasan yang logis dan bahasa yang sederhana. Terdapat informasi tentang sejarah aljabar dan kontribusi ilmuwan aljabar, Muammad bin Musa al-Khawarizmi, serta prinsip dasar aljabar yang meliputi variabel, konstanta, dan operasi hitung. Buku ini bertujuan untuk membuat siswa merasa bahwa matematika itu mudah dan menyenangkan.

Embed presentation

Download to read offline
TEAM SHINOBI INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP FAKTORISASI ALJABAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena buku ini akhirnya dapat diselesaikan. Buku ini penulis hadirkan sebagai panduan bagi siswa dalam mempelajari matematika. Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai pelajaran yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit dan menggunakan bahasa yang sulit dipahami. Setelah mempelajari materi pada buku ini, siswa diharapkan memahami materi yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikan secara logis, sistematis, dan menggunakan bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki tampilan yang menarik sehingga siswa tidak akan merasa bosan. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu terwujudnya buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan panduan dalam mempelajari matematika. Percayalah, matematika itu mudah dan menyenangkan. Selamat belajar. Tim shinobi INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP PRAKATA
INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP Mu ammad bin Mūsā al-Khawārizmī (Arab:ḥ ‫الخوارزمي‬ ‫سى‬‫س‬‫موس‬ ‫سن‬‫س‬‫ب‬ ‫سد‬‫س‬‫)محم‬ adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi dan geografi yang berasal dari Persia. Beliau disebut sebagai Bapak Aljabar meski sebagian orang banyak yang mengatakan dia sebagai "Penemu Angka Nol" dan itu sepertinya kurang tepat. Beliau lahir sekitar tahun 780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 di Baghdad. SEJARAH ILMUWAN ALJABAR
Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad. Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India, kemudian diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan astrologi. Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika, tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti digit. Sedikit yang dapat diketahui dari hidup beliau, bahkan lokasi tempat lahirnya sekalipun. Nama beliau mungkin berasal dari Khwarizm (Khiva) yang berada di Provinsi Khurasan pada masa kekuasaan Bani Abbasiyah (sekarang Xorazm, salah satu provinsi Uzbekistan). Gelar beliau adalah Abū ‘Abdu llāh atau Abū Ja’far.
ISI ALJABAR BENTUK ALJABAR DAN APLIKASIN YA OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR PEMFAKTO RAN ALJABAR PEMECAHAN BENTUK ALJABAR INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP
Berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia, aljabar (algebra) merupakan cabang matematika yang menggunakan tanda-tanda atau huruf-huruf untuk menggambarkan atau mewakili angka-angka. Kita seringkali menjumpai masalah yang tidak dapat langsung kita selesaikan, khususnya masalah yang berkaitan dengan aljabar. Agar lebih mudah dalam menyelesaikan suatu masalah maka masalah tersebut harus diubah dahulu dalam bentuk aljabar. Sebagai contoh, kita ingin menentukan berapa banyak air yang harus ditambahkan ke 1 liter larutan asam 30% agar larutan asam tersebut menjadi larutan asam 20%. Materi yang akan kita pelajari antara lain bentuk aljabar dan unsur- unsurnya, operasi bentuk aljabar, persamaan linear satu variabel, dan pertidaksamaan linear satu variabel serta penyelesaiannya. ALJABAR
Perhatikan ilustrasi berikut. Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika dinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah. Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar. Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. BENTUK ALJABAR DAN APLIKASINYA
Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar. Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x ² – 3x + 7, (x + 1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan suku tak sejenis. Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut.
1. Variabel, Konstanta, dan Faktor Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z. Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 x x atau 5x = 1 x 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.
2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a ² dan a ², y dan 4y, ... Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x ², –y dan –x, 5x dan –2y, ... Contoh: 3x, 2a ², –4xy, ... Contoh: 2x + 3, a ² – 4, 3x ² – 4x, ... Contoh: 2x ² – x + 1, 3x + y – xy, ...
Catatan: Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyakdisebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajari pemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.
Sebelum kita membahas mengenai operasi hitung pada bentuk aljabar sebaiknya terlebih dahulu kalian memahami tentang perkalian suatu konstanta dengan suku banyak dan tentang substitusi bilangan pada variabel (peubah) dari suku banyak. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. 1. 2(a + 3) = 2a + 6 (sifat distributif) 2. – (x – 3) = – x + 3 3. 3m(x + 2y + 3) = 3mx + 6my + 9m Jika pada bentuk aljabar 3x + 5y, variabel x diganti dengan 2 dan variabel y diganti dengan 4, maka diperoleh: 3x + 5y = 3(2) + 5(4) = 6 + 20 Proses mengganti variabel dengan suatu bilangan disebut proses substitusi. OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
1. Penjumlahan dan Pengurangan Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat juga berlaku pada bentuk aljabar tetapi operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat distributif. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh 1. 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x 2. 5a – 3a – 2a + 4a = (5– 3 – 2 + 4)a = 4a 3. 7a + 5b + a – 2b = 7a + a + 5b – 2b = (7 + 1)a + (5 – 2)b = 8a + 3b 4. 5x + 3y + 6
Operasi penjumlahan pada bentuk aljabar di atas tidak dapat dilakukan karena suku sukunya tidak sejenis, yaitu 5x, 3y, dan 6 tidak sejenis. 5. Kurangkan bentuk aljabar berikut. a. 8x –4y dari 5x – 7y b. 6x ² + 5x + 2 dari 7x ² + 2x – 3 Penyelesaian: a. 5x – 7y – (8x – 4y) = 5x – 7y – 8x+ 4y= –3x – 3y b. 7x ² + 2x – 3– (6x ² + 5x + 2) = 7x ² + 2x– 3 – 6x ² – 5x – 2 = x ² – 3x – 5
2. Operasi Hitung Perkalian dan Pembagian Pada bentuk-bentuk aljabar berlaku sifat-sifat penjumlahan dan perkalian seperti pada bilangan bulat. Beberapa sifat tersebut antara lain: a. Sifat komutatif penjumlahan, yaitu a + b = b + a b. Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu a + (b + c) = (a + b) +c c. Sifat komutatif perkalian, yaitu a × b = b × d. Sifat asosiatif perkalian, yaitu a × (b × c) = (a × b) ×c e. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Pada perkalian antarsuku aljabar,kita dapat menggunakan sifat distributif sebagai konsep dasarnya. Pada bahasan ini akan dipelajari mengenai perkalian suku satu dengan suku dua atau dengan suku banyak dan perkalian antara suku dua dengan suku dua.
Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua atau Suku Banyak Berikut ini disajikan beberapa contoh perkalian suku satu, baik perkalian dengan suku dua atau dengan suku banyak. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut ini! a.4x (x - 2y) b.b. 8a (3ab - 2ab ² - 8ab) Penyelesaian: Gunakan sifat distributif untuk menyelesaikan permasalahan di atas. a. 4x (x – 2y) = (4x . x) – (4x (2y)) = 4x2 – 8xy b. 8a (3ab – 2ab ² – 8ab) = 8a ((3ab – 8ab) – 2ab ²) = 8a ((-5ab) – 2ab ²) = (8a x (-5ab)) - (8a . 2ab ²) = -40a ² b – 16a ² b ² (bagi dengan –8) = 5a ² b + 2a ² b ²
Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua Masih sama dengan perkalian sebelumnya, penyelesaian perkalian suku dua atau binomial tetap menggunakan konsep dasar sifat distributif. Misalkan kita mempunyai suku dua (binomial) yang berbentuk (a + b) dan (c + d). Langkah- langkah penyelesaian yang harus dilakukan adalah seperti terlihat pada gambar berikut. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Jadi (a + b)(c + d) = (ac + bc) + (ad + bd). Perkalian suku dua dengan suku dua merupakan bentuk perkalian antara suku dua dengan dirinya sendiri atau dapat pula diartikan sebagai pengkuadratan suku dua. Misalkan kita mempunyai suku dua (x+y), maka langkah- langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut. (x+y)² = (x + y)(x + y) (pengkuadratan) = x (x + y) + y (x + y) (sifat distributif) = ((x.x) + (x.y)) + ((y.x) + (y.y)) (sifat distributif) = x² + xy + yx + y² (sifat komutatif) = x² + 2xy + y² `
Contoh Tentukan hasil kali dari (x + 2) ², kemudian sederhanakan! Penyelesaian: (x + 2) ² = (x + 2)(x + 2) = x ² + 2x + 2x + 2 × 2 = x ² + 2(2x) + 4 = x ² + 4x + 4 Jadi (x + 2)² = x ² + 4x + 4 Contoh Tentukan hasil kali dari (x + 2) ², kemudian sederhanakan! Penyelesaian: (x + 2) ² = (x + 2)(x + 2) = x ² + 2x + 2x + 2 × 2 = x ² + 2(2x) + 4 = x ² + 4x + 4 Jadi (x + 2)² = x ² + 4x + 4
Selisih Dua Kuadrat Setelah kita mempelajari tentang perkalian suku dua dengan dirinya sendiri (bentuk kuadrat), sekarang kita akan membahas perkalian suku dua antara (x+y) dan (x-y). Langkah-langkah penyelesaiannya sama saja dengan penyelesaian bentuk (x + y) ² dan (x – y) ² yaitu: (x + y)( x – y) = (x + y)(x - y) (selisih dua kuadrat) = x (x - y) + y (x - y) (sifat distributif) = ((x.x)–(x.y))+((y.x)–(y.y)) (sifat distributif) = x ² – xy + yx + y ² (sifat komutatif) = x ² + y ² Bentuk di atas dikenal dengan istilah selisih dua kuadrat. Agar lebih memahami tentang selisih dua kuadrat, pehatikan contoh berikut ini!
Contoh Tentukan hasil kali dari (x – 3)(x + 3)! Penyelesaian: (x – 3)(x + 3) = (x - 3)(x + 3) = (x.x) + (x.3) + ((-3)x) + ((-3)(3)) = x ² + (3x) –3x – 9 = x ² – 9 Jadi (x – 3)(x + 3) = x ² – 9 Contoh Tentukan hasil kali dari (x – 3)(x + 3)! Penyelesaian: (x – 3)(x + 3) = (x - 3)(x + 3) = (x.x) + (x.3) + ((-3)x) + ((-3)(3)) = x ² + (3x) –3x – 9 = x ² – 9 Jadi (x – 3)(x + 3) = x ² – 9
Kalian masih ingat dengan istilah faktor suku aljabar? Bentuk aljabar xy merupakan perkalian dari x dengan y (xy = x × y). Maka yang menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu juga dengan bentuk a(x + y), dimana faktor dari a(x + y) adalah a dan (x + y). Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke dalam bentuk perkalian atau faktor. PEMFAKTORAN SUKU ALJABARPEMFAKTORAN SUKU ALJABAR
Hukum distributif dan faktor persekutuan al jabar Masih ingat dengan hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real? pada hukum distributif berlaku aturan a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Faktor Penjumlahan suku-suku Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar. Perhatikan contoh berikut: Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini! a. 2x ² + 8x ² y b. 3x ² y – 15xy ² z Penyelesaian: a. 2x ² + 8x ² y = 2x ² (1 + 4y) (FPB 2x ² dan 8x ² y = 2x ²) b. 3x ² y – 15xy ² z = 3xy(x - 5yz) (FPB 3x ² y dan 15xy ² z = 3xy) Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini! a. 2x ² + 8x ² y b. 3x ² y – 15xy ² z Penyelesaian: a. 2x ² + 8x ² y = 2x ² (1 + 4y) (FPB 2x ² dan 8x ² y = 2x ²) b. 3x ² y – 15xy ² z = 3xy(x - 5yz) (FPB 3x ² y dan 15xy ² z = 3xy)
Faktorisasi Bentuk x ² + 2xy +y ² Ayo kita tinjau kembali hasil perkalian bentuk (x + y) ². Hasil perkalian dari (x + y) ² adalah x ² + 2xy + y ². Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu: a. Koefisien peubah pangkat dua (x ²) sama dengan 1. b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x. Perhatikan contoh berikut ini! Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16! Penyelesaian: Konstanta = ( ½ × 8) ² = 42, maka x ² + 8x + 16 = x² + 8x + (4) ² = (x +4) ² = (x + 4)(x + 4) Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian suku- suku tersebut difaktorkan.
Perhatikan contoh berikut ini! Contoh Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16! Penyelesaian: x ² + 8x + 16 = x ² + 4x + 4x + 16 = (x ² + 4x) + (4x + 16) = x (x + 4) + 4(x + 4 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4) ² Jadi faktor dari x ² + 4x + 16 adalah (x + 4) ² Contoh Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16! Penyelesaian: x ² + 8x + 16 = x ² + 4x + 4x + 16 = (x ² + 4x) + (4x + 16) = x (x + 4) + 4(x + 4 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4) ² Jadi faktor dari x ² + 4x + 16 adalah (x + 4) ²
Faktorisasi bentuk kuadrat ax2 + bx + 0 Selain faktorisasi bentuk x ² + 2xy + y ², faktorisasi bentuk kuadrat terdapat pula dalam bentuk ax ² + bx + c; dengan a, b, dan c merupakan bilangan real. a dan b merupakan koefisien, c adalah konstanta. Sedangkan yang menjadi peubah atau variabel adalah x ² dan x. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1 Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus memperhatikan bentuk perkalian suku (x + y) dengan (x + z) berikut. (x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif) = ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif) = x ² + xz + xy + yz = x ² + (y + z)x + yz
Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar dari x ² + 7x + 12! Penyelesaian: x ² + 7x + 12 = x ² + (y + z)x + yz y + z = 7 yz = 12 y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3. Jadi bentuk kuadrat dari x ² + 7x + 12 adalah: (x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4) atau (x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3). Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar dari x ² + 7x + 12! Penyelesaian: x ² + 7x + 12 = x ² + (y + z)x + yz y + z = 7 yz = 12 y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3. Jadi bentuk kuadrat dari x ² + 7x + 12 adalah: (x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4) atau (x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3).

More Related Content

PDF
MODUL MENGENAL BENTUK ALJABAR
byNety24
 
DOCX
Operasi aljabar smp
byMey Maajidah
 
PPTX
Mengenal bentuk aljabar
byFransisca Leny
 
DOCX
Modul Mengenal bentuk Aljabar 7.3.5 (nurwaningsih)
bynurwa ningsih
 
DOCX
MATERI ALJABAR KELAS VII
byAbdul Rais P
 
PPTX
Mengenal Bentuk Aljabar
byFransisca Leny
 
PPT
Pengembangan Aljabar
bymafia_konoha
 
PDF
02 bab 01
byeli priyatna laidan
 
MODUL MENGENAL BENTUK ALJABAR
byNety24
 
Operasi aljabar smp
byMey Maajidah
 
Mengenal bentuk aljabar
byFransisca Leny
 
Modul Mengenal bentuk Aljabar 7.3.5 (nurwaningsih)
bynurwa ningsih
 
MATERI ALJABAR KELAS VII
byAbdul Rais P
 
Mengenal Bentuk Aljabar
byFransisca Leny
 
Pengembangan Aljabar
bymafia_konoha
 
02 bab 01
byeli priyatna laidan
 

What's hot

PDF
Bentuk aljabar dan Operasi Hitung
byChristinaPutriningsi
 
PPT
Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
byvivi agustin
 
PDF
Modul 2 keterbagian bilangan bulat
byAcika Karunila
 
DOCX
Bentuk aljabar dan unsur unsurnya
bySeptian Muna Barakati
 
PPT
Teori probabilitas
byMuhammad Syaifulloh
 
PPTX
Kombinasi, Permutasi dan Peluang ppt
byAisyah Turidho
 
PPTX
Tugas pertama persamaan linear satu variabel
byPian Aifa
 
PPT
Teori bahasa dan otomata 3
byUniversitas Putera Batam
 
DOC
Aljabar Dasar.
byNasifah LasMana
 
PPTX
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
byAwanda Gita
 
PPTX
Pengantar dasar matematika (FUNGSI)
bytaufiq99
 
DOC
Makalah arit kel.7
bypanduardiansyah99
 
PPTX
Plsv
byRizal Aminulloh
 
DOCX
Sejarah aljabar
bynurwa ningsih
 
PPTX
Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variable fina yuanita
byFina Yuanita
 
PPTX
5 permutasi dan kombinasi
byHeni Widayani
 
PPTX
Persamaan linear satu variabel
byPungkasinta Dwi Nursiwi
 
DOCX
Bab 3 mtk
byliaoktivita
 
PPT
Ek107 002003-565-6
byMuhammad Syaifulloh
 
PDF
Permutasi 1
byRuSlan CraGy
 
Bentuk aljabar dan Operasi Hitung
byChristinaPutriningsi
 
Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)
byvivi agustin
 
Modul 2 keterbagian bilangan bulat
byAcika Karunila
 
Bentuk aljabar dan unsur unsurnya
bySeptian Muna Barakati
 
Teori probabilitas
byMuhammad Syaifulloh
 
Kombinasi, Permutasi dan Peluang ppt
byAisyah Turidho
 
Tugas pertama persamaan linear satu variabel
byPian Aifa
 
Teori bahasa dan otomata 3
byUniversitas Putera Batam
 
Aljabar Dasar.
byNasifah LasMana
 
Persamaan dan pertidaksaan nilai mutlak MATEMATIKA KELAS X
byAwanda Gita
 
Pengantar dasar matematika (FUNGSI)
bytaufiq99
 
Makalah arit kel.7
bypanduardiansyah99
 
Plsv
byRizal Aminulloh
 
Sejarah aljabar
bynurwa ningsih
 
Persamaan dan pertidaksamaan linear satu variable fina yuanita
byFina Yuanita
 
5 permutasi dan kombinasi
byHeni Widayani
 
Persamaan linear satu variabel
byPungkasinta Dwi Nursiwi
 
Bab 3 mtk
byliaoktivita
 
Ek107 002003-565-6
byMuhammad Syaifulloh
 
Permutasi 1
byRuSlan CraGy
 

Similar to Aljabar

PPT
BAB 1 Aljabar (Copy).ppt
byIsbarAhmad
 
PDF
Bab I Mtk 8
byRia Astariyan
 
PDF
Sifat asosiatif (pengelompokan), misalnya (1).pdf
byNurulIkra1
 
PPTX
Raniati 1830206112 operasi hitung aljabar
byIslamic State University of Raden Fatah Palembang
 
PPTX
2015-01-02-11-22-07.7oprasi-aljabar.pptx
byyusliana07
 
PPTX
Operasi aljabar (sri mulyani)
byMathFour
 
PPTX
PPT_KONSEP ALJABAR DAN OPERASI HITUNG ALJABAR.pptx
bysrypane63
 
PPTX
ALJABAR KELAS 7 SEMESTER 2 pendekatan.pptx
byrestugates7
 
DOCX
Materi aljabar
bySae Pime
 
PPTX
PPT MATERI ALJABAR KELAS 7 MENGGUNAKAN TGT
bynadya665639
 
PDF
Mat7 bab3
bySMPK Stella Maris
 
PPTX
PPTMateri Aljabar Jurusan Pendidikan Matematika .pptx
byFahmiRifandi
 
PPTX
PPTKelas7Semester120202021MatematikaBAB3_unduh_www.dewan.guru.pptx
byAlbertusAdhitya1
 
PPTX
Aljabar
bycmem
 
DOC
Makalah telaah kelompok 3
byDyah Ayu Fatmawati
 
PPTX
542764311-Ppt-Bentuk-Aljabar-Kls-7smp.pptx
byYosanYapputra
 
PPTX
PPT ALJABAR KELAS VII Part II.pptx
byMARKUSROZEKINAIBAHO
 
DOCX
LKS Operasi Bentuk Aljabar
byDuano Nusantara
 
PPTX
ALJABAR .pptx
byIstiHardiyantiKusuma
 
DOCX
Matematika
bySeptian Muna Barakati
 
BAB 1 Aljabar (Copy).ppt
byIsbarAhmad
 
Bab I Mtk 8
byRia Astariyan
 
Sifat asosiatif (pengelompokan), misalnya (1).pdf
byNurulIkra1
 
Raniati 1830206112 operasi hitung aljabar
byIslamic State University of Raden Fatah Palembang
 
2015-01-02-11-22-07.7oprasi-aljabar.pptx
byyusliana07
 
Operasi aljabar (sri mulyani)
byMathFour
 
PPT_KONSEP ALJABAR DAN OPERASI HITUNG ALJABAR.pptx
bysrypane63
 
ALJABAR KELAS 7 SEMESTER 2 pendekatan.pptx
byrestugates7
 
Materi aljabar
bySae Pime
 
PPT MATERI ALJABAR KELAS 7 MENGGUNAKAN TGT
bynadya665639
 
Mat7 bab3
bySMPK Stella Maris
 
PPTMateri Aljabar Jurusan Pendidikan Matematika .pptx
byFahmiRifandi
 
PPTKelas7Semester120202021MatematikaBAB3_unduh_www.dewan.guru.pptx
byAlbertusAdhitya1
 
Aljabar
bycmem
 
Makalah telaah kelompok 3
byDyah Ayu Fatmawati
 
542764311-Ppt-Bentuk-Aljabar-Kls-7smp.pptx
byYosanYapputra
 
PPT ALJABAR KELAS VII Part II.pptx
byMARKUSROZEKINAIBAHO
 
LKS Operasi Bentuk Aljabar
byDuano Nusantara
 
ALJABAR .pptx
byIstiHardiyantiKusuma
 
Matematika
bySeptian Muna Barakati
 

Recently uploaded

PDF
LKPD - IPAS (Ilmu Pengetahuan Alam dan Sosial)
byYatno Sudar
 
PDF
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Akidah Akhlak Kelas 8 [modulguruku....
byModul Guruku
 
PDF
Etika Komunikasi antara Dosen dan Mahasiswa
byRangga Wijaya
 
DOCX
2025-New CV-Syamsir_Abduh(Indonesia Version).docx
bySyamsirAbduh2
 
PPTX
PEWARNAAN PETA DAN PEWARNAAN GARIS_KELOMPOK 9.pptx
byanandadelak25
 
PPTX
KELOPOK 3. PENELITIAN EX POST FACTO.pptx
byssuserb9e40d1
 
PDF
MODUL AJAR DEEP LEARNING PENDIDIKAN AGAMA ISLAM (PAIBP) KELAS 4 (RENCANA PEMB...
byARIS AR
 
PDF
MODUL AJAR DEEP LEARNING SENI MUSIK KELAS 2 (RENCANA PEMBELAJARAN MENDALAM) C...
byARIS AR
 
PPTX
837343627-Ppt-Rpp-Ukin-Bahasa-Arab-5-Bab-4.pptx
bygitaadevi1
 
PPTX
INDUKSI STUDI KASUS REFLEKTIF PPG DALAM JABATAN 2025.pptx
byAlfanSurury1
 
PPTX
PPT IHT DEEP LEARNING RIZAL 2025 MATERI PENGIMBASAN PEMBELAJARAN MENDALAM DEE...
bymirzarosikhan
 
PDF
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Al-Qur’an Hadis Kelas 7 [modulguruk...
byModul Guruku
 
PDF
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Akidah Akhlak Kelas 7
byModul Guruku
 
PPT
TIMBANG TERIMA MANAJEMEN KEPERAWATAN 2025
byEviNurmaisaBiduri
 
PPTX
Kepramukaan Petualangan Pramuka Penggalang
byfahdifauziassyabu
 
PDF
Sub CPMK (Capaian Pembelajaran Mata Kuliah) Ulumul Quran.pdf
bySyarifatul Marwiyah
 
PDF
A203157_Tugasan Audit Keselamatan Jalan Raya.pdf
bya203157
 
PPTX
Tujuan Investigasi Suap dan Sanksi _Training "INVESTIGASI PENYUAPAN".pptx
byKanaidi ken
 
PPTX
Mekanisme Pelaporan Tindakan Penyuapan _Training "INVESTIGASI PENYUAPAN".pptx
byKanaidi ken
 
PDF
JAMINAN MUTU PADA PEMERIKSAAN VIROLOGI.pdf
byMuhammadSuyadi2
 
LKPD - IPAS (Ilmu Pengetahuan Alam dan Sosial)
byYatno Sudar
 
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Akidah Akhlak Kelas 8 [modulguruku....
byModul Guruku
 
Etika Komunikasi antara Dosen dan Mahasiswa
byRangga Wijaya
 
2025-New CV-Syamsir_Abduh(Indonesia Version).docx
bySyamsirAbduh2
 
PEWARNAAN PETA DAN PEWARNAAN GARIS_KELOMPOK 9.pptx
byanandadelak25
 
KELOPOK 3. PENELITIAN EX POST FACTO.pptx
byssuserb9e40d1
 
MODUL AJAR DEEP LEARNING PENDIDIKAN AGAMA ISLAM (PAIBP) KELAS 4 (RENCANA PEMB...
byARIS AR
 
MODUL AJAR DEEP LEARNING SENI MUSIK KELAS 2 (RENCANA PEMBELAJARAN MENDALAM) C...
byARIS AR
 
837343627-Ppt-Rpp-Ukin-Bahasa-Arab-5-Bab-4.pptx
bygitaadevi1
 
INDUKSI STUDI KASUS REFLEKTIF PPG DALAM JABATAN 2025.pptx
byAlfanSurury1
 
PPT IHT DEEP LEARNING RIZAL 2025 MATERI PENGIMBASAN PEMBELAJARAN MENDALAM DEE...
bymirzarosikhan
 
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Al-Qur’an Hadis Kelas 7 [modulguruk...
byModul Guruku
 
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Akidah Akhlak Kelas 7
byModul Guruku
 
TIMBANG TERIMA MANAJEMEN KEPERAWATAN 2025
byEviNurmaisaBiduri
 
Kepramukaan Petualangan Pramuka Penggalang
byfahdifauziassyabu
 
Sub CPMK (Capaian Pembelajaran Mata Kuliah) Ulumul Quran.pdf
bySyarifatul Marwiyah
 
A203157_Tugasan Audit Keselamatan Jalan Raya.pdf
bya203157
 
Tujuan Investigasi Suap dan Sanksi _Training "INVESTIGASI PENYUAPAN".pptx
byKanaidi ken
 
Mekanisme Pelaporan Tindakan Penyuapan _Training "INVESTIGASI PENYUAPAN".pptx
byKanaidi ken
 
JAMINAN MUTU PADA PEMERIKSAAN VIROLOGI.pdf
byMuhammadSuyadi2
 

Aljabar

  • 2.
  • 3.
    Puji syukur penulispanjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena buku ini akhirnya dapat diselesaikan. Buku ini penulis hadirkan sebagai panduan bagi siswa dalam mempelajari matematika. Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai pelajaran yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit dan menggunakan bahasa yang sulit dipahami. Setelah mempelajari materi pada buku ini, siswa diharapkan memahami materi yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikan secara logis, sistematis, dan menggunakan bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki tampilan yang menarik sehingga siswa tidak akan merasa bosan. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu terwujudnya buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan panduan dalam mempelajari matematika. Percayalah, matematika itu mudah dan menyenangkan. Selamat belajar. Tim shinobi INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP PRAKATA
  • 4.
    INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP Mu ammad binMūsā al-Khawārizmī (Arab:ḥ ‫الخوارزمي‬ ‫سى‬‫س‬‫موس‬ ‫سن‬‫س‬‫ب‬ ‫سد‬‫س‬‫)محم‬ adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi dan geografi yang berasal dari Persia. Beliau disebut sebagai Bapak Aljabar meski sebagian orang banyak yang mengatakan dia sebagai "Penemu Angka Nol" dan itu sepertinya kurang tepat. Beliau lahir sekitar tahun 780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 di Baghdad. SEJARAH ILMUWAN ALJABAR
  • 5.
    Hampir sepanjang hidupnya,ia bekerja sebagai dosen di Sekolah Kehormatan di Baghdad. Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Translasi bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India, kemudian diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan astrologi. Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika, tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo yang berarti digit. Sedikit yang dapat diketahui dari hidup beliau, bahkan lokasi tempat lahirnya sekalipun. Nama beliau mungkin berasal dari Khwarizm (Khiva) yang berada di Provinsi Khurasan pada masa kekuasaan Bani Abbasiyah (sekarang Xorazm, salah satu provinsi Uzbekistan). Gelar beliau adalah Abū ‘Abdu llāh atau Abū Ja’far.
  • 6.
  • 7.
    Berdasarkan Kamus BesarBahasa Indonesia, aljabar (algebra) merupakan cabang matematika yang menggunakan tanda-tanda atau huruf-huruf untuk menggambarkan atau mewakili angka-angka. Kita seringkali menjumpai masalah yang tidak dapat langsung kita selesaikan, khususnya masalah yang berkaitan dengan aljabar. Agar lebih mudah dalam menyelesaikan suatu masalah maka masalah tersebut harus diubah dahulu dalam bentuk aljabar. Sebagai contoh, kita ingin menentukan berapa banyak air yang harus ditambahkan ke 1 liter larutan asam 30% agar larutan asam tersebut menjadi larutan asam 20%. Materi yang akan kita pelajari antara lain bentuk aljabar dan unsur- unsurnya, operasi bentuk aljabar, persamaan linear satu variabel, dan pertidaksamaan linear satu variabel serta penyelesaiannya. ALJABAR
  • 8.
    Perhatikan ilustrasi berikut. Banyakboneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika dinyatakan dengan x + 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah. Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar. Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. BENTUK ALJABAR DAN APLIKASINYA
  • 9.
    Bentuk aljabar dapatdimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar. Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x ² – 3x + 7, (x + 1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku sejenis, dan suku tak sejenis. Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar, pelajarilah uraian berikut.
  • 10.
    1. Variabel, Konstanta,dan Faktor Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel. Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ..., z. Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta. Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel. Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 x x atau 5x = 1 x 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x. Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar. Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.
  • 11.
    2. Suku Sejenisdan Suku Tak Sejenis a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama. Contoh: 5x dan –2x, 3a ² dan a ², y dan 4y, ... Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama. Contoh: 2x dan –3x ², –y dan –x, 5x dan –2y, ... Contoh: 3x, 2a ², –4xy, ... Contoh: 2x + 3, a ² – 4, 3x ² – 4x, ... Contoh: 2x ² – x + 1, 3x + y – xy, ...
  • 12.
    Catatan: Bentuk aljabar sukudua disebut juga binom, bentuk aljabar suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku banyakdisebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan mempelajari pemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua.
  • 13.
    Sebelum kita membahasmengenai operasi hitung pada bentuk aljabar sebaiknya terlebih dahulu kalian memahami tentang perkalian suatu konstanta dengan suku banyak dan tentang substitusi bilangan pada variabel (peubah) dari suku banyak. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. 1. 2(a + 3) = 2a + 6 (sifat distributif) 2. – (x – 3) = – x + 3 3. 3m(x + 2y + 3) = 3mx + 6my + 9m Jika pada bentuk aljabar 3x + 5y, variabel x diganti dengan 2 dan variabel y diganti dengan 4, maka diperoleh: 3x + 5y = 3(2) + 5(4) = 6 + 20 Proses mengganti variabel dengan suatu bilangan disebut proses substitusi. OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR
  • 14.
    1. Penjumlahan danPengurangan Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat juga berlaku pada bentuk aljabar tetapi operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat distributif. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini. Contoh 1. 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x 2. 5a – 3a – 2a + 4a = (5– 3 – 2 + 4)a = 4a 3. 7a + 5b + a – 2b = 7a + a + 5b – 2b = (7 + 1)a + (5 – 2)b = 8a + 3b 4. 5x + 3y + 6
  • 15.
    Operasi penjumlahan padabentuk aljabar di atas tidak dapat dilakukan karena suku sukunya tidak sejenis, yaitu 5x, 3y, dan 6 tidak sejenis. 5. Kurangkan bentuk aljabar berikut. a. 8x –4y dari 5x – 7y b. 6x ² + 5x + 2 dari 7x ² + 2x – 3 Penyelesaian: a. 5x – 7y – (8x – 4y) = 5x – 7y – 8x+ 4y= –3x – 3y b. 7x ² + 2x – 3– (6x ² + 5x + 2) = 7x ² + 2x– 3 – 6x ² – 5x – 2 = x ² – 3x – 5
  • 16.
    2. Operasi HitungPerkalian dan Pembagian Pada bentuk-bentuk aljabar berlaku sifat-sifat penjumlahan dan perkalian seperti pada bilangan bulat. Beberapa sifat tersebut antara lain: a. Sifat komutatif penjumlahan, yaitu a + b = b + a b. Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu a + (b + c) = (a + b) +c c. Sifat komutatif perkalian, yaitu a × b = b × d. Sifat asosiatif perkalian, yaitu a × (b × c) = (a × b) ×c e. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Pada perkalian antarsuku aljabar,kita dapat menggunakan sifat distributif sebagai konsep dasarnya. Pada bahasan ini akan dipelajari mengenai perkalian suku satu dengan suku dua atau dengan suku banyak dan perkalian antara suku dua dengan suku dua.
  • 17.
    Perkalian Suku Satudengan Suku Dua atau Suku Banyak Berikut ini disajikan beberapa contoh perkalian suku satu, baik perkalian dengan suku dua atau dengan suku banyak. Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut ini! a.4x (x - 2y) b.b. 8a (3ab - 2ab ² - 8ab) Penyelesaian: Gunakan sifat distributif untuk menyelesaikan permasalahan di atas. a. 4x (x – 2y) = (4x . x) – (4x (2y)) = 4x2 – 8xy b. 8a (3ab – 2ab ² – 8ab) = 8a ((3ab – 8ab) – 2ab ²) = 8a ((-5ab) – 2ab ²) = (8a x (-5ab)) - (8a . 2ab ²) = -40a ² b – 16a ² b ² (bagi dengan –8) = 5a ² b + 2a ² b ²
  • 18.
    Perkalian Suku Duadengan Suku Dua Masih sama dengan perkalian sebelumnya, penyelesaian perkalian suku dua atau binomial tetap menggunakan konsep dasar sifat distributif. Misalkan kita mempunyai suku dua (binomial) yang berbentuk (a + b) dan (c + d). Langkah- langkah penyelesaian yang harus dilakukan adalah seperti terlihat pada gambar berikut. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Jadi (a + b)(c + d) = (ac + bc) + (ad + bd). Perkalian suku dua dengan suku dua merupakan bentuk perkalian antara suku dua dengan dirinya sendiri atau dapat pula diartikan sebagai pengkuadratan suku dua. Misalkan kita mempunyai suku dua (x+y), maka langkah- langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut. (x+y)² = (x + y)(x + y) (pengkuadratan) = x (x + y) + y (x + y) (sifat distributif) = ((x.x) + (x.y)) + ((y.x) + (y.y)) (sifat distributif) = x² + xy + yx + y² (sifat komutatif) = x² + 2xy + y² `
  • 19.
    Contoh Tentukan hasil kalidari (x + 2) ², kemudian sederhanakan! Penyelesaian: (x + 2) ² = (x + 2)(x + 2) = x ² + 2x + 2x + 2 × 2 = x ² + 2(2x) + 4 = x ² + 4x + 4 Jadi (x + 2)² = x ² + 4x + 4 Contoh Tentukan hasil kali dari (x + 2) ², kemudian sederhanakan! Penyelesaian: (x + 2) ² = (x + 2)(x + 2) = x ² + 2x + 2x + 2 × 2 = x ² + 2(2x) + 4 = x ² + 4x + 4 Jadi (x + 2)² = x ² + 4x + 4
  • 20.
    Selisih Dua Kuadrat Setelahkita mempelajari tentang perkalian suku dua dengan dirinya sendiri (bentuk kuadrat), sekarang kita akan membahas perkalian suku dua antara (x+y) dan (x-y). Langkah-langkah penyelesaiannya sama saja dengan penyelesaian bentuk (x + y) ² dan (x – y) ² yaitu: (x + y)( x – y) = (x + y)(x - y) (selisih dua kuadrat) = x (x - y) + y (x - y) (sifat distributif) = ((x.x)–(x.y))+((y.x)–(y.y)) (sifat distributif) = x ² – xy + yx + y ² (sifat komutatif) = x ² + y ² Bentuk di atas dikenal dengan istilah selisih dua kuadrat. Agar lebih memahami tentang selisih dua kuadrat, pehatikan contoh berikut ini!
  • 21.
    Contoh Tentukan hasil kalidari (x – 3)(x + 3)! Penyelesaian: (x – 3)(x + 3) = (x - 3)(x + 3) = (x.x) + (x.3) + ((-3)x) + ((-3)(3)) = x ² + (3x) –3x – 9 = x ² – 9 Jadi (x – 3)(x + 3) = x ² – 9 Contoh Tentukan hasil kali dari (x – 3)(x + 3)! Penyelesaian: (x – 3)(x + 3) = (x - 3)(x + 3) = (x.x) + (x.3) + ((-3)x) + ((-3)(3)) = x ² + (3x) –3x – 9 = x ² – 9 Jadi (x – 3)(x + 3) = x ² – 9
  • 22.
    Kalian masih ingatdengan istilah faktor suku aljabar? Bentuk aljabar xy merupakan perkalian dari x dengan y (xy = x × y). Maka yang menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu juga dengan bentuk a(x + y), dimana faktor dari a(x + y) adalah a dan (x + y). Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke dalam bentuk perkalian atau faktor. PEMFAKTORAN SUKU ALJABARPEMFAKTORAN SUKU ALJABAR
  • 23.
    Hukum distributif danfaktor persekutuan al jabar Masih ingat dengan hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real? pada hukum distributif berlaku aturan a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Faktor Penjumlahan suku-suku Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar. Perhatikan contoh berikut: Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini! a. 2x ² + 8x ² y b. 3x ² y – 15xy ² z Penyelesaian: a. 2x ² + 8x ² y = 2x ² (1 + 4y) (FPB 2x ² dan 8x ² y = 2x ²) b. 3x ² y – 15xy ² z = 3xy(x - 5yz) (FPB 3x ² y dan 15xy ² z = 3xy) Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini! a. 2x ² + 8x ² y b. 3x ² y – 15xy ² z Penyelesaian: a. 2x ² + 8x ² y = 2x ² (1 + 4y) (FPB 2x ² dan 8x ² y = 2x ²) b. 3x ² y – 15xy ² z = 3xy(x - 5yz) (FPB 3x ² y dan 15xy ² z = 3xy)
  • 24.
    Faktorisasi Bentuk x² + 2xy +y ² Ayo kita tinjau kembali hasil perkalian bentuk (x + y) ². Hasil perkalian dari (x + y) ² adalah x ² + 2xy + y ². Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna mempunyai beberapa ciri khusus, yaitu: a. Koefisien peubah pangkat dua (x ²) sama dengan 1. b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x. Perhatikan contoh berikut ini! Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16! Penyelesaian: Konstanta = ( ½ × 8) ² = 42, maka x ² + 8x + 16 = x² + 8x + (4) ² = (x +4) ² = (x + 4)(x + 4) Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian suku- suku tersebut difaktorkan.
  • 25.
    Perhatikan contoh berikutini! Contoh Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16! Penyelesaian: x ² + 8x + 16 = x ² + 4x + 4x + 16 = (x ² + 4x) + (4x + 16) = x (x + 4) + 4(x + 4 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4) ² Jadi faktor dari x ² + 4x + 16 adalah (x + 4) ² Contoh Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16! Penyelesaian: x ² + 8x + 16 = x ² + 4x + 4x + 16 = (x ² + 4x) + (4x + 16) = x (x + 4) + 4(x + 4 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4) ² Jadi faktor dari x ² + 4x + 16 adalah (x + 4) ²
  • 26.
    Faktorisasi bentuk kuadratax2 + bx + 0 Selain faktorisasi bentuk x ² + 2xy + y ², faktorisasi bentuk kuadrat terdapat pula dalam bentuk ax ² + bx + c; dengan a, b, dan c merupakan bilangan real. a dan b merupakan koefisien, c adalah konstanta. Sedangkan yang menjadi peubah atau variabel adalah x ² dan x. Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1 Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus memperhatikan bentuk perkalian suku (x + y) dengan (x + z) berikut. (x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif) = ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif) = x ² + xz + xy + yz = x ² + (y + z)x + yz
  • 27.
    Contoh Faktorkanlah bentuk aljabardari x ² + 7x + 12! Penyelesaian: x ² + 7x + 12 = x ² + (y + z)x + yz y + z = 7 yz = 12 y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3. Jadi bentuk kuadrat dari x ² + 7x + 12 adalah: (x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4) atau (x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3). Contoh Faktorkanlah bentuk aljabar dari x ² + 7x + 12! Penyelesaian: x ² + 7x + 12 = x ² + (y + z)x + yz y + z = 7 yz = 12 y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4 atau y = 4 dan z = 3. Jadi bentuk kuadrat dari x ² + 7x + 12 adalah: (x+y)(x+z) = (x + 3)(x + 4) atau (x+y)(x+z) = (x + 4)(x + 3).