Parabola passante per 3 punti con esempi

1. Parabola passante per 3 punti
Prof. Santi Caltabiano

2. Parabola passante per tre punti
Supponiamo di avere tre punti del piano non allineati:
e che ci venga chiesto di trovare l’equazione della parabola con asse
parallelo all’asse delle ordinate (o delle ascisse) passante per tali punti.
A(x1 ; y1), B(x2 ; y2), C(x3 ; y3)
Per risolvere questo problema, si sfrutta la condizione di appartenenza dei
punti A, B e C alla parabola e cioè che la parabola passa per tali punti e che
pertanto devono soddisfare l’equazione della parabola.
Consideriamo ad esempio l’equazione della parabola con asse parallelo
all’esse delle ordinate:
cbxaxy  2
La parabola passa per A(x1 ; y1) cxbxay  )()( 1
2
11
La parabola passa per B(x2 ; y2) cxbxay  )()( 2
2
22
La parabola passa per C(x3; y3) cxbxay  )()( 3
2
33
Continua

3. Parabola passante per tre punti
Otteniamo così un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a,b e c:
Risolvendo questo sistema si ottengono i valori a, b e c che sostituiti
nell’equazione della parabola ci danno la parabola passante per i punti A, B
e C.








33
2
3
22
2
2
11
2
1
ycbxax
ycbxax
ycbxax

4. Parabola passante per tre punti
Esercizio 01
Svolgimento








0
224
3
cba
cba
cba
Trovare la parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate e passante per i
punti: A(1 ; 3), B(2 ; 2), C(-1 ; 0).
L’equazione della parabola è con asse parallelo all’asse y, quindi è del tipo:
cbxaxy  2
Passa per A(1; 3) 3)1()1(3 2
 cbacba
Passa per B(2; 2) 224)2()2(2 2
 cbacba
Passa per C(-1 ; 0) 0)1()1(0 2
 cbacba
Quindi:
Continua









0)3(
22)3(4
3
cbcb
cbcb
cba









03
224412
3
cbcb
cbcb
cba

5. Parabola passante per tre punti








023
03210
3
b
cb
cba










2
3
03210
3
b
cb
cba












2
3
03
2
3
210
3
b
c
cba












2
3
3
7
3
b
c
cba












2
3
3
7
6
5
b
c
a
Quindi, in definitiva, l’equazione della parabola passante per A, B e C è:
3
7
2
3
6
5 2
 xxy

6. Parabola passante per tre punti
Esercizio 02
Svolgimento








624
0
4
cba
cba
c
Trovare la parabola con asse parallelo all’asse delle ordinate e passante per i
punti: A(0 ; 4), B(-1 ; 0), C(2 ; 6).
L’equazione della parabola è con asse parallelo all’asse y, quindi è del tipo:
cbxaxy  2
Passa per A(0; 4) 4)0()0(4 2
 ccba
Passa per B(-1; 0) 0)1()1(0 2
 cbacba
Passa per C(2 ; 6) 624)2()2(6 2
 cbacba
Quindi:
Continua








6424
04
4
ba
ba
c








64)4(24
4
4
aa
ab
c

7. Parabola passante per tre punti








64824
4
4
aa
ab
c








066
4
4
a
ab
c








1
4
4
a
ab
c








1
3
4
a
b
c
Quindi, in definitiva, l’equazione della parabola passante per A, B e C è:
432
 xxy