1

1. Лекція № 4
Електромагнітна індукція. Закон Фарадея. Правило Ленца
Виходячи із уявлення про електричний струм як про джерело електричного поля, Фарадей
припустив, що за допомогою магнітного поля можна створити електричний струм. Після
десятирічних пошуків (1822-1831 рр.) це завдання було розв'язане. Фарадей не тільки
відкрив явище, але і першим виготовив модель генератора електричного струму. Струм
був слабким, але знайдений принцип дозволив у майбутньому побудувати потужні
генератори, без яких важко уявити собі розвиток сучасної електротехніки. Відкриття
Фарадея дозволило остаточно обґрунтувати єдність електричних і магнітних явищ, що
стало поштовхом для створення Максвеллом теорії електромагнітного поля.
Схематично розміщення приладів у дослідах Фарадея показане на рис. 4.13.
Коло первинної котушки містить джерело струму, вторинної – гальванометр (рис. 4.13 а).
При будь-якій зміні сили струму в первинній котушці (замикання, розмикання ключа,
зміна опору кола), або при взаємному переміщенні котушок змінюється магнітний потік,
що пронизує вторинну котушку. При цьому гальванометр фіксує появу електричного
струму. Струм посилюється, якщо осердям котушки буде залізо, а також при збільшенні
швидкості зміни магнітного потоку. Напрямок струму залежить від того, зростає чи
зменшується магнітний потік, який пронизує вторинну котушку. Ті ж самі явища
спостерігаються, якщо котушку зі струмом замінити постійним магнітом (рис. 4.13 б).
Струм, який виникає у вторинній котушці, Фарадей назвав індукційним
(наведеним), електрорушійну силу, що його спричиняє, – електрорушійною силою індукції
(εі), а саме явище – електромагнітною індукцією.
Закон Фарадея для електромагнітної індукції: е. р. с. індукції εі в контурі
пропорційна швидкості зміни магнітного потоку через поверхню, обмежену цим
контуром:
εі ,
t
Φm


 (1)
де знак «-» в рівнянні (1) враховує правило Ленца: при будь-якій зміні магнітного потоку
через поверхню, обмежену контуром, в останньому виникає індукційний струм такого
напрямку, що його власне магнітне поле протидіє зміні магнітного потоку, яка викликала
появу індукційного струму.

2. Закон електромагнітної індукції для замкнутого провідника, який рухається в
магнітному полі, можна
одержати з закону
збереження енергії. За час
dt прикладені до
провідника зовнішні
сили, які спричиняють
його переміщення в
магнітному полі,
виконують роботу δA', що
дорівнює роботі
індукційного струму в
замкнутому провіднику:
δA' = εi Ii dt . (2)
З другого боку δA′ = - δA,
де
dt
t
Φ
IA m
i


 –
(3)
робота, яка виконується
силами Ампера при
переміщенні провідника
зі струмом Іі в магнітному
полі. Том .
t
Φm
i



Явище
електромагнітної індукції
в нерухомому провіднику, який знаходиться у змінному магнітному полі, пояснюється
тим, що змінне магнітне поле викликає появу вихрового електричного поля, циркуляція
напруженості якого вздовж замкнутого електропровідного контура L дорівнює е. р. с.
індукції:
,),
)(
t
Φ
ldE m
L
i


 

 (4)
де Φm – магнітний потік крізь поверхню, охоплену контуром,
t
Φm


– швидкість його
зміни.
Явище самоіндукції
Нехай електричне коло складається з соленоїда і джерела струму. Очевидно, всередині і
навколо соленоїда існуватиме магнітне поле, а котушку пронизуватиме власний магнітний
потік (рис. 4.14). Якщо цей магнітний потік буде змінюватися, то, відповідно до закону
електромагнітної індукції, в котушці виникатиме е. р. с. індукції додаткова до е. р. с.
джерела.
а)
G
R
K1 B
B
K
I1
K2
Ф
I2
б)
B2
G
S
Ф2
N
B1
Ф1
N S
Рис. 4.13

3. Явище виникнення е. р. с. індукції внаслідок зміни власного магнітного потоку контура
називається самоіндукцією.
Очевидно, магнітний потік крізь котушку
пропорційний силі струму в ній:
Φm = L I, (1)
де L – індуктивність контура, яка залежить
від його форми і розмірів, а також від
магнітних властивостей осердя. За законом
Фарадея е. р. с. самоіндукції визначається за
формулою:
.
dt
dI
L
t
Φm
ci 


 (2)
Одиниця індуктивності в СІ називається
генрі (Гн): .Гн1
A
cB
1
][
][
][ 


dt
dI
L

Знайдемо індуктивність соленоїда,
який має N витків і площу перерізу S.
Враховуючи, що індукція магнітного поля
всередині соленоїда ,I
l
N
B o де l – довжина
соленоїда, визначимо магнітний потік, що його
пронизує:
Φm = NBS = μμono
2
V·I.
Тут
l
N
no  – число витків на одиницю довжини
соленоїда, V = S·l – об'єм соленоїда. Отже
.
2
Vn
I
Φ
L oo
m
 (3)
Розглянемо явища, які відбуваються у
згаданому вище контурі при замиканні і розмиканні
кола.
При замиканні магнітне поле струму, що
протікає в контурі, зростає. Значить, зростає
магнітний потік крізь площу, обмежену контуром.
Згідно з правилом Ленца, індукційний струм, який
при цьому виникає (екстраструм замикання), матиме
напрямок протилежний струмові, що йде від джерела.
Результуючий струм в колі буде наростати поступово
від нуля до ,
R
II o
o
 де R – активний опір кола
(рис. 4.15). Залежність сили струму замикання від
часу одержимо з рівняння Кірхгофа:
.
dt
dI
LIR o  
(4)
Після відокремлення змінних маємо:
Рис. 4.14
L
K R
0
Рис. 4.15
I
0
I0
t
Рис. 4.16
I
I0
0
t

4. dt
L
R
II
IId
o
o


 )(
(5)
(тут враховано, що dI = -d(Io – I)). При умові, що при t = 0 І = 0, після інтегрування
одержимо:
,ln t
L
R
I
II
o
o


звідки
).1(
t
L
R
o eII

 (6)
При розмиканні кола індукційний струм (екстраструм розмикання) має той же
напрямок, що і основний струм. За рахунок того, що час розмикання малий, екстраструм
розмикання може досягати великих значень і спричиняти пошкодження споживачів
електроенергії в мережі. Для запобігання цієї шкідливої його дії використовують
спеціальні пристрої (пускові реостати).
Оскільки в момент розмикання е. р. с. джерела вже не діє, рівняння Кірхгофа має
вигляд:
,
dt
dI
LIR  (7)
а залежність сили струму від часу, одержана при його інтегруванні, дорівнює
t
L
R
oeII

 (8)
(при розмиканні (t = 0) припускаємо, що І = Іо). Ця залежність представлена на рис. 4.16.
Явище взаємоіндукції
Явище взаємної індукції полягає у тому, що при зміні сили струму в одному контурі, його
змінне магнітне поле збуджує індукційний струм в сусідньому контурі (рис. 4.17). Те ж
саме відбувається при зміні взаємного розміщення цих провідників.
Якщо в першому контурі сила струму І1, то магнітний потік, який пронизує другий контур
Φ2 = М21 І1, (1)
де М21 – коефіцієнт взаємної індукції другого контура відносно першого. Якби, навпаки, в
другому контурі був струм силою І2, то магнітний потік, який пронизував би перший
контур,
Φ1 = М12 І2, (2)
де М12 – коефіцієнт взаємоіндукції першого
контура відносно другого. Можна показати,
що М21 = М12. Величина цього коефіцієнта
залежить від форми, розмірів і взаємного
розміщення контурів, а також від магнітних
властивостей середовища, в якому вони
знаходяться. Як і коефіцієнт самоіндукції,
коефіцієнт взаємоіндукції вимірюється в СІ
в генрі (Гн).
Явище взаємоіндукції покладене в
основу конструювання трансформаторів,
які використовуються для підвищення або
пониження напруги змінного струму в
електромережі.
Рис. 4.17
I II
G
I1

5. Завдання для самостійної роботи №3
1. Вивести формулу для е. р. с. індукції, яка виникає при переміщенні
прямолінійного провідника в однорідному магнітному полі.
2. Трансформація змінного струму. Трансформатори.
Література:
Бушок Г.Ф. та ін. Курс фізики. – Кн.1. – К.: Либідь, 2001. – С. 389-391.
Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики. – Т.І. – М.: Наука, 1981.– С. 420-422.
Енергія магнітного поля. Густина енергії
При створенні в електропровідному контурі електричного струму силою І необхідно
виконати роботу А′ по подоланню е. р. с. самоіндукції, яка протидіє наростанню струму в
контурі:
 
It
LI
LIdIIdtA ci
0
2
0
.
2
 (1)
За законом збереження енергії ця робота визначає власну енергію струму в контурі, яка є
не чим іншим, як енергією його магнітного поля:
.
2
2
LI
Wm  (2)
Наприклад, енергія магнітного поля всередині довгого соленоїда дорівнює
,
2
1
2
1 22
VBHVInW oom   (3)
де В – індукція, Н – напруженість магнітного поля, а V – об'єм соленоїда. Отже, енергія
магнітного поля, як і електричного, пропорційна об'єму простору, в якому це поле
зосереджене. Це є одним із свідчень його матеріальності.
Густина енергії магнітного поля
,
dV
dW
w m
m  (4)
де dWm – енергія магнітного поля, яке міститься в малому об'ємі dV простору. Отже, на
підставі формул (3) і (4) одержимо:
.
222
1 2
2
H
B
BHw o
o
m


 (5)