1. МА Г Н Е Т И З М
Термін «магнетизм» походить від словосполучення «камінь з Магнесії». Майже 2000
років тому китайські пастухи відкрили властивість залізорудних каменів притягатися між
собою. Це – природні магніти. Величезним магнітом є земна куля. Можна виготовити
також штучні магніти. Для цього досить до природного магніта доторкнутися штабою з
ненамагніченої загартованої сталі. Намагнічені тіла, які можуть вільно обертатися навколо
вертикальної осі, завжди установлюються одним кінцем на північ, другим – на південь. Ці
кінці називаються північним і південним полюсами магніта відповідно. Магніти
взаємодіють так, що їхні різнойменні полюси притягуються, а однойменні –
відштовхуються. Розрізаючи магніт навпіл, одержимо два магніти кожний з двома
полюсами – північним і південним. Розділити ці полюси неможливо.
У 1820 р. датський фізик Ерстед виявив взаємодію між електричними струмами і
постійними магнітами: магнітна стрілка поблизу провідника зі струмом поверталася так,
що її вісь була перпендикулярною до провідника; при зміні напрямку струму на
протилежний стрілка поверталася на 1800
. Пізніше (1911 р.) дослідами Йоффе було
доведено, що таку саму дію на магнітну стрілку спричиняє напрямлений рух електронів, а
Ейхенвальд встановив, що таку ж дію проявляє і конвекційний струм. Одразу після
відкриття Ерстеда Ампер виявив взаємодію між електричними струмами: однаково
напрямлені струми притягаються, протилежно напрямлені – відштовхуються. У багатьох
аспектах сили взаємодії між струмами подібні до сил взаємодії між магнітами.
Ампер показав, що властивості постійних магнітів можна повністю пояснити на основі
припущення, що в молекулах намагнічених тіл циркулюють електричні струми.
Притягання або відштовхування магнітів, згідно з цим припущенням, обумовлені силами
взаємодії між молекулярними струмами. До цього магнітні явища вважалися абсолютно
не пов'язаними з електричними, і взаємодію магнітів пояснювали наявністю «магнітних
зарядів» (або магнітних полюсів – північного і південного). Гіпотеза про молекулярні
струми Ампера (цілком зрозуміла на основі сучасних уявлень про будову атома)
позбавила сенсу поняття про магнітні заряди. Вона повністю підтвердилась в процесі
розвитку науки.
Магнітне поле. Магнітна індукція. Силові лінії магнітної індукції
Намагнічене тіло, чи провідник зі струмом, чи будь-який рухомий електричний заряд є
джерелами магнітного поля. Магнітне поле – вид матерії. Воно проявляється завдяки дії
на постійні магніти, провідники зі струмом або рухомі електричні заряди.
Силовою характеристикою магнітного поля є вектор магнітної індукції .B
Напрямок
вектора B
в даній точці магнітного поля співпадає з напрямком сили, з якою магнітне
поле діє на північний полюс нескінченно малої магнітної стрілки, поміщеної в дану точку
поля.
Для графічного зображення магнітного поля вводиться поняття силових ліній. Силовою
лінією магнітної індукції називається крива, дотична до якої в будь-якій точці співпадає з
напрямком вектора B
в даній точці магнітного поля. Ці лінії можна наглядно показати за
допомогою залізних ошурків, які в магнітному полі розміщуються вздовж силових ліній.
На рис. 4.1 показані силові лінії магнітних полів, створених а) прямолінійним
провідником зі струмом, б) котушкою зі струмом (соленоїдом), в) підковоподібним
магнітом, г) штабоподібним магнітом. Повна аналогія між магнітним полем соленоїда і
штабоподібного магніта привела Ампера до гіпотези про молекулярні струми.
Магнітні силові лінії завжди замкнуті. Вони охоплюють провідники зі струмом або
замикаються в тілі магніта. Магнітне поле називається однорідним, якщо в усіх його
2. точках вектор B
має однакові за величиною і напрямком значення. В протилежному
випадку поле називається неоднорідним. Однорідне поле, наприклад, існує між полюсами
підковоподібного магніта.
На прямолінійний провідник зі струмом, що перебуває в однорідному магнітному полі, діє
сила F
, величина якої прямо пропорційна силі струму І, довжині провідника l, модулю
магнітної індукції В і синусові кута α між напрямком струму і вектором B
:
F = kBI l sinα, (1)
де k – коефіцієнт пропорційності, який в СІ дорівнює 1. Співвідношення (1) виражає закон
Ампера, встановлений ним експериментально, F – так звана сила Ампера.
Коли провідник зі струмом розміщений перпендикулярно до силових ліній, то можна
записати
.
lI
F
B
(2)
Тобто магнітна індукція В чисельно дорівнює силі F, яка діє на одиницю довжини
провідника, розміщеного перпендикулярно до силових ліній, з одиничною силою струму в
ньому.
Одиниця вимірювання магнітної індукції в СІ:
lI
F
B Тл(тесла).1
мA
H
1
Для неоднорідного поля закон Ампера записують у диференціальній формі
),sin( BldIBdldF
, (3)
Рис. 4.1
г)
N SS N
в)
а)
R
I
L=2πR
б)
N S
3. де dl – нескінченно мала ділянка провідника, яку можна вважати прямолінійною, а
магнітне поле в її околі – однорідним, )B,(
ld – кут між вектором ,ld
проведеним у
напрямку струму, і вектором магнітної індукції .B
У векторній формі –
].,[ BldIFd
(4)
У багатьох літературних джерелах використовується поняття елемента струму .lId
Співвідношення (4) в такому разі записується так
].,[ BlIdFd
(4a)
Напрямок сили Fd
визначається за правилом знаходження напрямку векторного
добутку, або за правилом лівої руки: ліву руку треба розмістити так, щоб силові лінії
входили в долоню, а витягнуті чотири пальці показували напрямок струму, тоді
відхилений перпендикулярно великий палець покаже напрямок сили.
Отже вектор Fd
перпендикулярний вектору B
, а це означає, що магнітні сили, на
відміну від електричних, не є центральними.
Закон Біо-Савара-Лапласа
Магнітна індукція Bd
поля, створеного в безмежному однорідному середовищі малим
елементом провідника ,ld
по якому тече постійний струм силою І, визначається за
законом Біо-Савара-Лапласа:
],,[3
rld
r
I
kBd
(1)
де ,jld
j
– вектор густини струму, r
– радіус-вектор, проведений
з елемента провідника в дану точку поля А (рис. 4.2), k – коефіцієнт пропорційності, який
залежить від вибору системи одиниць і від магнітних
властивостей середовища. В СІ ,
4
o
k де μ – відносна
магнітна проникність середовища,
7
104
o Гн/м –
магнітна стала.
Отже в СІ закон Біо-Савара-Лапласа має вигляд:
].,[
4 3
rld
r
I
Bd o
(2)
В скалярному вигляді
,
sin
4 2
r
Idl
dB o
(2а)
де φ – кут між векторами ld
і r
.
Згідно з принципом суперпозиції магнітних полів магнітна
індукція B
поля, створеного довільним провідником зі
струмом
)(
3
)(
,
],[
4 l
o
l
r
rldI
BdB
(3)
Рис. 4.2
I
dℓ
r
A
dB
φ
4. де інтегрування проводиться по всій довжині провідника.
Магнітне поле прямолінійного провідника зі струмом
Знайдемо індукцію магнітного поля B
в довільній точці А, яка знаходиться на відстані R
від провідника MN, по якому тече струм силою І (рис. 4.3) Виділимо на провіднику
довільну ділянку dl = ED, позначимо φ= DEC, r = EA. Скористуємося формулою (2а).
З рис. 4.3 бачимо, що dlsinφ = DC ; DC = rdφ; .
sin
R
r Отже
,sin
4
d
R
I
dB o
2
1
).cos(cos
4
sin
4
21
0
R
I
d
R
I
B o
(1)
Тут φ1 і φ2 – кути, під якими з кінців провідника видно
точку А.
Для провідника нескінченної довжини маємо: ,01
,2 .1cos 2 Отже,
.
2 R
I
B o
(2)
Силові лінії магнітного поля, створеного прямолінійним
провідником зі струмом, являють собою систему
концентричних кіл, центри яких розміщені на
провіднику. Самі кола розташовані в площинах,
перпендикулярних провіднику, а напрямок їх обходу
визначається правилом правого гвинта.
. Магнітне поле колового струму і
соленоїда. Магнітний момент контура зі
струмом
Нехай провідник зі струмом силою І має форму кільця радіусом R. Знайдемо індукцію
магнітного поля B
в довільній точці на осі кільця. Напрямок вектора B
в будь-якій точці
на осі можна знайти за правилом правого гвинта: він збігається з напрямком
поступального руху гвинта, якщо струм у кільці тече в напрямку його обертального руху
(рис. 4.4).
Визначимо індукцію магнітного поля в центрі кільця (точка О).
У цьому випадку ,
2
sin φ = 1, r = R. Отже
,
4 2
R
Idl
dB o
.
24
2
0
2
R
I
dl
R
I
B o
R
o
o
(1)
;1cos 1
Рис. 4.3
M
N
D
CE
F
I
dℓ
R A B
φdφ
φ1
φ2
5. Індукція магнітного поля в довільній точці А на осі кільця дорівнює
,
)(2 2
3
22
2
hR
IR
B o
A
(2)
де h = OA – відстань від центра О до довільної точки А на осі кільця.
Магнітним моментом плоского контура зі струмом називається векторна величина
,nISpm
(3)
де І –сила струму в контурі, S – площа, обмежена цим контуром, n
– одиничний вектор
нормалі до поверхні S, напрямок якого визначається за правилом правого гвинта (рис. 4.4).
Для кільцевого струму S = πR2
і на підставі співвідношень (1), (2) і (3) одержимо:
,
)(
2
4 2
3
22
hR
p
B mo
A
(4)
.
2
4 3
R
p
B mo
o
(5)
При R<<h з формули (4) для індукції магнітного поля на осі кільця одержимо:
.
2
4 3
h
p
B mo
(6)
Це співвідношення нагадує вираз для напруженості електричного поля на осі
електричного диполя. Таким чином, виток зі струмом можна розглядати як магнітний
диполь. Його північний полюс – та поверхня площини витка, звідки силові лінії виходять,
а південний – куди силові лінії входять. Звідси зрозуміло, що окремо північний і
O
R
I
O
dℓ
dB
r
BA
A
O
Bo
pm
C
Рис. 4.4
6. південний полюси не існують. Джерелами магнітного поля є не магнітні заряди (полюси),
а електричні струми.
Соленоїдом називається намотаний на циліндричну поверхню провідник, по якому тече
струм. Результуюче магнітне поле всередині соленоїда однорідне, а біля його кінців
силові лінії розходяться і замикаються в зовнішній частині простору (рис. 4.1 б).
Індукція магнітного поля всередині довгого соленоїда дорівнює
В = μμоnoI, (7)
а біля країв –
.
2
0 InB o
(8)
Тут no – число витків, що припадає на одиницю довжини соленоїда.
Магнітний момент соленоїда дорівнює геометричній сумі магнітних моментів його витків:
,nNISPm
(9)
де S = πR2
– площа, охоплена витком, n
– одиничний вектор, спрямований вздовж осі
соленоїда ( Bn
), N – число витків соленоїда.
