34

1. 1
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №2 (ЗАВДАННЯ №2).Розрахуноккола
однофазного синусоїдного струму.
2.1 Обсяг завдання
У парному році за значенням напруги на ділянці АD електричного кола (рис.2.1), а у
непарному році – за значенням напруги на ділянці ВС,
Рис. 2.1. Схема кола однофазного синусоїдного струму.
відповідно до варіанту параметрів споживачів (табл.2.1) провести аналіз електричного кола
однофазного синусоїдального струму частотою f=50 Гц, а саме: спростити схему та
визначити опір кола відносно затискачів джерела, визначити струми та спади напруг на
ділянках кола, скласти баланс потужності джерела та споживачів електричного струму, на
комплексній площині побудувати суміщену векторну діаграми струмів і напруг.
Таблиця 2.1
Вихідні дані до завдання 2
C
0
C
В
r3r2
L
2
C
3
C
2
C
1
L
3
~
U
D
А
r0
L
1
L
0
r1

2. 2
Число
десят
ків
шифр
у
U, В
Активний опір,
Ом
Число
одини
ць
шифр
у
Індуктивність,
мГн
Ємність, мкФ
r0 r1 r2 r3 L0 L1 L2 L3 C0 C1 C2 C3
1 50 – 12 20 19 0 16 24 32 – – 300 350 400
2 12 2 – 18 17 1 40 48 – 58 450 – 500 600
3 60 4 7 – 15 2 60 – 55 50 650 700 – 750
4 36 6 9 14 – 3 – 45 50 55 300 350 400 –
5 42 8 11 – 11 4 25 – 30 35 450 500 – 550
6 36 10 – 10 9 5 40 45 – 50 600 – 650 700
7 24 – 15 8 7 6 55 60 65 – – 800 850 900
8 12 14 – 6 5 7 75 70 – 60 300 – 350 400
9 20 16 19 – 3 8 50 – 55 60 450 500 – 550
0 42 18 10 2 – 9 – 45 70 35 600 650 300 –
2.2. Приклад розрахункуелектричногокола однофазного
синусоїдальногоструму.
Завдання. Для кола однофазного синусоїдного струму, яке наведене на рис. 2.2, при
UАВ = 130 B, f = 50 Гц, r0 = 14 Ом, r2 = 6 Ом, r3 = 5 Ом, L0 = 16 мГн, L1 = 24 мГн, L2 = 32 мГн,
С1 = 300 мкФ, С2 = 350 мкФ, С3 = 400 мкФ, визначити струми та спади напруг на всіх
ділянках кола, скласти баланс потужностей (активної, реактивної, повної) джерела та
споживачів, на комплексній площині побудувати суміщену векторну діаграми струмів і
напруг кола.
Рис.2.2. Коло однофазного синусоїдного струму.
C
D
А В
r0
r3
r2
L1
L2
L0
C3C2
C1

3. 3
Методичні рекомендації до розрахуноку кола однофазного синусоїдного струму. На
відміну від кіл постійного струму, де наявний тільки омічний опір R, в колах змінного
струму розрізняють активний r (аналог омічного), реактивні Х (індуктивний – fLXL 2 та
ємнісний – 1
)2( 
 fCXC  ) і повний Z опори. Разом з тим, методики розрахунків кіл змінного
і постійного струму по суті аналогічні.
За послідовного з’єднання n активних r, індуктивних ХL та ємнісних ХC опорів, повний
опір кола (ділянки
кола) розраховують за
формулою:
У розрахунках паралельного з’єднання використовують поняття провідності, яка є
величиною оберненою до опору. Розрізняють провідності:
активна – ;
1
r
g  реактивна – ;
)(
1
CL XX
b

 повна – .
1 22
bg
Z
Y 
Струми та спади напруг на ділянках кола розраховують за законом Ома або з
використанням законів Кірхгофа. Проте у разі застосування законів Кірхгофа діючі
значення струмів і напруг, на відміну від кіл постійного струму, додають не алгебраїчно, а
геометрично. Щоб зменшити похибку, геометричні дії з векторами електричних величин
замінюють алгебраїчними операціями з комплексами цих величин. Звідси поділ методів
розрахунку розгалужених кіл змінного струму на класичний (провідностей) та
символічний (комплексних чисел).
Застосування комплексних чисел для розрахунків кіл синусоїдногоструму
дає можливість замінити диференційні рівняння, якими описуються процесиу
цих колах, алгебраїчнимирівняннями.
З курсу математики відомо, що синусоїднуфункцію, зокремаобертовий
вектор (рис.2.3), можна записати комплексним числом. у алгебраїчній,
показниковій та тригонометричнійформах, відповідно:
jbaA  ;

 ψj
AeA  ; )ψjsinψA(cosA  ,
де a та b – дійсна та уявна складові комплексного числа(проекції вектора на
вісі, відповідно, дійсних та уявних чисел); А – модуль комплексного числа
(довжина вектора);  – аргумент комплексного числа(кут нахилу вектора до
вісі дійсних чисел); 1j – уявне число; е – основанатурального логарифму.
Рис.2.3. До запису комплексного числа.
A

b
a
-j
+j
+0–
Ȧ
    







n
i
n
i
n
i
iCiLi XXrZ
1
2
1 1
2
)()()(

4. 4
Для переходу від однієї форми запису комплексного числадо іншої
використовують співвідношення:
22
baA  , )/(arctg ab , ψAcosa  , ψAsinb  .
Комплекс діючого значення електричної величини, що змінюється у часі за
синусоїдою, виділяють крапкою над символом, який відображає цю величину.
Наприклад: I– комплекс діючого значення струму; U– комплекс діючого
значення напруги тощо. Якщо електрична величина не є синусоїдною,то
комплекс її значення виділяють рискою під символом, який відображає цю
величину. Наприклад: Z – комплекс повного опору; S – комплекс повної
потужності.
Додавати або віднімати комплексні числа зручніше, коли вони надані в
алгебраїчній формі запису:
jb,a)bj(b)a(a)jb(a)jb(aAAA 2121221121  
.jba)bj(b)a(a)jb(a)jb(aAAA 0021212211210  
Множення або ділення цих чисел виконувати зручніше, коли вони надані у
показниковій формі:
,Ae)eA(AeAeAA ψj)ψψj(
21
ψj-
2
ψj
1
2121 


.Ae)e/A(A)e)/(Ae(AA ψj)ψψj(
21
ψj
2
ψj
1
2121 


Комплексивеличини, які відрізняються тільки за знаком аргументу,
називають спряженимикомплексами. В електротехніці спряженийкомплекс
звичайно виділяють «зірочкою»над символом величини. Так, якщо маємо
jbaAeA ψj


,
то спряженийкомплекс буде:
jbaAeA jψ
 

Зазначимо, що при множенні комплексу величини на спряженийкомплекс,
в результаті одержимо квадратмодуля цієї величини –
2jψjψ
AAeAeAA  

.
За значеннями індуктивності L та ємності C розраховуємо реактивні опори ділянок
кола, Ом:
02,510165014,322 3
00  
fLX L  ;
54,710245014,322 3
11  
fLX L  ;

5. 5
10,1010325014,322 3
22  
fLX L  ;
62,10)103005014,32()2( 161
11  
fCXC  ;
10,9)103505014,32()2( 161
22  
fCXC  ;
.96,7)104005014,32()2( 161
33  
fCXC  ;
та комплекси повних опорів, Ом, ділянок кола:
0
j19,73
C0L000 ,90e41j5,02410)j(5,0241)Xj(XrZ  ;
0
j90
C1L111 3,08ej3,12010,62)j(7,540)Xj(XrZ 
 ;
0
j9,0
C2L222 ,08e6j0,9569,12)j(10,16)Xj(XrZ  ;
0
j57,90
C3L333 ,4e9j7,9657,96)j(05)Xj(XrZ 
 .
Подання опорів ділянок кола у вигляді комплексів повного опору дає підстави
привести розрахункову схему до вигляду, як на рис.2.4, а, де пори Z2 і Z3 ввімкнені
паралельно.
Ри
с.2.4.
Спрощення розрахункової схеми.
Врахувавши, що провідність даної ділянки –
,
Z
1
Z
1
Z
1
YYY
3223
3223 
знаходимо її еквівалентний опір, Ом:
j1,244,24,38e
j7,965j0,956
9,4e6,08e
ZZ
ZZ
Z j16,39
j57,9j9,0
32
32
23 





 



Тепер схема набуває вигляду, як на рис. 2.4,б
Подальша заміна ввімкнених послідовно опорів Z1, Z23 і Z0 еквівалентним
опором кола Zк, Ом:
0
j2,22
0231к 18,2ej0,718,2j5,0241j1,244,2j3,080ZZZZ  ,
дає підстави спроститирозрахунковусхему до вигляду, як на рис.2.4.в.
Якщо прийняти, що вектор спаду напруги кола спрямовано по осі дійсних чисел
комплексної площини, то комплекс напруги (В) кола буде:
.)0130(130 0
AD jeUU j
K 


Комплекс струму кола KI (А) та комплекси спадів напруг ŮAB, ŮBC та ŮCD (В) на
окремих ділянках кола розраховуємо за законом Ома:
28,013,714,7
2,18
130 22,2
22,2
0
je
e
e
Z
U
I j
j
j
K
AD
K   



 ;
а).
Z
3
Z
1
Z2
Z0
A B
CD
б).
Z
1
Z2
3Z0
A B
CD
в).
D
Zекв
=Zк
A

6. 6
;97,2185,098,2114,708,3 22,9222,290
1 jeeeIZU jjj
KAB   

;97,961,2925,3114,738,4 61,1839,1639,16
23 jeeeIZU jjj
KBC   

.92,3124,10115,10614,787,14 50,1722,273,19
0 jeeeIZU jjj
KCD   

Правильність обчислення напруг ŮAB, ŮBC та ŮCD перевіряємо за другим законом
Кірхгофа:
.)02,00,130()92,3124,101()97,961,29()97,2185,0( jjjjUUUU CDBCABi  
Відносні розбіжності активних і реактивної складових ΣŮі та ŮК розраховуємо за
формулами:
;%100
ka
kaa
a
U
UU 
 
%100
kp
kpp
p
U
UU 


Якщо Δа ≤ |1|% та Δр ≤ |1|%, то розрахунок кола можна продовжуватидалі, а якщо похибки визначення складовихнапруг
перебільшують |1|%, то слідзробити перевірку виконанихобчислень, починаючи з розрахункукомплексів повногоопоруділянок ко ла.
Далі записуємо комплекс струму на ділянках кола, А:
)28,013,7(14,7 22,2
0231 jeIIII j
K   
 .
Враховуючи, що на ділянці ВС (рис. 7.2.3,а) вітки 2 і 3 ввімкнені паралельно та
знаходяться під однаковою напругою, визначаємо струми віток, А:
);38,256,4(14,5
08,6
25,31 61,27
0,9
61,18
2
23
2232 je
e
e
Z
U
YUI j
j
j
 






).11,257,2(32,3
4,9
25,31 29,39
9,57
61,18
3
23
3233 0 je
e
e
Z
U
YUI j
j
j
 





Результати обчислення струмів перевіряємо за першим законом Кірхгофа:
.)28,013,7()28,013,7()11,257,2()38,256,4(3223 jIjjjIII K   .
Якщо відносні розбіжності активних і реактивних складових 23I та KI не
перебільшують ±1,0 %, то розрахунок кола можна продовжувати далі. У іншому випадку
слід зробити перевірку виконаного розрахунку струмів віток 2 та 3.
Комплекс повної потужності Sдж (В А) джерела, його активну Рдж та реактивну Qдж
складові визначаємо за формулою:
).94,3516,927(86,92714,7130jQPIUS 22,222,20
джджKKдж jeee jjj

 

Рдж = 927,16 Вт і Qдж = 35,94 Вар.
Комплекс повної потужності Sсп (ВА) кола, тобто суму комплексів повних потужностей
всіх споживачів, визначаємо шляхом додаванням їх активних Рсп (Вт) та реактивних Qсп
(Вар) складових:
);90,1560,0(90,15614,708,3 90290
11
2
111 jeejQPIZS jj
  
);,1425,76581(74,16014,508,6 0,920,9
22
2
222 jeejQPIZS jj


);,958755,25(86,10332,34,9 9,57290,57
33
2
333 jeejQPIZS jj
  
);70,25512,713(57,75714,79,14 70,19273,19
00
2
000 jeejQPIZS jj


.82,927)99,35124,927( 0,2
3
1

j
i
icп ejSS  
Зверніть увагу: при визначенні Sдж, використовують спряжений комплекс

22,2
14,7
*
j
eI K  від струму кола

 22,2
14,7 j
K eI 
 , а при визначенні Sсп, до квадрату беруть
тільки модуль комплексу струму, наприклад модуль комплексу струму I1=7,14 від струму
.14,7 22,2
1 AeI j 
 


7. 7
Задачу вважають розв’язаною правильно, якщо похибки визначення активних і
реактивних складових Sдж та Sсп на перебільшують ±1%:
,%0,1%100 


дж
спдж
a
P
PP
P .%0,1%100 


дж
спдж
p
Q
QQ
Q
За результатами розрахунків, на комплексній площині будують суміщену діаграму
струмів та напруг кола (рис. 2.5). Для цього спочатку обираємо та вказуємо масштаби
побудови векторів струму Мі (А/мм) і напруги Мu (В/мм).
Далі необхідно:
1) 
0
0
1 110 j
eU з початку координат по осі дійсних чисел (uк=0) відкласти відрізок
завдовжки 110/Мu ;
2)   0
9,14
06,294 j
K eU з початку координат, під кутом u1= – 14,9° до осі дійсних
чисел відкласти відрізок довжиною 294,06/Мu;
3)   0
46,23
23 83,189 j
eU з кінця 1U під кутом u23= – 23,46° до осі дійсних чисел
відкласти відрізок довжиною 189,83/ Мu;
4)   0
45
1 56,15 j
K eII  з початку координат, під кутом ік=і1= – 45° до осі дійсних
чисел відкласти відрізок довжиною 15,56/ Мі;
5)   0
49,82
2 28,16 j
eI з початку координат під кутом і2= – 82,49° до осі дійсних чисел
відкласти відрізок довжиною 16,28/Мі ;
6) 
0
29,30
3 21,10 j
eI з кінця 2I під кутом і3= 30,29° до осі дійсних чисел відкласти
відрізок довжиною10,21/Мі.
Рис. 2.5. Суміщена векторна діаграма струмів та напруг
розрахункового кола
Зверніть увагу: за правильного виконання дій в загальному випадку на суміщеній
діаграмі струмів та напруг отримують два замкнених багатокутника. У даному випадку
маємо трикутник струмів та трикутник напруг.
Суміщена векторна діаграма дає можливість наочно аналізувати характери
навантажень ділянок кола. Так, в даному разі, розрахункова схема в цілому має активно–
МU =20 В/см;
МІ =2 А/см.
+
+j
.U1
.U23
.UK
.I3
.IK
.I2

8. 8
індуктивний характер навантаження, оскільки вектор струму кола KI відстає від вектора
напруги кола KU на кут:
.1,30)45(9,14 
  ikukk
Перша ділянка схеми, де включені активний опір r1, індуктивність L1 та ємність C1,
також має активно–індуктивний характер навантаження, оскільки вектор діючого тут струму
kII  1 відстає від вектора напруги 1U на кут
.45)45(0111

  iu
Одна з паралельних віток (Z2) кола має активно–індуктивний характер навантаження.
Тут кут зсуву фаз між векторами 2I і 23U додатний:
.03,59)49,82(46,232232

  iu
В іншій паралельній вітці (Z3) характер навантаження активно–ємнісний і кут зсуву фаз
між 3I та 23U є від’ємний:
,75,5329,3046,233233

  iu
Ділянка кола, що складається з двох паралельних віток 2 і 3, має активно–індуктивний
характер навантаження. Тут kI відстає від 23U на кут
.54,21)45(46,23ik23u23

