Загальні поняття та визначення теоретичної електротехніки, змінній синусоїдний струм

1. ЛЕКЦІЯ № 1. (ТЕМА №2). Загальні поняття та визначення
теоретичної електротехніки, змінній синусоїдний струм
Передмова
1.1. Загальні поняття та визначення теоретичної електротехніки
1.1.1. Основні поняття та визначення електричних величин
1.1.2. Основні поняття та визначення теорії електричних кіл
1.1.3. Питання для самоперевірки за розділом “ Загальні поняття та визначення
теоретичної електротехніки”
1.2. Змінній синусоїдний струм
1.2.1. Переваги синусоїдного струму у порівнянні з постійним струмом
1.2.2. Отримання синусоїдного струму та миттєві значення електричних величин
1.2.3. Фази змінної електричної величини і фазовий кут
1.2.4. Векторні діаграми
1.2.5. Діюче і середнє значення синусоїдного струму
1.2.6. Використання комплексних чисел для аналізу кіл синусоїдного струму
1.2.7. Питання для самоперевірки за розділом “Змінний синусоїдний струм
Передмова
Електротехніка – це наука про використання електричних та магнітних явищ на
практиці.
Носієм електроенергії є електромагнітне поле, яке створюється електричним
струмом. Це поле являє собою особливий вид матерії, який характеризується силовою
дією на заряджені частинки з одного боку електричного, а з другого – магнітного полів
причому величина цієї дії залежить, до того ж, і від швидкості руху та заряду частинок.
Початок електротехніки як науки було покладено у 18-19 століттях рядом
фундаментальних відкриттів у області електрики та магнетизму. У теперішній час
електрична енергія широко використовується в усіх галузях промисловості та побуті і без
подальшого розвитку електрифікованих засобів виробництва та побуту прогрес людства є
немислимим. Це пояснюється це тим, що у порівнянні з іншими видами енергій
електрична енергія має ряд суттєвих переваг, основними з яких є:
1. В електричну енергію легко перетворити механічну, теплову, атомну, хімічну,
променеву та низку інших видів енергій. У той же час, електричну енергію легко
перетворити у будь-який інший вид енергії.
2. Електрична енергія є однією з найбільш екологічно чистих видів енергій і її
використання створює комфортні умови для життя та праці людини.
3. Електричну енергію можна передавати практично на будь-які відстані та
розподіляти між споживачами, потужність яких складає від частки вата до тисяч кіловат.
4. Процеси виробництва, передачі, розподілу та споживання електричної енергії
відносно легко автоматизувати.

2. Основним недоліком електричної енергії є неможливість її накопичення про запас.
Розроблені людством «сховища» електричної енергії – акумуляторні батареї, гальванічні
елементи, конденсатори, придатні забезпечити роботу тільки порівняно малопотужного
обладнання. До того ж терміни зберігання електричної енергії у цих «сховищах» є
обмеженими. Тому електричну енергію виробляють тільки в той час і у такій кількості,
скільки її потрібно для живлення споживачів.
1.1. Загальні поняття та визначення теорії електричних кіл
1.1.1. Основні поняття та визначення теоретичної електротехніки
Носієм електричної енергії є особлива форма матерії – електромагнітне поле,
головна особливість якого полягає в тому, що воно чинить силову дію на електрично
заряджені частинки. Ця сила залежить від швидкості руху і величини заряду частинок, а
також від інтенсивності самого електромагнітного поля.
Основним законом електростатики є відкритий у 1785 році закон Кулона, який для
конкретного середовища встановлює зв’язок між силою F взаємодії двох точкових зарядів
q1, q2 та відстанню l між ними –
)4/()4/( 0
2
21
2
21  lqqlqqF c ,
де с та  – відповідно, абсолютна і відносна діелектрична проникність середовища, у
якому взаємодіють точкові заряди;
0 = 8,851012
– абсолютна проникність вакууму, або електрична стала, Ф/м.
Величину, яка чисельно дорівнює відношенню механічної сили F, що діє на
розташоване у даній точці поля нерухоме позитивно заряджене пробне тіло, до величини
заряду q0 цього тіла, називають напруженістю E, В/м, електричного поля:
0/ qFE  .
Це векторна величина. Якщо у рівняння, яке описує напруженість електричного
поля, замість величини пробного (еталонного) заряду q0 підставити заряд q2, то, з
урахуванням закону Кулона, отримаємо:
)4/()4/(/ 0
2
1
2
12  lqlqqFE c
При переміщені частинки з зарядом q у електричному полі під дією сили F на
відстань l виконується певна робота А. Відношення роботи, виконаної силами поля для
переміщення частинки з одної точки поля у іншу, до величини заряду цієї частинки
називають електричною напругою u, B –
qAu / .
З урахуванням, що –
ldEqldFdA  ,

3. 
l
ldEqA ,
отримуємо таке рівняння:
.
l
ldEu
Отже, іншими словами, можна сказати, що електрична напруга – це фізична
величина, яка характеризує електричне поле уздовж шляху переміщення зарядженої
частинки і чисельно дорівнює лінійному інтегралу напруженості електричного поля
уздовж цього шляху.
Окрім поняття електрична напруга, в електротехніці широко використовують
поняття електричний потенціал , B. Це фізична величина, яка чисельно дорівнює роботі
сил поля, витраченої на переміщення позитивного заряду q з даної точки поля у
нескінченність, тобто за межи поля.
Таким чином, якщо в одній точці (з якої починалося переміщення заряду) поле має
потенціал 1, а у другій (де закінчено рух зарядженої частинки) 2, то можна записати
рівняння:
21 u
Вищий потенціал прийнято позначати знаком «+», нижчий – знаком «».
Зауважимо, що нульовим потенціалом, як правило, вважають потенціал Землі.
Знак напруги на електричних схемах (рис. 1.1) звичайно показують стрілкою, а при
написанні формул індексами. На схемах стрілку прийнято спрямовувати від точки з
вищим потенціалом «+» до точки з нижчим «» потенціалом. При написанні індексів,
наприклад uAB, першою вказують точку з вищім потенціалом (точка A), а другою – з
нижчим (точка B). Заміна напряму стрілки або порядку напису індексів на протилежний
означає зміну знаку перед напругою. Наприклад: uAB =  uBA.
UAB R
+
–
iA
B
Рис. 1.1. Загальноприйняті додатні напрямки струму та напруги.
Для підтримки довготривалого впорядкованого переміщення заряджених частинок
у будь-якому матеріалі (середовищі) необхідно, щоб на кінцях цього матеріалу
підтримувалась різниця електричних потенціалів. Але ж з курсу фізики відомо, що всі
природні матеріали є електрично нейтральними. Таким чином, для виникнення

4. впорядкованого руху заряджених частинок, тобто електричного струму, необхідно, щоб
десь за межами матеріалу діяла стороння сила Fст неелектричного походження, яка б
переміщувала заряди q проти кулонівської сили. Іншими словами – для виникнення у
матеріалі електричного струму має існувати поле сторонніх сил (джерело електрорушійної
сили – джерело ЕРC) з напруженістю –
qFE /стст  .
Оскільки роботу Аст сторонніх сил по переміщенню зарядженої частинки на
відстань l можна записати так –
ldEqldFdA стстст  ,
qeldEqA
l
  стст ,
то рівняння електрорушійної сили е буде:

l
ldEe ст
З цього рівняння випливає, що у будь-якому замкненому контурі при дії
електрорушійної сили лінійний інтеграл напруженості електричного поля вздовж цього
контуру не може дорівнювати нулю. У загальному випадку e, B, чисельно дорівнює
роботі, яка здійснюється сторонніми силами при переміщенні одиниці заряду з одної
точки замкненого контуру в іншу.
Джерелом ЕРС (електричної енергії) є електричні генератори, гальванічні
елементи, акумулятори, термоелементи, тощо. Напруга на затискачах незамкненого
джерела електричної енергії чисельно дорівнює ЕРС і дорівнює різниці потенціалів між
затискачами цього джерела.
Вище було зазначено, що під електричним струмом розуміють впорядкований рух
заряджених частинок. За електричними властивостями всі матеріали поділяють на три
основних класи: провідники; ізолятори, або діелектрики; напівпровідники.
Провідники – це матеріали (метали, електроліти, тощо), в структурі яких є вільні
заряджені частинки (електрони, іони), які під дією сил електричного поля здатні до
впорядкованого руху, не обмеженого дією внутрішньомолекулярних сил.
Діелектриками називають матеріали (фарфор, гума, полімери, тощо) в яких
заряджені частинки у своїй абсолютній більшості є зв’язаними, тобто такими, що
утримуються у відповідних положеннях внутрішньомолекулярними силами.
Напівпровідники за своїми електричними властивостями займають проміжне
положення між провідниками і діелектриками.
Основними видами електричного струму є струм провідності, струм перенесення і
струм електричного зміщення. Вони притаманні, відповідно, провідникам,
напівпровідникам і діелектрикам.

5. Для роботи більшості електротехнічних пристроїв використовується струм
провідності – це впорядкований рух вільних заряджених частинок всередині провідника
під дією сил електричного поля.
Сила електричного струму i, A – це кількість електричних зарядів, які проходять
через поперечний переріз провідника за одиницю часу.
За видом, електричний струм провідності (далі просто струм) поділяють на
постійний і змінний.
Постійним називають струм I, A, величина якого не змінюється з часом. З фізичної
точки зору – це упорядкований рух вільних заряджених частинок в одному напрямку з
постійною швидкістю.
Змінним називають струм I, A, величина і напрямок дії якого змінюються у часі. З
фізичної точки зору це упорядкований рух вільних заряджених частинок зі змінною
швидкістю і у змінних напрямках.
Змінний струм, значення якого повторюються через рівні проміжки часу в
однаковій послідовності називають змінним періодичним струмом. Найменший проміжок
часу, через який ці повторення відбуваються, називають періодом T, c, а величину
обернену періоду – частотою f = T1
, 1 с1
= 1 Гц. Найпростішим випадком змінного
періодичного струму є синусоїдний струм.
Електричним опором R, Ом, називають ідеалізований елемент електричного кола, в
якому відбувається незворотне перетворення енергії електричного струму на теплову.
Його величину розраховують за формулою:
SlR / ,
де l – довжина провідника, м; S – переріз провідника, м2
.
Для струмів провідності питомий опір , Омм, залежить від маси m, числа n,
заряду е та середнього часу  вільного пробігу електрона, тобто залежить від матеріалу
провідника, і визначається за формулою:
)/(2 2
 nem .
Фізичну величину обернену питомому опору –
mne 2//1 2
 ,
називають питомою електропровідністю. Оскільки електричну провідність вимірюють у
См (сименс) то, одиниця вимірювання питомої електропровідності відповідно буде: (Ом 
м)1
= См/м.
1.1.2. Основні поняття та визначення теорії електричних кіл
Згідно з правилами експлуатації (ПУЕ) електрична установка – це пристрій, в
якому виробляється, перетворюється, розподіляється або споживається електрична
енергія. В електротехніці, електричні пристрої (машини, апарати, тощо), а також фізичні
процеси, які відбуваються цих пристроях і оточуючому їх просторі, заміняють на
розрахунковий еквівалент – електричне коло.

6. Таким чином, електричним колом називають сукупність пристроїв, які утворюють
шлях для проходження електричного струму і призначених для генерування, передачі та
використання електричної енергії. При цьому, електромагнітні процеси, які відбуваються
у цих пристроях, можуть бути описані з використанням понять ЕРС, напруга, струм, опір.
Зображення електричного кола за допомогою стандартних умовних позначень називають
електричною схемою.
В джерелах електричної енергії різні види енергій (механічну, хімічну, теплову,
атомну, променеву, тощо) перетворюють в електричну. У споживачеві (приймачі, опорі
навантаженні), навпаки, електрична енергія перетворюється у інші види енергій.
В теорії електричних кіл реальних споживачів електричної енергії прийнято
замінювати певними ідеалізованими елементами. При цьому елементам приписують такі
електричні і магнітні властивості, щоб у сукупності вони з достатньою точністю
відображали би явища, які відбуваються у реальних споживачах. У більшості випадків
властивості реальних споживачів характеризують такими ідеалізованими елементами:
резистор r, індуктивність L і ємність C (рис. 1.2).
r L C
Рис. 1.2. Позначення ідеалізованих елементів електричних кіл.
Резистором r, Ом, називають ідеалізований елемент електричного кола, в якому
відбувається незворотній процес перетворення електричної енергії у теплову.
Індуктивність L, Гн, характеризує властивості ідеалізованого елемента, наприклад
індуктивної котушки, під дією струму створювати власне магнітне поле.
Ємність С, Ф, характеризує властивості ідеалізованого елемента, наприклад
конденсатора, накопичувати електричні заряди і створювати електричне поле.
Частину електричного кола, яка містить виділений елемент чи групу елементів
називають ділянкою електричного кола. Якщо ділянка кола, яка розглядається містить
джерело електричної енергії, то таку ділянку називають активною, якщо джерела немає –
пасивною. Ділянку кола елементи якої споживають однаковий струм, тобто з’єднані між
собою послідовно, називають двополюсною ділянкою або електричною віткою. Місце
з’єднання трьох і більше електричних віток називають електричним вузлом.
Ділянки електричного кола можуть бути з’єднані між собою послідовно,
паралельно і мішано (рис. 1.3). Послідовним називають з’єднання при якому на всіх
ділянках кола діє один і той же струм. З’єднання в якому всі ділянки кола підключені до
однієї пари вузлів, тобто знаходяться під однією напругою, називають паралельним.
Мішане з’єднання являє собою комбінацію послідовного і паралельного включення
ділянок.

7. r
a б в
C
L CLr~ ~ CL
r
~
Рис. 1.3. Послідовне (а), паралельне (б) та мішане (в) з’єднання елементів.
Електричні кола поділяють за:
1. Родом струму – кола постійного і змінного (синусоїдного – однофазні і
багатофазні, та несинусоїдного) струму.
2. Способом з’єднання елементів між собою на нерозгалужені (послідовне
з’єднання елементів) і розгалужені (паралельне або змішане з’єднання елементів) кола.
3. Кількістю джерел електричної енергії та способу їх з’єднання між собою на
прості (нерозгалужені і розгалужені кола з одним джерелом) і складні (розгалужені кола з
двома і більше джерелами) кола.
4. Видом вольт-амперної (вебер-амперної, кулон-вольтової) характеристики на
лінійні і нелінійні кола.
У загальному випадку під поняттям “розрахунок електричного кола” можуть
розуміти вирішення однієї з двох протилежних за умовами і кінцевими результатами задач
– задачі аналізу або задачі синтезу електричного кола.
Відомо, що будь-який споживач електричної енергії може нормально працювати
тільки при певних (номінальних) значеннях струму і напруги. Тому для практики
важливим є визначення струмів і напруг на ділянках і елементах заданого електричного
кола – вирішення задачі аналізу електричного кола. Зрозуміло, що при відомих ЕРС
джерел і параметрах елементів електричного кола струми і напруги всіх його елементів
визначаються однозначно. Аналіз електричного кола виконують з використанням рівнянь,
складених за законами Кірхгофа і законом Ома.
Задача синтезу електричного кола є оберненою по відношенню до задачі аналізу.
Задачу синтезу ставлять та вирішують при розробці і проектуванні електротехнічного
обладнання. Тут, за заданими напругами, струмами і потужностями спочатку находять
структуру та параметри елементів кола, а далі за каталогами вибирають самі елементи. В
загальному випадку задача синтезу електричного кола є складнішою у порівнянні з
аналізом, оскільки, як правило, вона має декілька рішень.
1.1.3. Питання для самоперевірки за розділом „Загальні поняття та
визначення теоретичної електротехніки”

8. 1. Що є носієм електричної енергії?
2. Що називають напруженістю електричного поля?
3. Що називають електричною напругою?
4. Що називають електричним струмом (постійним, змінним)?
5. Які види електричного струму Ви знаєте?
6. На які групи поділяють матеріали за їх електричними властивостями?
7. Що називають електричним опором (електричною провідністю)?
8. Який фізичний зміст мають поняття: резистор, індуктивність, електрична ємність?
9. Що називають електричним колом (ділянкою, вузлом, віткою, контуром електричного
кола)?
10. Яке електричне коло називають лінійним (нелінійним)?
1.2. Змінний синусоїдний струм
Сучасна електрифікація здійснюється на змінному струмі, хоча історично спочатку
використовували постійний струм. Зараз всі промислові електростанції світу виробляють
електроенергію синусоїдного змінного струму
1.2.1. Переваги синусоїдного струму у порівнянні з постійним струмом
З усіх можливих форм періодичних струмів найбільше розповсюдження отримав
синусоїдний струм. Синусоїда це найпростіша періодична функція, в результаті
виконання математичних дій (додавання, віднімання, множення, ділення,
диференціювання, інтегрування) з якою, одержують також синусоїдну функцію. Технічне
значення цієї обставини полягає в тому, що на всіх ділянках лінійного електричного кола
форма кривих струмів і напруг буде однаковою – синусоїдною, або інакше кажучи –
гармонійною.
У порівнянні з постійним синусоїдний струм має таки переваги:
1. Його параметри (напругу та силу) технічно більш просто і з меншими втратами
можна змінювати (підвищувати або понижувати). Це особливо важливо при передачі
електричної енергії на великі відстані.
2. Електричне обладнання, яке працює на синусоїдному струмі простіше за
конструкцією та надійніше у експлуатації ніж те, що працює на постійному струмі.
Варто відмітити і те, що у разі необхідності, з використанням відносно простих
пристроїв – випрямлячів, синусоїдний струм завжди можна перетворити в постійний.
Вперше синусоїдний струм був отриманий в 1876 р. П.Н. Яблочковим. Однак його
широке впровадження у практику стало можливим лише після того, як у кінці 19 століття

9. М.О. Доліво-Добровольський розробив прототип сучасного промислового генератора
змінного струму, трансформатор, асинхронний двигун та здійснив передачу електричної
енергії на порівняно велику (175 км) на той час відстань.
В Україні, як і у більшості країн світу виробляють і використовують синусоїдний
струм з частотою 50 Гц. Лише в Японії, США та Канаді частота струму складає 60 Гц.
Його використовують для освітлення приміщень і територій, живлення електродвигунів та
різноманітного електрифікованого обладнання, тощо.
1.2.2. Отримання синусоїдного струму та миттєві значення електричних
величин
Розглянемо простіше електричне коло (рис. 1.4, а), яке містить джерело
електрорушійної сили Е, с внутрішнім опором r0, та споживач електричної енергії, опір
якого r1. З рівняння закону Ома для цього кола –
)/( 10 rrEI  ,
випливає, що при незмінних значеннях r0 та r1 характер зміни сили струму кола
визначається характером зміни ЕРС джерела. Отже, для отримання у колі синусоїдного
струму потрібно мати джерело синусоїдної ЕРС.
E
r1
r0
Em
e
0 90 180 270 °
360
a б в
Si
b
a
ea
eb
S
N
b
a
A B
ГН 0
N
V
Vn
Рис. 1.4. До отримання синусоїдного струму: а – електричне коло, б – модель генератора
змінного струму, в – графік синусоїдної ЕРС.
З курсу фізики відомо, що при змінному у часі перетину силовими лініями поля
постійного магніту витків котушки в котушці виникає ЕРС. Аналогічний ефект має місце і
при обертанні в однорідному магнітному полі металевої рамки (рис. 1.4, б), діаметр якої d
з постійною швидкістю:
60/2 dV  .
При обертанні, активні ділянки (а та b) рамки, кожна з яких має довжину l,
перетинають силові лінії магнітного поля і там, згідно з законом електромагнітної
індукції, генеруються ЕРС: еа = еb = е. Оскільки положення рамки в кожен момент часу

10. можна визначити величиною кута  між площиною рамки та геометричною нейтралю
(ГН) системи то значення ЕРС в кожен момент часу буде:
 sinBlVe ,
де В – магнітна індукція однорідного поля.
З рівняння випливає, що оскільки B, l та V – сталі величини, то ЕРС рамки є
функцією кута  (рис. 1.4, в). Так, e = 0 при  = 0. Коли  =  /2 – ЕРС сягає
максимального (амплітудного) значення:
BlVEm 
Це дає підстави записати рівняння ЕРС рамки таким чином:
 sinmEe
Виразив кут  повороту рамки через кутову швидкість  = 2f і час t одержимо
рівняння розрахунку значень ЕРС в окремі моменти часу:
tEe m  sin
Чисельні значення, які приймає змінна величина в окремі моменти часу називають
миттєвими значеннями цієї величини. Вимірюють миттєві значення електричних величин
за допомогою осцилографа.
Якщо вважати, що за нескінченно малий проміжок часу t змінна величина і, отже,
її миттєве значення практично не змінюються і залишаються сталими, то до миттєвих
значень електричних величин змінного струму можна застосовувати всі відомі закони
постійного струму.
Таким чином, при використанні розглянутої моделі генератора змінного струму
(рис. 1.4, б) в якості джерела ЕРС, струм у колі, яке розглядається (рис. 1.4, а) буде:
)/(sin 10 rrEi m  .
Або, оскільки амплітудному значенню ЕРС відповідає амплітудне значення струму Im =
Em/(r0+r1), то:
tIi m  sin .
Враховуючі, що опір зовнішньої ділянки кола дорівнює r1, спад напруги на
споживачеві буде –
tIru m  sin1
або ж, оскільки Um = rIm то:
tUu m  sin .
Для одержання синусоїдного струму у промисловості використовують синхронні
генератори. Їх будова і принцип дії будуть розглянуті пізніше у розділі “Електричні
машини”.

11. 1.2.3. Фази змінної величини і фазовий кут
Величина, яка змінюється за періодичною (синусоїдною) функцією, протягом
періоду проходить всі стадії своєї зміни. Окремі стадії зміни величини називають фазами.
Кожній фазі змінної величини відповідає конкретне миттєве значення цієї величини.
Графічне надання закону зміни фаз (миттєвих значень) величини у часі називають
часовою діаграмою.
Разом з тим, миттєве значення характеризує фазу змінної величини лише з
кількісного боку і зовсім не відображає її якісного стану. Для пояснення цієї тези
використаємо часову діаграму струму (рис. 1.5, а), де в межах одного періоду виділені
чотири чисельно однакових миттєвих значення струму: i1, i2, i3, i4.
Так, якщо виходити тільки з миттєвих значень (кількісного чинника), то фази i1 та
i2 нічим не відрізняються між собою. Таке ж можна сказати і про фази i3 та i4, які
відрізняються від попередньої пари знаком (у фазах i1 та i2 струм має умовно додатній, а у
фазах i3 та i4 – умовно від’ємний напрямок дії). Разом з тим, в фазу i1 струм приходить в
результаті збільшення, а у фазу i2 в результаті зменшення свого значення. Оскільки
подібні міркування вірні для пари i3 та i4, то виходить, що кожна з розглянутих фаз
відрізняється якісним чинником – електричним кутом t.
a б в
i
t
i=0
0
i
0
i
0
t
i>0
t
i <0
i it4
i1 i2
i3 i4
t3
t2
t1
Рис. 1.5. До поняття фазовий кут та початкова фаза синусоїдної величини.
Отримані раніше рівняння розрахунку миттєвих значень ЕРС, струму, і напруги
описують окремий випадок – коли при t = 0 змінна електрична величина також дорівнює
нулю. Для загально випадку зазначені рівняння можна записати так:
)sin( em tEe  ,
)sin( im tIi  ,
)sin( um tUu  .
У наведених рівняннях величину (t  ) називають фазовим кутом синусоїдної
величини (ЕРС, струму, напруги). Кут  тут характеризує момент часу, який прийнятий за
початок відліку синусоїдної величини, тобто початкову фазу величини (e, i, u –
початкова фаза, відповідно, ЕРС, струму, напруги). Його чисельне значення вважають

12. додатнім коли на часовій діаграмі найближча до початку координат точка переходу
синусоїдної величини з від’ємної області у додатню знаходиться ліворуч вісі ординат
(рис. 1.5, б) і від’ємною – коли праворуч (рис. 1.5, в).
Наведені вище рівняння дають можливість визначати миттєві значення окремих
синусоїдних величин, але не описують зв’язок між цими величинами. Так, якщо
аналізувати дві змінні величини одночасно, наприклад струм і напругу, то обов’язково
потрібно вказати взаємозв’язок між фазами цих величин.
Величини називають такими, що співпадають за фазою (рис. 1.6, а), якщо вони
змінюються за однаковим законам і одночасно проходять через відповідні фази,
Наприклад, одночасно проходять через нуль і одночасно досягають своїх максимумів. У
випадку неодночасного проходження через відповідні фази (рис. 1.6, б, в), величини
називають такими, що не співпадають за фазою, або зсунутими за фазою. Кут, на який
зсунуті між собою у часі однакові (початкові) фази двох електричних величин називають
кутом зсуву фаз і позначають .
t
0
i,u
=0
i
u =–90 =90
i,u
0
u
t t
i,u
0
u
ii
a б в
i i
Рис. 1.6. Часові діаграми синусоїдних струму та напруги.
При наявності зсуву фаз (  0
) величини розрізняють на таку, що випереджає за
фазою і що відстає. Величина, яка раніше проходить через відповідні фази в межах кута
180
є випереджаюча, а яка пізніше – відстаюча. На часовій діаграмі такі величини
визначають за місцем знаходження їх амплітудних значень. Для цього на осі часу
виділяють проміжок в межах 0 – 180 і відмічають місце знаходження однакових за
знаком амплітудних значень величин. Перше амплітудне значення з боку кута 0
відповідає величині, що випереджає, друге – що відстає. При  = 180
поняття
випереджаюча і відстаюча величини втрачають сенс. Тут будь-яку з них можна прийняти
або випереджаючою, або відстаючою.
Кут зсуву фаз  двох синусоїдних величин однієї і той же частоти, визначають як
різницю початкових фаз цих величин. Наприклад, зсув фаз між синусоїдами напруги і
струму визначають так:
iu  .

13. Для суміщеної часової діаграми наведеної на рис. 1.6, а, де u = i = 0
кут зсуву
фаз між синусоїдами струму і напруги дорівнює нулю. Для діаграм наведених на рис. 1.6,
б, де синусоїда струму i =  90
відстає від синусоїди напруги u = 0 та рис. 1.6, в, де
синусоїда струму i = 90
випереджає синусоїду напруги u = 0
маємо, відповідно:  = 0
– ( 90
) = 90
та  = 0
– 90
=  90
.
1.2.4. Векторні діаграми
Для графічного зображення електричної величини (ЕРС, струму, напруги) окрім
часової часто використовують так звану векторну діаграму. На векторній діаграмі (рис.
1.7, а) закон зміни електричної величини показують за допомогою проекцій на вісь
ординат вектора, який обертається із кутовою частотою . Можливість такого зображення
обумовлена тим, що проекція такого вектора на вісь ординат, як і миттєві значення
величини, змінюється у часі за законом синусу (рис. 1.7, б). Таким чином, у загальному
випадку, векторна діаграма являє собою сукупність векторів, які на визначений момент
часу зображують синусоїдні величини однієї частоти в Декартові або комплексній
площинах.
0
a б
x t
i
0
y
T
t+i
i
t t=0
Im
i
t
t+i
Рис. 1.7. Векторна (а) та часова (б) діаграми синусоїдного струму.
На векторній діаграмі зручніше, ніж на часовій, здійснювати математичні дії
(додавання чи віднімання) з синусоїдними величинами, а також розкладати величини на
складові. Покажемо ці переваги векторної діаграми на прикладі додавання синусоїдних
струмів (рис. 1.8).

14. 0
a б
x t
iy
t=0
i1
ii2
i1
i1i2
i
t=0Im
I2m
i
i2
Рис. 1.8. Додавання двох синусоїдних величин на векторній (а) і часовій (б) діаграмах
Припустимо, потрібно додати два струми:
)sin( 111 im tIi 
)sin( 222 im tIi  .
У підсумку додавання двох синусоїд на часовій діаграмі (рис. 1.8, б) отримуємо
результуючу синусоїду, яка описується рівнянням:
)sin(21 im tIiii  .
На векторній діаграмі (рис. 1.8, а), в результаті додавання двох векторів маємо
вектор довжиною m кут нахилу якого до вісі абсцис дорівнює i .
Стрілки, які ставлять на кінці кожного вектора призначені для того, щоб відрізнити
початок вектора від його кінця. Це важливо, оскільки при додаванні кількох векторів
початок другого і далі векторів можуть не співпадати з початком координат. Покажемо це
на прикладі, геометричного додавання струмів 1m, 2m, 3m (рис 1.9).
y
x
a б
I1m
I3m
I2m
0
1
2
3
y
x
I1m
I3m
I2m
0
1
2
3
Im

Рис. 1.9. Геометричне додавання векторів.
Так, замість попарного додавання векторів і побудови кількох паралелограмів
зручніше з кінця 1m, з урахуванням 2 відкласти 2m і, далі, з кінця 2m, також з

15. урахуванням фази, відкласти 3m. З’єднавши початок координат з кінцем 3m отримуємо
результат додавання – вектор довжиною m кут нахилу якого до вісі абсцис дорівнює .
На практиці часто доводиться будувати суміщені векторні діаграми – коли на одній
площині показують вектори струмів і напруг. На таких діаграмах кут зсуву фаз  між
величинами показують по найкоротшій кутовій відстані від вектора струму до вектора
напруги. Знак кута  при цьому визначають за правилом тригонометрії – кут який
відкладають проти годинникової стрілки вважають додатнім, а за годинниковою стрілкою
– від’ємним. На рис. 1.10 наведені суміщені векторні діаграми струмів і напруг, які
відповідають часовим діаграмам зображеним на рис. 1.6.
0
y
x
Im
=0
=–90
a б в
Um
0
y
x
Im
Um
=90
0
y
x
Im
Um
Рис. 1.10. Суміщена векторна діаграма струмів та напруг.
1.2.5. Діюче і середнє значення синусоїдного струму
Широке впровадження синусоїдного струму, обумовило необхідність пошуку
простого та зручного способу розрахунку енергії, що віддає струм до зовнішнього кола.
Використання для цього законів постійного струму і виконання дій у миттєвих значеннях
змінного струму, призводить до громіздких розрахунків, що часто є недоцільним.
Звичайно, аналіз кіл синусоїдного струму можна було б проводити з
використанням векторних діаграм, методика побудови яких у миттєвих значеннях
синусоїдної величини розглянута у попередньому розділі. Але і при цьому є ускладнення.
По-перше, геометричні дії, як правило, не забезпечують потрібної точності розрахунків.
По-друге, для вимірювання миттєвих значень електричних величин потрібні складні і
дорогі прилади – осцилографи. Вихід був знайдений на підставі властивостей енергії
переходити з одного виду в інший.
Відомо, що при проходженні постійного струму І по провіднику з опором R, за час
t у провіднику виділяється кількість теплоти (закон Джоуля-Ленца) –
RtIQ 2
 .
Електрична потужність при цьому буде:

16. RItQP 2
/  .
Оскільки при проходженні змінного струму у провіднику також виділяється
теплота то для оцінки цього ефекту у теорію змінного струму було введено поняття діюче,
або ефективне значення струму.
Під діючим значенням змінного струму розуміють таке значення еквівалентного
йому постійного струму, який проходячи в тому ж, що і змінний струм провіднику, за
однаковий час виділяє у цьому провіднику таку ж кількість теплоти.
У відповідності з таким визначенням діюче значення синусоїдного струму
позначають літерою I, тобто як силу постійного струму і розраховують за формулою:



T
dtiTI
0
21
.
Між максимальним миттєвим (амплітудним) значенням струму, напруги, ЕРС та
діючим значенням цих величин існує така залежність, відповідно:
mm III 707,02/  ,
mm UUU 707,02/  ,
mm EEE 707,02/  .
Відношення амплітудного значення змінної електричної величини до діючого
значення цієї ж величини називають коефіцієнтом амплітуди. При синусоїдному законі
зміни струму (ЕРС, напруги) коефіцієнт амплітуди буде: kа = Im/I = 1,41.
Поняття середнє значення змінної електричної величини використовують при
аналізі роботи перетворювачів, випрямлячів, вимірювальних приладів випрямляючої
системи та у ряді інших випадків.
В загальному випадку, при відомому законі зміни миттєвих значень будь якої
змінної величини, наприклад величини h, середнє значення Hсp цієї величини за проміжок
часу t = t2  t1 визначають як середньоінтегральне і розраховують за формулою:

2
1
)/1(cp
t
t
hdttH
З цього рівняння випливає, що середнє значення синусоїдної величини за період
буде дорівнювати нулю. Тому в електротехніці під середнім значенням синусоїдної
величини, наприклад струму, розуміють її середньоінтегральне значення але за половину
періоду –
.)/2(
2/
0
cp 

 idtI
Між максимальним миттєвим (амплітудним) значеннями синусоїдних струму,
напруги, ЕРС та їх середніми значеннями є така залежність, відповідно:

17. mm III 637,0)2//(cp  ,
mm UUU 637,0)2//(cp  ,
mm EEE 637,0)2//(cp  .
Відношення амплітудного значення змінної електричної величини до середнього
значення цієї величини називають коефіцієнтом форми кривої. При синусоїдному законі
зміни струму (ЕРС, напруги) коефіцієнт форми кривої струму буде: kф = Im/Iср = 1,11.
На практиці діючі і середні значення струму та напруги у колах змінного струму
вимірюють електричними вимірювальними приладами – амперметром и вольтметром. Ці
прилади значно простіші за конструкцією і зручніші в експлуатації ніж осцилографи.
Амперметри та вольтметри, що призначені для вимірювання діючих значень, фактично
градуюють за допомогою теплових приладів постійного струму, тому їх можна
використовувати для вимірювань як в колах постійного, так і змінного струмів. Прилади,
що призначені для вимірювання середніх значень електричних величин використовують
тільки в колах синусоїдного струму.
Застосування понять діюче і середнє значення електричної величини дало також
можливість значно спростити розрахунки кіл змінного струму. Так, оскільки діюче і
середнє значення електричної величини зв’язані з амплітудним (максимальним миттєвим)
значенням цієї величини лінійними залежностями, то векторні діаграми зручніше
будувати у діючих або середніх значеннях. Адже такі діаграми відрізняються від
побудованих у амплітудних значеннях тільки лінійним масштабом.
1.2.6. Використання комплексних чисел для аналізу кіл синусоїдного
струму
Застосування комплексних чисел для розрахунків кіл синусоїдного струму дає
можливість замінити диференційні рівняння, якими описуються процеси у цих колах,
алгебраїчними рівняннями. Метод розрахунку електричних кіл синусоїдного струму з
використанням комплексних часто називають символічним методом.
З курсу математики відомо, що синусоїдну функцію, зокрема обертовий вектор
(рис. 1.11), можна записати комплексним числом. Тому при розрахунках електричних кіл
синусоїдного струму замість геометричних дій з векторами використовують більш зручні і
точніші алгебраїчні дії з комплексними числами.

18. a0
+j
–j
+
A
.

b
–
A
Рис. 1.11. До запису комплексного числа.
Відомо, що комплексне число може бути записано у алгебраїчній, показниковій та
тригонометричній формах, відповідно:
jbaA  ,

 
 j
AeA ,
)sin(cos  jAA ,
де a та b – відповідно, дійсна та уявна складові комплексного числа (проекції вектора на
вісі, відповідно, дійсних та уявних чисел); А – модуль комплексного числа (довжина
вектора);  – аргумент комплексного числа (кут нахилу вектора до вісі дійсних чисел);
1,1 2
 jj – уявне число; е – основа натурального логарифму.
Для переходу від однієї форми запису комплексного числа до іншої
використовують співвідношення (рис. 1.11):
22
baA  ,
)/(arctg ab ,
 cosAa ,
 sinAb .
Комплекс діючого значення електричної величини, що змінюється у часі за
синусоїдою, виділяють крапкою над символом, який відображає цю величину. Наприклад:
I– комплекс діючого значення струму; U – комплекс діючого значення напруги. Якщо
електрична величина не є синусоїдною, то комплекс її значення виділяють рискою під
символом, який відображає цю величину. Наприклад: Z – комплекс повного опору; S –
комплекс повної потужності.
Додавати або віднімати комплексні числа зручніше коли вони надані у алгебраїчній
формі запису:
,)()(
)()(
2121
221121
jbabbjaa
jbajbaAAA

 

19. .)()(
)()(
002121
2211210
jbabbjaa
jbajbaAAA

 
Виконувати множення, або ділити – зручніше коли числа надані у показникові формі:
,)( )(
21
21
21
21




jj
jj
AeeAA
eAeAA
.)/(
/
)(
21
21
21
21




jj
jj
AeeAA
eAeAA
Комплекси величини, які відрізняються тільки за знаком аргументу, називають
спряженими комплексами. В електротехніці, спряжений комплекс звичайно виділяють
“зірочкою” над символом величини. Так, наприклад, якщо маємо –
jbaAeA j
  ,
то спряжений комплекс буде:
jbaAeA j
 

Зазначимо, що при множенні комплексу величини на спряжений комплекс в
результаті маємо квадрат модуля цієї величини –
2
AAeAeAA jj
 

 .
1.2.7. Питання для самоперевірки за розділом “Змінний синусоїдний
струм
1. Якій стум називають синусоїдним?
2. Які основні переваги має синусоїдний струм у порівнянні з постійним електричним
струмом?
3. Що називають періодом (частотою) синусоїдної величини?
4. Що називають фазою (початковою фазою) синусоїдної електричної величини?
5. Що називають миттєвим значенням синусоїдної електричної величини?
6. Які синусоїдні електричні величини називають такими, що співпадають
(зсунутими) між собою за фазою?
7. Що називають фазовим кутом?
8. Що називають кутом зсуву фаз?
9. Що називають векторною діаграмою електричних величин?
10. Що називають діючим значенням синусоїдної електричної величини?
11. Що називають середнім значенням синусоїдної електричної величини?
12. Якими приладами вимірюють миттєві значення електричного струму і напруги?
13. Якими приладами вимірюють діючі значення електричного струму і напруги?